ДВОЙСТВЕННЫЕ ПРОЕКТИВНЫЕ СВЯЗНОСТИ S-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75

С.Ю. В о л к о в а (Балтийский военно-морской институт) ДВОЙСТВЕННЫЕ ПРОЕКТИВНЫЕ СВЯЗНОСТИ 8-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

1 2 3

Построены проективные линейные связности а, а, а, базисного Ь-распре-деления скомпонованного Б-распределения проективного пространства Рп. Получены охваты тензоров кривизны-кручения этих связностей. Найдены условия сов-

1 2 3

падения связностей а, а , а и двойственности пространств проективной связности

1 2 3

Вп, г, Вп, г, Вп, г. Показано, что оснащение голономного Ь-распределения в смыс-

2

ле Нордена-Картана индуцирует пространство Вп, г с нулевым кручением, двой-1

ственноеВп,г.

Используется следующая схема индексов:

1Д,К,Р^,...= 1,п; р,^,1:,...= 1,г; Цк,... = г + 1,т; А,В,С,...= (1,г;ш + 1,п -1), а,Р,у,... = т + 1,п - 1; и,у,... = г + 1,п - 1; А,В, С,... = (1,г;т + 1,п),

тд ,... = г + 1,п; а,р,... = т + 1,п.

§1. Первая проективная связность базисного Ь-распределения

Рассмотрим специальный класс трехсоставных распределений проективного пространства Рп [1], оснащающее М-распределение которого несет двухкомпо-нентную сопряженную систему (Л , Ь )-распределений плоскостей Л и Ь таких, что в каждом центре А0 при смещении одной из плоскостей Л(А0) и Ь(А0) вдоль линий, принадлежащих другой плоскости, она остается в плоскости М(А0). Такой класс трехсоставных распределений назван Б-распределениями. В репере 1-го порядка Б-распределение задается уравнениями (без соответствующих замыканий этих уравнений):

© п = лпрА © 0 = мрА © ° = ип^А © о , © п = Цд © Л = мп © д = Щ © 0й,

©а=ларк© к=м(к© 0К, ©а=ьак© к=мак© к , © р = ЛрК© к, (1) © р=ьрк© ок, ©а=и (р ©0, ©а=и (к© к, ©а=и > к.

Пусть базисное Ь-распределение оснащено в смысле Нордена-Картана полем геометрического объекта { V ^, Ь °, у 0, у 0 } [2], где

п + © п = ^„к© к, + © оо = 14© к,

уод + ©а = Одк©о, ^о0 + V© + ьд ©А + ©0 = 60К ©К. (2)

Тогда Ь-распределение индуцирует на 8-распределении линейную проективную

1 1

к

' 0 '

связность Г, определяемую системой форм { ю к; с Т }. Слоевые формы с Т соот-

1

ветствующего пространства проективной связности Вп,£ [3], следуя работе [4], зададим следующим образом:

1 1.

с0 = ю0 -VПюо, Пюп,

С0 =Ю0 - уАюА - (уо - уАЬОюО, (3)

_0_„0 Л,0 „А ~ 0„п с 1 = ю 1 - у А ю 1 -с пю 0'

где

" 0 _ Л,0 Л,0 т А 0 , Л,1 „ 0 л,0 „А , „ 0 _ " 0 „ К {д\

с п = у п - уАЬп' Ус п пю 1 - У Аю п + ю п = с пКю 0 . (4)

К 1

Формы ю 0 , ст удовлетворяют структурным уравнениям Картана-Лаптева:

К 1- . .

Бю0 =юо Л®Ь + ®0 л®0, ^Ст =Ск АСт + Ст юр лю0. (5)

1 1

Компоненты тензора кривизны-кручения с Т пространства Вп, £ в уравне-

ниях (5) имеют следующее строение:

11

ссрд =С05пр50, пVп^р50, - НА[Р5А] +vпНА[р5о, - уА5АР5^ -V^р5о,,

10

с0РО =С п( V пьпк[р 5 о, + нА[р 5 о,)+уА V по^р 5 о, + у АоА[р 5 о, + + °п уА[р5 о,- у п[р5 о,- уА[р5 А],

с^ = с пь1п[р 5 о, -<С п V ¿0?[р 5 о, + у АЬ^А[р 5 о, - у А V ¿Ь-А[р 5 о, + Ь^Н^

Л,кДт п тп ,.иЛ ип тп

- V;" V,,- VI,ОгрНшт - рЬ

vп vпЬ1[рЬ|к|о, VпЬ1[рН А|о, Vп[рЬ|1|о,,

10 ОАп АОп ОА Оп ООАВ

с 1РО = уALл[рL1|1|Q] + ЬАур- уA[PL|1|Q] - уn[PL1|1|Q] - уАуВЬ1[р5о, -

_ а0 . ,клп |д 0/1 а |_|п , ~ 01 п 2п , а0 i п 2д , а0 i ди , д|п i п \

6д vп ^п|[рь|к|о] сп\ч[рп|др] + спч[р5о] + идч[р5о] + 6дч[р5о] + "^п ^.

Показано, аналогично [4], что линейная проективная связность с, определенная системой форм (3) есть связность, полученная путем проектирования при помощи внутренне определенной оснащающей плоскости

/V /V

Сп- £-1( V 'п )=[ ММ д, ММ п ] в смысле Картана, определенной объектом

{^лд" 60,6 д}.

2. Найдем условия, при которых оснащающая плоскость Картана

1

1

Сп-г-1(V1 )=[ММд,Мп], где Мд = Дд + одд0, ММп«) = опд0 + vПДi + ЬДДд + Дп, при любых смещениях центра А0 Б-распределения не выходит из соответствующей нормали 1-го рода N п- г( V \) плоскости Ь(А0). В силу уравнений инфините-

зимальных перемещений репера { Д ^ }: д А у = © к^к и уравнений (2) дифференциалы точек М д и М п можно представить в виде:

аМд = [уДк©оК - увУд©В -(У0 - УбШХУА©0 + ©Д)]Д0 + [©0УД + ©Д - Ч6Д©0 --VI, © д^ + (© Во Д +© Д - ьпо а © 0 - ьвп © Д)М В + (© 0 о Д +© Д)М п , ¿мм п = [у 2к © к - у В(ьВк © к + у 2 © В + vn © В) - (у 2 - у В лвп)(у 0П © п + ьВ © в + (7) + vn©1n)]Ao + [ v2к©K + уп©0 + лВ©в - v1n( уп©п + vJ1© ? + Лвп©В)]А1 + [Ь°к©к +

+ 60шA + ^Д - лAП(60ю0 + « + л^М д. + (©п + о0©0 + vПшП + лд ©а)М п.

Из (7) непосредственно получаем условия неподвижности плоскости Сп- г-1

(v 1):

vnк + у п§ к + лВпИВк - vп(у п5 к + vпь^пк + лВпИВк) = 0, у А 5 к + ИАк - v п( у А 5 к + ИАк) = 0,

(у пк - у В(ЬВпк + у 0 5 к +v пьВк) - (у 0 - у ВЬВп)( у 0 5 к + ЬАИ А к +v пьк) = 0,

пк + у п5 к + у пь1к) - (у п - у Вьп)( у п5 к + ьпи АК + у пь1к.

|у Ак - у В у А 5 к - (у 0 у В лВ)( у А 5к + ИАк) = 0.

(8)

(9)

Следуя работе [3], доказано, что при ш-г > 2 для Н(Ь)-распределения в Рп условия (9) являются следствиями соотношений (8). Если выполнены условия (8), то непосредственно убеждаемся, что

a) оснащающая плоскость Картана Сп- г -1( vП) Ь-распределения неподвижна и является плоскостью Кенигса нормали vгn, т. к.

Л,0 _ Д0 _„0 дА Л0 _ ~0.

у А ла , у п -Ф 0 -лп лд = «п ;

13

b) компоненты тензора кривизны-кручения а 1кь (6) обращаются в нуль, т.е.

1

пространство Вп, г является плоским. Таким образом доказана

Теорема 1. На оснащенном в смысле Нордена-Картана базисном Ь-распределении данного 8-распределения индуцируется первая линейная проек-

1 13 тивная связность а, определенная путем проектирования. Слоевые формы а I

1

соответствующего пространства проективной связности Вп,г имеют вид (3),

13

а компоненты тензора кривизны-кручения а !кь этого пространства определены формулами (6). При г > 2 при любом смещении центра А0 8-распределения

<

оснащающая плоскость С п-£ -1(V^) в смысле Картана ¿-распределения не выходит из нормали 1-го рода vП тогда и только тогда, когда она неподвижна. При этом плоскость Сп- £ -1(V ) является плоскостью Кенигса нормали V^, а про-1

странство Вп,£ является плоским.

§2. Двойственные проективные связности, ассоциированные

с ^распределением

1. Другую линейную связность проективного типа на оснащенном в смысле Нордена-Картана ^распределении можно задать согласно [3] системой форм

{ ю ¿, 0|}, где слоевые формы 0т получаются преобразованием вида:

0т =с Т + Г> ю К. (9)

1 1 1К 0 4 '

Полагая Гр = 0, Г0°р = 0 и требуя, чтобы система слоевых форм 0 Т удовлетворяла структурным уравнениям Картана-Лаптева [5],[6], приходим к следующей системе уравнений:

УГр + грю0 = Г^ю?, УГ« + 2ГРю0 - г°юп - ГАюА + г£юк = Г^юо, УГА +ГАю0 = УГР +Гю0-Гю: -ГАюА = Г>?, (10)

УГР + 2Г ю0 + ГХ = Г>?, УГ10А + 2Г1А ю 0 + ГА ю к = ГАо ю о. Для 8-распределения с полем симметрического тензора Ь " уравнениям (10) в силу (2) и уравнений

уа+ 2аПкю0 = аЩкьюЬ, У£ 1 + £ 1 ю0 +ю0-£п*юк = £жюК

удовлетворяют следующие охваты:

к + ику у п , Г 1п = Г 1] уп Г 1АЬп :

ГТ =£kоld1п1, Г0 = Гк£к + ¿киVП, Гкп = -ГкVп -ГАЬА:

ГА =г-А £ к + ГА £ пк] V п, гп =-г0 V п -ГА vA.

(11)

В формулах (11) в качестве тензора Г^ возьмем один из следующих охватов:

СеГ

* —,, ,к _ |_| к , л0 я к

ГА = V кд = пд|+ 6 д 5 к, (12)

СеГ

¡А = ^!д = £ п и£1А '

где

СП|д = £ П£1А -£ П£1(уА "Пэ © Вп -Ь^А V Т) + (ТЧа + ^Ь^) V] . (14)

Г¡А=Окд = £кпМп1Л, (13)

, 2 Т Формы 0 I (9) с охватами (11), (12) обозначим а I, а с охватами (11), (13) че-

з I

рез а I. Соответствующие пространства с линейной связностью проективного

2 3

типа обозначим через Рп,£ и Рп,£. Слоевые формы этих пространств имеют вид:

V 1 1 2 0 1 0 2 т 1 I 1 £ . 1А

а о = а о, а о = а о, а 1 = а 1 + £ ТМ^ а о + ^А а о ,

20 10 1т 1А

СУ1 = а1 + (£к£а£1Т£к + аП,VП)сто + П(Ь + £,VП)сто;

' 31 1 1 3 о 1 о 3 к 1к 1 Т 1А

а о = а о, а о = а о, а 1 = а 1 + £ ^ ё Пт а о + 0|А а о ,

3о 1о 1т 1А

а 1 = а 1 + (£ к£ ё П, £ к + ё П^т ví) а о + к + £ П, V П) а о,

(15)

(16)

1

где а д = ш д - ЦП ш о.

Преобразование форм связности по законам (15), (16) обозначим соответственно через 12, 13. Доказано аналогично [3], что 13= и-1 и 12= и-1 □ ¡д =0.

Теорема 2. Оснащенное в смысле Нордена-Картана регулярное базисное Ь-

распределение данного 8-распределения в Р„, кроме первой линейной связности

1

проективного типа а (3) в случае симметрии основного тензора индуциру-

2 3

ет еще две линейные связности а, а проективного типа, определяемые соответственно системами форм (15), (16), при этом

1 3

a) пространства проективной связности Рп,£ и Рп,£ являются всегда двойственными;

1 2

b) пространства Рп,£ и Рп,£ двойственны тогда и только тогда, когда

I ^ .

= нд + у д 5' = о. (17)

1 2 3

В этом случае все три пространства Рп,£; Рп,£; Рп,£ попарно двойственны между собой.

2. Пусть оснащенное в смысле Нордена-Картана Ь-распределение является голономным. В этом случае при смещении центра А0 8-распределения вдоль кривых Ь:

ш д = о, ш о = ц1 е, □е = е д0 о, vц1 - ц |(е о +ш о) = ц10, (18)

принадлежащих Ь-распределению, имеем шо = шд = о и, следовательно,

1 А 2 3

а о = шА - 1_д ш о = о. Тогда из соотношений (15), (16) следует а = а, т.е.

2 3

связности пространств Рд £ и Р£, £ совпадают. Отсюда, на основании теоремы 2

<

<

2 3

следует, что пространства Р , и Р , всегда двойственны. В силу геометрической интерпретации голономности Ь-распределения [1], приходим к предложению.

Теорема 3. Оснащение в смысле Нордена-Картана

a) регулярной £ -мерной гиперполосы НГ(М), оснащенной полем касательных т-мерных плоскостей (£ <т<п-1);

b) регулярной £-мерной гиперполосы П £, оснащенной полем Л-плоскостей так, что в каждом центре А0: А0 е Л(А0) ^ Ч(А0);

c) £-мерной полосы V^ порядка т, оснащенной полем касательных гиперплоскостей Н;

ф) вырожденной центрированной нераспадающейся т-мерной гиперполосы

1 2

П ^ ранга £ индуцирует два пространства проективной связности Р£ ,£ и Р£ ,£, ассоциированных с указанными многообразиями а)- ф), причем эти пространства двойственны относительно инволютивного преобразования J2 (15).

Замечание. Для регулярных гиперполос пространства проективной связности Рпп и проективного пространства Рп результаты, аналогичные теореме 3, получены А.В Столяровым [7].

3. Выясним геометрическую интерпретацию аналитического условия (17)

1 2

двойственности пространств Рп,£ и Рп,£. При смещении центра А0 8-распре-деления вдоль кривых Ь (18), принадлежащих базисному Ь-распределению, из (7) с учетом (1) получим

СМ д =0 дд 0 + (пд + у д 5 10д к +ю дм в(тоСЬ). (19)

Из соотношений (19) в силу (17) следует

Теорема 4. Для регулярного оснащенного в смысле Нордена-Картана Ь-

1 2

распределения пространства Рп,£ и Рп,£ двойственны тогда и только тогда, когда при смещении центра А0 8-распределения вдоль любой кривой Ь (18), принадлежащей его базисному Ь-распределению, смещение оси [ К д ] = =[дд - Лддо] плоскости Картана С^^^о) принадлежит характеристике ЧП-£-1 (д 0) оснащающего Н-распределения гиперплоскостных элементов.

При этом ось [ К д ] совпадает с осью Кенигса.

1 2 3

4. Найдем условия совпадения связностей с, с, с . Из (15) непосредственно

12

получаем инвариантные аналитические условия совпадения связностей с и с 12 пространств Рп,£ и Рп,£:

1 2

с = с » (Ч* = 0(а),апТк = 0(Ь)). (20)

1 2

В силу теоремы 2 условие (20а) означает, что пространства Рп, £ и Рп,£ двойственны. Для голономного Н(Ь)-распределения или взаимного Н(Ь)-распределения с полем симметрического тензора в силу (16), (17) получим

Н11 - П11

Условие (20Ь) означает, что соприкасающиеся гиперквадрики поля £пх'х] + Э^хРхч + Э^ха х Р + 2£ х!хп + 2Лпраха хр + 2Эрхрхп + 2Эаха хп +

+ £пхпхп - 2х0хп (21)

имеют соприкосновение 3-го порядка с Ь-распределением. Справедливы следующие утверждения:

Теорема 5. 1) Для регулярного ¿-распределения с полем симметричного тен-

1 2

зора , оснащенного в смысле Нордена-Картана, связности а и а про-1 2

странств Рп,£ и Рп,£ совпадают тогда и только тогда, когда выполнены условия (20).

2) Для голономного ¿-распределения или взаимного Н(Ь)-распределения с по-

1 2

лем симметричного тензора связности а и а совпадают тогда и только

12

тогда, когда пространства Рп,£ и Рп,£ двойственны и соприкасающиеся гиперквадрики поля (21) имеют соприкосновение 3-го порядка с ¿-распределением. Из (16) непосредственно вытекает

13 13

Теорема 6. Связности а и а пространств Рп,£ и Рп,£ совпадают тогда и

только тогда, когда

ОпА - 0(а),^к - 0(Ь), (22)

ёПд - 0(а),НЦк - 0(Ь). (23)

что равносильно условиям

При этом ось [ М А - К А + О А А 0] оснащения Картана ¿-распределения задается функциями

1 £ + 2 О А - 1 £ За £п + ^ ^ VI + (24)

Действительно, условия (23 а) получены из (22а) и (13), а охваты (24) функций О А находятся из (14) и (23 а).

5. Пусть для голономного Ь-распределения оснащающая плоскость Сп/1 Картана неподвижна. В этом случае согласно теореме 1 выполняются равенства (8), (9) и, кроме того, плоскость является плоскостью Кенигса нормали

. i ij { VП }, а пространство Pn,. является плоским, т.е. aIpq = 0. Из (12) и (8) получим

С = = 0. Учитывая (16), убеждаемся, что компоненты тензоров кручения

2 k i k 2 i { a0pq } и { a0pq } пространств Pn,. и Pn,. связаны такими соотношениями:

2 k ik 2k ik 2 k ik a 0ij = a 0ij - rri;1, a 0ab = a 0ab, a 0iA = a 0ía - TriA1,

L J (25)

2k ik 2k ik , V ^

rk . т^к . T^k

a0An = a0An-I .[A Vnj» a0in = a0in — I .[iVn] — 1 [inj •

i j

Из соотношений (25) в силу (11), (12), ГА = ^ = 0, a Ipq = 0 получим

2 k 2

a 0pq = 0, т.е. пространство Pn,. имеет нулевое кручение и является двойствен-

i

ным пространству Pn,..

Следовательно, имеет место

Теорема 7. Оснащение голономного L-распределения в смысле Нордена-

Картана с неподвижной плоскостью Cn_t_x ( . > 2) индуцирует пространство

2 i Pn,. с нулевым кручением, двойственное пространству Pn,..

Библиографический список

1. Волкова С.Ю. Н (Л, 1_) -распределения проективного пространства // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1991. №22. С.23-25.

2. Волкова С.Ю. Инвариантные подпространства, ассоциированные с Н (Л, 1_) -распределением // Там же. 1992. №23. С.15-23.

3. Столяров А.В. Двойственная теория оснащенных многообразий. Чебоксары, 1992. 290 с.

4. Лаптев Г.Ф., Остиану Н.М. Распределения т-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ. М., 1971. Т.3. С.49-94.

5. Остиану Н.М., Рыжков В.В., Швейкин П.И. Очерк научных исследований Германа Федоровича Лаптева // Там же. 1973. Т.4. С.7-70.

6. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1979. Т.9. 246 с.

7. Столяров А.В. Дифференциальная геометрия полос // Там же. 1978. Т.10. С.25-

54.

S.Yr. V o l k o v a

DUAL PROJECTIVE CONNECTIONS

OF THE S-DISTRIBUTION

Three projective connections of the base distribution of S-distribution in the projective space are constructed . Scopes of curvature-torsion tensors for there connection are obtained. Three connections coinsidence conditions and conditions of duality of projective connection corresponding space are found. It is shown, that equipment of holonomic L-distribution in Norden-Cartan sense unduces second projective connection with zero torsion space dual to the first one.