О движении по горизонтальной плоскости тела, состоящего из двух симметричных пластинок Текст научной статьи по специальности «Физика»

раБх ( 3а(Б) \ (д2-тл 2 2

— новая постановка, учтены все три слагаемых в правой части (5).

Таким образом, из представленных вычислений видно, что критическая скорость флаттера в новой постановке меньше, чем в случае поршневой теории, при этом различия составляют около 40%. Значит, при больших скоростях использование поршневой теории сильно завышает результаты. Также установлено, что наибольший вклад в новой постановке дает последнее слагаемое, имеющее смысл усилия в срединной плоскости. Существенно, что в настоящей работе показано качественное влияние новых слагаемых.

В связи с приближенностью примененных методов расчетов количественная значимость слагаемых требует дополнительного изучения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Новичков Ю.Н. Флаттер пластин и оболочек // Механика деформируемого твердого тела / Итоги науки и техники. М.: ВИНИТИ, 1978. Т. И. 67-122.

2. Александров В.М., Гришин С.А. Динамика конической оболочки при внутреннем сверхзвуковом потоке газа // Прикл. матем. и механ. 1994. 58, № 4. 123-132.

3. Диткин В.В., Орлов Б.А., Пшеничное Г.И., Сергиенко A.A. О флаттере конических оболочек // Численные методы в механике деформируемого тела. М., 1987. 3-14.

4. Диткин В.В., Орлов Б.А., Пшеничное Г.И. Численное исследование флаттера конических оболочек // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 1993. № 1. 185-189.

5. Кийко И.А. Постановка задачи об аэроупругих колебаниях конической оболочки малого раствора, внутри которой со сверхзвуковой скоростью протекает газ // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2004. № 3. 58-61.

6. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Флаттер пластин и оболочек. М.: Наука, 2006.

7. Черный Г.Г. Течение газа с большой сверхзвуковой скоростью. М.: Наука, 1968.

8. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978.

Поступила в редакцию 16.11.2011 После доработки 05.12.2013

УДК 531.384

О ДВИЖЕНИИ ПО ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ ТЕЛА, СОСТОЯЩЕГО ИЗ ДВУХ СИММЕТРИЧНЫХ ПЛАСТИНОК

М. О. Ицкович1, А. С. Кулешов2

Рассматривается задача о движении по неподвижной горизонтальной плоскости твердого тела, состоящего из двух соединенных между собой одинаковых симметричных пластинок. Пластинки соединены перпендикулярно друг к другу так, что их оси симметрии образуют единую ось, являющуюся осью симметрии полученного тела. В работе найдены все возможные положения равновесия тела на плоскости и получены условия их устойчивости. Рассмотрен частный случай, когда движущееся тело состоит из двух одинаковых эллиптических пластинок.

Ключевые слова: тело, состоящее из двух пластинок; качение; кинематика; положение равновесия; устойчивость.

The problem of motion of a rigid body, consisting of two equal symmetric plates whose symmetry planes are at a right angle, on a horizontal plane is considered. All equilibria of the

1 Ицкович Михаил Олегович — асп. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: mishaitskovichQgmail .com.

2Кулешов Александр Сергеевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kuleshovQmech.math.msu.su.

body on the plano aro found and thoir stability analysis is performed. The particular case of motion of the rigid body consisting of two equal elliptic plates is studied in details.

Key words: body consisting of two plates, rolling motion, kinematics, equilibrium, stability-analysis.

Введение. Пусть но неподвижной горизонтальной плоскости движется без проскальзывания твердое тело, состоящее из двух одинаковых симметричных пластинок, соединенных перпендикулярно друг к другу так, что оси симметрии пластинок образуют единую ось, являющуюся осью симметрии тела. Двигаясь но горизонтальной плоскости, тело в каждый момент времени касается ее двумя точками (рис. 1).

Наиболее известными телами, построенными по этому принципу, являются олоид [1 3] и тело (Two-Circle-Roller), описанное в работе [4]. Олоид (рис. 1, а) состоит из двух одинаковых дисков радиуса R, соединенных перпендикулярно друг к другу так, что окружность одного диска проходит через центр другого и наоборот. Тело, описанное в работе [4|, имеет схожий с олоидом вид оно состоит из двух одинаковых взаимно перпендикулярных дисков, но расстояние между их центрами равно не IL как в случае оло-нда, a RyJ2 (рис. 1,6). Представляет интерес изучение движения и других тел подобного типа.

Теория, предложенная в работах [2, 3], позволяет исследовать движение по неподвижной горизонтальной плоскости тела, состоящего из двух одинаковых симметричных пластинок произвольной формы. С помощью этой теории в работе [5] изучено движение но горизонтальной плоскости твердого тела, представляющего собой две одинаковые эллиптические пластинки, соединенные перпендикулярно друг к другу вдоль большей полуоси.

В настоящей работе предполагается, что форма симметричных пластинок, составляющих твердое тело, произвольна. Найдены все возможные положения равновесия рассматриваемого твердого тела на горизонтальной плоскости и получены условия их устойчивости.

Постановка задачи. Пусть твердое тело, составленное из двух симметричных пластинок, соединенных перпендикулярно друг к другу, движется по неподвижной горизонтальной плоскости. Пусть расстояние между центрами масс Ci и C2 пластинок равно 2Д. Поскольку пластинки являются совершенно одинаковыми, центр масс G тела лежит посередине отрезка C1C2: GCi = GC2 = Д.

Следуя работам [2, 3, 5], для описания движения тела введем подвижную систему координат Gx 1X2X3: ось Gx2 направим по оси симметрии тела, ось Gx3 — перпендикулярно плоскости первой пластинки, а ось Gxi — перпендикулярно плоскости второй пластинки (рис. 2). Обозначим единичные векторы системы координат Gxix2x3 через ei, e^ ез.

Пусть A и B — точки касания тела с горизонтальной плоскостью. Положение точки A будем определять углом в между прямой GCi и прямой CiA, направленной из центра масс Ci первой пластинки в A

висимость расстояния Ci A от в: CiA = г(в). Аналогично положени е точки B на второй пластинке будем определять углом ф между прямой GC2 и прям ой C2B, направленной из центра масс C2 второй пластинки в точку касания B (рис. 2). Форма второй пластинки определяется соотношением C2B = г(ф). Поскольку мы рассматриваем две совершенно одинаковые пластинки, будем считать, что их форма задается одной и той же функцией r (•), но зависящей от разных аргументов: CiA = г(в), C2B = г(ф). Тогда радиус-вектор точки A относительно системы координат Gxix2x3 будет иметь вид

GA = ri = r(e)sineei - (Д + r(e)cosв) е2,

B

GB = r2 = (Д + г(ф) cos ф)е2 — г(ф) sin ф е3.

Так как рассматриваемая механическая система является системой с одной степенью свободы, то

вф

Рис. 1. Олоид и тело (Two-Circle-Roller), описанное в работе [4]

движении рассматриваемого твердого тела по плоскости три вектора r2 — r 1, (r 1/0 и (r2)'; все время принадлежат опорной плоскости. Соответствующее условие имеет вид

< r2 — r1, (r1}'0, (r2)'ф > = 0,

где через < ■ > обозначено смешанное произведение этих векторов. Из этого условия находится соотношение, связывающее в и ф:

(т'ф (ф) sin ф + т (ф) cos ф) Ф (в) +

+ (т0 (в) sin в + т (в) cos в) Ф(ф)=0, (1)

где Ф (ж) = т2 (ж) + Ат (x) cos x + АтХ (x) sin x.

Анализируя соотношение (1), можно доказать следующее утверждение.

вф

Доказательство. Действительно, если положить ф = в = 0, то соотношение (1), связывающее эти переменные, примет вид т2 (0) (А + т (0)) = 0. С учетом того, что т (в) > 0 для всех рассматриваемых вв условие (1) не может быть выполнено, если одновременно ф = в = 0. Утверждение доказано. □

В дальнейшем будем считать, что из соотношения (1) определяется зависимость ф = ф (в).

Потенциальная энергия тела. Равновесия тела на плоскости. Запишем уравнение опорной плоскости в системе координат 0x1x2x3. Пусть X, Y, Z — координаты произвольной точки этой плоскости относительно системы координат 0x1x2x3. Уравнение плоскости получим из условия, что точки A, B, а также касательный вектор к границе первой пластинки, построенный в точке A, в течение всего времени движения принадлежат данной плоскости. Это условие можно записать следующим образом:

Рис. 2. Тело, составленное из двух симметричных пластинок

X — т (в) sin в

Y + А + т (в) cos в

Z

—т (в) sin в т (в) cos в + т (ф) cos ф + 2А —т (ф) sin ф т (в) cos в + т0 (в) sin в т (в) sin в — т0 (в) cos в 0

0.

Окончательно уравнение опорной плоскости относительно системы координат 0^1X2X3 запишется в

виде

(т0 (в) cos в — т (в) sin в) X + (т0 (в) sin в + т (в) cos в) Y —

т; (ф) cos ф — т (ф) sin ф ) Ф (в)

Ф(ф)

Z + ... = 0.

Свободный член в этом уравнении не важен для дальнейших рассуждений, а потому не выписан. Единичный вектор

n

Ф(ф)

т2 (в)+ (т0 (в))2) Ф2 (ф)+ (V; ^)cos ф — т ^)sin ф) Ф2 (в)

(т0 (в) cos в — т (в) sin в) e1 + (т0 (в) sin в + т (в) cos в) e2 —

т; (ф) cos ф — т (ф) sin ф ) Ф (в)

Ф(ф)

e3

является вектором нормали к опорной плоскости. Имея явные выражения для вектора ОЛ = Г1 и для вектора нормали и, легко получить формулу для потенциальной энергии тела, состоящего из двух сим-метри чных пластинок:

V = Мд^с = -М# (ОЛ ■ и).

Здесь М — масса движущегося тела, д — ускорение свободного падения. В явном виде потенциальная энергия тела записывается следующим образом:

МдФ(9)Ф(гР)

r2 (в) + (r¿ (в))2) Ф2 (ф) + (r^ (ф) cos ф — r (ф) sin ф) 2 Ф2 (в)

Критические точки потенциальной энергии соответствуют положениям равновесия тела на плоскости. Они определяются уравнением

(r (в) r'e (в) + Дг^ (в) cos в — Дг (в) sin в) Ф (ф) r (ф) sin ф +

Ф (в) r (в) r ^)sin в sin ф ( . . . , . )

+ w w v2 7-- (г^ (ф) sin ф + г (ф) cos ф) -

— (r (ф) r^ (ф) + Дг^ (ф) cos ф — Дг (ф) sin ф) Ф (в) r (в) sin в —

Ф (ф) r (в) r (ф) sin в sin ф , , , --v 7 ^-- (r¿ (в) sin в + г (в) cos 6») = 0. (2)

Анализируя соотношение (2), можно сделать следующие выводы о положениях равновесия тела на плоскости.

Утверждение 2. При, выполнении условия

Ф(в) (г'в (в) sin в + r (в) cos в) =0 (3)

у твердого тела существует положение равновесия ф = в.

Доказательство. Непосредственной проверкой можно убедиться, что условие (2) выполняется при в = ф. Если подставить в соотношение (1) значение ф = в, то в результате соотношение (1) будет иметь

(3) ф = в в

удовлетворяют условию (3). Утверждение доказано. □

в=0

в = 0 является точкой экстремума функции r (в).

Доказательство. Подстановка значения в = 0 в соотношение (2) приводит последнее к виду

r'e (в) |в=0 (Д + r (0)) (Ф (ф) r (ф) sin ф) |в=0 = 0.

В силу доказанного ранее утверждения 1 выражение Ф (ф) r (ф) sin ф не может обращаться в нуль при в = 0 в = 0

плоскости, должно выполняться условие r¿ (в) |я=о = 0. Утверждение доказано. □

r (в) в = 0

четной функцией. С учетом этих предположений можно доказать следующее утверждение.

Утверждение 4. Если r (в) — четная функция и в удовлетворяет условию (3), то у твердого тела наряду с положением, равновесия ф = в существует положение равновесия ф = —в.

Доказательство. Если r (в) является четной функцией, то г'в (в) — нечетная функ ция, a r¿ (в) sin в — четная функция. Следовательно, все функции, входящие в соотношение (1), являются четными функциями и соотношение (1) не меняет своего вида при замене в на —в. Уровне (2) при замене в на —в также

□

Устойчивость положений равновесия. Устойчивость найденных положений равновесия твердого тела, составленного из двух симметричных пластинок, на опорной плоскости определяется знаком второй производной потенциальной энергии V, вычисленной в соответствующем положении равновесия. Непосредственное вычисление второй производной потенциальной энергии V в положении равновесия ф = в приводит к следующему результату.

ф=в

2r (в) sin в — (r2 (в) sin2 в + 2 (Д + r (в) cos в)2) K > 0, (4)

где K — кривизна, ограничивающей пласт,инку кривой, вычисленная в соответствующем положении равновесия.

На основании условия (4) можно сделать вывод, что положение равновесия ф = в устойчиво при достаточно малых значениях А, т.е. тогда, когда центры масс пластинок, составляющих твердое тело, расположены достаточно близко друг к другу.

Найдем теперь условие устойчивости положения равновесия в = 0. Заметим, что при в = 0 мы имеем ф = фо, и значение фо определяется из уравнения

r2 (фо) + (r (0) + 2А) (r; (фо) sin фо + r (фо) cos фо) = 0.

Из этого уравнения можно выразить величину r; (фо) и воспользоваться ею при вычислении второй производной потенциальной энергии V в случае в = 0. В результате получим следующее утверждение.

в=0

2А2 + (r (0) + 3r (фо) cos фо - Kr2 (фо) sin2 фо) А + + r (фо) (r (0) cos фо + r (фо) - Kr (0) r (фо) sin2 фо) > 0, (5)

r (0) - r'' (0)

где К =-Т-—-- — кривизна, ограничивающей пластинку кривой, вычисленная при 9 = 0.

r2 (0)

(5) А А2

чем А, то можно сделать вывод, что положение равновесия в = 0 будет устойчивым для достаточно больших значений А. Иными словами, положение равновесия в = 0 устойчиво, если центры масс пластинок, составляющих твердое тело, расположены достаточно далеко друг от друга.

Движение тела, состоящего из двух эллиптических пластинок. Проиллюстрируем полученные выше общие выводы о существовании и устойчивости положений равновесия твердого тела, состоящего из двух симметричных пластинок, на примере тела, состоящего из двух одинаковых эллиптических пластинок с полуосями a и b (a > b). Пластинки соединены перпендикулярно друг к другу вдоль большей оси симметрии так, что расстояние между их центрами Ci и C2 равно 2А, А ^ a. Введем систему координат GX1X2X3, а положение тела будем описывать углами в и ф (рис. 2). Тогда радиус-вектор точки A и радиус-вектор точки B записываются соответственно следующим образом:

ab sin в ab cos в

GA = п = ei - А + е2,

V a2 sin2 в + b2 cos2 в \ д/a2 sin2 в + b2 cos2 в J

ab cos ф ab sin ф

GB = r2 = A + y e2 - y e3.

у д/a2 sin2 ф + b2 cos2 ф J д/a2 sin2 ф + b2 cos2 ф

Иными словами, функция r (ж), задающая форму пластинки, имеет в данном случае вид

ab

г(х) = . -.

V a2 sin2 x + b2 cos2 ж

Уравнение (1), связывающее переменные в и ф, в данном случае можно записать следующим образом:

2A&cos всоиф + a cos a2 sin2 ф + b2 cos2 ф + асоифл/а2 sin2 в + b2 cos2 0 = 0, (6)

(2)

(2a2 — b2 — 2A2) sin 0 sin ф ^cos фл/a2 sin2 в + b2 cos2 0 — cos 0-^a2 sin2 ф + b2 cos2 ф^ = 0. (7)

Из уравнения (7) следует, что в случае 2a2 — b2 — 2А2 = 0 тело будет находиться в безразличном равновесии. Потенциальная энергия тела будет постоянной во все время движения. Также из условия (7)

в=0

ется из условия

cos фл/а2 sin2 в + b2 cos2 в = cos 9\Jа2 sin2 ф + b2 cos2 ф.

Рассматривая это условие совместно с условием (6), убеждаемся, что оба этих условия могут быть одновременно выполнены только при в = ±ф = п/2.

Данное положение равновесия тела, состоящего из двух эллиптических пластинок, будет устойчиво при выполнении условия (4) Если подставить в условие (4) явное выражение для r (в) и выражение для

3 3

кривизны К = (ab (a2 sin2 в + b2 cos2 sin2 в + б4 cos2 в)2), a затем найти значение полученного

выражения при в = тг/2, то в итоге будем иметь ^ (2а2 — б2 — 2А2) > 0.

Таким образом, положение равновесия в = ±ф = п/2 тела, состоящего из двух эллиптических пластинок, будет устойчиво при выполнении неравенства 2a2 — b2 — 2A2 > О и неустойчиво при 2a2 — b2 — 2A2 < О. Следовательно, устойчивость данного положения равновесия возможна, когда центры масс пластинок расположены достаточно близко друг к другу. Ранее аналогичный вывод был получен в работе [5].

Теперь исследуем устойчивость положения равновесия в = О. Согласно условию (6), при в = О угол ф принимает значение

a2

cos ф = cos фо =----=.

^ ^ Va4 + 4a62A + 462А2

Подставляя значения в = Ои ф = фо в услов ие (5), приведем последнее к виду

4A (a + A) (b2 + 2A2 — 2a2) ---—-^-- > 0.

(a + 2A)2

Это означает, что положение равновесия в = О Ф = Фо тела, состоящего из двух эллиптических пластинок, будет устойчиво при выполнении неравенства b2 + 2A2 — 2a2 > О и неустойчиво, если b2 + 2A2 — 2a2 < О. Следовательно, устойчивость данного положения равновесия возможна, когда центры масс пластинок, составляющих твердое тело, расположены достаточно далеко друг от друга.

Таким образом, на основании полученных в работе общих результатов об устойчивости положений равновесия твердого тела, составленного из двух симметричных пластинок, полностью исследован вопрос об устойчивости положений равновесия тела, составленного из двух эллиптических пластинок.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 14-01-00380).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Dirnbök H., Stachel H. The development of the oloid //J. Geom. Graph. 1997. 1. 105—118.

2. Кулешов A.C., Хаббард M., Петерсон Д.Л., Джеде Дж. О движении олоида по горизонтальной плоскости // Нелинейная динамика. 2011. 7. 825—835.

3. Ицкович М.О., Кулешов A.C. О движении твердого тела, состоящего из двух дисков, по горизонтальной плоскости // Современные проблемы математики и механики. К 190-летию П.Л. Чебышёва: Сб. статей / Под ред. А.Н. Ширяева, A.B. Лебедева, В.М. Фёдорова, A.C. Кулешова. М.: Изд-во МГУ, 2011. 140—150.

4. Stewart А. Т. Two circle roller // Amer. J. Phys. 1966. 34. 166^167.

5. Кулешов A.C., Ицкович M.О. О движении по горизонтальной плоскости тела, состоящего из двух эллиптических пластинок // Вести. СПб. ун-та. Сер. 1. Математика, механика, астрономия. 2012. Вып. 3. 87^92.

Поступила в редакцию 20.11.2013

УДК 511

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ОСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ПЕРЕДАЧИ ПОРОВОГО ДАВЛЕНИЯ

C.B. Шешенин1, Н. Б. Артамонова2, А. Ж. Мукатова3

Задачи подземной гидромеханики, в которых рассматривается движение флюидов в порах и трещинах горных пород, представляют интерес в связи с эксплуатацией нефтяных месторождений, а также в случае длительных откачек жидкости с целью водоснабжения

1 Шешенин Сергей Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: sergey.shesheninQmail.ru.

2 Артамонова Нина Брониславовна — канд. геол.-минерал. наук, ст. науч. сотр. каф. инженерной и экологической геологии геол. ф-та МГУ, e-mail: artamonovanb®maïl.ru.

3 Мукатова Алтынай Жамаладдиновна — студ. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:

altïnay. gm® gmaü .com.