CC BY
38
Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 191-192
УДК 531.36
О ДВИЖЕНИИ ОЛОИДА ПО ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ
© 2011 г. А. С. Кулешов
Московский госуниверситет им. М.В. Ломоносова kuleshov@mech.math.msu.su
Поступила в редакцию 16.05.2011
Рассматривается задача о движении по неподвижной горизонтальной плоскости твердого тела, состоящего из двух дисков, соединенных перпендикулярно друг с другом так, что окружность первого диска проходит через центр второго и наоборот. Такое тело известно в западной литературе под названием олоид. Получены уравнения траекторий точек касания олоида с плоскостью.
Ключевые слова: олоид, качение, система с одной степенью свободы.
Основные системы координат
Рассмотрим движение олоида по горизонтальной плоскости. Олоид представляет собой твердое тело, состоящее из двух взаимно перпендикулярных дисков, причем окружность первого диска проходит через центр второго и наоборот. Впервые олоид был упомянут в работах немецкого геометра Пауля Шаца [1]. Необычные геометрические свойства олоида исследовались в работе [2]. На основе олоида сконструированы специальные машины для перемешивания различных жидкостей [3]. При движении по горизонтальной плоскости олоид демонстрирует необычное поведение, нуждающееся в исследовании.
Для описания движения олоида введем две системы координат: неподвижную ОХУ2, оси ОХ и ОУ которой лежат в плоскости движения, а ось OZ перпендикулярна ей, и подвижную Сх1х2х3 , жестко связанную с олоидом. Начало системы Сх1х2х3 совпадает с центром масс олоида, ось Сх2 проходит через центры дисков, составляющих олоид, ось Сх3 перпендикулярна плоскости первого диска, а ось Сх1 перпендикулярна плоскости второго диска. Обозначим через ф угол между осями Сх3 и OZ (рис. 1).
х3 В (II) Я
(I) С1 С С2 х2
0 я
А х 1
Пусть А и В — точки касания олоида с горизонтальной плоскостью. Положение тела на плоскости будем определять углом 0 между отрицательным направлением оси Сх2 и направлением из центра С1 первой окружности в точку А. Заметим, что угол 0 связан простейшей формулой с натуральным параметром д — длиной дуги окружности диска: д = Я0.
Введем дополнительно два единичных вектора: Т1 , касательный к плоскости первой окружности в точке А, и V! , перпендикулярный Т1 и равный у1 = [еz хт1]. Заметим, что система Ат1У1еZ является репером Френе для кривой — траектории точки А на опорной плоскости.
Траектория точек касания
Теперь мы можем вычислить координаты то -чек А и В в системе координат Сх1х2х3 как функции угла 0:
А
Я
\
Я sin 0,-----------------Я cos 0,0
V 2 )
В
Я Яcos0 ± ^х/Г+2еО10
о,——---------, ±------------
2 1 + cos0 1 + cos0
Из условия отсутствия проскальзывания в точках А и В следует, что угловая скорость всегда коллинеарна вектору АВ, то есть:
[© х АВ] = 0 или ю = ю1т1 + ю2у1.
С другой стороны, используя теорему сложения угловых скоростей [4] и некоторые идеи из дифференциальной геометрии, можно получить другое выражение для угловой скорости олоида:
ю =
dф
Sin ф
cos ф^|
Рис. 1
dt Я 1 V Я ) А
Здесь К — кривизна траектории точки А на опор-
е
ной плоскости. Сравнивая два выражения для угловой скорости, находим
K = cos ф/R. (1)
Уравнение (1) позволяет найти K как функцию угла В:
л/1 + 2cos e K =------------.
2R cose/2
В дальнейшем можно получить выражения для координат XA , YA точки A в системе координат OXYZ по формулам:
dXA/d e = R cos a, dYA/d e= R sin a, da/ d 0 = KR.
В явном виде для XA , Ya имеем:
Xa =
2RV3
9
+ arcsin
sin(e/2) V3cos( e/2)
arcsin
Л
2
sin(e /2)
+
л/3 ,
2 sin (e/2)^1 + 2 cos e
/
Xb =
2R^
9
arcsin\ -J=sin(e/2) | +
+ arcsin
( sin (e/2) Л V3cos(e/2)
sin(e/2) cos2(e/2)
д/1 + 2cos e
^ Дл/3 44Лл/з . 2^V3, (02)
7В=—з—+—9—sin (0/2)-------9—lncos(0/2),
- 2п/3 < 0 < 2п/3.
На рис. 2 изображены траектории точек A (кривая (I)) и (кривая (II)).
Ya = 4RV3sin2(e/2) - 2R^3lncos(e/2),
- 2п/3 <e< 2п/3.
Аналогично для абсолютных координат точки B получаем
Рис. 2
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 10-01-00292.
Список литературы
1. Schatz P. // Deutsches Reichspatent Nr. 589 452 in der allgemeinen Getriebeklasse.
2. Dirnbok H., Stachel H. The Development of the oloid // J. Geometry. Graphics. 1997. V. 1. P. 105-118.
3. Bioengineering AG. Sagenrainstr. 7 Wald 8636 Ch. Switzerland.
4. Болотин С.В. и др. Теоретическая механика. М.: Академия, 2010. 430 с.
MOTION OF THE OLOID ON THE HORIZONTAL PLANE
A.S. Kuleshov
We present a kinematic analysis and dynamic simulation of the toy known as the oloid. The oloid is defined by the convex hull of two equal radius disks whose symmetry planes are at right angles with the distance between their centers equal to their radius. The no-slip constraints of the oloid are integrable, hence the system is essentially holonomic. In this paper we present analytic expressions for the trajectories of the ground contact points, basic dynamic analysis, and observations on the unique behavior of this system.
Keywords: oloid, rolling motion, one degree-of-freedom system.
