CC BY
12Данное положение равновесия тела, состоящего из двух эллиптических пластинок, будет устойчиво при выполнении условия (4) Если подставить в условие (4) явное выражение для r (в) и выражение для
3 3
кривизны К = (ab (a2 sin2 в + b2 cos2 sin2 в + б4 cos2 в)2), a затем найти значение полученного
выражения при в = тг/2, то в итоге будем иметь ^ (2а2 — б2 — 2А2) > 0.
Таким образом, положение равновесия в = ±ф = п/2 тела, состоящего из двух эллиптических пласти-
2а2 - b2 - 2A2 > G 2а2 - b2 - 2A2 < G
Следовательно, устойчивость данного положения равновесия возможна, когда центры масс пластинок расположены достаточно близко друг к другу. Ранее аналогичный вывод был получен в работе [5].
Теперь исследуем устойчивость положения равновесия в = G. Согласно условию (6), при в = G угол ф принимает значение
а2
cos ф = cos фо =----=.
^ ^ Va4 + 4a62A + 462А2
Подставляя значения в = G и ф = фо в услов ие (5), приведем последнее к виду
4A (а + A) ib2 + 2A2 - 2а2) ---—-^-- > 0.
(а + 2A)2
Это означает, что положение равновесия в = G Ф = Фо тела, состоящего из двух эллиптических пластинок, будет устойчиво при выполнении неравенства b2 + 2A2 — 2а2 > G и неустойчиво, если b2 + 2A2 — 2а2 < G. Следовательно, устойчивость данного положения равновесия возможна, когда центры масс пластинок, составляющих твердое тело, расположены достаточно далеко друг от друга.
Таким образом, на основании полученных в работе общих результатов об устойчивости положений равновесия твердого тела, составленного из двух симметричных пластинок, полностью исследован вопрос об устойчивости положений равновесия тела, составленного из двух эллиптических пластинок.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 14-01-00380).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Dirnbök H., Stachel H. The development of the oloid //J. Geom. Graph. 1997. 1. 105—118.
2. Кулешов A.C., Хаббард M., Петперсон Д.Л., Джеде Дж. О движении олоида по горизонтальной плоскости // Нелинейная динамика. 2011. 7. 825—835.
3. Ицкович М.О., Кулешов A.C. О движении твердого тела, состоящего из двух дисков, по горизонтальной плоскости // Современные проблемы математики и механики. К 190-летию П.Л. Чебышёва: Сб. статей / Под ред. А.Н. Ширяева, A.B. Лебедева, В.М. Фёдорова, A.C. Кулешова. М.: Изд-во МГУ, 2011. 140—150.
4. Stewart А. Т. Two circle roller // Amer. J. Phys. 1966. 34. 166^167.
5. Кулешов A.C., Ицкович M.О. О движении по горизонтальной плоскости тела, состоящего из двух эллиптических пластинок // Вести. СПб. ун-та. Сер. 1. Математика, механика, астрономия. 2012. Вып. 3. 87^92.
Поступила в редакцию 20.11.2013
УДК 511
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ОСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ПЕРЕДАЧИ ПОРОВОГО ДАВЛЕНИЯ
C.B. Шешенин1, Н. Б. Артамонова2, А. Ж. Мукатова3
Задачи подземной гидромеханики, в которых рассматривается движение флюидов в порах и трещинах горных пород, представляют интерес в связи с эксплуатацией нефтяных месторождений, а также в случае длительных откачек жидкости с целью водоснабжения
1 Шешенин Сергей Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: sergey.shesheninQmail.ru.
2 Артамонова Нина Брониславовна — канд. геол.-минерал. наук, ст. науч. сотр. каф. инженерной и экологической геологии геол. ф-та МГУ, e-mail: artamonovanb®maïl.ru.
3 Мукатова Алтынай Жамаладдиновна — студ. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:
altïnay. gmQgmaïl .com.
населения или осушения территорий перед строительством. Одним из параметров, определяющих напряженно-деформированное состояние флюидонасыщенных массивов пород, является коэффициент передачи порового давления на скелет породы, показывающий, какая часть порового давления передается на породу. В работе развит теоретический способ определения этого коэффициента методом осреднения. Метод продемонстрирован с использованием конечно-элементной реализации. Проанализирована зависимость этого параметра от пористости грунта, формы пор, упругих свойств породы.
Ключевые слова: коэффициент передачи порового давления, пористый грунт, эффективные напряжения.
Problems of underground fluid mechanics associated with the movement of fluids in the pores and cracks of rocks are of interest due to the exploitation of oil fields as well as the long-term pumping of liquid to provide the urban population with water or because of drainage of territories prior to construction. One of the parameters that affects the stress-strain state of fluid-saturated rock massifs is the pore pressure transfer coefficient that determines a portion of the pore pressure that is transferred on the rock. In this paper a theoretical method for determining this coefficient is developed using the averaging method. This technique is demonstrated by means of a finite-element implementation. The transfer coefficient dependence on the soil porosity, pore shape, elastic properties of a rock is analyzed.
Key words: pore pressure transfer coefficient, porous soil, effective stress.
Коэффициент передачи порового давления на скелет породы, обозначаемый через а, был введен в работе [1]. Он показывает, какую часть порового давления необходимо учесть в полных напряжениях:
где aj — полные напряжения; afj — эффективные (средние) напряжения в твердой фазе грунта, передающиеся по контактам между зернами породы; p — давление жидкости в порах. В [1] теоретически обосновано, что
а = 1_ А
ßeff'
где ßs — сжимаемость материала скелета грунта, ßeff — эффективная сжимаемость грунта, и предложен способ определения а, использующий экспериментальные данные об относительном изменении объема
образца породы при различных соотношениях полного гидростатического <тп = Щ- и порового р давлений.
а
исходя из полных напряжений. Последние важны, поскольку изменение объема породы, деформация грунта, его разрушение определяются величиной эффективных напряжений.
а
напряжений и свойств грунта [2]. Например, для слабосцементированных песчаников или несцементированных песков в условиях относительно небольших давлении а ^ 1, так как коэффициент сжимаемости ßß
чина пластового давления оказывает существенное влияние на деформацию породы. Для низкопористых, сильно уплотненных пород с большим количеством закрытых пор а ~ 0, поскольку для таких пород коэффициент сжимаемости скелета соизмерим с коэффициентом сжимаемости материала твердой фазы. Следовательно, при больших напряжениях в скелете породы изменение пластового давления не приведет к возникновению деформаций в породе.
а
нагрузкой, коэффициент передачи порового давления в том или ином виде используют многие исследо-
а
авторы предлагают различные способы его определения, как теоретические, так и экспериментальные.
Например, в уравнение равновесия модели М. Био [3] входят коэффициенты и определяющие соответственно изменение полного объема грунта (как эффективного материала) и объема пор (равного объему воды при полном насыщении породы) при изменении давления жидкости. Для интерпретации констант и Био предлагает рассмотреть образец породы, заключенный в тонкую резиновую оболочку. Напряжения, приложенные к грунту, равны нулю. Если через тонкую трубку, проходящую через стенку оболочки, сдренировать воду из грунта, приложив отрицательное давление (—p) к трубке, то относительное изменение объема воды в и относительное изменение полного объема грунта е примут вид
п eff с
= aij - apSij,
(1)
в
р_ Я'
Интересно заметить, что коэффициент а, предложенный И. Феттом [1|, связан с коэффициентами -д и введенными Био, следующим соотношением:
?г/3/ + (а - п)Р8 = ^ -
где п — эффективная пористость грунта, вf — сжимаемость жидкости. Также важно подчеркнуть, что связанная система дифференциальных уравнений, описывающая деформирование водонаеыщенно-го грунта, решается наиболее просто при а = 1 [4, 5]. При а = 0 связанность системы исчезает. Поэтому полезно оценить, насколько значения а близки к единице в зависимости от параметров водонасыщенного грунта.
В настоящей работе предложен способ определения коэффициента передачи норового давления на основе метода осреднения [6]. Для краткости рассмотрим задачу деформирования пористой среды в результате действия только давления жидкости. В силу линейности силовое воздействие на скелет может быть найдено отдельно. Предполагается, что читатель знаком с терминологией метода осреднения. Предполагаем среду двухфазной, состоящей из каркаса и пор, полностью насыщенных жидкостью. Перемещения в скелете грунта, обусловленные норовым давлением, представим следующим асимптотическим разложением:
иг= > (^...^х); е 1
то
Е-
4=0
М(<г) = 0, д < О,
Ь
где р(х) — осредненное давление жидкости в пористой среде; — быстрые координаты, определенные в представительной области; хг — медленные координаты, определенные для области всего грунта; I —
Ь
кальные функции Мбыстрых координат д-го уровня определены в представительной области, размеры которой в ^ раз меньше всей области, занимаемой грунтом. Проводя формальные выкладки, в первом приближении будем иметь
и
М:.М)1пх) + О(е), А/. = ; = - Мг^)р(х) + 0( 1).
1
г,]
(2)
Подставив выражения (2) в уравнение равновесия
[С]к1(£,)ик,1 ],] = 0,
получим локальные задачи для функций Мг и выражение для среднего напряжения
[Сцы((,)Мк,1(£)]] = 0, (ац) = (ОцЫМк,1 )р.
(3)
Напряжения в (3) это напряжения, возникающие в результате действия норового давления. Сопоставив уравнение (1) с уравнением (3), приходим к выводу, что асимптотический анализ приводит, вообще говоря, к тензору передачи давления аг] = —(Сг]к1Мкц).
Интересно выяснить, в каких случаях данный тензор является шаровым (или близок к шаровому), т.е. а] = аЬ]. Рассмотрим иллюстрирующие примеры. Для простоты предположим, что среда, имеющая периодическую структуру, находится в плоском деформированном состоянии. Для двоякосимметричной поры, изображенной на рис. 1, постановка локальной задачи имеет вид
[Сг]к1Мк,1],] = 0, £ € V;
Сг]ыМк,1 п = -пг, £ € £;п1;;
Мп = Мкпк = 0, ат(М) = С]ЫМк,1 п]т
(4)
вектор в касатель-
к
Рис. 1. Модель ячейки с одной круглой порой для решения локальной задачи
Здесь п — вектор нормали к , а т ном направлении.
Опишем вычисление коэффициентов ац, которые по величине численно равны средним напряжениям (аг]) = (Сг]к1 Мк,1), возникающим в локальной задаче (4). Имеем
{ац) = у J ац йУ = у J ац йУ + у ^ ац дУ., V V Vf
(5)
где V = У3 + V/ — область ячейки периодичности; У3 и V/ — объемы, занимаемые твердой и жидкой фазой соответственно. Сначала вычислим интеграл ац dV, преобразуя его к интегралу по границе. Используя формулу (ау£к),] = ац^£к + £к,з = агк (верную, поскольку а^^ = 0 £к,з = ) получим
У агк dV = J(аij£к)л dV = J ацп^£к dE = J 5»£к dE, = ауп,-, г = 1,2.
Учтем, что Х^ = + EeXt (см. рис. 1). Очевидно, что интеграл по внутренней границе для твердой фазы будет равен такому же интегралу но жидкой фазе, взятому с противоположным знаком. Следовательно, остается вычислить интеграл по внешней границе для твердой фазы. Обозначим Ее^ = Ха + Х&, где Ха — вертикальные, а Еь — горизонтальные границы ячейки. Тогда, учитывая, что п = (0,1), а12 = 0 на Еь и, следовательно, 51 = 0, получим
У 5^2 dE = 0, J 5^1 dE = 0.
Так как на Ха функция 51 четная, а функция £2 нечетная, имеем
/ \
I 5^2 dE = 0, I 5^1 dE = 2
^а ^а
/
= ¿1
51 dХ,
/
где Ха — правая сторона ячейки. Для 52 вычисление проводится аналогично.
Тензор напряжений является шаровым, если у нас симметричная квадратная ячейка. В этом случае для отыскания коэффициента а достаточно вычислить только (ац). Сопоставляя уравнения (3) и (5) и учитывая все дальнейшие выводы, имеем
/V 51£1 dХ 1 г 1Г
{(Гц) = (СпшМк,/} = ^уу-= - / 51 ЙЕ = г ап с!Е.
1112 ¿2 J ¿2 J
Значение интеграла /,р(*) ац dE мы получаем из расчета с помощью метода конечных элементов. Коэффициент а рассчитывается следующим образом:
а = ап = (аи) = (СпыМкД
а
моделей одинаковая пористость (п = 28, 3% и одинаковые упругие свойства матери ала каркаса (V = 0,3). Как видно, наибольшее значение а наблюдается у крестообразной поры (е) и у поры в форме звезды (¡9).
а
а о
□□
Рис. 2. Зависимость коэффициента а от формы поры: а — а = 0,53; б — 0,57; в — 0,61; г — 0,68; д — 0,74; е — 0,82
Зависимость а от пористости п изучадась на примере одной круглой поры (V = 0,3). Получена четкая закономерность (рис. 3, а): коэффициент передачи норового давления монотонно возрастает с увеличением
а
радиуса ОД (пористость .модели 12.6%) и для .модели с 25 круглыми порами радиуса 0.05 (пористость 19,6%). Значения коэффициента а совпали с результатами расчетов для моделей с одной круглой порой (а = 0,29 и 0,41 соответственно).
Проанализирована зависимость коэффициента передачи норового давления от коэффициента Пуассона V для ячеек с одной круглой порой, но с разной пористостью (рис. 3, б) и для сред с одинаковой пористостью (и = 28,3%), но с различной формой поры (рис. 3,в). Видно, что во всех случаях зависимость почти линейная, причем угол наклона графиков не зависит от пористости, но зависит от формы поры: наибольший угол у .модели с круглой порой 1, наименьший — с крестообразной порой 6.
б
а
од
0,2
0,3
Рис. 3. Зависимость коэффициента а от пористости n (а) и от коэффициента Пуассона v в случае одной круглой поры (б): 1 — n = 15,9%, & — 19,36%, 3 — 23,76%, 4 — 28,27% и в случае пор разной формы (в), кривые 1-6
соответствуют а-е на рис. 2
Таким образом, в работе предложен способ вычисления тензора передачи порового давления а^ на основе метода осреднения. В изотропном случае тензор является шаровым. Для демонстрации разработанной методики проведены расчеты с помощью метода конечных элементов. Проанализирована его зависимость от формы пор, пористости, упругих свойств грунта. Результаты расчетов показали, что зна-
а
а
а
а
геологических объектов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Fait I. Compressibility of sandstones at low to moderate pressures // Bull. Amer. Assoc. Petrol. Geol. 1958. 42, N 8. 1924-1957.
2. Добрынин В.M. Физические свойства нефтегазовых коллекторов в глубоких скважинах. М.: Недра, 1965.
3. Biot М.А. General theory of three-dimensional consolidation // J. Appl. Phys. 1941. 12. 155-164.
4. Киселев Ф.Б., Шешенин C.B. Разностная схема для задачи нестационарной фильтрации в слоистых грунтах // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 1996. 3. 129-135.
5. Шешенин C.B., Какушев Э.Р., Артамонова Н.Б. Моделирование нестационарной фильтрации, вызванной разработкой месторождений // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2011. .Xs 5. 66-68.
6. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984.
Поступила в редакцию 27.11.2013
