Применение асимптотического метода осреднения для определения коэффициента расширения водонасыщенной пористой среды при замерзании Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика

УДК 539.9

ПРИМЕНЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО МЕТОДА ОСРЕДНЕНИЯ

ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА РАСШИРЕНИЯ ВОДОНАСЫЩЕННОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЫ ПРИ ЗАМЕРЗАНИИ

С. В. Шешенин1, Б. П. Лазарев2, Н.Б. Артамонова3

В работе предлагается методика вычисления эффективного коэффициента относительного расширения пористой среды при замерзании находящейся в порах жидкости с помощью асимптотического метода осреднения. Для открытых пор коэффициент расширения определяется в виде конечной формулы. Для закрытых пор коэффициент имеет, вообще говоря, тензорный характер и для его вычисления требуется решать так называемые локальные задачи в представительной области. Полученная методика может быть применена для определения эффективного коэффициента расширения при замерзании воды в грунте. Метод продемонстрирован на модельных и реальных геологических структурах.

Ключевые слова: пористая порода, асимптотический метод осреднения, тензор теплового расширения, тензор расширения при замерзании, эффективные модули упругости.

The paper presents an asymptotic method for determining the expansion of a porous medium filled with a liquid during its freezing. A closed-form formula for the expansion coefficient is derived in the case of open pores. For enclosed pores, the coefficient is a second-order tensor in general. Its determination requires to solve the so-called local problems in the representative domain. The resulting technique can be used to determine the effective expansion coefficient in the case of freezing water in the soil. The proposed method is demonstrated using model and realistic geological structures.

Key words: porous rock, asymptotic homogenization, thermal expansion tensor, tensor of expansion during freezing, effective elastic moduli.

1. Введение. Определение коэффициента расширения пористой среды при фазовом переходе находящейся в ней жидкости представляет интерес, например, применительно к грунтам. Во многих случаях при замерзании воды в порах грунта требуется определять напряженно-деформированное состояние и величину морозного пучения грунта. Обычно коэффициент расширения при замерзании принимается равным величине коэффициента расширения воды при переходе в лед [1]. В настоящей работе предполагается, что для песчаных и сходных грунтов при моделировании взаимодействия воды в порах с грунтом можно ограничиться только механическим взаимодействием. Для таких сред эффективное (осредненное) относительное расширение пористой среды определялось с помощью асимптотического метода осреднения (метода малого геометрического параметра) [2, 3] аналогично тому, как на основе этого метода вычислялся коэффициент передачи порового давления в [4, 5]. Для среды с открытыми порами коэффициент относительного расширения пористой среды находится в виде формулы. Сложнее случай среды с закрытыми порами, где требуется решать так называемые локальные задачи в представительной области. При этом коэффициент относительного расширения пористой среды является, вообще говоря, тензором второго ранга.

2. Теоретический анализ. Будем рассматривать два характерных размера: макроразмер L определяется областью, занимаемой пористой средой; микроразмер l связан с представительной областью пористой среды (representative volume element (RVE)). Для периодической среды RVE — это ячейка периодичности. Как всегда в методе осреднения, вводим быстрые координаты =

е = "С 1, где Xi — медленные координаты, меняющиеся в макрообласти Q, имеющей характерный размер L. Координаты изменяются в представительной области Qrve, имеющей характерный размер l.

1 Шешенин Сергей Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: sergey.sheshenin@mail.ru.

2Лазарев Борис Петрович — асп. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, науч. сотр. ЗАО "НТПИ ТИ", e-mail: lazarev-bp@yandex.ru.

3Артамонова Нина Брониславовна — канд. геол.-минерал. наук, ст. науч. сотр. каф. инженерной и экологической геологии геол. ф-та МГУ, e-mail: artamonovanb@mail.ru.

Будем рассматривать тензоры напряжений ац и малых деформаций ег,, связанные следующим определяющим соотношением, представляющим собой обобщение закона термоупругости на случай фазового перехода поровой жидкости:

ац (х, О = С1зк1 (С) [ек1 (х, С) - ак1 (С) Т (х) - хы (С) Н (х)] . (1)

Здесь С^к1 — модули упругости, аы — тензор теплового расширения, изменяющиеся в области Окуе, следовательно, зависящие от координат Сг. В закон термоупругости добавлен последний член (1), описывающий расширение при замерзании с коэффициентом относительного расширения поровой жидкости х(С): Хк1 = х(СМы- Модули упругости Сг,к1 являются кусочно-постоянными: Сг,к1 = С,м

в области скелета С^ы = С1^ в области льда и С^ы = С^к1 в области жидкости. Жидкость находится в статике и может рассматриваться при малых деформациях как упругое тело с модулем объемного сжатия К / и нулевым модулем сдвига. Часто пренебрегают модулем объемного сжатия жидкости по сравнению с модулем объемного сжатия скелета. В нашем случае выбор модели неважен, поскольку никак не влияет на определение осредненного расширения среды при замерзании поровой жидкости.

С тензорами а и х связаны тензоры в и 7 соотношениями Сцыаы = вг,, Сг,к1Хк1 = 7г,, причем 7 = Тюе (01се = К1сех) в области пор где находится жидкость/лед, и 7 = 0 в области скелета О пористой среды. Считаем, что изменение температуры Т по отношению к недеформированному состоянию задано и зависит только от глобальных (медленных) координат. Это обусловлено тем, что асимптотическое представление изменения температуры имеет вид Т(х, С) = То(х)+еТ1(х, £) + ••• [2]. В дальнейшем вместо То будем писать Т. Другими словами, Т в (1) есть не что иное, как главный член асимптотического разложения изменения температуры. Функция Н равна нулю там, где замерзания не произошло, и единице, где жидкость замерзла. Поскольку замерзание определяется температурой, то в первом приближении функция Н зависит только от быстрых координат: Н = Н(х). Согласно теории метода осреднения [2, 3], напряжения и деформации зависят как от медленных, так и от быстрых координат, что отмечено в (1).

Перемещения также представимы в форме асимптотического разложения, первые члены которого имеют вид

ик (х, С) = ик (х) + еМкрд (С) (х) + еМк (С) Т (х) + еЬк (С) Н (х) + ..., (2)

где ^крд, Мк и Ьк — локальные функции быстрых координат, а и к (х) — "медленные" компоненты вектора перемещения. Здесь и далее запятая обозначает частные производные по медленным или быстрым координатам в зависимости от контекста.

3. Применение метода осреднения. Подстановка (1) в уравнение равновесия

[С^ыикА^ + X = 0, х € V,

при использовании асимптотического разложения перемещений (2) приводит к следующим результатам.

Локальная задача в области Окуе для определения функций Мкрд описывается стандартным уравнением

[С13к1 (С) КкРд,1 + Сгт (С)] ,, = 0, С € Пкуе, (3)

с граничными условиями, которые подробно обсуждаются в [5]. Здесь только заметим, что обычно в задаче определения эффективных свойств на границе Хкуе ставятся условия периодичности даже в том случае, если среда не обладает периодичностью структуры. Задача для определения локальных функций Мк имеет вид [2]

[Сгк (С) Мк>1 - вг3 (С)],,- =0, С € ПкУЕ- (4)

Локальная задача для определения функций Ьк выглядит аналогично:

[Сг,к1 (С) Ьк,1 - Ъ, (С)],, =0, С € ^куе- (5)

Поскольку коэффициенты уравнений (3)—(5) являются разрывными, то решения соответствующих краевых задач понимаются в слабом смысле, т.е. в смысле решений вариационных уравнений.

Если решения задач (3)—(5) найдены, то напряжения вычисляются в виде

ац (х, е) = ргт (е) +ягз (о т (х) + пгз (е) н (х),

где

А?рд (е) = Сг,к1 (е) ^кря,1 + Cгjpq (е) ,

Яг3 (е) = с,« (е) Мк,1 - вгj (е),

Дг, (е) = сг,кг(е) Ьк,1 — Yгj (е). При этом осредненное уравнение равновесия получается следующим:

КР,кг) (х) + [(^) (х) Т,,]>j. + [(Д,) (х) Н,,]>j. + Хг (х) = 0, х € V,

где угловые скобки обозначают осреднение по Обуе-

4. Вычисление коэффициента относительного расширения при замерзании. Для нас

интерес представляет локальная задача (5). Задачи (3), (4) описаны, например, в [2]. Сначала заметим, что между задачами (3), (4) и (5) существует аналогия, согласно которой решение задачи (4) для двухфазной среды с постоянными свойствами в каждой фазе можно представить в виде [2]

= ) = Фч) — кг) — вк1)) (Ск1рд — Ск1рд) (Срдг, — (СРТО ^ ,

если тензор с(1) — с(2) невырожден (степень —1 обозначает обратный тензор). Для решения задачи (5) также можно воспользоваться аналогией между задачами (3) и (5). Тогда если скелет однородный, то

Т$? = (Дг,) = (1 — ^)7г, + 7кг (сЙРЯ — с^ (ср5,- — (Ср,г,)) . (6)

Таким образом, если локальная задача (3) решена, то с помощью формулы (6) при отмеченных ограничениях можно вычислить эффективный тензор относительного расширения при замерзании.

Отметив частный характер формулы (6), перейдем к вычислению коэффициента в общем случае для открытых и закрытых пор. Для его определения требуется получить решение задачи (5) в каком-либо виде. Это возможно сделать посредством метода конечных элементов (МКЭ) или любой другой подобной вычислительной методики. Однако мы воспользуемся уже полученными [4] решениями локальных задач для пор, находящихся под действием внутреннего давления.

При этом подходе существенно учитывается, что образование льда начинается вдали от границы поры [6], а при замерзании поры между льдом и границей скелета остается тонкий слой воды. В этом слое между льдом и скелетом действует гидростатическое давление р. Его действие заключается в препятствии расширению льда и сжатию материала скелета.

Следовательно, решение задачи (5) целесообразно начать с определения этого давления. Очевидно, что, зная р, можно решить до конца локальную задачу (5), т.е. найти перемещения в скелете и во льду, находящихся под действием соответственно внутреннего и внешнего давления р. Первая задача в точности того же типа, что и локальные задачи, рассматриваемые в [4, 5], где они решались МКЭ.

Итак, опишем вначале методику нахождения давления р в прослойке жидкости. Для его определения будем использовать неизменность объема представительной области Пиуе (вследствие периодичности граничных условий), который обозначим ркуе- Тогда в рамках малых деформаций относительное изменение в области Пиуе объема скелета после его расширения будет равно а льда — $юе(1 — и5), где из — объемная доля скелета. Сумма изменений объемов скелета и льда равна нулю, что приводит к уравнению

0вив + 01се(1 — ив) = 0. (7)

Относительное изменение объема льда связано с давлением соотношением в-1се = ——Ь Хюе> а скелета — соотношением р = — Коэффициент к неизвестен и зависит как от материала скелета, так и от его формы. В силу линейности для определения коэффициента к следует решать численно локальную задачу о действии на границе поры любого давления р*. (Как уже было отмечено,

примеры решения таких задач приведены в [4, 5].) Тогда к = §5-, где 9* есть вычисленное относе

сительное изменение объема. Если же зерно скелета полностью (или почти полностью) находится внутри жидкости, то к = К8. Поэтому для открытых пор численное решение не требуется. Соотношение (7) можно теперь переписать в виде

Р . Р

Т Па + ~ k

Y

Kic

(1 - ns) = 0.

Следовательно, давление жидкости в тонком слое воды между льдом и скелетом находится по формуле

k Kice

Зная давление p, можно вычислить напряжения oj- в скелете, используя конечно-элементное

решение, а в области льда — по формуле afje = —p§ij. Тогда осредненное напряжение, возникшее в результате замерзания, будет иметь вид

) = —

1

VRVE

У a¡j dü — (1 — ns) pbj.

^RVE

В случае открытых пор, когда зерна скелета находятся внутри воды, в формуле (8) следует положить к = К8 и (сту) = а^ = —рд^. Поэтому окончательно в этом случае имеем

Yeff

hj

= <Rij) = (—Vij) =

к_JMce_

Пз

Ks Kice

ij

(9)

В случае К8 >> К^е формула (9) упрощается: 7?? = = {К-1сеа-1се)5г3.

5. Результаты и их обсуждение. Описанная методика была применена для расчета коэффициента расширения при замерзании модельных образцов (рис. 1), имеющих одинаковую пористость, с круглой порой (модель 1) и с крестообразной порой (модель 2) и образца вулканического туфа (рис. 2), отобранного из Мутновского геотермального района на Камчатке. Туф — псаммито-мелкопсефитовый литокластический, состоит из обломков лавы андезитового состава. Обломки лавы (показаны черным цветом на рис. 2, б) облекают цеолитовые пленки (показаны серым цветом) толщиной 30-40 мкм, при этом межобломочное пространство (показано белым цветом) часто остается пустым [7]. Свойства модельных образцов и компонентов туфа (модуль упругости Е, коэффициент Пуассона V, пористость п), принятые в расчетах, представлены в таблице.

Как показали расчеты, значения эффективных коэффициентов расширения при замерзании, вычисленные с использованием методики осреднения, существенно отличаются от значений этих коэффициентов, рассчитанных по формуле смеси. В таблице приведены отношения эффективных коэффициентов расширения образцов при замерзании, вычисленных методом осреднения и по формуле смеси, к коэффициенту расширения льда. Как видно, на эти показатели большое влияние оказывает форма пор: для крестообразной поры это отношение в 1,6 раза больше, чем для круглой поры, при одинаковой пористости 17%. Образец туфа характеризуется слабой анизотропией по ко-

+

Рис. 1. Модели ячеек с круглой порой (а) и крестообразной порой (б), пористость 17%

Образец Свойства образцов Расчет по методу осреднения Расчет по формуле смеси

Е, МП а V п, % 7ll/7ice 722 /7ice 7eff/7ice

Модель 1 66700 0,15 17 0,28 0,28 0,17

Модель 2 66700 0,15 17 0,45 0,45 0,17

Туф (лава) 22000 0,20 22 0,34 0,29 0,22

Туф (цеолиты) 28000 0,22

36

вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2016. №6

эффициенту расширения, что обусловлено структурой его порового пространства и неоднородным составом твердой фазы.

6. Выводы. Предложена методика вычисления коэффициента расширения при замерзании, основанная на методе осреднения. Она может использоваться для пород неоднородного состава, имеющих как открытые, так и закрытые поры. Проведенные расчеты показали, что существенное влияние на коэффициент расширения оказывает форма поры. Значения коэффициентов расширения при замерзании, рассчитанные по предложенной методике, отличаются от значений этих коэффициентов, вычисленных по формуле смеси, особенно при наличии вытянутых щеле-образных пор.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 15-01-05887-а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Комаров И.А. Термодинамика и тепломассообмен в дисперсных мерзлых породах. М.: Научный мир, 2003.

2. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во МГУ, 1984.

3. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984.

4. Шешенин С.В., Артамонова Н.Б., Мукатова А.Ж. Применение метода осреднения для определения коэффициента передачи порового давления // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2015. № 2. 42-45.

5. Шешенин С.В., Артамонова Н.Б., Фролова Ю.В., Ладыгин В.М. Определение упругих свойств и тензора передачи порового давления горных пород методом осреднения // Вестн. Моск. ун-та. Геология. 2015. № 4. 90-97.

6. Макарова И.А., Лохова Н.А. Физико-химические методы исследования строительных материалов. Братск: Изд-во Братск. гос. ун-та, 2011.

7. Фролова Ю.В., Ладыгин В.М. Петрофизические преобразования пород Мутновского вулканического района (Южная Камчатка) под воздействием гидротермальных процессов // Вестн. КРАУНЦ. Сер. Науки о Земле. 2008. № 1, вып. 11. 158-170.

Поступила в редакцию 27.11.2015

УДК 539.3

СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ ВЯЗКОУПРУГОПЛАСТИЧНОСТИ ТИПА МАКСВЕЛЛА С ДВУМЯ МАТЕРИАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

А. В. Хохлов1

Аналитически изучены общие качественные свойства семейств основных квазистатических кривых (ползучести, релаксации, деформирования и др.), порожденных одномерным нелинейным определяющим соотношением типа Максвелла. Выведены ограничения на материальные функции, обеспечивающие адекватное описание типичных свойств экспериментальных кривых широкого класса вязкоупругопластичных материалов; выявлены

1 Хохлов Андрей Владимирович — канд. техн. наук, ст. науч. сотр. НИИ механики МГУ, e-mail: andrey-khokhlov@ya.ru.

а б

Рис. 2. Фотография шлифа туфа (а, николи скрещены) и его модельное изображение (б). Ширина поля зрения 0,9 мм