CC BY
26УДК 539.3 ЭО! 10.51608/26867818_2021_3_53
О ДИЛАТАЦИИ И РАЗНОСОПРОТИВЛЯЕМОСТИ ИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ
© 2021 А.А. Трещев*
На основании учета того, что многие композитные, так и традиционные конструкционные материалы не подчиняются гипотезам «единой кривой деформирования», а законы изменения объема и формы даже в случае начальной изотропии структуры оказываются взаимосвязанными. Показана ограниченность классического Гуковского обобщенного закона. Отмечено, что наиболее целесообразными являются аппроксимации экспериментальных диаграмм, полученных при осевых растяжении и сжатии квазилинейными зависимостями. То есть рекомендовано применение нелинейных моделей деформирования дилатирующих материалов и материалов, деформационно-прочностные свойства которых определяются видом напряженного состояния. Кратко анализируются широко известные уравнения состояния, определяющие пропорциональные деформирования начально изотропных тел с учетом зависимости их жесткостей от качественной картины реализуемого напряженного состояния. Рассмотрены квазилинейные модельные приближения. Анализировались физические уравнения, имеющие четыре, пять и шесть констант в записи энергетических форм деформирования слабо нелинейных начально изотропных материалов. Рассмотрены рекомендованные методики вычисления констант материалов из простейших опытов для материалов разного класса. Этими параметрами определены константы уравнений состояния. При этом продемонстрирована наибольшая универсальность потенциальных соотношений, сформулированных в пространствах нормированных напряжений. Кроме того подтверждена физическая правомерность общих деформационных законов композитных материалов и показано, что явления ди-латансии и разносопротивляемости являются двумя формами проявления их особой структуры. Преимущества принятых форм потенциала объясняются удачным выбором гармонических функций напряжений, которые ограничены интервалом от -1 до +1. Показана достаточная универсальность потенциала деформаций, сформулированного в пространствах нормированных напряжений.
Ключевые слова: дилатация, разносопротивляемость, квазилинейность, нормированные напряжения, вид напряженного состояния, потенциал деформаций, изменение объема, формоизменение, фазовая характеристика.
Двухвековое использование обобщенного закона Гука подтвердило его физическую законность. Однако экспериментальные сведения по деформированию материалов со сложной структурой типа чугунов [1, 2], графитов [3, 4], керамики [5], бетонов [6, 7] и широкого круга композиционных мате-
риалов [8-10], демонстрируют то, что линейные аппроксимации связей напряжений и деформаций через модуль упругости Е и коэффициент Пуассона у уже при малом диапазоне развития деформаций дает весьма ошибочные результаты. Очевидно, правильным может быть представление
* Трещев Александр Анатольевич (taa58@yandex.ru) - член-корреспондент РААСН, Почетный работник высшего профессионального образования РФ, Почетный строитель России, член Национального комитета РАН по теоретической и прикладной механики, лауреат премии им. С.И. Мо-сина, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Строительство, строительные материалы и конструкции»; Тульский государственный университет (РФ, Тула).
экспериментальных сведении по одноосному растяжению и одноосному сжатию разными линейными аппроксимациями при установлении секущего модуля Е+ на одноосное растяжение модуля Е' на одноосное сжатие. Дополнительно определяются коэффициенты деформации в поперечном направлении V и V. Этим самым представляем свойства изотропного материала, деформационные параметры которых меняются при изменении вида напряженного состояния, что в 60-е годы двадцатого века стали называть теорией разномо-дульной упругости, оперирующей уравнениями состояния в квазилинейной форме.
Большой вклад в обобщение закона упругости Гука для материалов с зависимостью от вида НДС внесли российские исследователи и ученые из государств СНГ. В 60-х годах 20-го столетия исследования деформирования подобных материалов проводились эпизодически и формально. Позже широкое промышленное использование композитных материалов вызвало появление математических моделей определяющих соотношений для сред с зависимостями деформационных параметров от вида реализуемого напряженного состояния, когда нарушается «гипотеза единой кривой» [115]. С другой стороны для многих материалов было установлены взаимозависимости законов изменения объема и формы. Такое проявление механических свойств было названо дилатацией или дилатансией [117]. Данный факт инициировал развитие механики дилатирующих сред. Указанные две формы нарушения общепринятых физических законов деформирования изотропных материалов изначально рассматривались как независимые направления механики деформируемых тел. В частности, при постулировании уравнений состояния раз-номодульных материалов изначально во внимание не принимались дилатационные проявления [13-15], а построении математических моделей дилатирующих материалов их разносопротивляемость не предпо-
лагалась [16, 17]. Однако, как показали дальнейшие исследования [1-20], установленные две, на первый взгляд, независимые причины отклонения от классических законов деформирования для большинства начально изотропных материалов взаимосвязаны. Подробный анализ работ, в которых приводятся определяющие соотношения, учитывающие разносопротивляемость и дилатацию изотропных материалов, приведен в работах [11, 12]. Там же с использованием параметров двух пространств нормированных напряжений сформулированы достаточно общие квазилинейные потенциалы деформаций и показано, что из них вытекают известные модели уравнений состояния других авторов, являющиеся частными случаями [11, 12].
Применительно к первому пространству потенциал имеет вид:
W = 0,5
(А + Вах )а + (А + Ва2 )а2 + + (А + Ва3 )а32 ] +
+ [С+Еаз + Б(а\ + а 2 )]а1а2 + +[С + Еа! + Б(а 2 +аз)]ст2СТз + + [С + Еа2 + +аз)]ст}стз, (1)
а во втором пространстве приобретает форму:
}¥ = (Ь1+Ь3%)СТ2 +
+{b2 + b4i% + Ъъ17 Cos 3 ф)т2
(2)
где а^ — а^ /£ - нормированные главные
£ — - норма пер-
пространства главных Cosy — ^ — а / £о,
напряжения; вого векторного напряжений; Зшу — Ц — X / нормированного
напряжения второго пространства;
Cos3y = ^det(Sj )/т3 - фазовый инва-i
, „.2
g +т - норма простран-
риант; £ о
ства, связанного с девиаторной площадкой; а — 5,-,а,7 /3 _
гидростатическое напряже-
ние; х -
ylSijSij /3
- октаэдрическое каса- ческой плоЩаДке; eij - eij -S^3 -
компо-
тельное напряжение; $I/ = а/ — 5/а -компоненты тензора девиатора напряжений 5/ — единичный тензор Кронекера;
~ = 1,5(А + 2С), ~2 = 1,5(А — С),
~3 = 1,5(5 + 40 + 2£)/л/э ,
~4 = 4,5(5 — Е)/43 ,
~5 = 0,75(5 — 20 + 2Е)л/2/л/3 - константы потенциала, определяемые механическими свойствами материала.
Два нормированных пространства взаимосвязаны:
$0 = $/л/3 ; I;
Ша = (3^3 + 2 + 1,5л/2^3Со53ф)/л/э , (3)
где 1 а = а £ = а1 + а 2 + а3;
11 а = а £ а £ = 1; 111 а = а £ а £ а £.
Следствием принятого потенциала являются общие законы упругости:
а) закон объемного изменения
е = а/3К0 + т/300; (4)
б) закон формоизменения
Э = (т/26^ + а/3^0); (5)
в) связи фаз напряженного и деформированного состояний
tg& = 3~ ^5ш3ф /(3^ /2С0 + / ^0), (6) где К0 — обобщенная «мера» (модуль) изменения объема; G0 — обобщенная «мера» (модуль) сдвига; 00 — обобщенная «мера» (модуль) дилатации; ю=ф—Р— фазовая разность напряженного и деформированного состояний;
2-
.3,
K0 -1/[2b + b3^(2 + л2) -b5r\3Cos3(p] ;
Do -1/M3 ;
2 G0 = 3 / [2è2 +
(2Ь4 - ¿3) ■+ Ь5Г\2 + £1) Со§ 3ф\; 3е = 9 = 5/е/ - изменение объема; Э = у/2 ; у = ^4/3;;/8/ - сдвиг на октаэдри-
ненты тензора девиатора деформаций.
Авторами [11, 12] установлено, что полученные уравнения наряду с разносопро-тивляемостью учитывают дилатацию, то есть оба фактора отклонения деформационных зависимостей от классических. Этим подтверждается экспериментально установленный факт о взаимосвязи чувствительности механических свойств изотропных материалов с их дилатационным характером деформирования [1-12].
Четыре константы двух записей потенциала (1) и (2) вычисляются по данным опытов на одноосные растяжение и сжатие, а пятая константа - из сопоставления формы закона изменения объема для квазилинейного разносопротивляющегося материала при гидростатическом сжатии и растяжении с формой, вытекающей из обобщенного закона Гука:
А = 0,5(1/Е + +1/Е—);
В = 0,5(1/Е + — 1/Е—) ; С = —0,5(у+ / Е + +у— / Е—);
О = —0,5(у+ / Е +—у— / Е— ); (7) Е = 0,25 л/3 [(1—2у+) / Е + — (1—2 у —) / Е" ] — 0,25[(1—4у+)/Е + — (1—4у—)/Е"].
Упрощенные варианты потенциальных соотношений (1), (2) представлены следующим образом [11, 12]:
ж = 0,5[( А+5а )а2+(А+5а )а2 +
+(А + 5а )а32] +
+[С + 0(ах + а 2)]аха2 +
[С + 0(а 2 +а3)]а 2а3 +
[С + О (ах + а3)]а:а3; (1*)
Ж = (~ + ~3^)а2 + (~2 + ~4^)т2. (2*) Н.М. Матченко и И.Н. Матченко в работе [18] предприняли попытку сформулировать наиболее универсальные квазилинейные уравнения состояния нежели (1),
(2), (1*) и (2*) и представили их в виде потенциалов деформаций, включающих четыре константы. Фактически эта попытка свелась к записи форм потенциалов [18], полностью совпадающих с упрощенным вариантом (1*) и (2*), но представленных через другие обозначения. Ясно, что все квазилинейные деформационные модели изотропных материалов основаны на использовании различных качественных и количественных параметров их напряженно-деформированного состояния. Авторами [18] рассмотрены три группы подобных характеристик:
а) количественные характеристики первой группы -
Н1 — а1 + а2 + аз — 3а — 5уау;
Нц — а2 +а2 +а2 — £2 —акак ; (8)
б) количественные характеристики второй группы -
11 — а1 + а2 + аз — за — 5уау ;
III — (а!-а2)2 + (а2-аз)2 + (аз — а^2 — 9х2; (9)
в) количественные характеристики третьей группы -
31 — а1 + а2 + аз — за — 5уау ;
•п — а1а2 +а2а3 +а3а — з(£2 — 1,5х2) . (10)
Качественным параметром напряженного состояния для данных групп авторы [18] используют одну характеристику:
^ — (а1 +а2 +аз)Ц а12 +а22 +аз2 — за/£ — за / (>/з£0)
Использование параметров (8) - (11) привело к получению трех форм потенциала [18]:
(11)
ставлению (2*). В связи с этим формально представленные формы (12) - (14) не являются новыми определяющими соотношениями, а полностью эквивалентны потенциалу (2*), но в других обозначениях. При этом в работах [11, 12] была показана более высокая точность пятиконстантного потенциала (1), (2) при сравнении экспериментальных диаграмм деформирования с теоретическими практически для всех разносопротивляю-щихся материалов в процессе реализации сложных напряженных состояниях.
Другая работа Н.М. Матченко в соавторстве с О.Н. Матченко [19] представила потенциал с шестью константами как более универсальную модель деформирования. Исследования [19] также свелись к формальной замене используемых инвариантов [11, 12] с повторным квазиквадратичным разложением относительно этих инвариантов. Результатом оказалась переобозначение функций (1) и (2) при отсутствии фазового инварианта. Было показано [11, 12], что формы потенциала (1) и (2) были ограничены нормированными напряжениями в степени не выше третьей, разложение по которым можно продолжать до более высоких степеней, а в работе [12] дополнительно представлена форма без фазового инварианта и пятая константа определена из
эксперимента на сдвиг через модуль .
При этом потенциал с шестью константами [19] с обнулением шестого коэффициента приводится к указанному варианту [12]. Идентификация шестиконстантного потенциала [19] производится с использованием экспериментов на одноосные растяжение, сжатие и сдвиг. Из этих экспериментов получают пять параметров Е+ , v+, Е , V— и
Ж — (А + аа)Я/ + В + Ькх)Ип ; (12)
Ж — (А + а1х)1/ + В + Ьх)111; (13) . Авторы [19] экспериментируя со сдви-
Ж — (Ау + ауХ)+ (В у + ЪуХ)3ц . (14)
Очевидно, что эти формы потенциалов (12)-(14)через использование зависимостей (8) - (11) при символьном преобразовании полностью сводятся к упрощенному пред-
д
гом, выделяют шестую константу в форме коэффициента податливости Аг вдоль промежуточной оси главной деформации в2, вычисляемого следующим образом:
Аг —42е2 / хд,где х —а1 — — аз при а2 — 0 .
В настоящее время научно-техническая литература не обнаруживает надежных сведений по экспериментальному определению необходимых параметров, связанных с коэффициентом податливости при сдвиге Дг, а авторы [19] никоим образом не обосновывают методику измерений деформаций в2 при сдвиге. Поэтому принятые формы [19] не могут претендовать на большую общность и универсальность по сравнению с соотношениями (1) и (2) и, в основном, приводятся к ним, вызывая новую проблему вычисления шестой константы.
В работе [20] А.В. Березин утверждает, что получил квазилинейный потенциал в более общей форме, чем (1) и (2) и этот потенциал представлен следующей формой:
Ф — Ф М (и, С)] + Фг(и, С)] +
+Фз[0з(и,0], (15)
где а1 — интенсивность напряжений; а о — гидростатическое напряжение;
и — ао /— параметр, определяющий вид напряженного состояния (серьезные недостатки этого параметра обсуждены в
работе [12]); 91 (иО , Ф2(иО , Фз(иО - экспериментально определяемые функции; £з - третий инвариант девиатора напряжений.
При этом автор сам не определил функции Ф1(^ С) , 92 (u, С) , Фз (u, С) , утверждая, что «... наибольшую трудность представляет определение функций 9/ (и О (/ — 1,2,з) . Тем не менее, это было сделано в [11] при некоторых предположениях». Эти предположения всего лишь касаются способа определения пятой константы (см. (7)).
Выводы
Очевидно, что хотя известен широкий набор моделей уравнений состояния для изотропных разносопротивляющихся дила-
тирующих материалов, все же наиболее общими и точными квазилинейными соотношениями пригодными для практического применения в деформационно-прочностных расчетах могут служить две формы потенциала (1) и (2), представленные в нормированных пространствах.
Библиографический список
1. Леонов М.Я. Зависимости между деформациями и напряжениями для полухрупких тел / М.Я. Леонов, В.А. Паняев, К.Н. Русинко // Инженерный журнал. Механика твердого тела. -1967. - № 6. - С. 26 - 32.
2. Писаренко Г.С. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии / Г.С. Писаренко, А.А. Лебедев. -Киев: Наукова думка, 1976. - 416 с.
3. Березин А.В. Влияние повреждений на деформационные и прочностные характеристики твердых тел. - М.: Наука, 1990. - 135 с.
4. Jones R.M. Modeling Nonlinear Deformation of Carbon-Carbon Composite Materials / R.M. Jones // AIAA Journal. - 1980. - Vol. 18. - №8.
- P. 995-1001.
5. Романов В.В. Исследование зависимости модуля упругости шлакокамнелитого материала от вида нагружения // Физ.-хим. исслед. по технологии стекла и ситалов. - М.: Наука, 1984.
- С. 78-81.
6. Bazant Z.P. Endochronic Theory of Inelasticity and Failure of Concrete / Z.P.Bazant, P.D.Bhat // Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE. - 1976. - Vol. 102. - № EM4. - Р. 701-722.
7. Tasuji M.E. Stress-Strain Response and Fracture of Concrete in Biaxial Loading / M.E.Tasuji, F.O.Slate, A.H.Nilson // ACI Journal. - 1979. - №7.
- P. 806-812.
8. Елсуфьев С.А. Изучение деформирования фторопласта в условиях плоского напряженного состояния / С.А. Елсуфьев, В.М. Чебанов // Исслед. по упругости и пластичности. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1971. - Вып. 8. - С. 209-213.
9. Калинка Ю.А. Исследование физико-механических свойств хаотически наполненных стеклопластиков / Ю.А. Калинка, С.М. Боровикова // Механика полимеров. - 1971. - №3. - С. 411-415.
10. Пахомов Б.М. Применение теории собственных напряжений к описанию нелинейного
деформирования разносопротивляющихся материалов // Вестник МВТУ им. Н.Э.Баумана. Сер. Машиностроение. - 2015. - №2. - С. 91-106.
11. Матченко Н.М. Определяющие соотношения изотропных разносопротивляющихся сред. Ч. 1. Квазилинейные соотношения / Н.М. Матченко, Л.А. Толоконников, А.А. Трещев // Изв. РАН. МТТ. - 1995. - №1. - С. 73-78.
12. Трещев А.А. Теория деформирования и прочности разносопротивляющихся материалов. - Тула: ТулГУ, 2020. - 359 с.
13. Матченко Н.М. О связи между напряжениями и деформациями в разномодульных изотропных средах / Н.М. Матченко, Л.А. Толоконников // Инженерный журнал. Механика твердого тела. - 1968. - №6. - С. 108-110.
14. Цвелодуб И.Ю. К разномодульной теории упругости изотропных материалов // Динамика сплошной среды. - Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1977. - Вып. 32. -С. 123-131.
15. Шапиро Г.С. О деформациях тел, обладающих различным сопротивлением растяжению и сжатию // Инженерный журнал. Механика твердого тела. - 1966. - №2. - С. 123-125.
16. Быков Д.Л. О некоторых соотношениях между инвариантами напряжений и деформаций в физически нелинейных средах // Упругость и неупругость. - М.: МГУ, 1971. - Вып. 2. -С. 114 - 128.
17. Вялов С.С. Реологические основы механики грунтов. - М.: Высшая школа, 1978. - 447 с.
18. Матченко Н.М. К построению четырех-константных определяющих соотношений квазилинейной изотропной упругой среды / Н.М. Матченко, И.Н. Матченко // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния. - 2016. - № 4. - С. 73-80.
19. Матченко Н.М., Матченко О.Н. К построению шестиконстантного потенциала изотропных упругих сред, чувствительных к виду напряженного состояния // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сб. тр. Междунар. научно-техн. конф. - Воронеж: Изд-во Научно-исследовательские публикации. - 2017. - С. 1154 - 1160.
20. Березин А.В. О законах деформирования разномодульных дилатирующих сред / А.В. Березин // Проблемы машиностроения и автоматизации. - 2007. - №2. - С. 70-72.
Поступила в редакцию 30.04.2021 г.
ЭКСПЕРТ:
ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА
2021. № 3 (12)
ON DILATATION AND DIFFERENT RESISTANCE OF ISOTROPIC MATERIALS
© 2021 A.A. Treschev*
Based on the fact that many composite and traditional structural materials do not obey the hypotheses of a «single deformation curve», and the laws of change in volume and shape, even in the case of the initial isotropy of the structure, are interrelated. The boundedness of the classical Hooke general-ized law is shown. It is noted that approximations of experimental diagrams obtained under axial tension and compression with quasi-linear dependences are the most appropriate. That is, the use of nonlinear models of defor-mation of dilating materials and materials whose deformation and strength properties are determined by the type of stress state is recommended. We briefly analyze the well-known equations of state that determine the propor-tional deformations of initially isotropic bodies, taking into account the de-pendence of their stiffness on the qualitative picture of the realized stress state. Quasi-linear model approximations are considered. Physical equations with four, five, and six constants in the energy forms of deformation of weakly nonlinear initially isotropic materials were analyzed. The recom-mended methods for calculating the constants of materials from the simplest experiments for materials of different classes are considered. These parame-ters define the constants of the equations of state. At the same time, the greatest universality of the potential relations formulated in the spaces of normalized stresses is demonstrated. In addition, the physical validity of the general deformation laws of composite materials is confirmed and it is shown that the phenomena of dilatancy and diversity of resistance are two forms of manifestation of their special structure. The advantages of the ac-cepted forms of potential are explained by the successful choice of harmonic stress functions, which are limited to the interval from -1 to +1. The suffi-cient universality of the strain potential formulated in the normalized stress spaces is shown.
Keywords: dilatation, different resistance, quasilinearity, normalized stresses, type of stress state, strain potential, volume change, shape change, phase characteristics.
* Alexander A. Treschev - Corresponding Member of the RAACS, Honorary Worker of Higher Professional Education of the Russian Federation, Honorary Builder of Russia, Member of the National Committee of the Russian Academy of Sciences for Theoretical and Applied Mechanics, laureate of the S. I. Mosin Prize, Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of the Department «Construction, Building Materials and Structures»; Tula State University (Russia, Tula). © АНО "Институт судебной строительно-технической экспертизы", 2021 59
Received for publication on April 30, 2021
