Анализ определяющих соотношений изотропных нелинейно-упругих сжимаемых материалов Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 1. Ч.1. С. 133-143

Механика

УДК 539.3

Анализ определяющих соотношений изотропных нелинейно-упругих сжимаемых материалов *

В. В. Козлов, А. А. Маркин

Аннотация. Производится анализ используемых в нелинейной теории упругости подходов к построению связей между напряжениями и деформациями для изотропных сжимаемых материалов. В частности, выделяется класс, удовлетворяющий частному постулату изотропии Ильюшина и позволяющий контролируемо учитывать различные механические эффекты, такие как разносопротивляемость изменению объема, дилатацию, разделить процесс деформирования на изменение объема и формы.

Ключевые слова: нелинейная теория упругости, сжимаемые материалы, определяющие соотношения.

1. Введение

Вопросы о предсказании поведения нелинейно-упругих сжимаемых материалов, к которым можно отнести резины и другие эластомеры, весьма актуальны вследствие широкого распространения подобного рода материалов и неоднозначностью выбора подходов к описанию их поведения. Одной из ключевых проблем в отличие от линейной теории упругости здесь является формулировка связей между напряжениями и деформациями (определяющих соотношений). В статье производится анализ различных подходов к построению определяющих соотношений. Так, рассматриваются связи напряжений и деформаций, построенные на основе выражения свободной энергии как функции алгебраических инвариантов тензора Коши-Грина [1, 2, 11]. Подчеркивается, что подобный подход не позволяет при описании процесса выделить специфические эффекты поведения материала, поскольку алгебраические инварианты тензора Коши-Грина не имеют четко выраженного физического смысла при конечных деформациях.

Вместе с тем изучается другой тип определяющих соотношений, развитый в работах Л.А.Толоконникова [12, 13], а также в статьях [3, 4, 6,

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты №№ 13-01-97501-р_центр_а, 14-01-31138-мол_а).

7, 10], характерный большей гибкостью построения моделей и отражающий наблюдаемые в экспериментах эффекты. Такие связи между напряжениями и деформациями строятся через свободную энергию как функцию естественных инвариантов левого тензора Генки. В статье показывается, что среди них, например, естественным образом выделяются соотношения, удовлетворяющие частному постулату изотропии Ильюшина, которые позволяют контролируемо (соответствующим подбором материальных констант) учитывать различные механические эффекты, такие как разносопротивляемость изменению объема, дилатацию [9], возможность разделения процесса деформирования на изменение объема и формы. В данной работе приводятся примеры подобных связей напряжений и деформаций, производится их сравнение с законами Гузя, Мурнагана [1], непозволяющих естественным образом получить данные варианты соотношений.

2. Подходы к построению определяющих соотношений

Построение определяющих соотношений будем осуществлять в соответствии с основным термомеханическим законом [7]

внешних сил.

Определим нелинейно-упругий материал как материал, свободная энергия которого является функцией тензора деформаций Коши е и

температуры. Тогда тензор Коши, либо любой другой тензор деформаций, который есть его функция, полагаются параметрами состояния упругого тела. Таким образом, термомеханические свойства элементарного упругого объема полностью определяются, если для данного материала установлена связь между удельной свободной энергией, тензором Коши и температурой

При рассмотрении изотропных материалов в выражении (2) зависимость свободной энергии от тензора деформаций сводится к зависимости от инвариантов тензора деформации [5], чем мы и воспользуемся для упрощения выкладок.

Определяющие соотношения на основе алгебраических инвариантов как параметров состояния свободной энергии для сжимаемых материалов. Определим в качестве параметров состояния для начально изотропного тела тензор деформации Коши-Грина и

йф + пйТ — й'А(е) = 0,

(1)

где ф — свободная энергия, п — энтропия, Т — температура, й'А(е) — работа

(2)

температуру. Тогда свободная энергия ф будет функцией трех инвариантов тензора Коши-Грина [5] и температуры Т:

ф = ф (Ь^2,^,Т) . (3)

Представляя элементарную работу через энергетический тензор напряжений в виде і'А(і) = — Т ■ ■йє, где Т — энергетический тензор

напряжений [7], на основании вида свободной энергии (3) запишем основное термомеханическое тождество процессов (1) в форме

Л Лі + ЦЛ + Ц Л + дфйТ + пйТ — Т ■ йє = 0. (4)

Рассматривая дифференциалы инвариантов тензора Коши-Грина, входящие в формулу (4), получаем выражения для них в виде

ІЛ1 = ■ ■йе = Е ■ ■йє,

д є є є є

д Л

= -гЄ --іе = ^іЕ — є) ■■йє, (5)

іНз = ^ ■ ■іе = (Нє-1) ■ -іе.

С учетом теоремы Гамильтона-Келли, утверждающей, что симметричный тензор удовлетворяет своему характеристическому уравнению, применительно к тензору Коши-Грина получим

Отсюда

—є3 + Ліе2 — Ле + Лз Е — 0-

Лзе 1 — є2 — Ліе + ^2-Е,

и третье соотношение формул (5) можем записать в форме

<и3 = ^ е2 — ■ -йе. (6)

С учетом выражений (5), (6) перепишем следствие основного

термомеханического тождества (4) в виде

дф+л дф+Н2 ш е —( л+л ц) е+Це2—т

+ (п + Ц) іт = 0.

■іе+ (7)

Для равенства (7) при любых йе, !Т необходимо и достаточно потребовать выполнения следующих условий:

Соотношение (8) позволяет записать связь между энергетическим тензором напряжений и мерой е, если известно представление свободной энергии как функции инвариантов меры е.

Как известно [5], шаровая составляющая тензора Коши-Грина в линейной теории упругости описывает изменение только объема, в то время как девиаторная отвечает за изменение формы. Однако в случае конечных деформаций эти положения неверны, и более того, алгебраические инварианты меры е не имеют четко выраженного физического смысла.

Таким образом, в общем случае соотношение (8) не позволяет выделить отдельно изменение объема и формы.

Рассмотрим свободную энергию как функцию инвариантов меры Коши-Грина О = 2е + Е и температуры Т:

Используем формулу связей тензора и меры Коши-Грина О = 2е + Е, а

также выражения зависимостей алгебраических инвариантов этих мер [5]. Тогда из представления (8) приходим к следующему виду определяющего соотношения:

В выражении (9) также нельзя выделить составляющие, отвечающие за изменение объема либо формы.

Определяющие соотношения для сжимаемых материалов, разделяющие изменение формы и объема. Определяющие соотношения, определенные формулами (8), (9), построены на основе свободной энергии как функции алгебраических инвариантов той или иной меры деформаций, не имеющих четко выраженного физического смысла. В то же время естественные инварианты в и э левого тензора

Т

Е

ф = ф (1\а, 120, !зо,Т).

Т

+ ^2

2

д12а д1за / ~ д1за ~

(9)

Генки Г = 1п и, где и2 = С, в = Г ■ ■Е, э2 = Г ■ -Г [7], характеризуют

непосредственно изменения объема и формы соответственно. Что касается

угла вида тензора Генки 7, определяемого из равенства 008З7 = 3^6 , то

в случае выполнения частного постулата изотропии мы можем пренебречь зависимостью свободной энергии от 7 и полагать

ф = ф (в, э, Т) . (10)

Преобразуем элементарную работу й'А(г) = —а ■ ■йГ [7], где а —

~д ~ ~д

повернутый обобщенный тензор напряжений:

й'А(г) = —а ■ -йГ = — ^ад + аоЕ^ ■ ■ ^йГ + 1 Ейв^ = —ад ■ ■йГ — аойв. (11)

Запишем основное термомеханическое тождество (1) с учетом представления работы (11) и свободной энергии (10):

дф дф дф

—— йв +—— йэ + 7— йТ + ад ■ ■йГ + аойв + пйТ = 0. (12)

дв дэ дТ

Найдем дифференциал йэ, используя определения соответствующих

естественных инвариантов:

э2 = Г ■ ■Г ^ 2эйэ = 2Г ■ ■йГ ^ йэ = Г ■ ■йГ.

э

Следовательно, соотношение (12) примет вид

тдвв—ао)йв+(Г 1дф—ад) ■■йГ+(Ш+п)йт=° (13)

Чтобы удовлетворить уравнению (13) для любых йв, йГ, йТ, необходимо потребовать:

Г дф дф

а = ад + аоЕ = -тт + 7м Е, (14)

д э дэ дв

дф

П дТ'

Таким образом, выражением (14) устанавливается связь между мерами напряжений и деформаций.

3. Анализ представлений свободной энергии сжимаемых сред для изотермических процессов

Свободная энергия сжимаемых материалов как функция естественных инвариантов тензора деформаций. В общем случае

свободная энергия представляется функцией трех естественных инвариантов левого тензора Генки и температуры. Рассмотрим её частные формы, удовлетворяющие частному постулату изотропии, и, следовательно, не зависящие от угла вида тензора Г.

Запишем выражения свободных энергий для предельной формы частного постулата, которые можно представить в виде

ф(в, э) = фэ(э) + фв(в). (15)

Рассмотрим представление (15) в форме прямого обобщения соотношений линейной теории упругости, что приведет нас к выражению, приведенному в работе [7]:

1 — —2 1

ф = фо — ПоТ — Ь—в — - -Р+ -Кв2 + Сэ2, (16)

2 То 2

где фо — начальная энергия; — = Т — То; Ь, —р, К, С — постоянные.

Тогда для сжимаемых материалов при подстановке последнего

выражения в связь напряжений и деформаций (14) получим

а = ад + аоЕ = 2СГ + (—Ь— + Кв) Е = 2СГ + (зКГ ■ ■Е — Ь—) Е, д

ил —р—

П = по + Ьв + -Р-.

То

Поскольку рассматриваются изотермические процессы Т = То, имеем:

ад = ад + аоЕ = 2СГ + КвЕ = 2СГ ^К — 2С)вЕ = 2СГ + 3А(Г ■ ■Е)Е. д (17)

Усложним представление свободной энергии (16):

- — —2 - -

ф = фо — поТ — Ь—в — - -Р— + - Кв2 + С2 + - св3. (18)

2 То 2 3

Соответствующая связь напряжений и деформаций для изотермического процесса примет вид

а = ад + аоЕ = 2СГ + (Кв + св2) Е. (19)

д

Рассмотрим частный вид свободной энергии ф = ф(э,в,Т), который нельзя записать в форме (15), то есть разделить на слагаемые, характеризующие только изменение объема либо формы

1 — —2 - -

ф = фо — поТ — Ь—в — - -р— + - Кв2 + Сэ2 + - св3 + С2вэ2.

2 То 2 3

После подстановки в общий вид определяющего соотношения (14) получим

а = ая + аоЕ = 2 (О + с2в) Г + (Кв + ев2 + С2Э2) Е. (20)

Я

По форме полученные связи напряжений и деформаций (17), (19), (20) асимптотически вырождаются в закон Гука [8] для малых деформаций:

§ = 3Л(є ••Е)Е + 20 є, (21)

где Л, О — постоянные Ляме.

Однако в данном случае в формулах (17), (19), (20) в качестве меры напряжений используется обобщенный повернутый тензор напряжений Коши, а вместо линейного тензора деформаций — тензор Генки.

Свободная энергия сжимаемых материалов как функция инвариантов тензора Коши-Грина. Рассмотрим представления свободной энергии как функции алгебраических инвариантов тензора Коши-Грина. Наиболее простая форма свободной энергии, предлагаемая в работе Гузя [1], имеет вид

0 = еі<]1 + Є2^- (22)

Также широко применяется свободная энергия в форме Мурнагана, представленной в книге [1]:

0 = Є + Є2-]2 + Єз ]3 + е]\]2 + е^]^. (23)

Для свободной энергии (22) при использовании соотношения для энергетического тензора напряжений (8) получим

Т = (2еі + е2) ]1Е — е2є = 20є + 3К(є ■ -Е)Е. (24)

В линейной теории упругости можем считать, что энергетический тензор напряжений равен тензору истинных напряжений. Таким образом, последнее соотношение, построенное при использовании свободной энергии

(22), вырождается в закон Гука (21) при малых деформациях.

Нетрудно убедиться, что определяющее соотношение, полученное на

основе общего вида (8) тензора Т и выражения энергии Мурнагана в форме

(23):

Т = [(2е 1 + е2) ]1 + (3е3 + е4) ]1 + е5]2] Е — [е2 + (е4 + е5) ]1 ] Є + е5Є2 (25)

— также сводится к закону Гука.

В то же время подбором констант в формулах (24), (25) невозможно удовлетворить частному постулату изотропии Ильюшина. Такой вывод

основан на выражениях естественных инвариантов левого тензора Генки, которые можно получить из алгебраических инвариантов тензора Коши-Грина [7]. Очевидно, что при попытке построения этих зависимостей каждый алгебраический инвариант е будет нелинейно зависеть от

всех естественных инвариантов Г. Таким образом, угол вида войдет в

преобразованную свободную энергию.

Учет нелинейных эффектов для сжимаемых материалов.

Рассмотрим возможные, экспериментально наблюдаемые эффекты при конечных деформациях сжимаемых материалов

Разносопротивляемость всестороннему растяжению или сжатию или её отсутствие.

Данный эффект состоит в отклонении с ростом изменения объема зависимости ао (в) при в > 0 от ао (в) при в < 0. При этом деформация полагается чисто объемной Г 1 = Г2 = Гз = в/з.

Использование выражения свободной энергии в виде ф = ф(Jl, J2, Jз) даже в простейшем случае формы Гузя ф = с 1] + с2] навязывает материалу объемную разносопротивляемость, так как подобный подход дает, что

Для соотношения Мурнагана разносопротивляемость также имеет место при произвольных материальных константах, так как гидростатическая составляющая примет вид

Рассмотрим представление свободной энергии в рамках предельной формы частного постулата (18). Тогда из определяющего соотношения (19) имеем

В результате наличие постоянной с приводит к отражению объемной разносопротивляемости. При с = 0 разносопротивляемость не учитывается.

Следовательно, представление свободной энергии через два естественных инварианта в отличие от выражения Гузя, Мурнагана позволяет отразить эффект разносопротивляемости или его отсутствие в рамках предельной формы частного постулата изотропии (разделение свободной энергии на изменение формы и объёма).

Отражение дилатационного эффекта.

Под дилатационным эффектом понимаем возможность появления и роста гидростатической составляющей напряжения ао в процессах формоизменения, не сопровождающегося изменением объема:

ао = Кв + св2.

а0 = аО(э)|0=о .

Отметим, что в силу начальной изотропии чисто объемное деформирование (гидростатическое нагружение) не может приводить к появлению девиаторных составляющих напряжений (деформаций). Иными словами, гидростатическое нагружение не может приводить к изменению формы, то есть должно выполняться условие

Представление свободной энергии функцией инвариантов тензора Коши-Грина ф = ф(], ]2, ]з), как и в случае объемной разносопротивляемости, не позволяет избежать учета дилатационного эффекта. Например, при Г2 = — —Г1 = — 1п А1, Г3 = 0 из формы Гузя (24) получим

Выражение свободной энергии как функции естественных инвариантов ф = ф(э, в) позволяет отразить как наличие, так и отсутствие дилатационного эффекта. В частности, если в законах (19), (20) положить с = 0, с2 = 0, то

Отсюда следует, что постоянная е2 отвечает за отражение дилатационного эффекта.

Связь напряжений и деформаций (20) является наиболее общим случаем соотношений (19) и (17). Таким образом, путем подбора соответствующих значений констант в формуле (20) мы получаем выражения (17) или (19) и контролируемо описываем те эффекты, которые необходимо учесть в конкретной задаче. В то же время формы Гузя и Мурнагана не позволяют контролировать учёт этих эффектов.

Общим для конкретных представлений свободной энергии, описанных в данном разделе, является асимптотическое вырождение в закон Гука при малых деформациях.

1. Представление свободной энергии через естественные инварианты тензора Генки позволяет в рамках частного постулата изотропии последовательно отразить различные виды реакции материала на конечные упругие деформации: в частности, построить модель, независимо реагирующую на изменение объема и формы; модель, отражающую

в8Гі — е6Гі — е2Гі + 1

ао = еі

2е4Гі

4. Заключение

разносопротивляемость всестороннему растяжению-сжатию; учесть появление гидростатической составляющей при формоизменении.

2. Представление свободной энергии через инварианты тензора Коши-Грина не позволяет последовательно отразить реакцию сжимаемого материала на изменение объема и формы при конечных деформациях, удовлетворить требованиям частного постулата изотропии.

Список литературы

1. Гузь А.Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях. Киев: Наук. думка, 1973. 270 с.

2. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

3. Козлов В.В. Анализ определяющих соотношений изотропных упругих несжимаемых материалов // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып. 3. С. 93-101.

4. Козлов В.В. Задача о комбинированном сдвиге нелинейно-упругого полого цилиндра // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 142-151.

5. Маркин А.А., Сотников К.Ю. Механика сплошной среды: учебное пособие. Тула: Изд-во ТулГУ, 2003. 132 с.

6. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Нелинейные соотношения анизотропной упругости и частный постулат изотропии // Прикладная математика и механика. 2007. Т. 71. Вып. 4. С. 587-594.

7. Маркин А.А., Христич Д.В. Нелинейная теория упругости: учебное пособие: 2-е изд., доп. Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. 92 с.

8. Маркин А.А. Термомеханика сплошной среды: учебное пособие. Тула: Изд-во ТулГУ, 2009. 140 с.

9. Матченко Н.М., Трещев А.А. Теория деформирования разносопротивляющихся материалов. Определяющие соотношения. Тула: Изд-во ТулГУ, 2000. 149 с.

10. Муравлев А.В. О представлении упругого потенциала в обобщенном пространстве деформаций А.А.Ильюшина // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2011. № 1. С. 99-102.

11. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Гостехиздат, 1948. 211 с.

12. Толоконников Л.А. Вариант соотношений разномодульной теории упругости // Прочность и пластичность. М.: Наука, 1971. С. 102-104.

13. Толоконников Л.А. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейной теории упругости / Прикладная математика и механика. 1956. Т. 20.

Козлов Виктор Вячеславович ([email protected]), к.ф.-м.н., доцент, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Маркин Алексей Александрович ([email protected]), д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

The analyze of defining relationship for isotropic nonlinear-elastic compressible materials

V. V. Kozlov, A. A. Markin

Abstract. In this article, an analysis used in nonlinear theory of elasticity approaches to building communications between stress and strain for isotropic compressible materials. In particular, a class satisfying the private isotropy postulate Ilyushin and allows controlled consider various mechanical effects, such as multimodulus behavior changes in the volume, dilation, divide the process of deformation on the volume and shape.

Keywords: nonlinear elasticity theory, constitutive relations, compressible material.

Kozlov Viktor ([email protected]), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of mathematical modelling, Tula State University.

Markin Alexey ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of department, department of mathematical modelling, Tula State University.

Поступила 10.01.2014