Анализ определяющих соотношений изотропных упругих несжимаемых материалов Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 3. С. 93-101

Механика

УДК 539.3

Анализ определяющих соотношений изотропных упругих несжимаемых материалов

В. В. Козлов

Аннотация. Вопросы о предсказании поведения упругих несжимаемых материалов, к которым можно отнести резины и другие эластомеры, имеют серьезное значение в современной жизни. В МСС такие подходы развивали Э.Э.Лавендел [1], В.И.Бидерман [2], Л.Трелоар [3] и другие. Общие определяющие соотношения упругих материалов рассматривались в работах А.И.Лурье [4], В.В.Новожилова и т.д.

В то же время ранее полученные связи напряжений и деформаций строились в основном при использовании главных удлинений левой меры искажения либо тензора Коши-Грина. При таком подходе не удается естественным образом разделить процесс деформирования на изменение объема и формы, хотя известно, что реакция большинства материалов на изменение объема и формы существенно различна. В работе сделана попытка устранить указанный негативный аспект прежних теорий, а также определить некоторые позиции подтверждения частного постулата изотропии Ильюшина.

Ключевые слова: нелинейная теория упругости, определяющие соотношения, чистый сдвиг, несжимаемый материал.

1. Подходы к построению определяющих соотношений.

Построение определяющих соотношений будем основывать на основном термомеханическом законе [5]

йф + пйТ-й' А(е) = 0, (1.1)

где ф — свободная энергия, п — энтропия, Т — температура, й'А(е — работа внешних сил.

Определим упругий материал как материал, свободная энергия которого является функцией тензора деформаций Коши. Тогда тензор Коши либо любой другой тензор деформаций, который есть его функция, полагаются параметрами состояния упругого тела. Таким образом, термомеханические свойства элементарного упругого объема полностью определяются, если для

данного материала установлена связь между удельной свободной энергией, тензором Коши и температурой

ф — Ф (у£’Т^ ■

(1.2)

1.1. Определяющие соотношения на основе алгебраических инвариантов как параметров состояния свободной энергии для сжимаемых материалов. Для изотропных материалов свободная энергия есть функция инвариантов тензора деформации Коши-Грина 31, 32, 3э и температуры:

ф — ф (3Ь32,3э,Т) ■ (1.3)

Поскольку сейчас мы рассматриваем несжимаемые материалы, то на деформации накладывается ограничение неизменности объема, представимое в виде Л1Л2Аэ = 1, где А1, Х2, Хэ — главные значения левой меры искажения.

Используя связь инвариантов меры и тензора Коши-Грина, последнее условие можем представить в виде

31 + 232 + 43э — 0.

(1.4)

Для установления связи между напряжениями и деформациями построим функцию Лагранжа. С учетом (1.4), закона (1.1), выражения свободной энергии (1.3) и представления элементарной работы [5] через энергетический тензор напряжений й'А(е) — Т ■ ■йе получим:

X (31, 32, 3э,Т, А) — ф (31, 32,3э,Т) + пТ - Т ■■ е - Л (31 + 232 + 43з).

Условие стационарности этой функции имеет вид

дф дф дф дф

йХ = ^фй31 + -фй32 + ^фй3э + ^фйТ + пйТ - Т ■ ■йе-

д 31 д 32 д 3э д 1 ^ ^

—А (й31 + 2й32 + 4й3э) — (31 + 232 + 43э) йЛ — 0.

Преобразуя дифференциалы инвариантов тензора Коши-Грина, перепишем последнее условие:

йХ —

дф дф д ф

+ 31 а т + 32 а т - А (1 + 231 + 432)

д 31

д 32

д 3э

Е-

дф д ф

+ 31 а т - А (2 + 431)

д 32

д 3э

е+

дф д 3э

-4Ле^- Т

■е+

дф

+ П + дТ ) йТ - (31 + 232 + 43э) йА = 0.

Таким образом, из последнего соотношения получим выражение энергетического тензора напряжений, дополненное условием неизменности объема и законом для энтропии:

Т—

дф д ф дф

~я~г---+ 31 ~Я~Г---+ 32^~Г------А (1 + 231 + 432)

д 31 д 32 д 3э

Е

дф дф

+ 31 тт~;--------А (2 + 431)

д 32 д 3э

31 + 232 + 43э — 0

дф

д 3э

п — ОТ'

Шаровая составляющая тензора Коши-Грина в линейной теории упругости описывает изменение только объема, в то время как девиаторная отвечает за изменение формы. Однако в случае конечных деформаций эти положения неверны, и более того, алгебраические инварианты меры е не

имеют четко выраженного физического смысла. Таким образом, в общем случае выражение (1.5) не позволяет выделить изменение объема и формы. Также остаётся непонятным физическое значение множителя Лагранжа.

1.2. Определяющие соотношения на основе естественных инвариантов как параметров состояния свободной энергии для несжимаемых материалов. Рассмотрим в качестве параметров состояния естественные инварианты левого тензора Генки в и э, а также температуру:

ф — ф (в, Э, Т) , (1.6)

где в — Г ■■Е, Э2 — Г ■ Г.

Однако будем полагать материал несжимаемым, что сводится к условию

в = 0. (1.7)

Найдем дифференциал й Э, используя определения соответствующих естественных инвариантов:

„ _ г

Э2 — Г ■ Г ^ 2 Э й Э— 2Г ■ ■йГ ^ й Э— — ■ ■йГ. (1.8)

Для установления связи между напряжениями и деформациями

построим функцию Лагранжа. С учетом (1.7), закона (1.1), выражения свободной энергии (1.6) и представления элементарной работы [5]

й'А(е) — а ■ ■йГ получим х (в, Э,Т,А) — ф (в, Э,Т)+ пТ - а ■■Г - Ав. Условие стационарности этой функции имеет вид

дф дф дф

йх — ^фйв + -^й Э + -фйТ + пйТ - а ■■йГ - Айв - вйА — 0.

дв д э дТ ~к ~

Принимая во внимание соотношение удельной работы [5] й;А(е) — а ■ ■йГ

и формулу (1.8) для й Э, преобразуем йх:

•я

йХ — ( дв - а° - А^ йв + ^ Э - а^ ■ ■йГ + ( + П^ йТ - вйА — 0.

Чтобы удовлетворить последнему уравнению для любых йв, йГ, йТ, йА, с учётом (1.7) для несжимаемых материалов необходимо потребовать:

^ Г дф Л дф \

а — ая + аоЕ — - --------+ А + — Е,

~я ~ Э д Э \ дв; ~ (1.9)

дф

п — - от.

Таким образом, мы получили четкое разделение повернутого обобщенного тензора напряжений на шаровую и девиаторную составляющую, где а я — § §-§, а0Е — ^А + Е. В случае наложения естественных

ограничений на вид свободной энергии (не зависит от в, ^ не зависит от э) девиаторная составляющая ая описывает только изменение формы, а шаровая — изменение объема.

2. Сравнительный анализ различных определяющих соотношений на примере известных видов свободной энергии изотермических процессов

2.1. Свободная энергия несжимаемых материалов как функция инвариантов тензора Коши-Грина. Рассмотрим конкретные представления свободной энергии несжимаемых материалов ф —

— ф (31,32,3з,Т).

Л.Трелоар [3] при помощи статистической теории приходит к зависимости

ф — С13ь (2.1)

Муни предложил зависимость

ф — 2 (А!+А2+а2 - 3) + 2 (А12+А— 2+аз 2 - з), (2.2)

которую экспериментально подтвердили Р.Ривлин и Д.Сондерс. Вторая скобка в выражении (2.2) не является непосредственно ни одним из инвариантов, но ее можно представить как линейную комбинацию инвариантов 31 и 32:

ф — С131 + 2С2 (31 + 32) . (2.3)

В.Л.Бидерман [2] предлагает уточненную запись

ф — С131 + 2С2 (31 + 32) - сз31 + С433. (2.4)

Подставим в общее соотношение связи напряжений и деформаций (1.5) выражения свободных энергий в формах Трелоара, Муни-Ривлина, Бидермана:

T = [ci - А (1 + 2 Ji + 4J2)] E + А (2 + 4Ji) е — 4А е2,

~ Treloar ~ ~ ~

T = [ci + 2С2 + 2C2J1 — А (1 + 2Ji + 4J2)] E—

~ Muni n ~

— [2c2 — А (2 + 4Ji)] е — 4А е ,

T = [ci + 2C2 — 2сз Ji + ЗС4 J2 + 2c2Ji — А (1 + 2Ji + 4J2)] E—

~ Biderman ~

— [2c2 — А (2 + 4Ji)] е — 4А е .

Проверим, вырождаются ли соотношения T , T , T

~ Treloar ~ Muni ~ Biderman

при малых деформациях в закон Гука при произвольном нагружении. В линейной теории упругости мы можем пренебречь J2, е2, Ji е, а также считать, что T = S. Кроме того, для несжимаемых материалов при малых деформациях справедливы равенства е = е, Ji = 0. Поэтому тензор истинных напряжений Коши в линейной теории упругости определим формулой (форма тензора напряжений для свободной энергии Трелоара получается из следующей формулы, если положить С2 = 0):

S = [ci +2С2 — А] E — 2(С2 — А) £. (2.5)

Необходимость выполнения равенства S = 0 при полном отсутствии

деформаций в изотермических процессах приводит нас к условию на множитель Лагранжа: А\£=0 = ci + 2c2.

Однако физический смысл множителя А остается непонятным и варьируемым в зависимости от вида свободной энергии.

По форме (2.5) не совпадает с формой закона Гука для несжимаемых материалов [6].

2.2. Свободная энергия несжимаемых материалов как функция естественных инвариантов тензора деформаций. Рассмотрим представление свободной энергии (1.6) ф = ф (в, 3,T) в форме прямого обобщения соотношений линейной теории упругости, что приведет нас к выражению из [5]

1 C f)2 1

ф = фо — noT — Ъ$в — - + - Кв2 + Сэ2 (2.6)

2 T0 2

где фо — начальная энергия; $ = T — To; Ъ, Ср, К, С — постоянные.

Свободную энергию (2.6) подставляем в соотношение связи напряжений и деформаций (1.9) и получаем для изотермических процессов:

а = ùr + a0E = 2СГ + АE = 2СГ + a0E. (2.7)

~R ^ ^ ^

Соотношение (2.7) естественным образом сводится к закону Гука в линейной теории упругости [6]: 5 = 2С£ + аоЕ.

Однако в данном случае в качестве меры напряжений используется обобщенный повернутый тензор напряжений Коши, а вместо линейного тензора деформаций — тензор Генки.

3. Рассмотрение различных связей напряжений и деформаций на примере чистого сдвига по деформациям. Будем рассматривать однородный процесс чистого сдвига изотропного, нелинейно-упругого несжимаемого материала, для которого главные удлинения связаны соотношениями

Л2 = А-і,Аз = 1. (3.1)

Опишем кинематику чистого сдвига через основные деформационные

меры в базисе главных осей (базиса еі, е2, ез декартовой прямоугольной

системы координат):

Ф = Аіеіеі + А-1в2в2 + езбз,Е = Е, (3.2)

С = А2еіеі + А-2в2в2 + езез, (3.3)

А1 - 1 ^ А-2 - 1 ^ ^ ^ „

£ = ---2----------------------еіеі + —1—-е2е2 = Єіеіеі + Є2е2е2, (3.4)

Г = 1п Аіеіеі + 1п А-іе2е2. (3.5)

Вычислим алгебраические инварианты тензора Коши-Грина по формуле

(3.4): 2

А2 , А-2

■^і = “2і + ~2—1 = £і + £2,

з2 = - 2 2 2

2 (А? + А-2) - 1

= £і£2, Jз = 0. (3.6)

Проанализируем на основе чистого сдвига определяющее соотношение (2.7) и, в частности, подтвердим при его использовании совпадение углов вида тензоров Б и Г.

Тензор Б получим из связи напряжений и деформаций (2.7), применив связь тензоров напряженного состояния [7] и условие несжимаемости:

Б = Я-1 • (2СГ + аоЕ) • Я = 2СЯ-1 • Г • Я + аоЕ.

Положим, что гидростатическое напряжение для данного процесса обращается в ноль:

о («11 + «22 + «зз) = ^0 = 0. (3.7)

Тогда можем упростить последнюю формулу:

5 = 2GR-1 • Г • R. (3.8)

Отсюда и из определения угла вида y тензора Генки [6] получаем:

Y = п/6, S33 = 0, S11 = -S22- (3.9)

для всего процесса деформирования.

Таким образом, на основании формул естественных инвариантов и выражений (3.9) мы получаем, что углы вида тензора истинных напряжений Коши и левого тензора Генки совпадают и равны п/6. Это означает, что определяющее соотношение (2.7) удовлетворяет частному постулату изотропии [5].

Проверим, будет ли удовлетворять частному постулату изотропии Ильюшина (совпадению углов вида S и Г) соотношение (1.5) для простейшей

свободной энергии Трелоара. Данное выражение не зависит от третьего инварианта тензора Коши-Грина J3, что выполняется и для форм (2.3),

(2.4). Тогда

д д

Tii = djJ-+ д J (e1£2 — £i) — А [l + 2^1 + 2^2 + 4£1£2 + 4£f — £ (2 + 4^1 + 4в2)]

Tij =0, i = j. (3.10)

Используя связь тензоров напряжений и условие несжимаемости, которое сводится к равенству = 1, приходим к выражениям главных значений

G —

тензора истинных напряжений Коши:

„ \2 дф + Л2 3 П дф х

811 = Л‘ J + (Л‘ " 4 Л - ijdJ - Х-

,-2 дф . Л -2 3 \ -4 1 А дф

дф /1 1 2 1 _2\ дф . .

833 = дГ1 + (2 - 4Л1 “ 4л- ) д12 - л 8г] = °’г = 3'

Исходя из условия (3.7) отсутствия гидростатической составляющей напряжений и соотношений (3.11), выражаем неопределенный множитель Лагранжа:

Л =3 (1 + Л2 + л-1) ддф + 1 (л? + л-1 - Л4 - л-4) ддф. (3.12)

Из (3.11), (3.12) окончательно находим

8 = ( 2 ,2 1 1 л-2\ дф + ( 3 ,2 1 ,4 1 1 л-2 + 1 л-4\ дф

811 = ол1 -7-7 л1 ТГГ + 7л1 -7 л1 -7-7 л1 + 7 л1

3 1 3 3 1 дЗх V 4 1 2 1 4 4 1 4 1 д J2

«22 = ( тгЛі 2 — о — о Л]

533

2_1 Л2_ I х-2

3 3 1 3 1

дф д 31 дф д 31

+

3 \ —2 1 х —4 о о х2 1 хЛ дф

4 А] — 4 А] — 4 — 4 А] +4 Л7 дІ2

+ I 2 — 2 Л1 — 2 Л-2 + 4 Л1 + 4 Л-4

дф д 32

і = І- (3.13)

Формулой (3.8) было установлено, что угол вида левого тензора Генки равен п/6 для всего процесса деформирования. Как видно из (3.13), ни одна из диагональных компонент тензора 5 не обращается в ноль в общем

случае. Тогда на основании выражений естественных инвариантов можем сделать вывод, что угол вида 5 меняется в процессе деформирования, и,

следовательно, не совпадает со значением п/6, кроме некоторых точек.

На основе формул (3.13) и определений естественных инвариантов построим зависимость угла вида напряженного (тензора истинных напряжений Коши) состояния от удлинения Л] для соотношения Трелоара (рисунок).

Зависимость угла вида тензора истинных напряжений от Лі для свободной энергии Трелоара ф = с131, где с1 = 3.8кг/см2

График на рисунке также свидетельствует о том, что для определяющего соотношения Трелоара углы вида тензоров Б и Г различны кроме начального

недеформированного состояния. Таким образом, даже простейшая связь напряжений и деформаций Трелоара не обеспечивает выполнение частного постулата изотропии Ильюшина.

Список литературы

1. Лавендел Э.Э. Расчет резинотехнических изделий М.: Машиностроение, 1976. 228 с.

2. Бидерман В.Л. Вопросы расчета резиновых изделий // Расчеты на прочность. М.: Машиностроение, 1958. Вып. 3. С. 40-87.

3. Трелоар Л. Физика упругости каучука. М.: Иноиздат, 1953. 346 с.

4. Маркин А.А., Сотников К.Ю. Механика сплошной среды: учеб. пособие. Тула: ТулГУ, 2003. 132 с.

5. Маркин А.А., Христич Д.В. Нелинейная теория упругости: учеб. пособие. Тула: ТулГУ, 2007. 92 с.

6. Лурье А.И. Нелинейная теория упугости. М.: Наука, 1980. 512 с.

7. Маркин А.А. Термомеханика сплошной среды: учеб. пособие. Тула: ТулГУ, 2009. 140 с.

Козлов Виктор Вячеславович (kvwmmf12@tula.net), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

The analyze of defining relationship for isotropic elastic incompressible materials

V. V. Kozlov

Abstract. The problems of prediction behavior of elastic incompressible materials (for example, rubber and others elastomers) have serious value in the modern world. In continuum mechanics such approach developed by Lavendel [1], Biderman [2], Treloar [3] and others. The general defining relationship for elastic materials were considered in works of A.I.Lurie [4], V.V.Novogilov, etc.

At the same time earlier received communications of stress and deformations were under construction basically at use of the main lengthenings of the left measure of distortion or a tensor of Koshi-Grin. This approach is burdened by that it is not possible to divide process deformation into volume and form change though it is known that reaction of the majority of materials to volume and form change is essentially various. In the given work attempt to eliminate the specified negative aspect of former theories is presented, and also to define some positions of acknowledgement of a private postulate of an isotropy of Ilyushin.

Keywords : non-linear elasticity theory, constitutive relations, pure shear, incompressible material.

Kozlov Victor (kvwmmf12@tula.net), postgraduate student, department of mathematical modeling, Tula State University.

Поступила 24-09.2011