CC BY
47
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 4. С. 137-143 Механика
УДК 539.3
Вопросы конкретизации определяющих соотношений нелинейной теории упругости на основе рассмотрения одноосного однородного растяжения *
А. А. Маркин, В. В. Козлов
Аннотация. Рассматривается одноосное однородное растяжение (сжатие) призматического тела. Решение задачи описания напряженно-деформированного состояния найдено для различных видов определяющих соотношений нелинейной теории упругости. В частности, внимание уделено классу определяющих соотношений, удовлетворяющих предельному случаю частного постулата изотропии А.А. Ильюшина. Установлены различия в поведении среды в зависимости от типа определяющего соотношения. Сделан вывод о достаточности эксперимента на растяжение (сжатие) для конкретизации связей между напряжениями и деформациями в рамках предельного варианта частного постулата изотропии.
Ключевые слова: осевое однородное растяжение, нелинейная теория упругости, определяющие соотношения.
Введение
Одноосное однородное растяжение (сжатие) — один из простейших видов нагружения, реализуемый в эксперименте. Ему посвящено множество публикаций, в частности, с его описанием можно познакомиться в работах А.И. Лурье [3], А.Н. Гузя [1]. В статье построены аналитические зависимости условного напряжения от осевого удлинения для различных видов определяющих соотношений. Предлагается схема конкретизации определяющих соотношений нелинейной теории упругости, удовлетворяющих предельному случаю частного постулата изотропии А.А. Ильюшина.
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 14-01-31138-мол_а, № 15-01-01875-а).
1. Решения задачи об одноосном однородном растяжении (сжатии) призматического тела с различными определяющими соотношениями
Рассмотрим призматическое тело длиной I, к которому в концевых сечениях вдоль оси Охз приложена сила в ^з (рис. 1).
Рис. 1. Схема нагружения цилиндра
Свяжем с телом декартовую прямоугольную систему координат с базисом
е1, ё*2, ез.
Запишем в данном базисе аффинор деформации, компоненты которого в силу однородности не зависят от материальных координат. Условие изотропии предполагает при простом растяжении (сжатии) равенство удлинений материальных волокон А1, Л2:
Фу = А1 (в1в1 + в2в2) + Азвзвз. (1)
Аффинор деформации совпадает с левой мерой искажения и, в то время как тензор поворота Я является единичным. Найдем выражение тензора Коши-Грина:
£ = 1/2 (А? - 1) (в1в1 + в2в2) + 1/2 (А2 - 1)взвз = £11в1в1 + £22в2в2 + вззвзвз,
где = у/2ец + 1, £22 = £11.
Одноосное однородное растяжение (сжатие) предполагает следующие условия относительно компонент тензора истинных напряжений Коши §:
«11 = 0, «22 = 0, «зз = 0. (2)
В качестве связи напряжений и деформаций сначала используем соотношение Гузя в форме [4]
Т = 2О£ + К (£ ••Е),
где Т — энергетический тензор напряжений, О — модуль сдвига, К — модуль объемного расширения.
Тогда с учётом равенства £11 = £22
е = £ - 1 £ • •Е = 1 [(еп - езз) (ё1в1 + ё^) + (-2еп + 2езз) взвз]
и энергетический тензор напряжений можно представить в виде
20
Т = —- (£11 - £зз) (в1в1 + в2в2 - 2взвз) +
3 (3)
+К (2е11 + езз) (в1в1 + ее + взвз).
Используя связь энергетического тензора напряжений и тензора истинных напряжений Коши [4]
§ = \[а!0 фт • т • ф,
где О = ёе! (О^) = Л2Л2Лз = Л^Л2, д = 1, тензор § определим по формуле:
§ = ЛЛ (4)
Выразим ец (езз) и Л1 (Лз) с помощью условия (2), которое в данном случае эквивалентно ограничению Тц = Т22 = 0:
Т11 =0: 20 (еп - езз) + К (2еп + езз ) = 0 ^ еи = ^^Г^) 3 20 + 6К
(5)
(Л2 - 1) (20 - 3К)
^ Л1 = = у 2О + 6К + 1 (6)
Из выражений (3) и (5) представим компоненту Тзз в виде
Тз;з = О^^+К • (7)
Из формул (4), (6) и (7) следует
(\ ) Лз 90К 1 , 2 ,,
'зз(Лз)= • ОГзК • 2 Л-1 •
Используем последнее соотношение, чтобы выразить условное напряжение Рз, равное отношению растягивающей (сжимающей) силы ^з к начальной поперечной площади образца £о, в зависимости от удлинения Лз:
Р (Л ) ^ ^ззЛ2£о 1 90КЛз (Лз -1) (8)
Рз (Лз) = = = 2 • ОГзК • (8)
Рассмотрим, какой будет зависимость Рз (Аэ) в случае использования связи напряжений и деформаций, удовлетворяющей предельному случаю частного постулата изотропии [2]:
Г
Ок = ак + аоЕ = т (э)- + ао (в) Е, (9)
э
где а К — повернутый обобщенный тензор напряжений Коши, т — его второй естественный инвариант (интенсивность напряжений т2 = а к ■ О к ), ао — гидростатическая составляющая тензора а к • в, э — первый и второй естественные инварианты тензора деформации Генки, характеризующие изменение объема и формы соответственно (в = Г ■ , э2 = Г ■ Т).
Рассмотрим в рамках определяющего соотношения (9) связь, предложенную в [4]:
ак = 2СГ + К (Г --Е). (10)
Для конкретизации повернутого тензора напряжений Коши определим левый тензор Генки и его первый алгебраический инвариант в. Поскольку левая мера искажения, совпадающая в данном случае с аффинором деформации, уже представлена в главных осях:
и = А1е1в1 + А1ё2е2 + Азёзёз, эта задача не вызывает трудностей:
Г = 1п (А1) (ё1ё1 + ё2ё2) + 1п (Аз) ёзёз, в = 21п(А1)+1п(Аз) = 1п(А2Аз).
(11)
Тогда из формул (10) и (11) следует, что
ак = 2С [1п (А1) (ё1ё1 + в2ё2) + 1п (Аз) ёзёз] +
(2С\ (12)
К--— ) 1п (А?Аз) (ё1ё1 + ё2ё2 + езёз) = (ак)и её. 1 '
Используя связь повернутого и истинного тензоров напряжений Коши [4]
§ = л/д/СЕ-1 ■ ак ■ В
и учитывая, что тензор поворота является единичным, представим тензор истинных напряжений Коши в виде
§ ёёг- (13)
Определим зависимость А1 (Аз) с помощью условия (2), которое в данном случае эквивалентно ограничению (ак)11 = (ак)22 = 0:
(ая)п = 0: 9С 1п(А1) + (к - 1п (А?Лз) =0 *
/ 9С — 3К\ 2С-3К
* 1п(А1) = (9ст3К) 1п(Аз) * А1 = Аз2С+6К . (14)
Таким образом, из формул (12)—(14) получим компоненту 333:
(ая )зз = 9СК 1п(Аз)
833
(А1 (Аз))2 Аз С + 3К (А1 (Аз))2 Аз'
Используем последнее соотношение, чтобы выразить условное напряжение Рз в зависимости от удлинения Аз:
ззз£ вззА?£о 9СК 1п(Аз) _
Рз (Аз) = = = СГзК^Т" • (15)
На рис. 2 представлены зависимости (8), (15) Рз (Аз) для значений параметров С = 3.8кг/см2, К = 100кг/см2.
Рис. 2. Зависимости Рз (Аз) для значений параметров С = 3.8кг/см2,
К = 100 кг/см2
Анализируя графики рис. 2, видим различия в поведении материала в зависимости от выбранной связи напряжений и деформаций. Исходя из сравнения экспериментальной зависимости Рз (Аз) с модельной, различным типам материалов могут быть рекомендованы те или иные виды определяющих соотношений, основанные на свободной энергии как функции алгебраических инвариантов тензора Коши-Грина или естественных инвариантов тензора Генки.
2. Конкретизация определяющих соотношений для предельного случая частного постулата изотропии
Актуален вопрос использования более сложной по сравнению с формой (10) связи между напряжениями и деформациями, удовлетворяющей предельному случаю частного постулата изотропии А.А. Ильюшина и представленной в виде (9): or = Gr + a0E = т (э) г + о0 (в) E, с помощью которой будет получено более точное описание поведения материала, нежели представленное на рис. 2. Для этого необходима методика определения упругих констант. Предложим подобную методику при рассмотрении одноосного однородного растяжения (сжатия).
Пусть в эксперименте на растяжение-сжатие получены следующие данные:
1) зависимость условного напряжения от продольного удлинения P3 (Аз);
2) зависимость поперечных удлинений от продольного А3: Ai (А3) = = А2 (Аз).
Из формулы (1) для аффинора деформации следует, что зависимости поперечных удлинений от продольного удлинения достаточны для нахождения мер деформированного состояния среды. Из выражения P3 (Аз), общая формулировка которого представлена в соотношениях (8), (15), можно получить связь между P3 (А3) и единственной ненулевой компонентой тензора истинных напряжений Коши в зависимости от А3:
S33 (А3) = P3 (А3) / [А1 (А3)]2 .
Таким образом, ненулевая компонента мер напряженного состояния полностью определяется данными из эксперимента I—II.
Следовательно, могут быть найдены Г (А3), о3 (А3) и отсюда зависимость интенсивности напряжений от интенсивности формоизменения — т = т (э).
Определяем гидростатическую составляющую напряжений оо (А3) и параметр объемного изменения в (А3). Строим зависимость оо = оо (в).
Следуя указанной методике и аппроксимируя необходимые зависимости, конкретизируем определяющее соотношение в виде (9).
Вывод: результаты эксперимента на растяжение (сжатие) достаточны для конкретизации определяющих соотношений or (Г), описывающих материал в рамках предельного случая частного постулата.
Список литературы
1. Гузь А.Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях. Киев: Нау-
кова думка, 1973. 270 с.
2. Козлов В.В., Маркин А.А. Анализ определяющих соотношений изотропных
нелинейно-упругих сжимаемых материалов // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 1. Ч. 1. С. 133-143.
3. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.
4. Маркин А.А., Христич Д.В. Нелинейная теория упругости: учеб. пособие: 2-е
изд., доп. Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. 92 с.
Маркин Алексей Александрович (markin-nikram@yandex.ru), д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Козлов Виктор Вячеславович (viktor1986t@mail.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Questions specification of the defining relationships of nonlinear elasticity theory by considering uniaxial homogeneous tension
A. A. Markin, V. V. Kozlov
Abstract. We consider a uniaxial homogeneous tension (compression) of the prismatic body. The solution of the problem of describing of the stress-strained state is found for different types of constitutive relations of nonlinear elasticity theory. In particular, the attention is paid to the class of constitutive relations, satisfying the limiting case of the A.A. Ilyushin's particular isotropy postulate. The differences in the behavior of the continuum depending on the type of constitutive relations were explored. The conclusion about the sufficiency of the experiment of tension (compression) for specifying of relations between stresses and strains within the limiting case of the A.A. Ilyushin's particular isotropy postulate is done.
Keywords: uniaxial homogeneous tension, nonlinear elasticity theory, constitutive relations.
Markin Alexey (markin-nikram@yandex.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of department, department of mathematical modelling, Tula State University.
Kozlov Viktor (viktor1986t@mail.ru), candidate of physical and mathematical sciences, lecturer, department of mathematical modelling, Tula State University.
Поступила 22.11.2015
