Конечные деформации и устойчивость равновесия сжимаемого упругого полого шара при следящем внутреннем давлении Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.311:58 + 621.77

Конечные деформации и устойчивость равновесия сжимаемого упругого полого шара при следящем внутреннем давлении

Е.Б. Осипова

Тихоокеанский океанологический институт им. В.И. Ильичева ДВО РАН, Владивосток, 690041, Россия

В общей трехмерной постановке теории конечных деформаций и линеаризованной теории устойчивости выполнено исследование устойчивости равновесия полого шара для произвольной формы упругого потенциала с учетом сил гравитации и внутреннего следящего давления. Динамическим методом установлена форма потери устойчивости равновесия при радиальной симметрии в основном состоянии для изотропного сжимаемого полого шара, описываемого потенциалом Мурнагана. Устойчивое состояние равновесия характеризуется радиальным перемещением, перемещением поворота и результирующей по главным направлениям деформации точки. Численно-графический анализ форм неустойчивости равновесия выполнен для трехслойного шара и применен к анализу тектонических последствий сил гравитации и внутреннего следящего давления на нижней границе области аномальных масс Земли, представленной литосферой, астеносферой и подастеносферной мантией для входных данных геофизической модели Земли РЕМ-А.

Ключевые слова: устойчивость равновесия, объемное деформирование, потенциал Мурнагана, сжимаемость упругих тел, перемещение поворота

Finite strain and equilibrium stability in a compressed elastic hollow sphere

at internal follower pressure

E.B. Osipova

Pacific Oceanological Institute FEB RAS, Vladivostok, 690041, Russia

Using the general three-dimensional statement of finite deformation theory and linearized stability theory, equilibrium stability of a hollow sphere was studied for an arbitrary elastic potential with consideration for the force of gravity and internal follower pressure. The form of equilibrium stability loss in a radially symmetric ground state was determined dynamically for a compressed isotropic hollow sphere described by the Murnaghan potential. Stable equilibrium is characterized by radial displacement, displacement of rotation and resultant point over principal strain directions. Numerical-graphical analysis of the forms of equilibrium instability was made for a three-layer sphere and was applied to analysis of tectonic effects of forces of gravity and internal follower pressure at the lower boundary of the anomalous mass region of the Earth represented by the lithosphere, asthenosphere and mantel beneath the asthenosphere for input data of the REM-A reference Earth model.

Keywords: equilibrium stability, volumetric deformation, Murnaghan potential, compressibility of elastic solids, displacement of rotation

1. Введение

Геофизическая направленность механико-математического исследования напряженно-деформированного состояния упругого шара достаточно распространена [1-3]. В работах [1, 3] в рамках сферически симметричной модели Земли рассчитано распределение радиальных деформаций в коре и мантии, при этом отмечается вероятное усложнение поля деформаций с учетом всех возможных факторов и параметров реальной Земли. В

монографии [2] дано общее решение задачи о радиально-симметричном состоянии равновесия нелинейно-упругого, несжимаемого полого шара для произвольной формы упругого потенциала, под действием постоянного внутреннего и внешнего давления. В работе [4] в рамках линеаризованной теории упругой устойчивости представлено модельное исследование складкообразования массивных толщ горных пород.

© Осипова Е.Б., 2009

Современные геофизические модели Земли представляют собой обобщение количественных сведений о строении Земли. Они удовлетворяют всем имеющимся данным и построены в постановке обратной задачи геофизики. Одной из наиболее оптимальных является сфе-рически-симметричная параметрическая трехкомпонентная модель РЕМ (parametric earth model), предложенная в работе [5]. Она представлена тремя моделями: средней РЕМ-А и двумя региональными — океанической РЕМ-О и континентальной РЕМ-С. Эти модели отражают существование аномальных масс — различия в строении коры и верхней мантии океанических и континентальных регионов, локализованных до глубины 420 км. Кажется актуальным построение и изучение механико-математических моделей глобальных тектонических процессов на основе геофизических данных, представленных современными моделями Земли.

В общей трехмерной постановке в рамках линеаризованной теории упругой устойчивости и теории конечных деформаций исследована устойчивость равновесия трехслойной сжимаемой упругой Земли при основном радиально-симметричном состоянии. Полученные результаты применены к анализу тектонических последствий сил гравитации и внутреннего следящего давления на границе локализации аномальных масс Земли, представленной литосферой, астеносферой и подастено-сферной мантией. Физико-механические параметры слоев приняты в соответствии с данными моделей Земли типа РЕМ [5]. Геофизические свойства слоев литосферы и астеносферы Земли соответствуют [6]. Физический закон состояния слоев определен потенциалом Мурнагана [7, 8].

2. Основные линеаризованные соотношения теории устойчивости

Теория конечных деформаций позволяет удовлетворительно описать поведение изотропных сред без ограничений на величину деформаций и с учетом возможных нелинейных эффектов. Исследование результирующего состояния устойчивости равновесия условно разделяется на основное (невозмущенное) состояние и возмущенное напряженно-деформируемое, которое представляет собой новую устойчивую форму равновесия и описывается соответствующими линеаризованными соотношениями [2, 9, 10].

Рассмотрим определяющие соотношения теории конечных деформаций и их линеаризованные выражения в произвольной ортогональной криволинейной системе координат. В приведенных ниже выражениях и далее все величины, отнесенные к основному состоянию, отмечены верхним индексом 0, а соответствующие величины возмущенного состояния индексом не отмечены.

Геометрические соотношения определены согласно [10]:

- ковариантные составляющие тензора деформаций Грина основного состояния:

o^O V7 0 , V7 0 , V7 0 \~7 m0

2єj -ViUj +VjUi +VUmVjU ,

(1)

- возмущения ковариантных составляющих тензора деформаций Грина:

2е в = (дГ +У;Ыт0)У ]ыт +

+ (дГ +У ]ит0)У,Ыт. (2)

В общем виде компоненты симметричного тензора обобщенных напряжений s1J для сжимаемого нелинейно-упругого тела в основном и возмущенном состояниях определены соответственно [10]:

ij о 1 sJ - —

Э д

Эе0- + де0

iij

*0(AJ, AO, A30),

sin -XinaeVRU

eUa,

(qa+V mU a0)

д

+

д

дєО. дє0„

дє0

*0(AJ, AO, A30),

дф

о *0-,

(3)

(4)

где дт — метрический тензор.

Алгебраические инварианты тензора деформаций Грина заданы [2]:

.................... (5)

/0 _ n0 /0 _ m0 n0 /0 _

A1 - n , a2 - n m , A3 -

mO k0 nO bt

Введем в рассмотрение несимметричный тензор напряжений Кирхгофа с компонентами ?■1. Тогда линеаризованное уравнение состояния примет вид [10]:

Ат / т , т-7 т0\ 1п , т-7 та 160 //тч

t = (Яп +^пЫ > +V?,uag ^ . (6)

Тогда уравнение равновесия объемного элемента в контравариантных компонентах несимметричного тензора напряжений Кирхгофа с учетом объемных сил Хт имеет вид [9]:

у/т + Хт = 0. (7)

Выражения объемных сил конкретизируются для основного и возмущенного состояний.

3. Постановка задачи

В соответствии с общей постановкой задачи линеаризованной теории устойчивости равновесия [9-11] рассмотрим радиально-симметричное неоднородное напряженно-деформированное состояние трехслойного сжимаемого полого самогравитирующего шара под действием внутреннего следящего давления интенсивности р, внешняя поверхность которого свободна от нагружения, на поверхностях контакта слоев приняты условия идеального скольжения.

Решение задачи выполнено в сферической системе координат Орф6 в физических составляющих (нижние индексы взяты в круглые скобки) компонент тензора

д

д

X

в

X

деформаций Грина е^-), несимметричного тензора напряжений Кирхгофа 1(-), физических составляющих вектора перемещений ик, параметра удлинения Xк в направлении координатных линий k.

В основном состоянии уравнение равновесия (7) с учетом радиальной симметрии преобразуется к виду:

( О

d t,

(11)

+

t0

411)

( ) ч0 t(22)

dp Р

V ;

с граничными условиями:

( )0 + X (01) = 0

(8)

(3) (3) (2) (3) (2)

10 1(11) - 0 10 - °, 1(11) = 10 =1(11) , и° - и10

р=р4 р=р3

Р=Р3

(2)

10 t(11)

(1)

-10 ■411)

(2) (1)

Ы° = Ы

(1)

10 1(11)

=-р

р=р2

+(1) ( 0

я:

(1)

Яп

V /

(9)

Р=Р2

Р=Р1

Индекс i = 1, 2, 3, поставленный в круглых скобках сверху над величиной, обозначает принадлежность ее к г'-му слою с соответствующей областью определения аргумента р: при г = 1 р1 < р < р2, при г = 2 р2 < р < р3,

(1) (1)»

при г = 3 р3 < р < р4. Sn, Snl — площадь элемента поверхности г-го слоя, расположенного перпендикулярно координатному направлению п до и после деформации;

( )0 ( )0 ( )0 ( )0

ы1 = и1 (р) = ыр (р) = р(Х -1) — радиальное перемеще-( )0 ( )0 ( )0 ( )0 ( )0

ние точек г-го слоя, где Л® = = Х°2 = Хф = X0 (р) —

удлинения в меридиональном и широтном направлении;

( )

( ) 0 ( )

л. 0 d X л. 0

Х0р = р-+ X0 — удлинения в радиальном направле-

р dр

( )0

ниях; X (1) — объемная сила, определяющая собственную гравитацию шара [2], направлена к его центру и имеет вид:

( )

X0 = Х (1) —

( ) ( )

0

( ) V

( )

grad Ф,

Ф =р 2

2Л

(10)

0

где V, V — объем элемента г-го слоя до и после дефор-

(1)

мации; у — плотность г-го слоя; _К0 — внешний радиус шара; р — текущий радиус.

Материал каждого слоя шара — изотропный сжимаемый с упругими свойствами, описываемый потенциалом Мурнагана [7]:

(О X (12 (1) (1') а (13 (1') (1') (1') с ^ А1 + ц а 2+~3 А + ь а ^2+~3 А3

( ) А3,

(11)

( )( )( )( )( )

где величины X, ц, а, Ь, с являются константами материалов слоев и определяются геофизическими мето-

( ) ( ) ( )

дами; А1, А2, А3 — алгебраические инварианты тензора деформаций Грина. Для потенциала Мурнагана в основном состоянии уравнение равновесия (8) с граничными условиями (9) не сводится к квадратурам. Поэтому решение для каждого слоя имеем в виде сходящегося степенного ряда.

В возмущенном состоянии устойчивость равновесия исследуем динамическим методом [12], который сводится к изучению поведения малых колебаний тела вблизи положения равновесия. Для этого представим все величины, входящие в линеаризованные уравнения равновесия и соответствующие граничные условия в виде произведения амплитудного выражения величины на временной множитель ехр(г'ют), при т = 0 имеем основное равновесное состояние. Тогда линеаризованное уравнение устойчивости равновесия (7) для произвольной формы нелинейно-упругого потенциала для каждого г-го слоя шара преобразуется к виду:

Э8

Эы1

А1— + А28+[А3 (V + 2) + ум рЫ + А4--------+

Эр

Эр

+А

Э 2 и

Эр2

= 0,

Э 28

Э8

V 28 + К1—- + К2— + К38 + [ К4^ 2 + 2) + Эр2 Эр

Эи

+ К5]Ы1 + [К6^ 2 + 3) + К71—1 +

Эр

(12)

+ К»

Э 2 и

Эр2

- + Ко

= 0,

2 Э 2Х

V 2Х+Ь —X+ь

Эр2

Э 3Ы1

эр3

2^Эр + ЬзХ = 0. Эр

В системе уравнений (12) верхний индекс принадлежности к г-му слою опущен для простоты записи.

Линеаризованная система (12) является системой уравнений в частных производных относительно переменных, определяющих для каждого слоя радиальное ( ) ( )

перемещение точки ы1 = ы1 (р, ф, 0), результирующую

( )

по главным направлениям деформацию точки 8/р =

( )

= 8 (р, ф, 0)/р, перемещение поворота вокруг точки

( ) ( )

X = X(р, ф, 0). Имеем в развернутом виде:

( ) ( ) У Э ы1 Э и

8 =р 1 +

Эр Эф

2 (1)

+ 2ы1 +

1

sin ф Э0

( )

Э и3 (1 )

+ Ы2^ ф,

( )

Э ы3 (1 )

—— + UзCtg ф +

Эф

1

Э( ) Э и2

sin ф Э0

(13)

Система (12), рассмотренная для каждого слоя шара, позволяет найти решение с точностью до постоянных.

Конкретизация выбора постоянных величин в выраже-

(!) (О (!)

ниях м1, о, х решается присоединением граничных условий, соответствующих возмущенному состоянию устойчивости равновесия, при этом полагаем, что изменения интенсивности давления ~ в момент потери устойчивости не происходит. Имеем:

(3) (3) (3)

t(11) = t(12) = t(13)

= О,

P=P4

(3) (2)

t(11) = t(11)

(3) (2)

, Uj — Uj

P=P3

(3) (2) (3) (2)

t(12) = t(12) = t(13) = t(13)

P—P3

= О,

P—P3

(2) (1) t(11) =t (11)

(2) (1)

Uj — u

(15)

P=P2

(2) (1) (2) (1) t(12) = t(12) = t(13) = t(13)

P=P2

— 0,

P—P2

(1) t (11)

— — p X

(1) (1) t(12) — t(13)

— 0.

P—P1

Используя выражение оператора Бельтрами [2]

2 d 1 d2

+ ctgф— + . 2 , (16)

V 2 —.d 2

Эф2 °'гЭф sin2ф Э02’

решение системы (12) определяем методом разделения переменных в виде:

(І) “ (І)

8 — E80m (P)Mm (а)cos(m0) а — cos ф,

m—0

(І) ~ (І)

u1 — E u10m (P)Mm (а)cos(m0), (17)

m—0

(І) ~ (І)

X — EX0m (P)Mm (а)sin(m0).

m—0

Непосредственная подстановка выражений (17) в систему (12) дает для каждого из уравнений два уравнения. Одно из них, одинаковое для всех уравнений системы, имеет вид:

d 2 dM (а)

— (1 — а 2)-----— +

dа dа

n(n +1) —-

1 — а

M (а) — 0

(18)

и имеет решением присоединенные функции Лежандра Рпт (а), первого рода степени п и порядка т, п < т, п и

т — параметры волнообразования и здесь являются целыми действительными числами.

Каждое второе уравнение, получающееся в результате разделения переменных в системе (12), является

линейным дифференциальным уравнением относитель-

(0 (і)

но коэффициентов разложения (17) 80т (р), и10т (р), (і) ґ ч

X0т (р), зависящих только от координаты р. В результате для каждого слоя получаем систему из трех линейных уравнений относительно трех неизвестных:

f(1) (1) ( f (І) (

2 ) + ( 3 ) , Lj — n(n +1)

V J P—Pl * J

(І) (І)

P1 u10 + Р2

(І) « d Що

dp

(І) Э 2

+p

(І)

u10

(І) э3

dp2

+ Pa

(І)

u10

dp3

(І) d

(І)

dp4

— 0,

(І) (і) (І) (і) (І) д и! (І) д

Bj 80 + B2 U10 + B3 —-— + Д

(i)

u10

dp

(i) d3

+ B5

(i)

u10

dp3

— 0,

(І)

(i) (i) d X0

X 0 + L2 Л0

dp

dp2

+ f d 2 Xo

(19)

— 0.

(!) (!) (!)

Коэффициенты Pj, В1, Ls являются функциями параметров основного состояния г-го слоя, частоты воз- (!) - ^ мущений ю, текущей координаты р. Первое и третье

уравнение системы (19) имеют регулярную особую точку р = 0, в окрестности которой решение может быть найдено разложением в обобщенный степенной ряд [13]. Соответствующие преобразования в граничных условиях позволяют также разделить переменные.

Общая структура системы дифференциальных уравнений (19) для каждого слоя шара с учетом граничных

(!)

условий (15) такова, что коэффициенты 80т (р),

(!) (!)

и10т (р), Х0т (Р) являются собственными функциями для множества соответствующих собственных значений

(!)

%.

Конкретизируя закон состояния для каждого слоя шара в виде потенциала Мурнагана (11) и подставляя соответствующие выражения компонент тензоров деформаций (2) и напряжений (4), (6) в граничные условия, получаем для каждого слоя три однородных системы линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложения (17). Каждая из полученных систем линейных уравнений имеет ненулевое решение, если соответствующий определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, равен нулю. Совмест-

(!)

ное исследование множества собственных значений ю^

+

+

+

определяет возможные поля перемещений, деформаций и напряжений устойчивого равновесия каждого слоя шара.

4. Результаты численно-графического анализа

Параметрические модели Земли РЕМ-А, РЕМ-С, РЕМ-О [5] имеют выраженную неоднородность и различия до глубины 420 км (5951 км < р < 6371 км), причем модель РЕМ-А является средней и обобщающей относительно континентальной РЕМ-С и океанической РЕМ-О. Поэтому численно-графический анализ выполнен для модели РЕМ-А в интервале 5 951 км < р < <6371 км, в котором выделены три слоя с выраженными физико-механическими свойствами. Внешний слой — литосфера мощностью И3 = 80 км (6291 км < < р < 6371 км), средний слой — астеносфера мощностью Н2 = 140 км (6151 км < р < 6291 км), внутренний слой — подастеносферная мантия мощностью Н1 = = 200 км (5951 км < р < 6151 км), Н = к1 + к2 + к3 = = 420 км, R0 = 6371 км. Для расчетов ограничимся основной частью потенциала Мурнагана в виде:

Таблица 1

(!) X) (0, (!) (!)

т=—4 + ц л2.

(20)

В соответствии с данными модели РЕМ-А [5] полу-

(!)

чим средние значения упругих постоянных X, коэффи-(!) (!')»

циентов жесткости Ц, плотностей р для слоев шара

(табл. 1). Трехслойный шар находится под действием

внутреннего следящего давления р = 15.98 ГПа.

Средние значения упругих постоянных X, коэффициентов (!) О')

жесткости Ц, плотностей р* для слоев шара

Внутренний слой г = 1 Средний слой г = 2 Внешний слой г = 3

Упругая постоянная (!) X, ГПа 110.80 83.56 39.65

Коэффициент жесткости (!) Ц, ГПа 75.00 63.80 42.73

Плотность (!) р*, г/см3 3.3 3.2 3.1

Движение среды в основном состоянии характеризуется радиально-симметричной деформацией. Результаты расчетов приведены на рис. 1. Значения амплитуд перемещений, меридиональных удлинений, радиальных деформаций и напряжений по слоям приведены в табл. 2.

Таким образом, имеем устойчивое равновесное основное состояние в соответствии с граничными условиями (9). Выполняется непрерывность радиальных перемещений и радиальных напряжений на поверхностях раздела слоев шара. Действие внутреннего следящего давления р наиболее выражено во внутреннем слое, внутренние перемещения на границе его действия достигают 14 км и направлены от центра шара. По мере

и° км 10 0

5

6100 6200 . р, КМ

5100 6200 6300 р, км

Рис. 1. Радиальные перемещения и0 (а), меридиональные удлинения XЦ (б), радиальные деформации Ер0 (в), радиальные напряжения (р0 (г) для трехслойного шара в основном состоянии

Таблица 2

Значения амплитуд перемещений, меридиональных удлинений, радиальных деформаций и напряжений по слоям

Амплитуда перемещений Меридиональное удлинение Радиальная деформация Радиальное напряжение*

Внутренний слой (1)0 (1) 0 3.5 км < |и| 1 = |м| р < 14 км (1) 1.0005 < X» < 1.003 (1) (1) 0.07 <е01 =ерр < -0.041 (1)0 (1)0 8 ГПа < Ы„ = Ы < 16.5 ГПа 11 рр

Средний слой (2)0 (2)0 0.5 км < |м| 1 = и|р < 3.5 км (2) 0.9999 < Л°е < 1.0005 (2) (2) -0.041 < е101 =ерр < -0.024 (2)0 (2)0 2.7 ГПа < Ы“ = Ы ° < 8 ГПа 11 рр

Внешний слой (3)0 (3)0 0.5 км < |и| 1 = |м|р < 1.2 км (3) 0.9997 < Л09 < 0.9999 (3) (3) -0.024 < е101 =ерр < -0.0007 (3)0 (3)0 0 ГПа < Ы= Ы° < 2.7 ГПа 11 рр

* Знак минус соответствует действию радиального напряжения по направлению к центру шара

удаления от границы приложения давления наблюдается уменьшение значений внутренних перемещений, при этом во внешнем слое на границе, свободной от нагружения, имеем перемещения порядка 0.5 км, направленные уже к центру шара. Аналогичная картина наблюдается для полей напряжений и деформаций.

В общем случае малое перемещение среды как твердого тела является геометрической суммой явного перемещения ык точки и перемещения поворота х вокруг этой точки [2]. В радиально-симметричном основном состоянии составляющие перемещения поворота равны

(!) (!)

нулю. Распределение параметра X = X (р, Ф, 9) характеризует перемещение поворота по слоям и всего трехслойного шара в возмущенном состоянии. Результаты зависимости этого параметра от аргумента р по слоям за время т = 3 • 109 лет приведены на рис. 2. На рис. 2 вверху представлено изменение перемещения поворота вокруг текущей точки в плоскости ф = П 4, 9= П 3, внизу — изменение перемещения поворота вокруг текущей точки в плоскости ф = П2, 9 = П3 в слоях, модели-

Рис. 2. Перемещение поворота точки при ф = П4, 9 = П3 (вверху) и ф =

9

слоях в возмущенном состоянии за время т = 3 • 10 лет

рующих подастеносферную мантию, астеносферу и литосферу.

Как видно из рис. 2, перемещения поворота во всех слоях направлены к центру шара, значения этого параметра возрастают при 5 951 км < р < 6371 км, 0 < <Ф<П 2. Во внутреннем слое, моделирующем под-астеносферную мантию, значения перемещения поворота вокруг текущих точек меньше на порядок соответствующих значений в слоях, моделирующих астеносферу и литосферу, при этом радиальные перемещения в этом слое больше, чем в слоях, моделирующих астеносферу и литосферу. Вероятно, это зависит от того, как задано следящее давление на внутренней границе и собственной мощности этого слоя.

На рис. 3 представлена поверхность перемещения поворота, ограниченная 0 < ф < л/ 2, 0 < 9 < п на уровне р = 6291 км в слое, моделирующем литосферу в возмущенном состоянии за время т = 3 • 109 лет.

Конфигурация поверхности перемещения поворота вокруг текущих точек на всех уровнях во всех слоях

П2,9 = П3 (внизу) во внутреннем (а), среднем (б) и внешнем (в)

Рис. 3. Поверхность перемещения поворота, ограниченная 0<ф< <п/2, 0 < 0 < п на уровне р = 6291 км в слое, моделирующем литосферу в возмущенном состоянии за время т = 3 • 109 лет

имеет вид шара с радиусом, зависящим от текущих координат точки.

На рис. 4 для сравнения представлено сечение этой поверхности перемещения поворота плоскостями 0 = = и/6 и 0 = и/2.

Как следует из графиков на рис. 4, сечения поверхности перемещения поворота вокруг текущей точки представляют собой соответствующие кривые, отличающиеся значением радиуса, который возрастает или убывает в зависимости от текущих координат. В сечении 0 = п/2 имеем максимальное направление перемещения поворота текущих точек на уровне р = 6291 км в третьем слое, моделирующем литосферу в возмущенном состоянии за время т = 3 • 109 лет.

5. Выводы

Динамический подход [12] позволяет по расчетным

данным текущих значений удлинений, перемещений,

компонент тензоров деформаций и напряжений проанализировать возмущенное состояние всего шара и взаи-

модействие сил гравитации и внутреннего следящего давления. Если хотя бы одно из собственных значений имеет отрицательную мнимую часть, то имеем неустойчивость рассматриваемого основного состояния. В нашем случае величина внутреннего давления р = = 15.98 ГПа является критической, все три слоя при п = = 1, 2, 3 являются неустойчивыми, так как множество

\ 0.5 1.0 1.5 ф

-0.000004

-0.000008 N.

-0.000012 (3) X, км " \а_

\ 0.5 1.0 1.5 ф

-0.00001

-0.00002

(3) г, км б

Рис. 4. Сечения поверхности перемещения поворота на уровне р = = 6291 км плоскостями 0 = я/6 (а) и 0 = я/2 (б) в третьем слое, моделирующем литосферу в возмущенном состоянии за время т = = 3-109 лет

(')

собственных значений (йк для перемещения поворота для каждого слоя имеют значения с отрицательной мнимой частью. В зависимости от значения п = 110 и больше потеря устойчивости стабильна только для внешнего слоя, моделирующего литосферу. Но для каждого значения существует собственное значение из множества 0')

(%, при котором основное состояние равновесия будет устойчивым. При р1 = 14 ГПа имеем устойчивое равновесное состояние при всех п, при р > 15.98 ГПа — неустойчивое. По определению [12] в зависимости от п имеем статический тип перехода от устойчивой формы равновесия к неустойчивой.

Разложение (17) определяет для каждого слоя радиол

альное перемещение точки м1, результирующую по

(')

главным направлениям деформацию точки 8/р, пере-

(')

мещение поворота вокруг точки X • Поведение всех параметров отражает общую картину устойчивости (неустойчивости) основного состояния равновесия, позволяет исследовать различные формы потери устойчивости и конкретизировать зоны утонения, направления максимальных и минимальных перемещений поворотов, результирующего напряженно-деформированного состояния самогравитирующего трехслойного шара под действием внутреннего давления.

Полученные результаты позволяют реконструировать и объяснить особенности структурно-вещественной эволюции подастеносферной мантии, астеносферы и литосферы в результате тектонического воздействия собственной гравитации и внутреннего следящего давления.

Литература

1. Лейбензон Л.С. Деформация упругой сферы в связи с вопросом о строении Земли // Собр. трудов. - М.: Изд-во АН СССР, 1955. -Т. 4. - С. 186-266.

2. Лурье А.И. Теория упругости. - М.: Наука, 1970. - 939 с.

3. Медведев НИ. Об одной модели распределения деформаций в коре

и мантии сферически симметричной Земли // Геофизические поля и моделирование тектоносферы. Т. 3. Геодинамика тектоносферы зоны сочленения Тихого океана с Евразией. - Южно-Сахалинск: ИМГиГ ДВО РАН. - 1997. - С. 149-152.

4. ЕржановЖ.С., Егоров А.К., Гарагаш И.А., Коксалов К.К. Теория складкообразования в земной коре. - М.: Наука, 1975. - 240 с.

5. Dziewonski A.M., Hales A.L., Lapwood E.R. Parametrically simple earth models consistent with geophysical data // Phys. Earth Planet. Inter. - 1975. - V. 10. - No. 1. - P. 12-48.

6. Жарков В.Н., Трубицын В.П. Физика планетных недр. - М.: Наука,

1980. - 448 с.

7. Murnaghan F.D. Finite deformation of an elastic solid. - New York: Wiley, 1951. - 140 p.

8. Birch F. Elasticity and constitution of the Earth’s interior // J. Geophys.

Res. - 1952. - V. 57. - P. 227-286.

9. Biot M.A. Non-linear theory of elasticity and the linearized case for a body under initial stress // Phil. Mag. - 1939. - V. 27. - P. 89-115.

10. Гузь А.Н. Основы трехмерной теории упругой устойчивости деформируемых тел. - Киев: Вища школа, 1986. - 511 с.

11. Ержанов Ж.С., Егоров А.К. Устойчивость неоднородного деформирования нелинейных тел. - Алма-Ата: Наука, 1987. - 280 с.

12. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. - М.: Физматгиз, 1961. - 340 с.

13. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М.: Наука, 1976. - 576 с.

Поступила в редакцию 07.03.2009 г.

Сведения об авторе

Осипова Елена Борисовна, к.ф.-м.н., снс ТОИ ДВО РАН, osipov@poi.dvo.ru