CC BY
10из которого получаем, что функция (p(t), So) = p(t, 0), где p(t) — решение задачи Коши (2), монотонно не
возрастает на полуинтервале [0, то).
Аналогично проводится доказательство неотрицательности функции (p(t, 0), So) и неравенства
(-1)Ы (p(n)(t), So) ^ 0. Теорема доказана.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 10-01-00266a.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Богачев Л.В., Яровая Е.Б. Моментный анализ ветвящегося случайного блуждания на решетке с одним источником // Докл. РАН. 1998. 363, № 4. 439-442.
2. Яровая Е.Б. Применение спектральных методов в изучении ветвящихся процессов с диффузией в некомпактном фазовом пространстве // Теор. и матем. физ. 1991. 88, № 1. 25-30.
3. Яровая Е.Б. Ветвящиеся случайные блуждания в неоднородной среде. М.: Изд-во ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2007.
4. Albeverio S, Bogachev L.V., Yarovaya E.B. Asymptotics of branching symmetric random walk on the lattice with a single source // C. r. Acad. sci. Paris. Ser. A. 1998. 326. 975-980.
5. Яровая Е.Б. Критические ветвящиеся случайные блуждания по решеткам низких размерностей // Дискретная математика. 2009. 21, № 1. 117-138.
6. Topchii V., Vatutin V., Yarovaya E. Catalytic branching random walk and queueing systems with random number of independent servers // Teor. jmovirn. ta matem. statist. 2003. 69. 158-172.
7. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966.
8. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.
9. Яровая Е.Б. Об исследовании ветвящихся случайных блужданий по многомерным решеткам // Современные проблемы математики и механики. Теория вероятностей и математическая статистика / Под ред. А.Н. Ширяева. М.: Изд-во МГУ, 2009. 119-136.
Поступила в редакцию 27.05.2009
УДК 512.62
О ЧИСЛЕ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
А. Н. Зайцева1
Получена оценка числа решений мультиоднородных систем уравнений с использованием свойств функции Гильберта мультиоднородных идеалов.
Ключевые слова: число решений, мультиоднородные уравнения, функция Гильберта, произведение проективных пространств, нульмерные идеалы.
An estimnate for the number of solutions to multi-homogenious systems of equations is obtained using properties of the Hilbert function of multi-homogeneous ideals.
Key words: number of solutions, multiprojective equations, Hilbert function, multi-projective space, zero-dimensional ideals.
Рассмотрим кольцо многочленов R = K[xioo, ■ ■ ■, x\,ni, ■ ■ ■, %p,o, ■ ■ ■ , xp,np] над алгебраически замкнутым полем K характеристики нуль. Будем называть многочлен F Е R мультиоднородным или однородным по p группам переменных yi = (xi,o, ■ ■ ■ ,x\ni), ..., yp = (xp,о,- ■ ■ ,xp,np), если с некоторыми неотрицательными целыми Di, ■■■, Dp для всех ненулевых t1, ■ ■ ■ ,tp Е K выполняется соотношение
F(t1x1,0, ■ ■ ■ , t1x1,ni, ■■■, tpxp,0, ■ ■ ■ , tnxp,np) — tD ■ ■ ■ tp F(x1,0, ■ ■ ■ , xp,np) ■
1 Зайцева Анастасия Николаевна — студ. каф. теории чисел мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
В этом случае вектор О1,... Вр) называется мультистепенью полинома Е. По определению мультисте-пень О1,..., Вр) не превосходит (Н\,..., Нр), если В^ ^ И для всех г = 1,...,р.
Далее будем рассматривать мультиоднородный идеал I, т.е. идеал, обладающий базисом из многочленов, однородных по р группам переменных. Многочлены мультистепени (,..., (р) из идеала I образуют линейное подпространство I...,лр пространства Ял1...,лр многочленов из кольца Я такой же мультистепени. Функцией Гильберта И(,..., (р) идеала I называется размерность факторпространства
<Итк Чл 1 ,...4р = Я^,...,Лр - Ь1 ,..,Лр.
По теореме Ласкера-Нетер [1, с. 237-244] мультиоднородный идеал I допускает разложение в виде пересечения конечного числа примарных идеалов, однородных по тем же группам переменных I = 01П... П 0Г. Идеал I называется тривиальным, если каждый примарный идеал 01, г = 1,...,г, содержит пересечение Пк=1(х1,0, ..., хг).
Хорошо известно [2], что функция Гильберта ИI(,..., (р) нетривиального мультиоднородного идеала I С Я размерности а при достаточно больших значениях аргумента представляет собой полином от (1 , ...,(р степени а (полином Гильберта), т.е. имеет вид
^ п |!... п.,! "1 .....'' • (1)
1=0 «1+...+«р=г г
Следующая лемма связывает число решений системы мультиоднородных уравнений с полиномом Гильберта соответствующего идеала.
Лемма 1 [3]. Пусть многообразие нулей мультиоднородного идеала I С Я в проективном пространстве Р"1 х ... х РПр состоит из конечного числа в точек. Тогда полином Гильберта идеала I равен в.
Введем функцию (¿1,..., (р)), равную компоненте степени а полинома Гильберта идеала размерности а, умноженной на а!:
a.
Sj(I, dp))= Е ^.....apW—Г^-rd?1...^. (2)
аi. ... .
«1 +...+ap=a '
Функция Н^, (¿1,..., (р)) обладает следующим интересным свойством.
Лемма 2 [4]. Пусть мультиоднородный нетривиальный идеал I С Я имеет размерность а > 0, а мультиоднородный полином Р £ Я мультистепени (В1,..., Вр) не является делителем нуля в фактор-кольце Я/I. Тогда для достаточно больших натуральных чисел ¿1,..., ¿р справедливо соотношение
т,р);¿1,...л) = Е (^,...,<>„(1)Е■■■<%"■ (з)
а1+~^р=Л 1=1 (ч а1!...«р!
Перейдем к выводу основного результата этой статьи.
Теорема. Пусть полиномы ^1,..., £ К[х1,о, Х1д,..., хр;0,хрд] однородны по р группам переменных ух = (ж1;0,ж1;1), ...,ур = (хр>о,хрд) и их мультистепени не превосходят (Н1,... ,Нр). Если число решений (ух,..., ур) е Р1 х ... х Р1
ь1 системы
Fi(yi,..., yp) = 0,
; (4)
Fn (yi,...,yp) = 0
конечно, то оно не превосходит p.Hi... Hp.
Доказательство. Сначала докажем теорему для случая N = p. Рассмотрим цепочку вложенных идеалов Ik = (Fi,..., Fk). Из условия конечности числа решений системы (4) имеем dim Ik = p-k. Поэтому из (1) и (2) следует, что полином Гильберта идеала Ip равен константе и равен функции H(Ip, (di,..., dp)). Кроме того, выполнены условия леммы 2 для идеала Ik и многочлена Fk+i, т.е.
т+ъ• • •,dp)) = е Е% 1к n?d 11 • • • ■
Сравнивая последнее выражение с определением (2) и учитывая, что 1к+1 = (1к,Ък+1), получаем рекуррентное соотношение для коэффициентов:
(1к О + ... +
В силу оценок для мультистепеней degЪг ^ (Н1,..., Нр), г = 1,...,р, имеем
сл,...,1р(1к+1) ^ с71+1,...,7р(4)Н1 + ••• + с71 ,..,ъ+1(1к)нр. Отсюда с помощью индукции можно вывести
со,...,о(1Р) < £ ,ч..л№№ • • •
а 1. ... ар.
«1 +...+ар =р г
По определению функция Гильберта Н10 (¿1,..., (р) равна размерности пространства полиномов мультистепени (¿1,..., (р) над полем К, т.е.
Н1о (¿1, ...,(() = ( + 1) ((¿2 + 1) ... ( + 1),
откуда сразу получаем выражение для коэффициентов функции Н(1о, (¿1,..., (р)):
\1, если (а1 ,...,ар) = (1,...,1); Са1,...,ар (10 (5)
10, если (ад ,...,ар) = (1,..., 1).
Подставляя (5) в (3), находим
Н(1р, ((1,..., (р)) = ео,...,о(1р) < Р.Н1Н2 ...Нр. (6)
По лемме 1 неравенство (6) дает искомую оценку для числа решений системы (4) в пространстве Р1 х ... х Р1.
р
Случай N > р сводится к уже рассмотренному, если построить идеал 3 со следующими свойствами:
1) 3 С (Ъ );
2) 3 = (€1,..., Ср), где Сг однородны по у1 ,...,Ур и deg Сг ^ (Н1,.. .,Нр), г = 1,...,р;
3) dim 3 = 0.
Строим полиномы по индукции. Пусть С1 = тогда размерность идеала (С1) равна р — 1. Предположим, что при к < р полиномы €1,..., С к построены и размерность идеала 3к = (С1,..., С к) равна р — к. Разложим идеал 3к в пересечение примарных идеалов, которым соответствуют простые идеалы ф1,..., ф^. Заметим, что делителями нуля в факторкольце К/3к являются в точности элементы множества и*=1фг.
Шаг индукции: пусть мультистепень полинома Ъг равна (О,..., Ор), г = 1,...,р. Множество коэффициентов (ао,0,1) С К2, таких, что линейная форма аоХо + 01X1 лежит в простом нетривиальном идеале 0 С К[хо, Х1], составляет подпространство положительной коразмерности (если бы аоХо + 01X1 € 0 при всех (ао,а1), то Хо,Х1 € 0). Так как объединение конечного числа подпространств положительной коразмерности не дает всего пространства, то можно выбрать коэффициенты из поля К так, чтобы р линейных форм 1г = аг,охг,о + агдХгд, г = 1,...,р, не лежало в и*=1фг. Ищем Ск+1 в виде
Ск+1 = Щ?1-»1... ?-ПрЪ + ... + 1Н1-В? ... ^FN,
где С1,.. •,CN € К. По построению Ск+1 будет мультиоднородным полиномом степени (Н1,..., Нр). Предположим, что для некоторого значения г €{1,...,р} линейная комбинация
С11?1-»1 . . . ¡?Р-Вр Г1 + ... + CNI1?1 ^ . . . 1?Р-В? FN € фг (7)
при всех (С1,..., Ск) € КN. Тогда все формы I?1 •••lpР р Ъг, г = 1,...,р, лежат в простом идеале фг, и так как 11, ...,1р € фг, то Ъ1,..., FN € фг. По теореме Маколея [1] при к < р идеал 3к несмешанный, т.е. все простые идеалы фг имеют одинаковую положительную размерность.
В то же время из включения I = (Ъ1 ,•••,FN) С фг следует, что многообразие нулей идеала фг, имеющее положительную размерность, содержится в многообразии нулей идеала I, что противоречит условию конечности числа решений системы (4). Таким образом, множество коэффициентов (С1,... ,CN), для которых выполнено (7), образует пространство Т положительной коразмерности для г = 1,...,р и ир=1Тг С КN. Выбирая (С1 ,•••,CN) € КN \ ^¡={Тг, получим Ск+1.
Теперь, когда построен идеал 3, удовлетворяющий условиям (1)—(3), достаточно заметить, что решения системы (4) являются решениями системы р уравнений
С1 (Уl, ...,Ур) = 0 СP(Уl,•.. ,Ур) = 0
и воспользоваться уже доказанным случаем N = р для оценки ее числа решений.
Замечание. Совершенно аналогично доказывается обобщение теоремы для случая, когда полиномы F1,..., FN однородны по группам переменных у1 = (х1>о, ..., Х1>га1), ..., ур = (хр,о, ..., Хр,Пр) и их мультистепени не превосходят (Н1 ,...,Нр), а система (4) имеет конечное число решений в произведении проективных пространств Р"1 х ... х РПр. В этом случае число решений системы не превосходит
!...«,„! НТ ■■■Нр
p
n\\...nv\
Этот же результат можно вывести из теоремы Кушниренко [5, с. 200-206].
Автор выражает благодарность профессору Ю.В. Нестеренко за помощь в подготовке статьи.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. Т. 2. М.: ИЛ, 1963.
2. Van der Waerden B.L. On Hilbert's function, series of composition of ideals and a generalization of the theorem of Bezout // Proc. Roy. Acad. Amsterdam. 1929. 31. 749-770.
3. Van Tuyl A. The border of the Hilbert function of a set of points in P"1 x ... x P"fc // JPAA. 2002. 176. 223-247.
4. Philippon P. Lemmes de zeros dans les groupes algebriques commutatifs // Bull. Soc. math. France. 1986. 114. 355-383.
5. Gelfand I.M., Kapranov M.M., Zelevinsky A. V. Discriminants, Resultants, and Multidimensional Determinants.Boston; Basel; Berlin: Birkhauser, 1994.
Поступила в редакцию 02.08.2009
УДК 511
ОЦЕНКА СУММЫ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ ДЕЛИТЕЛЕЙ
Г. В. Федоров1
В статье рассматривается задача об оценке суммы значений функции делителей. Улучшена известная оценка, и этот результат обобщен для суммы возведенных в данную степень значений функции делителей.
Ключевые слова: функция делителей, многочлен Лагерра.
The problem of estimation of the sum of values of a divisor function is considered in the paper. The previously known estimate is improved and the result is generalized to the case of divisor function values rased into a given power.
Key words: divisor function, Laguerre polynomial.
Пусть Tk(m) — число решений (xi, X2, ■ ■ ■ ,Xk) уравнения X1X2 ■ ■■■ ■ Xk = m в целых положительных
1 Федоров Глеб Владимирович — студ. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
