Нахождение корней систем алгебраических уравнений с помощью базиса Гребнера Текст научной статьи по специальности «Математика»

Нахождение корней систем алгебраических уравнений с помощью базиса Гребнера

A.B. Шокуров, shok@ispras.ru ИСПРАН

Аннотация. Описан и обоснован алгоритм нахождения решения системы алгебраических уравнений над полем к для идеалов нулевой размерности, в случае если задан базис Гребнера идеала этой системы для лексикографического порядка на термах от ее переменных. Полученное решение лежит в алгебраическом замыкании основного поля. Приведен пример системы алгебраических уравнений, имеющей единственное решение в основном поле, а общее число решений экспоненциально относительно описания этой системы.

Ключевые слова. Базис Гребнера, идеал,

1. Введение

Пусть к — поле, а К — его алгебраическое замыкание. Напомним, что алгебраическое замыкание кольца рациональных функций над полем к от бесконечного числа независимых переменных называется универсальным расширением поля К. Будем обозначать его £1 Идеал, порожденный конечным множеством F £ к [х,, ...,хп], обозначим через (F). Согласно теореме Гильберта

о базисе, для любого идеала существует конечное множество многочленов, порождающее этот идеал.

Многообразием идеала (см. [1]) / £ Л:[х,,..., хп] в К" будем называть множество

V (I) = {% Е Kn \ Vp Е I выполняется равенство pOf) = 0}.

Элемент f 6 Пп называется общим корнем простого идеала /, если выполнены условия:

• р Е I <=> pOf) = 0.

Задача 1. Задано конечное множество F элементов в кольце многочленов над полем и базис Гребнера G идеала (F). Определить, что выполняется:

• F((F)) = 0 , или

• ^((^)) Í 0 И конечно, или

• ^((О) ^ 0 и бесконечно.

Задача 2. Задано конечное множество F элементов в кольце многочленов над

полем и базис Гребнера G идеала (F). Определить, что выполняется:

• dimk (F) = 0 или

• dimk (F) Ф 0.

Напомним определение лексикографического порядка на множестве термов от переменных х1,...,хп. Поскольку имеется взаимнооднозначное соответствие множества термов от переменных х1,...,хп и элементами прямого произведения п экземпляров множества неотрицательных чисел TLn, достаточно определить порядок на ТЩ.. Для а,р 6 ТЩ. будем считать, что а> р, если а Ф р и при некотором 1 < i0 <п

* ai0 > Pió

• aio = /?¿o при любом п > i > i0.

В частности, хг < х2 < ■■■ < хп.

Задача 3. Задано конечное множество F элементов в кольце многочленов

к[хл,... ,хп] . для которого dimk(F) = 0, и базис Гребнера G идеала (F)

относительно лексикографического порядка. Найти (построить) множество V((F)).

Приводятся алгоритмы решения поставленных задач и доказана их корректность.

2. Идеалы нулевой размерности

Лемма 1. Многообразие V(I) решений идеала / £ к[х,,... ,хп\ конечно тогда и только тогда, когда /с[хх, ...,хп]// — конечномерное над к векторное пространство.

Доказательство. Необходимость. Если решений нет, то согласно теореме Гильберта о нулях идеал I содержит единицу и, поэтому, совпадает с кольцом многочленов k[xlt ...,хп]. Следовательно,

dimk k[xlt ...,xn]/I = 0.

Пусть теперь множество У(1) непусто, конечно И (Яу,, Я1П), при I = 1, — все его элементы. Поскольку Яу принадлежат алгебраическому

замыканию поля к, то для каждого такого Яу существует многочлен рА (х) 6 /с[х] с корнем Яу. Тогда многочлены т

Ру(ху) = ]^[р1,У Ы е /с[х1( ...,ХП], ) = 1, ... ,71 ¿=1

обращаются в ноль на всех решениях идеала, и, следовательно, по теореме

/с *

Гильберта о нулях существуют такие /с;, что 7 Е I. Поэтому,

т

йедк к[хг, ...,хп]/1 < У\(т] к]■ + !)<

¿=1

где Шу = с^р;.

Достаточность. Пусть теперь сИтк к[х},...,хп\/1 конечна. Если эта размерность нулевая, то / = к\хг,... ,хп] и, следовательно, множество решений пусто, т.е. конечно.

Рассмотрим случай когда размерность сИтк к[хл,,хп]/1 конечна, но не равна нулю. Рассмотрим базис Гребнера идеала / для лексикографического порядка на множестве многочленов. Согласно определению базиса Гребнера, каждый многочлен из /с[хх, ...,хп] редуцируется к единственному нередуцируемому многочлену, т.е. все термы полученного многочлена не содержат термы, делящиеся на старшие термы многочленов из базиса Гребнера идеала/. Рассмотрим многочлены вида /(х,). По определению лексикографического порядка, любой терм, в который входит хотя бы одна из переменных х2,...,хп, старше любого терма видах™. Поэтому, существует многочлен р, (х,), принадлежащий базису Гребнера идеала / (в противном случае размерность векторного пространства /с[хх,... ,хп]// над полем к была бы бесконечной), а следовательно, и идеалу I. Аналогично для всех остальных переменных существуют РгСх^ 6 /. Тогда все решения идеала / лежат в произведении всех решений Рг (х£) = 0, т.е. в конечном множестве. □

Лемма 2. Размерность идеала I £ /с[хх,... ,хп] равна нулю тогда и только тогда, когда многообразие ¥(1) конечно и непусто.

Доказательство. Пусть / = [/1(..., /х] — неприводимое представление

идеала / примарными идеалами и р1,...,р5 — ассоциированные с этим представлением простые идеалы (согласно теореме Ласкера, см. [1]). Размерность идеала /, по определению, равна максимальной из размерностей простых идеалов р1,...,рБ.

Предположим, что dimk I = 0. Тогда для всех i = 1, ...,s выполнено dimk pi = 0. Непосредственно из определений следует, что V(pi) = V(/¡) и, следовательно, множества ^(/¿) конечны. Поэтому и множество решений 7(/) = 7(/х) U ... U 7(/s) конечно.

Пусть теперь множество V(l) — конечно. Тогда и все V(pi) конечны. Достаточно проверить, что для простого идеала р размерности большей нуля множество V(p) бесконечно. Для этого, согласно лемме 1, достаточно убедиться, что величина dimk к[х},, хп]/р бесконечна. Пусть (£1(..., <fn) — общий корень идеала р. Тогда определены вложения

к <=£(&, с а

Поскольку dim р > 0, компоненты общего корня этого идеала содержат трансцендентные элементы. Без ограничения общности можно считать, что трансцендентен. Тогда элементы ^, f”1,... — линейно

независимы над к. Следовательно, dimk к[^л,..., <fn] бесконечна, а поскольку, в силу определения общего корня (£1(..., £п) простого идеала р, выполняется равенство к\%г,... ,%п] = к\хг,... ,хп]/р , то и величина dimk к[хг,... ,хп\/р бесконечна.

Лемма 3. Пусть G — базис Гребнера идеала I. Отображение

7г: к[хг, ...,хп]/1 —» k[xlt...,хп]

заданное формулой / + / i-> h , где / ->G* h — неприводимая редукция, определено корректно, взаимно однозначно и является к-гомоморфизмом векторных пространств.

Доказательство. Формула / ->G* h задает гомоморфизм А-векторных пространств

ср: к[хг,...,хп] —> к[хг,...,хп]

ядром которого является идеал I. Следовательно, 7Г определено корректно и является А-мономорфизмом. □

Следствие 1. Пусть G — базис Гребнера идеала I. Размерность идеала I равна нулю тогда и только тогда, когда множество неприводимых относительно базиса Гребнера G термов конечно.

Теорема 1. Пусть G — базис Гребнера собственного идеала кольца многочленов /с[хх,... ,хп]. Этот идеал имеет размерность 0 тогда и только тогда, когда для любого допустимого порядка при каждом 1 < i < п существует многочлен gt 6 G со старшим термом xjl где vL — некоторое неотрицательное целое число.

Доказательство. Если для некоторого i не существует элемента базиса Гребнера идеала / со старшим термом хУ1, то термы xfl неприводимы.

Следовательно, множество неприводимых термов бесконечно, и, поэтому, согласно следствию 1 размерность идеала / не равна нулю.

Пусть базис Гребнера идеала / содержит многочлены ди старшими термами которых являются х^‘ . В этом случае необходимым условием неприводимости терма Г является выполнение соотношений (1едхЛ < у1 для всех /=1,...,/?. Поэтому, мощность множества неприводимых термов не превосходит величину у1 • ... • уп , и, следовательно, конечна. А тогда, согласно следствию 1, размерность идеала/равна нулю. □

3. Решение систем уравнений

Решение задачи 1. Согласно теореме Гильберта о нулях, условие 7((Г)) = 0 эквивалентно условию 1 6 (Т7), или, эквивалентно, 16 С.

Пусть теперь 1 £ С . Тогда V((Г)) Ф 0 . Вопрос о конечности или бесконечности многообразия \’((Е)) решается теперь теоремой 1 и леммой 2. Достаточно преверить, содержит ли базис Гребнера О многочлены со старшими термами х^1 при всех / = 1,

Задача 2 полностью решается в теореме 1.

Для решения задачи 3 потребуется решить следующую задачу.

Задача нахождения хотя бы одного решения идеала нулевой размерности, если задан приведенный базис Гребнера этого идеала относительно лексикографического порядка. Предположим, что задан базис Гребнера дл,,дт идеала / £ к[хл,... ,хп] нулевой размерности. Пусть также имеется оракул А, решающий задачу нахождения корня любого многочлена одной переменной над К, где К — алгебраическое замыкание поля к.

Отметим, что имея базис Гребнера относительно некоторого порядка, всегда можно найти соответствующий базис Гребнера относительно лексикографического порядка (см., например, [3])

Решение задачи нахождения хотя бы одного решения идеала нулевой размерности, если задан его приведенный базис Гребнера относительно лексикографического порядка.

Пусть / с к[хг, ...,хп\ — идеал и О — приведенный базис Гребнера относительно лексикографического порядка этого идеала. Тогда пересечение С П /([х, ] состоит в точности из одного многочлена / (х,) 6 к [х, ] и является базисом Гребнера идеала /, = I П к [х, ] кольца к [х, ]. Находим с помощью оракула Л решение ^ Е К уравнения / (х,) = О (К — алгебраическое замыкание поля к). Заметим, что для любого решения (х°, ...,х°) идеала / выполняется соотношение /(х°) = 0.

Предположим теперь, что найдено решение — идеала /; = / П

/с[х1;..., х£] . Чтобы найти продолжение ^1+1) полученного выше

решения, вычислим элементы базиса Гребнера О, находящиеся в кольце

к[х},... ,х1+1] . Затем выполним подстановки х; = ^ для всех /= 1...... /' в

полученные многочлены базиса Гребнера. Получим набор многочленов, зависящих только от одной переменной х;+1. Вычислим их наибольший общий делитель д(х1+1). Как будет показано ниже, полученный многочлен имеет степень не менее единицы и, следовательно, имеет непустое множество решений в алгебраическом замыкании поля к. Находим с помощью оракула 1А решение £г+1 £ К уравнения д(х1+1) = 0. Тогда вектор (£1( — ,^,^+1) является решением идеала /г+1 = / П /с[хх, ...,х;+1].

Далее повторяем описанную процедуру до тех пор, пока не найдем полный вектор решения идеала I.

Ниже приведен алгоритм для описанной процедуры нахождения решения алгебраической системы уравнений.

Алгоритм А. Дано: Базис Гребнера С = (д^ , дт) относительно

лексикографического порядка идеала / £ к[хг,... ,хп] нулевой размерности.

Выход: Точка (х°,, хЦ) Е Кп, где К алгебраическое замыкание поля к.

Шаг 1 / := 1.

Шаг 2 Находим пересечение = С П /с[хх], состоящее в точности из одного многочлена д(х1).

Шаг 3 х° := ^(^(х^)) — некоторое решение уравнения д(х¿) = 0.

Шаг 4 /':=/'+ 1.

Шаг 5 Если /> п, перейти к шагу 10.

Шаг 6 Находим пересечение = С П к\хг, ...,х;].

Шаг 7 С1{х1,...,х°_1): = {д(х1,...,х°_1,х1)\д 6 Сг} с К[хь\

Шаг 8 Находим д(х{) — наибольший общий делитель элементов множества (х °,..., х°_,).

Шаг 9 Переходим к шагу 3.

Шаг 10 Выход: Точка (х°, ...,х°) 6 Кп, где К алгебраическое замыкание поля к, является решением идеала I.

Теорема 2. Для любого идеала размерности ноль алгоритм А находит некоторое его решение.

Для доказательства теоремы достаточно доказать, что на шаге 8 приведенного выше алгоритма всегда получаем многочлен степени не меньше единицы, или, эквивалентно, каждое решение {¡;1, £ К1 идеала /; = / П

к[хг, продолжается до решения (£1( ...,^+1) е К1+1 идеала /¿+1 =

I П /с[хх, ...,х;+1]. Доказательство этого утверждения потребует несколько вспомогательных утверждений.

Для любого подмножестваМкольца /с[хх, ...,хп] и любого 0 < ;< п будем использовать следующее обозначение: М; = МП /с[хх, ...,х;]. Заметим, что если/ — идеал кольца к[х1:... ,хп],то —идеал кольца /с[х1;...,х£].

Лемма 4. Если в — приведенный базис Гребнера относительно лексикографического порядка идеала / £ /с[х,,..., х£]. то с1 — приведенный базис Гребнера идеала /; в кольце многочленов от переменных х,,,х1 относительно лексикографического порядка на термах.

Доказательство. Следует из определения базиса Г ребнера для лексикографического порядка. □

Лемма 5. Пусть / £ к[х,,..., хп] — простой идеал. Тогда для любого 0 < [ < п идеал /; простой.

Доказательство. Действительно, если р<7 6 /¿, то тем более р<7 6 /, и, следовательно, р 6 / или <76/. Поскольку р<7 6 к[х,,..., х£] , то и р 6 /с[хх,...,х£] и (7 6 /с[хх,...,х£]. Поэтому, р 6 /; или (7 6 /¿. □

Аналогично доказывается

Лемма 6. Пусть / £ к[х,, ...,хп] — примарный идеал. Тогда для любого О < 1 < п идеал ¡1 примарный.

Лемма 7. Пусть / £ к[х,,..., хп] — примарный идеал и I — ассоциированный с ним простой идеал. Тогда множества корней идеалов I и ] совпадают. Доказательство. Следует непосредственно из определения ассоциированного простого идеала примарного идеала. □

Лемма 8. Пусть / £ к[х,,..., хп] — примарный идеал и ] — ассоциированный с ним простой идеал. Тогда простой идеал /1 ассоциирован с идеалом /¿. Доказательство. Следует из лемм 5 и 6 и определения ассоциированного простого идеала примарного идеала. □

Лемма 9. Если / £ /с[х1;..., хп] — идеал размерности 0, то 1т является идеалом размерности 0 в кольце многочленов /с[хх, ...,хт] для всех т=1,...,п.

Доказательство. Пусть О — приведенный базис Г ребнера идеала / размерности ноль. Согласно теореме 1, для всех У = 1, существуют

многочлены д1 6 С со старшими термами хУ1. Если О — базис Гребнера

идеала / относительно лексикографического порядка, то ^ 6 и для любого 1 < I < т элементы дь Е 1т. Поскольку старший терм дь равен х^\ то, по теореме 1, размерность идеала /т равна нулю. □

Следствие 2. Пусть О — базис Гребнера относительно лексикографического порядка идеала I £ /с[хх, ...,хп] размерности 0. Тогда С, состоит в точности из одного многочлена /6 /с[хх] положительной степени.

Лемма 10. Пусть I £ /с[хх,... ,хп] — простой идеал размерности 0 и ,..., ^¿) £ Л-1 — корень идеала /¿. Тогда при 1 < У < ;? — 1 существует ^¿+1 6 К такой, что (£1( ...,^¿+1) £ Лч+1— корень идеала /г+1. Доказательство. Поскольку идеал I размерности 0, он не совпадает со своим кольцом и, следовательно, по теореме Гильберта имеет некоторый корень (<м1(..., соп) в Кп. В частности, (<м1(..., о);) 6 К\ также как и (£1(..., 6 К\

является корнем идеала /¿. Поскольку согласно леммам 5 и 9 идеал /; прост и имеет нулевую размерность, а все корни простого идеала сопряжены, то имеется изоморфизм подполей ПОЛЯ К

заданный соответствиями н> £ ■ для всех / = 1.... ,У.

Пусть О —базис Гребнера идеала / и многочлен к Е &(<м1( ■■■,<^п)[х;+1] является наибольшим общим делителем многочленов /(Х;+1) = д(шг, ...,о);,х;+1), где д; пробегает Сг+1. Поскольку (ш1(...,<х)£+1) является корнем идеала /¿+1, элемент о);+1 удовлетворяет соотношению /г(бо£+1) = 0. Верно и обратное, для любого корня ( уравнения И(х) = 0, точка (<м1(..также корень идеала /¿+1, а поскольку размерность простого идеала /¿+1 равна нулю, то эта точка также является общим корнем этого идеала. Поскольку число корней идеала размерности нуль конечно, то и число решений уравнения Ъ(х\+\) = 0 не пусто и конечно. Поэтому степень многочлена И положительна.

Обозначим через К наибольший общий делитель многочленов f{xi+l) = д(%1>• где д пробегает С1+1 . Тогда согласно определению изоморфизма ср выполняется соотношение (р' (/?) = /? и степени многочленов И и А совпадают. Следовательно, степень многочлена К положительна. Поэтому уравнение й(х;+1) = 0 всегда разрешимо в К. Пусть его решение £г+1. Тогда {^г, — е К1+1 — корень идеала /¿+1.

Лемма 11. Пусть (£1( ...,^п) Е Лп — общий корень идеала простого идеала I. Тогда (£1(..., ^¿) Е П1 — общий корень простого идеала ¡¿.

Доказательство. Обозначим через — простой идеал, состоящий из всех многочленов кольца /с[хх, ...,х£], обращающихся в ноль в точке ,...,^¿). Тогда точка (^1,..., является общим корнем идеала

Очевидно, что /1 Э /¿, а поскольку точка (■^Е П™ является общим

корнем идеала I, то и ]ь £ /. Следовательно, £ /£. Поэтому /г = /¿и ((,,..., (¿) 6 №— общий корень идеала /¿. □

Лемма 12. Пусть I £ /с[хх,... ,хп\ —примарный идеал и (£1(..., ^¿) Е Л1 — общий корень простого идеала ассоциированного с идеалом ¡¿. Тогда существует £г+1 6 П такой, что (^ ..., ^¿+1) 6 П1+1 — общий корень идеала /г+1.

Доказательство. Следует из лемм 8 и 11. □

Лемма 13. Пусть I £ /с[хх,... ,хп] — примарный идеал размерности 0 и ..., ^¿) Е К1 — корень идеала /; . Тогда существует £г+1 6 К такой, что (£1(..., ^¿+1) Е К1+1 — корень идеала /г+1.

Доказательство. Является частным случаем леммы 12, поскольку каждый корень простого идеала размерности ноль является его общим корнем. □

Напомним, что 1’(1) — многообразие идеала / £ к[х,,... ,хп].

Лемма 14. Если идеал 1 является пересечением идеалов где] пробегает от 1

до т, то 7(/) = и7(<?,•).

Доказательство. Пусть £ 6 и”!, . Тогда при некотором 1 <]'<т

выполняется £ 6 V(Ц]). А поскольку / £ то и ( £ V(/). Следовательно,

7(/) эи^П^)

Пусть теперь £ ё и”!, У(Я])- Тогда для всех / = 1,существуют 6 (?;для которых р] (£) Ф 0. Поскольку все являются идеалами, то произведение Р = П”=, Рх является их общим элементом и, следовательно, принадлежит идеалу I. Элемент £ не принадлежит многообразию Г ’(I), проскольку выполняется р(() = П”=1 Р;- (О ^ 0- Следовательно, У(1) £ . □

Лемма 15. Пусть I £ /с[хх, ...,хп] — идеал нулевой размерности и

..., ^¿) Е К1 — корень идеала /¿. Тогда существует £г+1 6 К такой, что (^1,..., ^¿+1) £ К1+1 —корень идеала /г+1.

Доказательство. Согласно теореме Ласкера (см. [1]) существует представление идеала I в виде пересечения конечного множества примарных идеалов

т

1=п«'-

У=1

Напомним, что размерностью идеала называется максимальная из размерностей ассоциированных с его примарными компонентами простых идеалов. Поскольку / — идеал размерности ноль, то и все идеалы также нулевой размерности. Очевидно, выполняется равенство

т

^=П ^j,i

y=i

где qjj = qj П к[x,,..., xj — примарные идеалы размерности ноль. Поэтому, согласно лемме 14, для всех / = 1,... ,п имеет место разложение

т

Щ,) = U V(qjj). (2)

У=1

Поскольку (^1,... Е К1 — корень идеала lL. то из представления (2) следует, что при некотором j элемент (£1(..., 6 К1 является корнем

идеала qj^ . Поэтому, по лемме 13 существует £г+1 6 К такой, что (f,, ■■■, (1+1) £ К1+л — корень идеала qJjl+] /, а, следовательно, согласно формулам (1) и (2), является корнем идеала Ii+1. □

Определение 1. Размерностью системы алгебраических уравнений называется размерность соответствующего идеала этой системы. Системы алгебраических уравнений размерности ноль будем называть полными.

Лемма 16. Пусть р(х) 6 Q[x] — многочлен с рациональными коэффициентами от одной переменной. Тогда уравнение р(х) = 0 алгоритмически разрешимо в поле рациональных чисел.

Поскольку задача нахождения базиса Гребнера идеала / относительно произвольного порядка является алгоритмически разрешимой, а по теореме 1 для идеала размерности ноль для каждой переменной xt существуют многочлены /¿(Xj), зависящие только от этой переменной и принадлежащие идеалу /, то задача построения таких многочленов алгоритмически разрешима. Пусть Xt — множество рациональных решений уравнения fi (х^) = 0. Тогда все рациональные решения системы идеала / принадлежат произведению ХЛ х ... х Хп . Поэтому из леммы 16 следует алгоритмическая разрешимость полной системы алгебраических уравнений над полем Q.

Следствие 3. Задача нахождения решения полной системы алгебраических уравнений над полем рациональных чисел является алгоритмически разреиамой.

Для неполных систем уравнений, например, диафантовых уравнений утверждение следствия 3 не получается.

4. Пример системы алгебраических уравнений

Рассмотрим систему алгебраических уравнений

х\ — Хг = О

X.

п-2

- Хп_2 = О

х1_1{п-2-х1-----------хп_2) + хп_! + 1 = 0

х1 + —\- хп — п+ 2 = 0

Эта система уравнений имеет единственное вещественное решение

Х1 = 1

Хп-2 — 1

Xn_i — —1

Хп 1

Это решение будет получено алгоритмом А, только в том случае, если для первых (п-2) уравнений оракул укажет в качестве решений именно решение

Хг = 1

'■^п-2 1

Отметим, что общее число решений этой системы равно 2™-2. Базис Гребнера относительно лексикографического порядка совпадает с левыми частями частями уравнений, т.е. имеет ту же сложность, что и описание идеала. В работе [2] был приведен пример идеала, для которого базис Гребнера с экспоненциального размера относительно описания самого идеала. В этом случае алгоритм А всегда приводит к рациональному (целочисленному) решению, поскольку иных решений попросту нет.

Литература.

[1]. Ван дер Варден Б.Л., Алгебра, Москва, Наука, 1976.

[2]. А.В. Шокуров, Сравнение сложностей задач нахождения базиса Гребнера идеала и решений этого идеала. Труды Института системного программирования РАН, том 22, 2012 г. ISSN 2220-6426 (Online), ISSN 2079-8156 (Print), стр.

[3]. Faugere J.C., Gianni P., Lazard D., Mora Т., Efficient computation of zero-dimensional Grobner bases by change of ordering, Journal of Symbolic Computation, 1993, v. 16, issue 4,pp.329-344.

On Solving The Systems of Algebraic Equations Using Grobner Bases

Alexander Shokurov, shok@ispras.ru ISPRAS

Abstract. Described and proved the algorithm for finding some solution of algebraic equations over arbitrary field k for zero dimension ideals if Grobner basis of this ideal over lexicographic order is given. The found Solution lies in the algebraic closure of k. An example for a system of algebraic equations having a unique solution in the main field, and exponentially many solutions of this system is suggested.

Key words. Grobner basis, ideal,