CC BY
37
ИЗВЕСТИЯ
ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011
ПГПУ
ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО
IZVESTIA
PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011
УДК: 514.763.8 + 512.745.2
МЕТРИЧЕСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ПРОЕКТИВНЫХ КРИВЫХ
© П. В. БИБИКОВ Институт проблем управления РАН e-mail: [email protected]
Бибиков П. В. — Метрическая классификация алгебраических проективных кривых // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 44—50. — В работе решается проблема классификации неприводимых алгебраических проективных кривых относительно действия ортогональной группы SO3 (C). Для этого каждой алгебраической кривой ставится в соответствие решение дифференциального уравнения Эйлера, что дает возможности использовать теорию дифференциальных инвариантов. Найдено поле дифференциальных инвариантов действия ортогональной группы на уравнении Эйлера и в терминах этого поля дается классификация проективных кривых.
Ключевые слова: ортогональная группа, проективная кривая, тернарная форма, дифференциальный инвариант, пространство джетов
Bibikov P. V. — Metric classification of algebraic projective curves // Izv. Penz. gos. pedagog.
univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 44—50. — The aim of the paper is to classify algebraic projective curves with respect to the action of orthogonal group SOs(C). To solve this problem, we consider solutions of the differential Euler equation assigned to projective curves. This interpretation makes it possible to use theory of differential invariants. The differential invariant field of the group action on the Euler equation is found, and classification of projective curves in the terms of this field is given.
Keywords: orthogonal group, projective curve, ternary form, differential invariant, jet space
Работа выполнена при поддержке фонда Саймонса и гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских ученых - кандидатов наук МК-32.2011.1
1. Введение
Постановка задачи. Рассмотрим комплексную проективную плоскость CP2 с однородными координатами (x : y : z), на которой действует ортогональная группа SOs(C). Основной целью данной работы является классификация неприводимых алгебраических проективных кривых относительно такого действия. такую классификацию мы будем называть матрической классификацией проективных кривых.
Отметим, что проблема классификации неприводимых алгебраических проективных кривых относительно всех проективных преобразований (т.е. группы SLs(C)) полностью решена в работах [2, 3].
Сведение к тернарных формам. Каждой неприводимой алгебраической проективной кривой степени п можно сопоставить единственную с точностью до постоянного множителя тернарную форму степени п, т.е. однородный многочлен степени п от однородных координат (х, у, г). Ортогональная группа ВОз(С) действует на этих тернарных формах линейными заменами координат.
Очевидно, что две алгебраические проективные кривые степени п метрически эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующие им тернарные формы эквивалентны относительно действия группы
О := БОз(С) х С*, где тор С* действует на пространстве тернарных форм гомотетиями / ^ Л/.
Таким образом, проблема метрической классификации неприводимых алгебраических проективных кривых сводится к задаче классификации тернарных форм относительно действия группы О.
Дифференциальное уравнение Эйлера. Для решения задачи классификации тернарных форм мы используем идеи и методы, приведенные в [2, 3]. А именно, рассмотрим дифференциальное уравнение Эйлера
д/ д/ д/
ХТГ + УТТ + = п/. (!)
дх ду дг
Очевидно, что все тернарные формы степени п является решениями уравнения (1). Таким образом, можно рассматривать действие группы О на пространстве решений дифференциального уравнения Эйлера. Смысл такого перехода от алгебраической интерпретации к дифференциальной заключается в возможности применения дифференциальных инвариантов вместо полиномиальных. Поле дифференциальных инвариантов устроено проще, чем обычное поле полиномиальных инвариантов, поскольку имеет место теорема Ли-Трессе (см. [1]), согласно которой поле дифференциальных инвариантов порождается конечным набором (функционально) независимых инвариантов и инвариантных дифференцирований. При определенных условиях эта теорема справедлива и для действия групп на дифференциальных уравнениях (см. [6]). Таким образом, для нахождения алгебры дифференциальных инвариантов необходимо лишь найти достаточное количество инвариантов и дифференцирований, что легко сделать прямым подсчетом. После этого мы строим идеал многочленов (зависящих от дифференциальных инвариантов третьего порядка), который полностью определяет О-орбиту тернарной формы.
2. Поле дифференциальных инвариантов
В этом разделе мы напомним необходимые сведения из геометрической теории дифференциальных уравнений и теории дифференциальных инвариантов (подробнее о них можно прочитать в [1]), после чего явно построим поле дифференциальных инвариантов действия группы О на уравнении Эйлера (1).
Необходимые сведения. Пусть С3 — пространство с координатами (х, у, г). Рассмотрим пространство
к-джетов функций JkС3 с каноническими координатами (х, у, 2, и, июо, мою, иоо1,...).
Дифференциальному уравнению Эйлера (1) соответствует алгебраическое многообразие £ С J1С3, задаваемое уравнением хмюо + уиою + гмоо1 = пи. Через £(й-1) обозначим (к — 1)-е продолжение этого уравнения в пространстве к-джетов JкС3.
Группа О действует на пространстве С3 линейными заменами координат. Это действие канонически поднимается до действия на всех продолжениях
£ (й-1)
уравнения Эйлера £.
Определение. Дифференциальным инвариантом действия группы О порядка к называется функция J е С(£(й-1))с, т.е. рациональная О-инвариантная функция на алгебраическом многообразии £(к 1). Определение. Инвариантным дифференцированием называется дифференцирование V = А -Х + В + С— (где А, В, С € С(£(то)) и — полные производные), перестановочное с действием группы О,
т.е. д о V = V о д для всех д € О.
Инвариантные к-формы. На многообразии £ (и на всех его продолжениях) действует группа С. В этом разделе мы опишем набор инвариантных к-форм этого действия.
Пусть т* : Т*С3 ^ С3 — кокасательное расслоение над С3 и Бкт* — его к-ая симметрическая степень.
Обозначим через £к модуль сечения Б т*. Пусть £ := ф £к — алгебра симметрических функций.
к=0
Рассмотрим дифференциал де Рама ¿°, каноническую связность Г на пространстве С3 и соответствующий ей ковариантный дифференциал й1 := ¿г.
Определим симметрические дифференциалы
¿° := ¿°: £° ^ £ и ¿1 :=Буш о й1: £ ^ £2.
Эти симметрические дифференциалы по индукции порождают дифференцирование симметрической алгебры
^ £
степени 1. В свою очередь, дифференцирование порождает операторы
Дк := 4 о ... о 4 : £° ^ £
порядка к.
Введем соответствующее оператору Д0 отображение расслоений уд : п0 ^ Б0т*, где п0: J0С3 ^
С3
— расслоение к-джетов. Это отображение задает разложение расслоения к-джетов п^ в прямую сумму
пй_1 0 Б0т*.
Отметим, что любое преобразование, сохраняющее связность Г, сохраняет <^>дк и соответствующее разложение J0.
Теперь рассмотрим индуцированные расслоения
Б к *_
Т1 := П* (Б Т )
над J1. Обозначим через £°^1) модули сечений соответствующих расслоений и пусть £о^1) = ф £°^0
й=о
— соответствующая симметрическая алгебра.
Поднимая симметрический оператор на индуцированное расслоение, получаем полный симметрический дифференциал
4 : £ о^1) ^ £о(J1+1).
Наконец, отождествим морфизмы расслоений по ^ Б0т * с элементами модуля £ 0 ^0) и определим до := /и (в силу естественной проекции п;,о: Jl ^ J0 мы считаем, что модули £ 0^1) при I > к содержат £ 0^0) как подмодуль).
В канонических координатах пространства к-джетов формы д0 имеют следующий вид:
^ иМ8 (¿х)р(йу)9(¿г)8
д0 (х,ирдя)= >-¡-у-;-.
и р!я!в!
р+д+я = 0
Отметим, что действие группы О поднимается в пространства к-джетов и во все указанные выше расслоения.
Теорема 1. Формы д0 являются О-инвариантными для всех к ^ 1. Имеет место равенство
д0+1 ¿вд0 + д1д0. (2)
Доказательство. Формула (2) очевидна:
‘¿А
и4^дк - ^дкСяи
= дй+1 — д1дй.
Теперь докажем инвариантность форм ^. Инвариантность формы ді = с18и/и очевидна. Т.к. связность Г является ВОз(С)-инвариантной, то оператор с18 также ВОз(С)-инвариантен. Отсюда из (2) по индукции получаем БОз(С)-инвариантность всех к-форм ф^. Их инвариантность относительно действия центра С очевидна.
Теорема доказана.
Описание поля инвариантов. Теперь мы готовы построить поле дифференциальных инвариантов действия группы О на уравнении Эйлера. Сначала докажем следующую лемму.
Лемма 1. 1. Функции
222 О = х + у + г
N ■■
1°°
+ —оі° + и,
°°1
являются дифференциальными инвариантами порядков —1 и 1 соответственно.
2. Элемент длины
(¿в)2 = (¿х)2 + (¿у)2 + (¿г)2
и соответствующее ему скалярное произведение (•, •) являются О-инвариантными.
3. Дифференцирования
V1: I ^ (д1, ¿1) и V2 : I ^ (¿N,¿7)
являются инвариантными.
4. Функции
Ь
и2°° + и°2° + и°°2
5 = -2
и2
Н = -3
и3
и2°° и11°
и11° и°2°
и2°° и11° и1°1
и11° и°2° и°11
и1°1 и°11 и°°2
1 и°20 и°11 1 и200 -і°і
+ 2 и2 + 2 и2
и°11 и°02 -і°і и°02
являются дифференциальными инвариантами порядка 2.
Здесь с! — оператор полного внешнего дифференцирования; см. [1].
Доказательство. Утверждения пп. 1 и 2 очевидны.
П. 3 следует из пп. 1 и 2.
Для доказательства п.4 достаточно заметить, что функции Ь, Б и Н — это коэффициенты характеристического многочлена инвариантной квадрики ^2.
Лемма доказана.
Замечание. В координатах пространства джетов инвариантные дифференцирования V! и V2 записываются в виде
и1оо ¿ ио1о ¿ иоо1 ¿
VI
У2
+
+
и <х и Су и
U100(U200 + иіЮ + -1°і) С и°1°(иИ0 + и°2° + -°1і) С U001(U101 + -°іі + и°°2) С
2
+
+
и2 ¿х и2 ¿у и
Наконец, мы готовы построить все поле дифференциальных инвариантов.
2
и
2
2
и
2
и
и
Теорема 2. Поле дифференциальных инвариантов действия группы G на многообразии £(то) порождается дифференциальными инвариантами
D, L, S, H
и инвариантными дифференцированиями Vi и V2. Поле разделяет неособые1 G-орбиты джетов.
Доказательство. Заметим, что инвариант D и его производные ViD и V2D разделяют неособые орбиты
1-джетов.
Известно (см. [5]), что коэффициенты характеристического многочлена квадрики задают ее G-орбиту. Поэтому инварианты L, S и H вместе с производными инварианта D разделяют неособые орбиты
2-джетов.
Для того, чтобы доказать, что эти инварианты и дифференцирования порождают все поле инвариантов, заметим, что коэффициенты Äj квадрики Q2 в «инвариантном базисе» {r *, Vi, V2} (здесь г = xdx + У dy + zdz — радиальное дифференцирование) порождают поле инвариантов. В самом деле, рассмотрим произвольный k-джет [/]^ функции f. Представим k-джет в виде прямой суммы (k — 1)-джета и формы qk € Sk(T*C3). Орбиты формы разделяются ее коэффициентами в инвариантном базисе, а орбиты (k — 1)-джета разделяются по индукции.
Остается заметить, что символ коэффициента при (Vi )j(V2 )j формы Q& и символ производной Vi от коэффициента при (Vi)j-i(V2)j формы Qfc-i совпадают (см. [3]).
Кроме того, известно (см. [5]), что рациональные инварианты, разделяющие орбиты общего положения, порождают все поле рациональных инвариантов. Отсюда следует, что инварианты D и Äj и дифференцирования Vi и V2 порождают все поле рациональных инвариантов.
С другой стороны, эти коэффициенты Äj выражаются через инварианты L, S и H.
Значит, инварианты
D, L, S, H
и инвариантные дифференцирования Vi и V2 порождают все поле дифференциальных инвариантов. Теорема доказана.
3. Классификационная теорема
В этом разделе мы получим классификацию G-орбит тернарных форм и, как следствие, метрическую классификацию алгебраических проективных кривых.
Для этого рассмотрим дифференциальные инварианты
D, L, S, H, Dj, Lj, Sj, Hj
(здесь Jj = Vj J и i = 1, 2). Как следует из теоремы 2, эти инварианты разделяют неособые G-орбиты 3-джетов. Их ограничения на график Lf С £(2) тернарной формы / являются однородными рациональными функциями от переменных x, y, z и определяют рациональное отображение
Pf : C3 ^ Ci2, pf (а) = (D([f]3„), L([f]3),..., ^([f^)).
Значит, между этими ограничениями существуют алгебраические зависимости. Обозначим множество этих зависимостей через Sf и образ отображения pf через Фf.
Теорема 3. 1. Тернарные формы f и f являются G-эквивалентными если и только если Фf = Ф^.
2. Тернарные формы f и f являются G-эквивалентными если и только если Sf = Sj.
1 Напомним, что орбита называется неособой, если она имеет максимальную размерность.
Доказательство. Очевидно, что если тернарные формы / и / являются О-эквивалентными, то Ф* = Фи 5* = *
Докажем обратную импликацию п.1. Пусть / и / — тернарные формы, для которых Ф* = Ф-.
Обозначим О-орбиту графика Ь* через О* и О-орбиту графика Ь3 через О г.
* / *
Заметим, что для любой точки из неособой орбиты в О* существует точка из неособой орбиты
в О-, такая, что значения инвариантов В, Ь, ..., Н2 в этих точках совпадают. Но по теореме 2 эти инварианты разделяют неособые орбиты. Значит, эти точки лежат в одной орбите. Это означает, что множества О* и О- пересекаются и содержат в пересечении открытое множество (более точно, у этих
множеств совпадают неособые орбиты джетов). Значит, найдется такой элемент д € О, что графики дЬ3
и Ь3 тоже пересекаются в неособой точке. Докажем, что на самом деле дЬ* = Ь~.
Рассмотрим распределение Картана С на многообразии О *. Т.к. ё1шО* = ё1ш(О*)(1), то на открытом подмножестве ё1шС = 3. Отсюда следует, что распределение Картана на О * вполне интегрируемо. Поэтому по теореме Фробениуса (см. [1]) в окрестности каждой неособой точки существует единственное
максимальное интегральное многообразие. Значит, многообразия дЬ3 и ь| в окрестности такой точки лог
кально совпадают. Но т.к. эти многообразия являются алгебраическими, то из их локального совпадения
следует и глобальное совпадение. Поэтому дЬ3 = Ь3 и д/ = /.
г
Теперь докажем обратную импликацию п.2. Рассмотрим алгебру
В * = С[В(/),ь(/),..., Н2 (/)]
и ее спектр
У* = 8рее(В*) = V(5*) с С12.
Т.к. р^ : В * ^ С(х, у, г) — вложение, то рациональное отображение р* : С3 ^ У* доминантно. По известной теореме алгебраической геометрии (см., например, [4]) образ Ф * доминантного отображения р * содержит открытое по Зарисскому подмножество в У*.
Если теперь у двух тернарных форм / и / одинаковые наборы зависимостей 5* = 5-, то спектры У* и У- совпадают, а значит, множества Ф * и Ф- пересекаются и содержат в пересечении открытое множество. Дальнейшие рассуждения полностью повторяют рассуждения п.1.
Теорема доказана.
Может показаться, что теорема 3 не дает эффективного (т.е. проводимого за конечное время) метода разделения орбит тернарных форм, поскольку неясно, как проверить совпадение поверхностей вида Ф или идеалов зависимостей вида 5*, у которых не указаны образующие. Однако на самом деле это не так.
Действительно, из доказательства п. 2 следует, что достаточно уметь алгоритмически описывать замыкание У образа рационального морфизма р . Для этого рассмотрим идеал
I* := т/]4„) • Н - В„([/]4), Ь„([/]4) • Ь - Ь„([/]4),...) < С[х, у,г,В,Ь,..., Н2]
(здесь В, Ь, ..., Н2 понимаются как координаты в пространстве С12, а Вп([/]4) и В^([/]4) являются числителем и знаменателем рациональной дроби, равной значению инварианта В на 4-джете [/]4). Вычислим его базис Гребнера относительно лексикографического порядка
х >- у — г — В — Ь >- ... >- Н2
и выберем из него многочлены, не зависящие от х, у, г. Можно доказать, что множество нулей этих многочленов в точности есть алгебраическое многообразие У . После этого необходимо проверить совпадение алгебраических многообразий, заданных своими идеалами нулей. Как известно, эта задача также решается с помощью базисов Гребнера.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алексеевский Д. В., Виноградов А. М., Лычагин В. В. Основные идеи и понятия дифференциальной геометрии. М.: ВИНИТИ, 1988. Т. 28. 289 с.
2. Бибиков П. В. Классификация тернарных форм с нулевым гессианом // Известия ВУЗов. Математика. 2011. №9. С. 99-101.
3. Бибиков П. В., Лычагин В. В. СЬз(С)-орбиты рациональных тернарных форм // ДАН. 2011. Т. 438. № 4. С. 1-3.
4. Винберг Э.Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. М.: УРСС, 1995. 344 с.
5. Винберг Э.Б., Попов В. Л. Теория инвариантов. М.: ВИНИТИ, Т. 55. 1989. 314 с.
6. Kruglikov B., Lychagin V. Invariants of pseudogroup actions: homological methods and finiteness theorem // Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. 2006. V. 3. № 5-6. P. 1131-1165.
