CC BY
8
МАТЕМАТИКА
УДК 514.757
DOI 10.21685/2072-3040-2018-2-1
В. С. Болодурин
ОБ ИНВАРИАНТАХ ТОЧЕЧНЫХ СООТВЕТСТВИЙ МЕЖДУ ТРЕМЯ КРИВЫМИ ПРОЕКТИВНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ
Аннотация.
Актуальность и цели. Продолжается изучение геометрии точечных соответствий между многообразиями. Целью работы является установление инвариантов точечного соответствия трех кривых относительно прямого произведения групп проективных преобразований плоскостей, в которых расположены кривые, выяснение геометрического смысла инвариантов.
Материалы и методы. Исследование ведется на основе внешнего дифференциального исчисления и тензорного анализа, используются инвариантные методы Г. Ф. Лаптева.
Результаты. В четвертой дифференциальной окрестности соответствия построены инвариантные подвижные реперы всех трех кривых. Определены три инварианта соответствия во второй дифференциальной окрестности, четыре инварианта в третьей окрестности и шесть в четвертой окрестности, указан их геометрический смысл. Показана связь изучаемых соответствий и три-тканей. Рассмотрен ряд частных случаев.
Выводы. Инвариантные методы исследования точечных соответствий между многообразиями позволяют выявить наиболее существенные свойства соответствий, не зависящие от выбора реперов. Связь точечных соответствий с три-тканями позволяет развивать обе геометрии.
Ключевые слова: точечное соответствие, инварианты, три-ткани.
V. S. Bolodurin
ON INVARIANTS OF POINT CORRESPONDENCES BETWEEN THREE CURVES OF PROJECTIVE PLANES
Abstract.
Background. We continue studying the geometry of point correspondences between manifolds. The main problem of the paper is to find invariants of point correspondences under consideration according to the transformation group, which is a direct product of projective transformation groups of planes of curves and to find geometric meanings of invariants.
Materials and methods. In the way of investigation we use the exterior differentiation, tensor analysis and G. F. Laptev invariant methods.
Rezults. It is proved, that invariant moving frames of all three curves of correspondences are determined by fours-order differential neighbourhood. We deter-
© 2018 Болодурин В. С. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.
mine three invariant of the second-order neighbourhood, four invariants of the third-order neighbourhood and six invariants of the fours-order neighbourhood and find some geometric сharacteristics of invariants. The connection among studied correspondences and 3-webs is schown. Some partial cases are considered.
Conclusions. Invariant methods of investigation of point correspondences between manifolds help to find very useful properties, which are not depend on the choice of frames. Connections between theories of correspondences in question and 3-webs help to develop both geometries..
Key words: point correspondence, invariants, 3-webs.
Введение
Начало изучения дифференциальной геометрии точечных соответствий между двумя двумерными (трехмерными) пространствами восходит к 20-м гг. XX в. Среди многочисленных статей по точечным соответствиям отметим работы L. Muracchini [1], G. Vranceanu [2], T. Mihailescu [3], M. Villa [4]. Ими рассмотрен ряд специальных классов соответствий, показана связь геометрии точечных соответствий пространств с различными областями дифференциальной геометрии. Обзор полученных результатов к 1970 г. дан в работе В. В. Рыжкова [5].
Точечные соответствия между двумя многомерными проективными пространствами изучались В. В. Рыжковым [6], Ю. В. Павлюченко [7]. Особенности геометрических свойств соответствий между тремя пространствами рассмотрены Т. А. Соколовой [8] и В. С. Болодуриным [9].
Допустимо исследовать точечные соответствия между многообразиями, вложенными в пространства. В работе [10] автором изучались точечные соответствия между n гиперповерхностями n-мерных проективных пространств. При этом был исключен случай вырождения гиперповерхностей в кривые как не отвечающий общей теории. В настоящей работе мы рассматриваем точечные соответствия между кривыми, полагая n = 3 .
1. Основные уравнения
Рассмотрим три кривые I (%, п, 0 = 1,2,3) проективных плоскостей р
% %
и точечное соответствие C: lx I ^ I. Пусть Mo являются соответствующи-
12 3 %
ми точками кривых. Соответствие C : lx I ^ I порождает шесть отображений
1 2 3
T: I ^ I, возникающих при фиксации точек Moo е I. Будем предполагать, что
%п % п е 9
отображения T регулярны и обратимы в окрестностях соответствующих то-%п
чек кривых I, I.
%п
С каждой Mo е I свяжем проективный подвижной репер
%%
Mo,M1,M21 , где точка M1 принадлежит касательной прямой к кривой I
% % % J % %
{
в точке Mo , а точка M2 расположена вне касательной прямой. Инфинитези-
% %
мальные перемещения реперов задаются уравнениями dMu = Mv , где
% % %
(и, у, w = 0,1,2). Здесь Юи - формы Пфаффа, удовлетворяющие уравнениям
%
« л 1 V W V
структуры проективной плоскости р : « юи = юи лй.
w
% % % %
Уравнение кривой I с р в выбранном репере запишется в виде
%%
®2 = 0. (1)
%
Формы ю0 определяют перемещения точек Мо на кривых I. Они
% % %
должны быть связаны линейными соотношениями. Преобразуя реперы в точках Мо , приведем эти соотношения к простейшему виду %
ю0 + ю0 + ю0 = 0. (2)
1 2 3
Уравнения (1), (2) являются основными уравнениями изучаемых соот-
11 110 ветствий. Примем Й0, Й0 за базисные формы и положим 01 = ю - Ю0 , тогда
12 % % % после внешнего дифференцирования уравнений (1), (2) и раскрытия квадратичных уравнений по лемме Картана получим новые уравнения для С : 1х I ^ I:
1 2 3
Ю = Ац ю0 , ю0 + ®0 + ®0 = 0,
% % % 12 3
01-01 ю0 ю0, 01-01 = ^1 ю0+ Ап ю0. (3)
1 3 2 1 2 2 3 1 1 2
Уравнения (3) позволяют ввести особую форму О:
О =01 -(^1 -ц^)ю0 =01 -(^1 -^п)ю0 =01 + ю0 + ю0 . (4)
12 12 1 2 3 1 2
Продолжим (3) (т.е. продифференцируем все уравнения внешним образом и раскроем по лемме Картана полученные квадратичные уравнения), тогда будем иметь:
0 2 1
VA.11 = А11(ю0-ю2) + А111 ю0 ,
% % % % % % %
1 = 2 ю0 - Ац ю2 + 2 Ю' - Ац ю2 + А1ц ю0 + А1ц ю0,
2 1 1 1 3 3 3 2 1 2 2
У^П = 2 Ю° — А,ц ®2 + 2 Ю° — ^ц Юо + ^111 ®0,
1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2
У^11 = 2Ю0 — ю2 +^111Ю>0 + ^П1 Юо . (5)
3 3 3 2 1 1 2
Здесь оператор У определен с помощью формы ^, так что У^1 = а?^ — ^1^1, операторы У определены соответственно с помощью
форм б1 = о»1 — Ю0 .
% % %
Уравнения отображений Т: I ^ I, Т: I ^ I, Т : I ^ I получаются из
12 1 2 13 1 3 23 2 3
уравнений (1)-(3) при фиксации точек Мо . Введем дополнительно коллине-
6
ации К между плоскостями, положив %П
КМ0 = М0 , КМ1 = —Мг- , (6)
%п % п %П % ц
где /, ], к = 1,2.
Для коллинеаций К в силу выбора реперов на кривых соответствия
%п
выполняются соотношения каМ0 = аМ0+( ю0—ю0 ^ М0 . Геометрически
%п % п I % п) п
это означает, что К и Т имеют касание первого порядка в парах соответ-%п %п
ствующих точек.
2. Инвариантная нормализация кривых соответствия, инвариантные уравнения соответствия
Параметры, от которых зависят подвижные реперы на кривых, делятся на две группы. Главные параметры характеризуют перемещения точек М0 на
6
кривых. Вторичные параметры определяют допустимые преобразования реперов, не нарушающие соответствие при фиксированных точках М0 .
6
Обозначим через 5 символ дифференцирования по вторичным параметрам, и пусть =Юа (5). Пусть также У 5, У 5 - значения операторов при
% % %
фиксированных главных параметрах. Из (4) имеем ^ (5) = п1 — П0 , поэтому
%%
значения всех операторов У 5, У 5 совпадают между собой для вторичных па-
%
раметров.
Согласно теории оснащения многообразий в проективных пространствах для инвариантного оснащения кривой I необходимо к каждой точке
М0 кривой присоединить инвариантную прямую (нормаль первого рода)
%
и выделить на ней инвариантную точку, далее на касательной прямой кривой
в М0 необходимо определить инвариантную точку (нормаль второго рода)
%
[11]. Аналитически для инвариантного оснащения кривых I необходимо по-
%
строить на основе объектов соответствия величины х1, х, Хл , удовлетворяю-
% % %
щие дифференциальным уравнениям:
v5f1 =-f1 (п0-п21 — п2 , VSx1 =-п0, 5X = —X{п0-п21 — ^
% % V % %) % % % % % I %
(7)
При ю0 = ю0 = 0 уравнения, вытекающие из (5), имеют вид 1 2
= А111 п0-п2 |, = 2 л1°-А11 п2 + 2 -А11 ^Ь (8)
% % I % % ) 2 1113 3 3
^п =2п0-Аи=2п0-Аип2+2-Аип2.
333 1 222 333
Величин Ац, А^, Ц11, А^ недостаточно для построения объектов, % 2 1
удовлетворяющих уравнениям (7). Необходимы величины из третьей дифференциальной окрестности соответствия. Продолжим для этого первые уравнения (5), закрепим затем главные параметры, в результате получим
=А111(п0 -п2)+3Аи Аи п2- 3 Аип0.
% % % % % % % % %
(9)
Построим затем величины:
t1 =-
f
,11
Л
An — Mn + 3 A111 A
V 2 3 1 - )
A11, t1 =■
An-М-11 + т A111A.
11
A
11
t1 =-
3
t1 =■
2
(
11
1 2 - - ■
H-11 ^—A111A
3 3 3
Л
A11, t1 =-3 1
1
(
An -Mi1 +1 A111 a11 3 1 1
11 1 1 ^ 111 1 1 ^ 111
A11— Д11 ^—A111A , t1 =- M-11 ^—A111A
3
Проверка на основе уравнений (8), (9) показывает, что построенные величины являются решениями (7). Их можно принять в качестве нормализующих объектов первого и второго рода кривых соответствия.
Используем построенные нормализующие объекты для преобразования
реперов. Положим N0 = М0 , N1 = М1 + ¿1М0 , N2 = ¿1 М1 + М2 . Значения
% % % % % % % % % %
форм для новых реперов обозначим через V" , тогда имеем соотношения:
%
V0 =О>0 -t\ 0) , V0 =Ш0 , v1 = ю} + tj Ю0 - 0 t1
4 4 4 4
2 Л 2 , 2 2 2 V2 = t 0} + Ю2, V} =Ю} .
4 4 4 4 4 4
% % % % % % % %
В новых реперах формы V0 и v2 становятся главными:
%%
^ = Р11^ + 411 ^ , V2 = р ^ + 41 ^ . % % 1 % 2 % % 1 % 2
Завершим построение инвариантных реперов. Найдем на каждой построенной нормали первого рода кривых соответствия по инвариантной точке. Продолжим последние полученные уравнения, тогда после вычислений имеем
f
\
Л
f
\
f
\
i i 0 2 0 5 i i 0 2 0
- Pi = - - Pi n0 - n2 - n2' -qi = - - q n0 - n2 - n2'
V i у V i У V i i У i V 2 у V 2 у V 2 2 У 2
«i
2
(
\
Pi+qi
v 3 3 у
p1+q}
3 3
v
-л-0 „.2
п0 -п2
33
3
Сравнение этих уравнений с (7) показывает, что в качестве объектов, определяющих точки на нормалях первого рода, можно использовать величины:
- pi1, -
(
pi +
3 3
л
(i0)
Совместим вершины реперов N2 с новыми точками N2 = ¿N0 + N2 ,
% % % % %
где величины I определяются значениями (10). Остальные вершины реперов
%
оставим без изменений. После преобразования реперов формы V" изменятся,
их новые значения обозначим через о" . Соотношения между формами по-
%
следних реперов будут иметь вид
оо ^ 0, о0 о1 о2 =v2, о2 =v2, о0 = а11 о0+¿11 оl0, %%%%%%%%%%% ? 1 ? 2
о2 = Ь1 °ь о2 = °ь о2 = о0—°ь о0 =а о0+ь о0.
1 12 2 21 3 31 32 % % 1 % 2
Уравнения соответствия (3), (5) для инвариантных реперов перепишутся в виде
с2 = Хц Со , Со + Со + 00 = 0 ,
% % 12 3
=^ь VAn =^ii
( \
О0-О2
% %
v1 „О
.% % %.
Внешнее дифференцирование уравнений
VA,n = An(о0-о2х Si = Si = S1
i i i i 12 3
приводит к конечным соотношениям:
36л = Ац Ь1, 3ап =Л,ц а|, 3an-3Ьц = 2Ап aj, Ьц-an =-Ьп = an. 1 11 2 22 3 3 33 33 12
Окончательно в инвариантных реперах уравнения соответствия примут следующий вид:
о2 = Ац О0 , О0 + о|) +О0 = О, S1 = S1 = S1,
i i i 12 3 12 3
VA11 = А11(о0-о2Х о0 = a11 о0-a11 о0 , о10 = a11 о0+Ь11 оl0, i iii 1 1122 2 2122
о0 = au о0 + (an + an)о0, о2 =-3А11 au о0, о2 = 3А11 au о0, 3 31 3221 1 2 2 2 2 2 1
3 3
02 =-2a11 an о0 + -a11 an о0, о2 = aо0 + Ьо0 . (11)
3 23 21 23 22 i i 1 i 2 Доказана следующая теорема.
Теорема 1. Точечное соответствие C : £х 1 ^ I между тремя кривыми
1 2 3
проективных плоскостей р определяет инвариантные нормали первого
i
и второго рода кривых в третьей дифференциальной окрестности, а полную инвариантную нормализацию кривых - в четвертой дифференциальной окрестности соответствия.
3. Геометрическая характеристика инвариантов соответствия
Инвариантами изучаемого соответствия являются коэффициенты Ац, an,an ,Ьц ,an, a,Ь при формах Пфаффа в уравнениях (11). Они при-
i 1 2 2 3 i i надлежат к разным дифференциальным окрестностям.
3
Инвариантами второй дифференциальной окрестности соответствия
являются относительные инварианты А,ц . Обращение каждого из них в нуль
%
приводит к вырождению соответствующей кривой в прямую линию.
Среди четырех инвариантов ац, ац, Ъц, ац третьей дифференци-
12 2 3
альной окрестности соответствия особо выделяется инвариант ац .
2
С алгебраической точки зрения соответствие С : 1х I ^ I является ло-
1 2 3
кальной дифференцируемой квазигруппой. Три-ткань, соответствующая этой квазигруппе, строится следующим образом. В пространстве декартовой композиции 1х 1х I соответствие С порождает 2-мерное гладкое многообразие.
1 2 3
Каждой кривой I на многообразии отвечает расслоение коразмерности 1.
%
Совокупность трех расслоений коразмерности 1 образует на многообразии три-ткань [12].
Форма П = и1 = и1 = ^ , определенная (4), (11) и инвариантная отно-
1 2 3
сительно выбора реперов в точках соответствия, является формой связности три-ткани. Дифференцируя эту форму с учетом (11), имеем
аП = ац о0 ло0 . Инвариант ац является кривизной три-ткани, присоеди-2 12 2 ненной к точечному соответствию.
Частным случаем три-тканей являются регулярные три-ткани [12]. Они характеризуются нулевой кривизной ткани. Равенство нулю ац выделяет
2
класс соответствий между тремя кривыми проективных плоскостей, которые естественно назвать регулярными соответствиями. Внесем значение а11 = 0
2
в уравнения (11). Тогда имеем
о2 = 0, О0 = ап о0, % 111
о00 = Ъц О0, о0 =— ап О0. (12)
2 2 2 3 3 3
Продолжая уравнение о2 = 0, получаем
%
о2 = а О0. (13)
% % %
Произвол существования регулярных соответствий при заданных кривых равен трем функциям одной переменной.
Инвариантное оснащение кривых соответствия задает на каждой плоскости отображение между множеством точек кривых N0 и множеством пря-
%
мых [N1 N2 ] инвариантных реперов N1,N"1 . В общем случае это отоб-
5 5 и 5 и
ражение зависит от выбора всей совокупности соответствующих точек N0 .
1
Для регулярных соответствий следует из (12), (13). Прямая
N N2
.44.
= 1 с -с2
4 4
N1 N2
.44.
mod с0
4
как
N1 N2'
4 4
и инвариантный репер 4 определяются
выбором точки N0 е I.
44
Верно и обратное. Пусть прямая
N1 N2
.44.
инвариантного репера
N0 . Тогда d 4 " N1 N2" = 0 " N1 N2"
_ 4 4 _ _ 4 4 _
[No,N1,N21 точки No (4 фиксировано) определяется выбором только точки
1 4 4 4 J 4
mod Co |, где 0 подходящая форма. В силу
4 )
уравнений, определяющих перемещения репера, имеем с0 = 01 mod Co |,
4 I 4)
с2 = 0 J mod Cq I. Далее согласно (12) имеем ац = 0. Соответствие становит-
4 I 4 ) 2
ся регулярным. Доказана следующая теорема.
Теорема 2. Точечное соответствие между тремя кривыми проективных плоскостей будет регулярным тогда и только тогда, когда выбор инвариантных реперов на каждой кривой будет зависеть только от выбора точек на этой кривой.
Возможен случай соответствий C : £х I ^ I, когда инвариантные нор-
1 2 3
мали первого рода кривых образуют на каждой плоскости пучки прямых.
2 0 1 В этом случае dN2 = C2 N2 , что приводит к соотношениям: C2 = 0 , C2 = 0 .
4 4 4 4 4
Из (11) следует, что величины а, Ъ, ац равны нулям. Обратно, если величины
44 2
а, Ъ, ац равны нулям, то нормали первого рода кривых соответствия образу -
44 2
ют в каждой плоскости пучки прямых. Так как а11 = 0 , то это частное соот-
2
ветствие является регулярным.
Рассмотрим коллинеацию K, определенную в (6), касательную к отоб-
13
ражению T , и потребуем, чтобы она не зависела от выбора пар точек
13
Nq, Nq . Отображение T в этом случае становится проективным. Аналити-
1 3 13
чески для этого необходимо выполнение соотношений dK Nq = 0Nq ,
13 1 3
йК'Ы^ = -0Nг■, где 9 - подходящая форма. Фиксируем N0 и продифферен-
13 1 3 2
цируем уравнения (6) при условии С0 = 0 :
2
dKN0 = | cQ-cQIN0, dKNi = -(a0 + a0^N0 + f a/-a/ 1N
, . 1 * * 1 ~ 1 - »1 7'
13 1 V 3 1 ) 3 13 1 V 1 3 ) 3 V 1 3 ) 3
отсюда находим условия проективности отображения Т :
13
1) с0 + с0 = 0;
1 3
2) с2-с2 = 0;
1 3
3) с2 -с2 = 0;
1 3
4) с2 с0 с2 с0 4) с2 -с0 =с2 -с0 .
113 3
Из первых двух условий получаем конечные соотношения на инварианты соответствия: ац + ац = 0, а+ а = 0, Хц + Хц = 0. Из третьего условия
13 13 13
1 3,11 1 п т
следует, что С2 =—Х ац С0 = 0. Так как мы рассматриваем соответствие
3 2 3 2 1
между кривыми, то Х11 Ф 0 и, следовательно, ац = 0 . Внешние дифференциа-3 2 лы четвертого условия обращаются в нуль в силу предыдущих соотношений.
Условие ац = 0 означает регулярность точечного соответствия С : 1х I ^ I.
2 12 3
Условия проективности Т имеют вид:
23
Ь11 + а11 = 0, Ь+ Ь = 0, Х11+ Х11 = 0, а11 = 0.
2 3 2 3 2 3 2
Аналогичны условия проективности Т :
12
Хц + Хц = 0, ац - Ьц = 0, ац = 0, а + а = Ь+ Ь. 12 12 2 1212
Пусть все три отображения Т являются проективными, тогда выполняются равенства: Хц =Хц =Хц = 0. Все кривые вырождаются в прямые
1 2 3
линии. Соответствия данного типа аналогичны гомографиям Годо, рассмотренным в [9].
Теорема 3. Если все отображения Т точечного соответствия
С : 1х I ^ I проективны, то кривые вырождаются в прямые линии, кривизна 1 2 3
соответствия равна нулю, соответствие регулярно, произвол существования соответствия определяется постоянными величинами.
Заключение
Найденные инварианты точечных соответствий между тремя кривыми проективных плоскостей определяют наиболее существенные свойства соответствий, не зависящие от выбора реперов на плоскостях и, следовательно, особенностей аналитического задания соответствий в явном виде с помощью уравнений. Дальнейшее изучение инвариантов будет способствовать выявлению дополнительных свойств соответствий, их более тесных связей с три-тканями.
Библиографический список
1. Muracchini, L. Tranformazioni Puntuali Fra Spazi Conformi e Connessioni Con-formi / L. Muracchini // Bollettino della Unione Matematica Italiana. - 1962. - Vol. 17, № 2. - P. 191-198.
2. Vranceanu, G. Tranformazioni Puntuali Fra Spazi Affini o Projective Spazi a Con-nessione Affine Euclidea / G. Vranceanu // Bollettino della Unione Matematica Italiana. -1957. - Vol. 12, № 2. - P. 145-153.
3. Mihailescu, T. Geometrie Differentiala Proejectiva / T. Mihailescu // Teoria Corespondentei. - Edit. Acad. R.P.R., 1963.
4. Villa, M. Sulle trasformazioni puntuali di 3 specie fra piani proiettivi / M. Villa // Pe-riod.mat. - 1968. - Vol. 46, № 1-2. - P. 385-394.
5. Рыжков, В. В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий между пространствами / В. В. Рыжков // Итоги науки и техники. Сер.: Алгебра, Топология, Геометрия. - 1970. - C. 153-174.
6. Рыжков, В. В. Характеристические направления точечного отображения Pm в Pn / В. В. Рыжков // Труды геометрического семинара. - 1971. - Т. 3. - С. 235242.
7. Павлюченко, Ю. В. О характеристической системе точечных соответствий / Ю. В. Павлюченко // Труды геометрического семинара. - 1971. - Т. 3. -C. 221-234.
8. Соколова, Т. А. К вопросу о точечных соответствиях трех проективных пространств / Т. А. Соколова // Труды геометрического семинара. - 1973. - Т. 4. -С. 269-283.
9. Болодурин, В. С. К инвариантной теории точечных соответствий трех проективных пространств / В. С. Болодурин // Известия вузов. Математика. - 1982. -№ 5. - C. 8-15.
10. Bolodurin, V. S. Point Correspondeces between N+1 Hypersurfaces of Projectiye Spaces and (N+1)-Webs. / V. S. Bolodurin // Applied Mathematics. - 2013. - Vol. 4, № 11D. - DOI 10.4236/am.2013.411A4003.
11. Норден, А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. - М. ; Л. : ГИТТЛ, 1950. - 463 c.
12. Шелехов, А. М. Криволинейные три ткани / А. М. Шелехов, В. Б. Лазарева, А. А. Уткин. - Тверь : Изд-во Тверского гос. ун-та, 2013. - C. 231.
References
1. Muracchini L. Bollettino della Unione Matematica Italiana [Bulletin of the Italian Mathematical Association]. 1962, vol. 17, no. 2, pp. 191-198.
2. Vranceanu G. Bollettino della Unione Matematica Italiana [Bulletin of the Italian Mathematical Association]. 1957, vol. 12, no. 2, pp. 145-153.
3. Mihailescu T. Teoria Corespondentei [Theoretical proceedings]. Edit. Acad. R.P.R., 1963.
4. Villa M. Period.mat. 1968, vol. 46, no. 1-2, pp. 385-394.
5. Ryzhkov V. V. Itogi nauki i tekhniki. Ser.: Algebra, Topologiya, Geometriya [Progress of science and technology. Series: Algebra, Topology, Geometry]. 1970, pp. 153-174.
6. Ryzhkov V. V. Trudy geometricheskogo seminara [Proceedings of a seminar on geometry]. 1971, vol. 3, pp. 235-242.
7. Pavlyuchenko Yu. V. Trudy geometricheskogo seminara [Proceedings of a seminar on geometry]. 1971, vol. 3, pp. 221-234.
8. Sokolova T. A. Trudy geometricheskogo seminara [Proceedings of a seminar on geometry]. 1973, vol. 4, pp. 269-283.
9. Bolodurin V. S. Izvestiya vuzov. Matematika [University proceedings. Mathematics]. 1982, no. 5, pp. 8-15.
10. Bolodurin V. S. Applied Mathematics. 2013, vol. 4, no. 11D, doi 10.4236/ am.2013.411A4003.
11. Norden A. P. Prostranstva affinnoy svyaznosti [Spaces of affine connection]. Moscow; Leningrad: GITTL, 1950, 463 p.
12. Shelekhov A. M., Lazareva V. B., Utkin A. A. Krivolineynye tri tkani [Curvilinear 3 tissues]. Tver: Izd-vo Tverskogo gos. un-ta, 2013, p. 231.
Болодурин Виктор Сергеевич кандидат физико-математических наук, профессор, кафедра математики, Оренбургский государственный педагогический университет (Россия, г. Оренбург, ул. Советская, 19)
E-mail: [email protected]
Bolodurin Viktor Sergeevich Candidate of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of mathematics, Orenburg State Pedagogical University (19 Sovetskaya street, Orenburg, Russia)
УДК 514.757 Болодурин, В. С.
Об инвариантах точечных соответствий между тремя кривыми проективных плоскостей / В. С. Болодурин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2018. -№ 2 (46). - С. 3-14. БОТ 10.21685/2072-3040-2018-2-1.
