Классификация комплексов в пространстве 0 a P3 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Н.В. Жмурова

КЛАССИФИКАЦИЯ КОМПЛЕКСОВ В ПРОСТРАНСТВЕ А р0

Изучаются методом внешних форм линейчатые комплексы в пространстве с кубической метрикой специального вида Ар0. Построен канонический репер комплекса прямых,

найдены дифференциальные инварианты комплекса. Выделены специальные виды комплексов и проведена их классификация в дифференциальной окрестности первого порядка.

пространство Аппеля, линейчатый комплекс, кубическая метрика, канонический репер, дифференциальный инвариант.

Пространство Аппеля параболического типа А р0 252 с проективной точки зрения представляет собой проективное пространство /3, в котором задан абсолют Qз, состоящий из вырожденного трехвершинника, две стороны которого совпадают.

Группу проективных автоморфизмов абсолюта Qз назовём группой Gl подобий пространства А р0. Выберем проективный репер R0 ={А0, А,, А2, Аз} таким образом, чтобы точка А2 и прямая Х0 = Х2 — Х3 = 0 были инвариантны, а точка А, и прямая Х0 = Х3 = 0 были сдвоенными двойными элементами относительно группы преобразований G,. Тогда группа G, будет изоморфна группе квадратных матриц вида

(1 0 0 0 л

а, а 0 Ь

а 2 0 0 1 с

V аз 0 0 а у

Полагая определитель Д = а2 {а — с) = ±1, выделим из группы Gl подобий подгруппу движений G . Проективный репер R = {М 1, М2, М3, М4 } пространства А р0 назовём каноническим, если он преобразуется в координатный с помощью преобразования группы G . Из (1) следует, что многообразия канонических реперов пространства А р0 зависит от пяти параметров.

252 Жмурова Н.В. Пространство кубической метрики специального вида // Движения в обобщённых пространствах : межвуз. сб. науч. тр. / РГПИ. Рязань, 1982.

Инфинитезимальные перемещения канонического репера и структурные уравнения пространства А р0 имеют вид

dMi = ю/Му,

dюу = Юк л ю^к, I, ¡, к = 0,1, 2, 3,

где дифференциальные формы юу удовлетворяют условиям

02313 13232

Юi = Ю1 = Ю1 = Ю2 = Ю2 = 0; Ю1 = Ю3? Ю2 = Ю3 — Ю3 . (2)

Дифференцируя внешним образом условие а2 {а — с) = 1, получим, что

Ю 3 = I Ю2, где I - функция от параметров группы G .

При изучении комплексов прямых (трехмерного многообразия прямых) в окрестности нулевого порядка включим произвольную неособую прямую и комплекса в канонический репер, полагая и = {ММ 3) , тем самым выделим

, - 12 12 главные формы перемещения прямой комплекса: Ю0, Ю0, Ю3, Ю3, которые

связаны одной линейной зависимостью

12 12 к Ю 0 + к2 Ю 0 + ^3 Ю 3 + к4 Ю 3 = 0. (3)

Прямую комплекса назовём особой, если она пересекает прямую абсолюта. При к • к2 Ф 0 уравнение (3) можно записать в виде

2 1 1 2 Ю0 = ^1 Ю0 + а2 Ю3 + а3 Ю3 = 0, ^1 Ф 0

или

Ю0 = Р1 ю2 +Р2 Ю3 +Р3 ю2 = 0. (4)

Учитывая, что второе уравнение получается из первого делением на а,1 , рассмотрим лишь первое.

Дифференцируя внешним образом это уравнение, учитывая его и применяя лемму Картана, получим при неподвижной прямой относительно дифференци-

3

альной формы Ж0 и дифференциалов коэффициентов аi , систему уравнений

d а1 = 0,

< d а2 +а1 ж0 = 0, (5)

d а 3 — ж 0 = 0.

Система (5) имеет простейшее решение

[ж0 =а 3 = 0, а 2 = 0,

которому соответствует уравнение комплекса в окрестности первого порядка

2 1 1 Ю0 = а1 Ю0 +а2 Ю3. (6)

При этом все дифференциальные формы Юу становятся главными, а коэффициенты а1 и а 2 - инвариантами, т.е. построенный репер является каноническим. Тем самым доказана

Теорема 1. Для любого комплекса общего вида в окрестности первого порядка существует канонический репер, относительно которого уравнение комплекса принимает вид (6).

Дифференцируя уравнение (6), получим замкнутую систему уравнений этого комплекса в окрестности первого порядка

2 1 1 00 = «1 00 + «2 03,

11 2 1 3 2

d«1 = к100 + к1 03 + к1 03 ,

3 2 1 2 1 3 2 (7)

d«2 ^ «100 = к1 00 + к2 03 + к203 ,

3, 2_/3 1|/3 1|/3 2

— 00 + 00 = к1 00 + к203 + к3 03 ,

где «1, «2 - инварианты в окрестности первого порядка, к■ - инварианты

в окрестности второго порядка, «2 = 41, «1 = 42 назовём соответственно первой и второй кривизнами комплекса (6).

Рассмотрим частные виды комплексов (6).

I. к1 • к2 Ф 0 ; к3 • к4 = 0 .

При к4 = 0, к3 Ф 0 уравнение (3) принимает вид (7), а при к3 = 0,

к4 Ф 0 имеем уравнение

12 2

00 = «1 00 + «3 03 , (7')

которое получается из уравнения (6) перестановкой индексов 1 и 2, т.е. при перенумерации точек М1 и М2 канонического репера.

При к3 = к4 = 0 уравнение (3) имеет вид

21

00 = «1 00 . (8)

Из уравнения (5) следует, что форма 03* становится главной формой, а «1 - инвариант первого порядка, т.е. для комплекса (8) существует

репер первого порядка. Точка М0 описывает поверхность, касательная плос-

кость к которой имеет уравнение (8) и содержит точку М3 ,

т.к. dM 0 = 0ц {М1 + «}М 2 ) + 00 ]М 3

Комплекс (8) является специальным, его первая кривизна 41 = 0, а 42 Ф 0 .

II. к1 • к2 = 0, къ • к4 Ф 0 .

При к3 Ф 0 , к1 = 0 уравнение комплекса (3) имеет вид

2 12 00 = «2 03 + «3 03 . (9)

Учитывая уравнения (5), получим, что в репере первого порядка уравнение (9) принимает вид

21

00 = «2 03, (10)

где « 2 - первая кривизна комплекса - инвариант в окрестности первого поряд-

3

ка, а дифференциальная форма 0 0 становится главной. Построенный репер является каноническим.

Аналогично получим, что в репере первого порядка при к2 = 0, к1 Ф 0. Уравнение комплекса имеет вид

01 = 4103 . (11)

Точка М 3 прямой комплекса описывает в инвариантной плоскости кривую, задаваемую уравнением (11); комплекс состоит из всех прямых, пересекающих кривую (11), т.е. является специальным вырожденным комплексом. Дифференцируя внешним образом уравнение (11), получим

dk л 03 = 0, dk = 103, (12)

то есть к - инвариант, а форма00 через главные формы не выражается. Можно

доказать, что канонический репер этого комплекса не существует.

III. к1 • к2 = 0, къ • к4 = 0 .

Уравнение (9) при к1 = к 4 = 0 принимает вид (10), а при к1 = к3 = 0 вид

00 = «3 03 . (13)

Система уравнений (5) при «1 = «2 = 0 состоит из одного уравнения

d«3 — ^0 = 0, простейшим решением которого является «3 = ^0 = 0 . Таким образом, уравнение (13) приводится к виду

002 = 0. (14).

Из системы уравнений (5) получим, что Ж0 = 0 , т.е. для комплекса в этом случае существует репер первого порядка. Точка М0 описывает поверхность V, касательная плоскость ж к которой в точке М0 имеет уравнение (14). Прямая комплекса {М 0 М 3 ) лежит в этой плоскости. Плоскость ж проходит также через точку М1. Отсюда следует, что поверхность V является конусом с вершиной в точке М1, т.е. комплекс в этом случае является специальным. Назовем его

тангенциально-вырожденным специальным комплексом.

При к2 = к4 = 0 , к1 Ф 0 уравнение комплекса имеет вид

01 = к 03 (15)

Дифференцируя внешним образом уравнение (15), используя его и применяя лемму Картана, получим при неподвижной прямой одно уравнение относи-

33

тельно dk и дифференциальной формы Ж0 dk — Ж0 = 0 , простейшим реше-

3

нием которого является dk = Ж0 = 0 .

Уравнение комплекса принимает вид

00 = 0. (16)

Отсюда следует, что комплекс также является тангенциально-вырожденным специальным комплексом. Он состоит из прямых, касающихся конической поверхности с вершиной в точке ^2 .

При к2 = к4 = 0 уравнение комплекса (3) принимает вид

0(1 = к 01. (17)

При к 2 = к^ = к 4 = 0 уравнение комплекса имеет вид (16).

При к1 = к2 = 0 имеем

03 = 103 (18)

Точка М3 описывает в инвариантной плоскости кривую, все прямые комплекса её пересекают. Имеем вырожденный специальный комплекс.

2

Дифференцируя уравнение (18) и учитывая его, получим dl л 03 = 0,

откуда следует, что I - инвариант первого порядка, форма 00 главной не становится. Канонический репер для такого комплекса не существует.

При к1 = к2 = к3 или к1 = к2 = к4 уравнения комплекса принимают соответственно виды

02 = 0 и 01 = 0 . (19)

Точка М 3 прямых этих комплексов описывает кривые (19) в инвариантной плоскости, касательные к которым в каждой точке проходят через точку М2 в первом случае и точку М1 во втором, то есть кривые являются прямыми. Поэтому каждое из уравнений (19) задает вырожденный специальный линейный комплекс, оси которого проходят через точки М2 , М1 и лежат в инвариантной плоскости. Канонический репер этих комплексов не существует.

Выясним строение комплекса (10)

0 02 = к 0 31 .

Касательная плоскость в точке М3 , проходящая через фиксированную пря-

М3 М1

мую, к конусу прямых комплекса с вершиной в точке 3 , содержит точку 1 .

3

Действительно, при неподвижной точке М3 dM3 = 03 М3,

2

то есть 0 0 = 0 , а значит

dM0 = 0О ]М 1 + 00 ]М3 .

Отсюда следует, что все касательные плоскости к конусу V прямых комплекса с вершиной в точке М3 проходят через точку М1 , что означает, что этот

конус вырождается в пучок прямых, проходящих через точку М1 и принадлежащий плоскости, проходящей через точку М1 и выделенную прямую конуса

V . Комплекс (10) расслаивается на двухпараметрическое множество пучков с центрами в инвариантной плоскости. Такой комплекс назовём особым специальным комплексом. Аналогично доказывается, что комплекс (11) также является особым специальным комплексом. Он рассматривается на двухпараметрическое множество пучков прямых с центром в точке М2 в плоскости, проходящей через точку М2 и выделенную прямую конуса V .