CC BY
8
Научни трудове на Съюза на учените в България - Пловдив. Серия В. Техника и технологии. Том XVII, ISSN 1311 -9419 (Print); ISSN 2534-9384 (Online), 2019. Scientific Works of the Union of Scientists in Bulgaria - Plovdiv. Series C. Technics and Technologies. Vol. XVII., ISSN 1311 -9419 (Print); ISSN 2534-9384 (Online), 2019
ЧИСЛЕНО ИЗСЛЕДВАНЕ НА НАЧАЛНИ ЗАДАЧИ ПРИ МОДЕЛИ НА НЮТОНОВИ ЗВЕЗДИ Павлина Атао асовв Пловдивски университет "Паисий Хилендарски", Пловдив, България
NUMERICAL INVESTIGATION OF INITIAL PROBLEMS FOR MODELS OFNEWTONIAN SLARS Pavlina Atanasova Plovdiv University "Puisii Hilendarski", Plovdiv, Bulgaria
Abstract
For modern astrophysics it is important to study the equations of state for different types of stars. In the present work results of numerical investigation of initial problems within the models of Newtonian stars are described. The main purpose of this work is to test a numerical method for these models. Such models are valid in comparatively low masses of the stars when the curvature of space-time is negligible - for example, white dwarfs. Numerical solution of the system of ordinary differential equations is performed by Runge-Kutta-Fehlberg adaptive method.
Key words: Newtonian stars, models, Numerical solution.
Въведение
В течение на няколко години астрофизиката се оформи като фундаментална наука, даваща фрапиращи открития за човешкото познание. Достатъчно е да споменем експерименталното откритие на тъмната материя, измерването на ненулева космологична константа (тъмната енергия, която ефективно действа като антигравитация) (NASA Science, 2015; Aghanim, Armitage-Caplan et al., 2013) и разбира се метрологичното потвърждение на теоретично предсказаните преди сто години гравитационни вълни. Основни инструментални обекти в тези измервания са звездите във всичките им разновидности по диаграмата на Херцшпрунг-Ръсел (Hobbs et al., 2010). Уравненията за състоянието на звездите (техните теоретични модели) съществено зависят от глобалната фонова геометрия на пространство времето и затова е важно те да бъдат изучавани.
Теоретичното разглеждане на еволюцията на звездите днес е много развито. Схематично това разглеждане се състои в изчисляване на последователност от модели на звезди с еднаква маса, като всеки следващ модел е с химичен състав, получен от предния в резултат на измененията му с течение на времето в следствие на термоядрените процеси -източници на звездната енергия. Всеки такъв модел дава изменението на основните характеристики на звездата, като светимост, температура, налягане и др., с разстоянието от центъра, т.е. вътрешния строеж на звездата, получен теоретично. Вътрешният строеж, впрочем, може да се получи само теоретично; от наблюдения се определят характеристиките само на най-външните слоеве на звездите. Външните характеристики на
модела се отнасят за разстоянието от центъра до r = R (R е радиусът). Съгласуваността на теоретично получените външни характеристики с реално наблюдаваните служи като критерий за вярност на модела. В частност, температрната светимост на модела при r = R определят неговото положение върху диаграмата на Херцшпрунг-Ръсел; последователността от модели, изчислени с отчитане на изменението на химичния състав, очертава върху диаграмата линия, наречена еволюционен трек. Всичко това показва тясната връзка между въпроса за вътрешния строеж и въпроса за еволюцията на звездите.
Заради трудното аналитично решение на такива задачи се предлагат числени методи. Целта на тази работа е построяването на подходящ програмен комплекс за числен анализ на нютонови звезди - основен обект в астрофизиката.
Математически модел
При сравнително малки маси (от порядъка на няколко слънчеви маси) и ниски скорости на движение, ефектите породени от изкривяването на пространство-времето са пренебрежимо малки и модела на разглеждане се подчинява на аксиоматиката на нютоновата механика.
От класическата нютонова механика (Silbar and Reddy, 2003) следват уравненията за налягането и масата на звездата:
Тук G е нютоновата гравитационна константа G = 6.637x10-8 dyna-cm2/g2, р(г) е плътността на звездата (в gm/cm3) като зависимост от радиуса r, £ - съответната плътност на енергията (в ergs/cm3). Величината М(г) е цялата маса на звездата при даден радиус r.
Трябва да се обърне внимание на това, че във вторите части на уравненията сме се отклонили от нютоновата физика като определяме плътността на енергията £(г) по отношение плътността на масата р(г) според прочутото айнщайново уравнение от специалната теория на относителността £(г) = р(г)с2. Това позволява на уравнение (1) да се използва, взимайки се в предвид енергията на взаимодействие между частиците, които съставляват звездата. В това, което следва, ако поставим c = 1, тогава р и £ стават идентични.
За да се решат уравненията (1) и (2) относно p(r) и M(r) интегрираме от центъра на звездата, където r = 0 до края на звездата, когато r = □Ж, където налягането е равно на нула. Тази точка ни определя ^ като радиус на звездата. За целта е нужно да се дефинира първоначалната стойност на налягането в r = 0, да я наречем p0, след като се направи това, както радиуса на звездата така и общата й маса М(Ж) = ще зависят от тази стойност-параметър p0.
За да се изпълни интегрирането, трябва да се знае енергийна плътност £(г) по отношение на налягането р(г). Тази връзка се нарича уравнение на състоянието (Equation of States = EoS) и тя определя материята, от която е съставена звездата. Всяко различно уравнение на състояние, ще представлява нова звезда за изследване. В тази работа ще
dp —Gp(r)M(r) -Gf(r)M(r)
dr r2 c2r2
dr
,(1)
приемем, че звездата е съставена от несвиваем флуид с уравнение на състоянието р = const, което е най-простият модел. Това е удачно за едно добро и коректно начало за изследване на звездите. От физична гледна точка има по-сложни EoS, които водят до усложняване на уравненията. Съставеният програмен комплекс може да се използва и за решаване на такива задачи.
За численото решение е използван адаптивния метод на Рунге-Кута-Фелберг за решаване на начални задачи за системи от обикновени диференциални уравнения. За целта е написан програмен комплекс на езика Fortran (Velichkov, 2012).
Числени резултати
Radius (г)
Фигура 1. Разпределения на налягането p(r) и панел) и p(0) = 10 (десен панел).
Radius (г)
M(r) на нютонова звезда при p(0) = 5 (ляв
На Фиг.1 са представени намерените функции на разпределенията на налягането р(г) и масата М(г) на нютонова звезда. Teзи разпределения са получени при начални стойности за р0= 5 и р0 = 10 съответно. На тях се демонстрира как се увеличава масата и намаля налягането в зависимост от текущия радиус. На графиките се вижда, че стойностите на налягането в десния край на графиките винаги е нула. От физична гледна точка това съответства на края на звездата, което се използва като стоп-критерий при интегрирането в програмната реализация. Важни характеристики са стойностите на радиуса и масата в този край, които представляват реалните радиус и маса на звездата. При р0 = 5 имаме радиус на звездата Ж = 1.539 и маса Ж(Ж) = 15.2690, докато при р0 = 10 са се увеличили съответно на Ж = 2.183 и Ж(Ж) = 43.5768.
Фигура 2 (ляв панел) представлява обобщение на резултатите за крайната маса на звездата, при изменение на р0 от 1 до 100. От начина по който се изменя тази функция, може да се заключи, че при тази звезда колкото е по-голям параметъра р0, толкова по-голяма ще бъде нейната маса.
Друга зависимост, която се демонстрира е изменението на крайната маса Ж спрямо крайния радиус Ж на звездата. Според резултатите от Фиг.2 (десен панел) следва извода, че могат да съществуват звезди с всякакъв радиус, както много малък така и много голям. В действителност обаче, при наблюденията се е установило, че съществува дупка в размерите между малките и големите звезди, т.е. не са открити звезди с определен радиус. Физиците все още търсят модел, които да може да обясни това явление, но най-вероятната причина е
във фонова геометрия на пространство-времето с космологичен хоризонт на събитията. За това загатва и ненулевата, макар и много малка, космологична константа.
Фигура 2. Ляв панел: Изменение на крайната маса ,Ж(Ж) на звездата спрямо р0. Десен панел: Крайната маса ^' на звездата спрямо крайния радиус ё при изменение на р0 от 1 до 100.
Литература
[1] "Dark Energy, Dark Matter" , NASA Science: Astrophysics. 5 June 2015
[2] Ade, P. A. R.; Aghanim, N.; Armitage-Caplan, C.; et al. (Planck Collaboration) (22 March 2013). "Planck 2013 results. I. Overview of products and scientific results - Table 9". Astronomy and Astrophysics. 1303: 5062, arXiv:1303.5062
[3] Hobbs, G.; et al. (2010). "The International Pulsar Timing Array project: using pulsars as a gravitational wave detector". Classical and Quantum Gravity. 27 (8): 084013. arXiv:0911.5206
[4] Richard R. Silbar and Sanjay Reddy, "Neutron Stars for Undergraduates", Los Alamos, NM 87545 arXiv:nucl-th/0309041 v2 26 Nov 2003
[5] Todor Velichkov, Numerical investigations of objects in astrophysics, bachelor thesis,
2012.
