CC BY
7
Научни трудове на Съюза на учените в България - Пловдив. Серия В. Техника и технологии. Том XVII, ISSN 1311 -9419 (Print); ISSN 2534-9384 (Online), 2019. Scientific Works of the Union of Scientists in Bulgaria - Plovdiv. Series C. Technics and Technologies. Vol. XVII., ISSN 1311 -9419 (Print); ISSN 2534-9384 (Online), 2019
ЧИСЛЕНО ИЗСЛЕДВАНЕ НА НАЧАЛНИ ЗАДАЧИ ПРИ МОДЕЛИ ЕДВ РЕЛАТИВИСТКИЗВЕЗДИ Павлина Атанасова Пловдивски университет "Паисий Хилендарски", Пловдив, България
NUMEMCAL INVESTIGATION OF INITIAL PROBLEMS FOR MODELS OFRELATIVISTIC STARS
Pavlina Atanasova Plovdiv University "Paisii Hilendarski", Plovdiv, Bulgaria
Abstract
In the present work results of numerical investigation of initial problems within the models of relativistic stars are described. Such models are valid at high masses when we contribute by distortion of space-time. Numerical solution of the system of ordinary differential equations is performed by Runge-Kutta-Fehlberg adaptive method.
Key words: relativistic stars, numerical investigation, models.
Въоедеиде
Съвременната астрофизика е най-бързо развиващата се област от фундаменталната физическа наука. Това не е случайно, защото човечеството достигна своя технологичен земен енергиен предел да „дълбае" в материята (LHC- CERN). Именно от астрофизиката идват и се очаква да бъдат регистрирани нови фундаментални физически ефекти (големият взрив е най-мощният ускорител), променили и променящи представата ни за фоновата геометрия и даже за дребно-мащабната структура на пространство-времето (Verlinde, 2017; Seiberg, 2006; Aghanim, Armitage-Caplan et al., 2013). Безспорно, най-фрапиращите направени до сега експериментални метрологични открития са експерименталното потвърждаване на теоретично предсказаните преди 100 години гравитационни вълни, тъмната материя и измерването с изключителна точност на ненулева космологична константа (така наречения ламбда член в уравненията на Айнщайн), популярно известна като тъмна енергия (NASA Science, 2015). Първото откритие е най-финия в историята на човечеството метрологичен експеримент и фактически поставя началото на нов раздел в съвременната наука-гравитационната спектроскопия. Точно за тези по-нататъшни изследвания е важно да се изучват и източниците на гравитационните вълни, които са най-често звезди и то релативистки звезди. Въпреки, че са натрупани изключително много измервателни данни, все още физиката няма отговор на въпроса за точните уравнения на състоянието на много видове звезди и реалистичния им теоретичен модел. Точно по тези причини се налага тези уравнения на състоянието и математически модели на звезди да се тестват с помощта на изчислителната математика и да се сравняват с измерените данни. За
да се "усетят" най- дребномащабните промени в нагъването на пространство-времето е нужно да се разгледат и добавят и релативистки поправки идващи от уравненията на Айнщайн за гравитацията. Това вече води до включването на механизма на взаимовръзка между промяната във фоновата геометрия и причината за тази промяна - по-високата плътност на материята и енергията (Thome, 1995).
Математически модел
Нютоновата формулировка работи добре в режими, където масата на звездата не е толкова голяма, че да "изкриви" пространство-времето. Интегрирането на уравнения за плътността и масата ще работи добре в случаите, когато промените от обща теория на относителността (ОТО) не са съществени. Това може да се получи при компактните звезди познати още като white dwarfs (бели джуджета). Уместно е да включим промените на ОТО, когато величината GM/CR стане значима като стойност. Тогава се попада в случаи на неутронни релативистки звезди. Моделните уравнения за налягането и масата изглеждат по следния начин:
dp —Gs(r)M(r)
dr
1 +
p(r)
e(r)
1 +
4nr 3 p(r)
M(r)c2
1 -
2 G M(r)
-l
( )
dM 4nr2£(r)
— = 4nr2p(r) =-2-, (2)
dr cz
rr 4nfnr' dr'e(r') M(r) = 4n I r2 dr'p(r') =-2---, (3 )
J о c
където G е нютоновата гравитационна константа G = 6.637x10-8 dyna-cm2/g2, p(r) е плътността на звездата (в gm/cm3) като зависимост от радиуса r, £ - съответната плътност на енергията (в ergs/cm3). Величината M(r) е цялата маса на звездата при даден радиус r.
Диференциалното уравнение за M(r) остава непроменено. Първите два члена в скоби от уравнението (1) представляват корекцията на специалната теория на относителността от порядък v2/c2. Може да се види как налягането p преминава не релативистки граници като ItpUm = mv2/2, докато £ и Mc2 стават mc2. Последният множител в скобите представлява корекцията от ОТО. Размера на GM/c2R, както изтъкнахме по-горе, определя доколко той играе съществена роля.
Обръщаме внимание на това, че всички коректиращи множители са положителни. С това се обяснява факта, че нютоновата гравитация става по-силна на всяко r. Това е така заради специалната и общатата теория на относителността, които засилват съществено силата на гравитацията.
Двойката нелинейни уравнения (1) за p(r) и (2) за M(r) и в този случай могат да бъдат интегрирани от r = 0 с някаква начална стойност на p0 до точката, където р(Ж) = 0. Така ще се определи масата на звездата Ж = M(^) и радиуса ^ за тази стойност на p0. Тези уравнения установяват баланс между гравитационните сили и вътрешното налягане на звездата. Налягането е функция на EoS и при определени условия може да не е достатъчно, за да удържи на гравитационното привличане. Така структурата на това уравнение предполага наличието на максимална маса, която звездата може да има.
Решаваме системата съставена от уравнения (1) и (2) с начални условия за p0 > 0 и
M(0) = 0. Замествайки директно дясната страна на уравнение (1) в подпрограмата ще доведе
до грешка, защото има делена на нула. Проблемът идва от началното условие M(0) = 0 и
Г« . 4пг3р(г)~\
наличието на M(r) в знаменателя на II Л--tvt
v 7 L M(r)c2
интегрира уравнение (3) и резултата се замести с M(r)
Проблемът се премахва, като се
При р = 1, уравнение (3) придобива вида:
M(r) = An I г'2 dr'p(r') = Jo
замествайки в (1) при G = 1, s = 1 и c = 1 получаваме: dp —Апг
Апг3
dr
■[l+Po][l + ^Po]
8пг2
-i
За численото решение е използван адаптивния метод на Рунге-Кута-Фелберг за решаване на начални задачи за системи от обикновени диференциални уравнения. За целта е написан програмен комплекс на езика Fortran (Velichkov, 2012).
Числени резултати
На Фиг. 1 (ляв панел) са представени намерените функции на разпределенията на налягането p(r) и масата M(r) на релативистка звезда за една конкретна начална стойност за p0 = 0.1. На Фиг. 1 (десен панел) са показани разпределенията на налягането p(r) спрямо текущия радиус r. Те още веднъж показват как с увеличаване на параметъра p0, той започва да влияе все по-малко и по-малко върху радиуса ^ на звездата. При p0 = 10, ^ = 0.323 и Ж = 0.141.
Фигура 1. Ляв панел: Разпределения на налягането p(r) и масата M(r) на релативистка звезда при p(0) = 0.1. Десен панел: Изменение на налягането p(r) в зависимост от параметъра p0.
Фигура 2. Ляв панел: Изменение на крайната маса ,Ж(Ж) на звездата в зависимост от p0. Десен панел: Изменение на крайната маса = M(ffi) на звездата спрямо крайния радиус ffi,.
Фигура 2 (ляв панел) показва изменението на крайните маси Ж спрямо p0. Окончателно вече може да се заключи, че влиянието на този параметър много бързо намаля. Веднъж след като той стане по-голям от единица неговото значение за крайните маса и радиус на звездата започва да клони към нула.
На Фиг. 2 (десен панел) е показано изменението на Ж към което ни дава като информация какви звезди могат да съществуват по този модел. Съгласието на тези теоретично получени външни характеристики с реално наблюдаваните обекти служи като критерий за вярност на модела. Все още няма единен модел за строежа на всички звезди. За различните звезди се използват различни модели (най-вече с различни уравнения на състоянието) и физиците все още продължават да търсят такъв. Една от причините се корени в това, че Вселената има съвсем слаба положителна кривина (споменатия по горе ламбда член), съответстваща на пространство на Де Ситер, с космологичен хоризонт на събитията, който влияе върху реалните състояния. Другата причина е, че няма все още точен физически модел на атомните ядра.
Литература
[1] Erik P. Verlinde, Emergent Gravity and the Dark Universe, SciPost Phys. 2, 016 (2017), arXiv:1611.02269v2 [hep-th]
[2] Nathan Seiberg, Emergent Spacetime, 2006 arXiv:hep-th/0601234v1
[3] Ade, P. A. R.; Aghanim, N.; Armitage-Caplan, C.; et al. (Planck Collaboration) (22 March 2013). "Planck 2013 results. I. Overview of products and scientific results - Table 9". Astronomy and Astrophysics. 1303: 5062, arXiv:1303.5062
[4] "Dark Energy, Dark Matter" , NASA Science: Astrophysics. 5 June 2015
[5] Kip S. Thorne, "Gravitational Waves". Particle and Nuclear Astrophysics and Cosmology in the Next Millenium: 160. arXiv:gr-qc/9506086, 1995.
[6] Todor Velichkov, Numerical investigations of objects in astrophysics, bachelor thesis,
2012.
