Новый подход в оценке возможностей последовательного соединения элементов в структурных интерпретациях механических колебательных систем Текст научной статьи по специальности «Физика»

Елисеев С.В., Засядко А.А., Упырь Р.Ю.

УДК 621.01

НОВЫЙ ПОДХОД В ОЦЕНКЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО СОЕДИНЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ В СТРУКТУРНЫХ ИНТЕРПРЕТАЦИЯХ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

В работах [1,2] рассматриваются последовательное соединения звеньев соединения звеньев (Рис.1) 51 и 52, для которых имеют место соотношения 515 2

5 =-

(1)

Рис.1. Схема последо- Рис-2- Последовательное сое-вательного соедине- динение звеньев с разнесенны-ния ми точками контакта (2 ) и (20,

I - длина рычага.

51 + 5 2

где 51 и 52 - передаточные функции типовых звеньев структуры [2] или комплексные сопротивления [1].

Если рассматривать точку соединения (2) (рис.1) таким образом, что в ней входят в контакт элементы двух звеньев (точки (27) и (27/)), то между точками (27) и (27/) можно ввести новое звено — рычаг, так, как это показано на рис.2.

Рычаг может быть безынерционным зве- будет скользящей. Подобные ситуации, по-су-ном [1], а в некоторых случаях можно прини- ществу, возникает при колебаниях твердого мать во внимание его массоинерционные сво- тела в виде балки, расположенного на двух йства. Невесомый рычаг без точки опоры со- опорах. В этом случае могут быть использова-здает в передаче взаимодействия определен- ны специальные системы координат [1]. ный хаос, который можно при некоторых I. На рис.4а представлен один из вариан-ограничениях рассматривать как люфт. Одна- тов введения рычажного звена (рычаг 1-го ко, для рычага можно ввести точки опоры, полагая, что тем самым в схему взаимодействия вводится рычаг либо первого, либо второго рода. Точка опоры рычага может быть связана с неподвижной системой отсчета (рис.За, б).

Если сравнить соединения на рис.1 и рис.ЗаД то можно отметить, что они будут различными. Продолжая рассмотрение возможностей введения такого типа рычажного соединения, можно сделать предположение о «закреплении» точки опоры на одном из элементов системы, который входит в общую схему. И, наконец, можно рассматривать вид сое- Рис.3.Рычаг пеРвого Р°да (а) и Рычаг вт°р°г° р°да

динения рычагом, у которого «точка опоры»

(б) в соединении типовых звеньев.

Рис.4. Расчетные схемы последовательного соединения £ 1 и £2 через рычажное звено: а) общий случай; б) £ 1 и £2 являются упругими элементами.

рода), а на рис.4б — показана расчетная схема, включающая упругие и массовые элементы, обеспечивающие включение связки £ 1, £2 в колебательную систему.

Предлагая общий способ учета свойств «рычажного» соединения, будем полагать, что рычаг обладает моментом инерции 3 и может совершать угловые движения ф. Используя уравнение Лагранжа II рода и полагая, что сила Р приложена к массе, получим уравнения движения в виде

[ту + к. у - к. 1.ф = Р,

|7ф + (к. 1. + к 212)ф- к. 1. у = к 21.

(1)

ф = У

к 1 к 2¡1

к 1 ¡1

2 + к л

. = ¡2 1 I '

получим

(2)

ту + у

к. + к Л

= 0.

(3)

Структурная схема системы показана на рис.5, она состоит из двух парциальных подсистем, обозначенных контурами I и II, связанных между собой упругими связями. Если принять 3 = 0 (то есть рычаг будет невесомым), тогда при учете

Из (3) следует, что дополнительное соединение в виде рычага первого рода, имеющее передаточный коэффициент г, эквивалентно введению в систему новой пружины, но уже с другой упругостью - к212. Соответствующая

расчетная схема показана на рис.6а,б,в; откуда можно увидеть что введение рычага не меняет характера изначального соединения, элементы взаимодействуют последовательно в соответствии с (1), но рычаг формирует новое свойство, которое определяется уже приведенной жесткостью.

Если I = 1, то введение рычага не изменяет приведенной жесткости, но позволяет «разнести» в пространстве точку соединения двух элементов к 1 и к2. При I = 0( ¡2 = 0) — исходная система вырождается, также как при I = да (¡1 = 0). Таким образом пределы изменения I

определяются условиями 0 < I < да (но I ф 0 и I ф да).

Используя схему, приведенную на рис.4б произведем некоторые преобразования (3 = 0)

Рис.5. Структурная схема системы, приве- Рис.6. Расчетная схемы к системе, приведенной на денной на рис.4б. рис.4а: а) последовательное соединение при введении

рычага (1); б) приведенная расчетная схема при введении рычага (г); в) расчетная схема обычного последовательного соединения.

Рис.7. Структурная схема системы на рис.4а: Рис.8. Последовательное соединение устройства а) с учетом рычажных свойств и т Ф 0; б) с учетом для преобразования движения (Ьр2) и пружины рычажных свойств и т — 0. (£).

и получим структуру (рис.7), позволяющую найти приведенную жесткость.

Для случая на рис.7а найдем передаточную функцию системы при выходе у и входе Р:

W = y =-P

kj I, + k 2 /22

ml p +

откуда следует

к, k 2i kj + k 2i2

kj k 2i2

K пр = , ,2

(4)

(5)

к1 + к 2г

Если использовать структурную схему на рис.7б, то можно также найти передаточную функцию, соответствующую отношению выхода у и входа Р, что имеет вид

" " 1 —, (6)

моменты сил (именно этим объясняется появление г2, а не г).

II. Если положить, что 51 — Ьр2, а 52 — к что

соответствует схеме на рис.8а, то расчетная схема с введением массы т и кинематического возмущения 2 имеет вид, как показано на рис.8б. Полагая, что кинетическая и потенциальная энергия системы определяется выражениями

Т — 1 ту2 +1 Ь(у - ¡,ф)2 +1 ^2,

1 2 п= 21 k (Ф/2 - z )2

(7)

— = y = кх 1? + к 2122

ГДе K пр =

р

k, k i2

ki к 212

пр к 1 + к 2г

Отметим, что структурная схема на рис.7а является (по терминологии, введенной Гальпериным И.И. в работе [3]), кинетостатической моделью, а структурная схема на рис.7б соответствует статической схеме, то есть является статической моделью. Результаты, полученные в двух подходах, совпадают, а свойства рычага не зависят от частотных свойств системы.

Приведенная жесткость может быть получена на основе обычных подходов, как это делается в теории колебаний (например, в работе [1]), однако надо принять во внимание, что при введении рычага, происходит переход в другой класс систем, где необходимо учитывать моментные соотношения, углы поворота,

получим систему дифференциальных уравнений

(ту + Ly - I11(p = р,

1 2 2 (8) [Jcp + L1{ ф - L11 у + kl2 ф = kl 2 z,

и построим структурную схему (рис.9).

Используя структурную схему (рис.9), найдем передаточные функции системы

W = y =

(J + L/2) p2 + k/22

P (m + L) p 2[(J + L/j2) p2 + k/22 ]- L2 /2 p

-' (9)

Рис.9. Структурная схема системы, приведенной на рис.8б.

п р

Если 3 = 0, а затем т = 0, то получим соответственно

ж-У =

д2 р2 + к122

Р (т + X ) р2 [¿¡? + к122 ]- Ь2 ¡2 р

У Д2 р2 + к^2

ж " = ^ =

Р

Ьр2 • k¡22

(10)

(11)

Полагая, как и ранее, что I = —, най-

дем

- =у = Ьр2 Ы ^

пр Р Ьр2

Рис.10. Расчетная (а) схема и структурная схема колебательной системы (б) с рычагом второго рода.

+ кг

(12)

Отметим, что этот результат можно было получить сразу, если принять £ 1 = Ьр2, £2 = к, тогда

Ьр2 к

Ж =У =

" пР р Т 2

Г 2 Г (13)

Ьр 2 + к

но в этом случае не было бы принято во внимание рычажное соединение.

Передаточная функция от входа 2 на выход у, что соответствует не силовому, а кинематическому воздействию, имеет вид

ж=У= 122,

г а

где А = (тр + к 1)(3р2 + к 1 ¡2 + к2¡2)- к2¡2. Если 3 = 0 и т = 0, то

к к г

(19)

Кп р =

к1 + к 2г

(20)

• ¡2 ¡2 где I =—=-—-¡ ¡! + ¡2

ж=У=

Д2 р2 + к^2

2 (т + Ь ) р2 Ь2 р2 + к^2 ] - Ь2 ¡2 р4'

Таким образом, рычаг второго рода, определяя приведенную жесткость, которая формируется как последовательное соедине-(14) ние пружины к1 и к2 с точками (27) и (2"), разнесенными безынерционным рычагом второго Знаменатель (14) — частотное уравнение, рода, дает выражение такого же типа, что и совпадает со знаменателем (11), что и сле- выражение (5).

довало ожидать, поэтому Жп р, определенное из При этом, если I = 1, то рычаг не вносит ни-

(14) будет также соответствовать выражению чего особенного по сравнению с обычным п°-

(12). Аналогичным образом могут быть апроби- следовательным соединением. Если I = а то и

рованы взаимодействия любых других набо- ¡2 = 0 чтосоответствуетсоединению к2 снеп°д-

ров из типовых звеньев [2]. вижной точкой и соединение становиться не-III. Использование для разноса точек (2/) и возможным. Если I > 0, то физически это озна-

(2//) рычага 2-го рода показано на рис.10а,б. чает перенос точки (2//) влево, что не изменит

Система дифференциальных уравнений в качественной картины результатов.

(15)

этом случае имеет вид

[ту + к1 у - к11ф = Р,

|уф +ф(к112 + к 212) - к11у = к 212 z.

Используя структурную схему (рис.10б), найдем, что

3р2 + к. ¡2 + к 2 ¡2

Ж =у =

Р (тр + к1 )(3р2 + к1 ¡2 + к2¡22) - к2, ¡2'

к 1!

Ж =ф=.

Ж =Ф = 2

Р А '

(тр + к1)к 2 ¡2

~а ;

Таким образом, использование безынерционного рычага первого или второго рода для разноса точек соединения элементов £1 и £2 (точки (2/) и (2//)), не меняет типа соединения, то есть последовательный тип соединения остается, однако выражение для приведенной характеристики соединения будет включать передаточные коэффициенты рычага. Получение приведенных характеристик, получаемых из комбинации типовых звеньев, можно полу-

(17) чать из передаточных функций, так называемых статических систем [2], хотя аналогичные

(18) результаты можно получить, используя частотные уравнения (знаменатель передаточной

(16)

иркутским государственный университет путей сообщения

Рис.11. Расчетные схемы колебательных систем с рычагами, точки опоры которых принадлежат другим элементам ( во всех вариантах точка опоры помещается на элемент массы): (а) опора на элементе массой т3; (б)опора на элементе массой т3; (в) опора на элементе массой т2.

функции), делая соответствующие преобразования. Учет инерционных свойств рычажного соединения представляет собой отдельную задачу и требует соответствующей физической интерпретации.

IV. Рычажная связь может быть реализована и в том случае, когда точка опоры принадлежит одному из элементов общей схемы, например, это может быть элемент массы или точка опоры, котрая принадлежит элементу 53.

В этом случае вторая точка может примыкать к неподвижному основанию или соединяться с другими элементами. Примеры системы такого рода приведены на рис.11а,б,в.

Для случая, показанного на рис.11а, запишем выражения для кинетической и потенциальной энергии

1 • 2 1 • 2 1 I У 3 • 2

T — 2т 1 у1 + 2 ^Ф + 2 ^ 1"Г I +(т2 + т3)У3,

1 2 1 2

П — 2 к1( У1 - 71ф-у 3 ) + 2 к 2(12 ф+ у 3 ) +

12

+ 2 к3(У 3 - Z2 ) 2 .

(21)

и соответствующую систему дифференциальных уравнений движения

ту 1 + к 1у1 - к11Ф + к1 у 3 —

3 2 ф +Ф( к 11 ' + к 2 122) + к111 у1 - у 3( к111 - к 2 12 ) = — к 2 12 21 ,

( т 2 + т 3)У 3 + у 3 ( к 1 + к 2 + к 3 ) + к 1 у1 -Ф( к 111 - к 2 12 ) = — к 2 12 + к 32 2 +

(22)

Структурная схема системы приведена на рис.12. В системе уравнений (22) учтены возможные виды возмущений (силовые и кинематические), что также нашло отражение на структурной схеме - рис.12а. На рис.126 представлена дуальная механическая цепь, построенная по правилам, изложенным в работе [1].

Отметим, что в данной системе имеются связи к1, которые превращают систему в непланарную. Приняв ф — у2, перепишем систему (22) в виде

аи у 1 + щ2 У 2 + ^ У 3 — bl, a 21 У1 + a 22 У 2 + a 23 У 3 — Ь2 , (23)

a 31 У1 + a 32 У 2 + a 33 У 3 — Ь 3,

и определим соответствующие коэффициенты:

а 11 — р к 1, а 12 — к 1 ¡1, а 13 — к 1, а 21 — к 1 ¡1,

а22 — Ур + к1 ¡1 + к2¡2 ,а23 —-(к1 ¡1 - к2¡2), (24)

а 31 к 1, а 32 ^к 1 ¡1 к 2 ¡2 ^,

а 33 —(т 2 + т 3 )р 2 + к1 + к 2 + к 3,

Ь1 — , Ь 2 — к 2 ¡2 ^ 1 , Ь 3 — к 2 ¡2 ^ 1 + к 3 ^ 2 + А.

Не прибегая к построению передаточных функций, запишем, используя метод определителей [1], частотное уравнение системы в виде:

B = С!^ 22 a 33 — С!^ 21a 32 + al2 a 2la 32 — al2 a 2la 33 + (25) + alla23a31 — alзa22 a31.

Будем полагать, что рычаг безынерционный (У 2 — 0) и т2 + т3 — 0, тогда

Рис.12. Структурная схема (а), соответствующая расчетной схеме, приведенной на рис.11а (р, Р3 - силовые возмущения, Z1, Z2 - кинематические возмущения) и ее дуальная механическая цепь (б).

В = т1 р 2[(к 2 + к 2 ¡2)(к 1 + к 2 + к 3) - (к 1 ¡1 - к 2 /2)2 --(к 1 ¡1 - к 2 /2)] + к 1 (к 1 + к 2 /2)(к 1 + к 2 + к 3) --к 1 (к 1 ¡1 - к 2 /2 )2 + к 2 ¡1 (к 1 ¡1 - к 2 /2) - к 1 ¡12(к 1 + к 2 + к 3) --к 2(к 1 /1 - к2 /2) - к2(к 1 /2 + к2 /22). (26)

При к1 ¡1 - к2¡2 = 0 выражение (26) упростится и примет вид:

В = т1 р 2[(к1? + к 2122)(к1 + к 2 + кз) +

+ к1(к112 + к212)(к1 + к2 + кз) - (27)

-к111(к1 + к2 + кз) - к1 (к1 ^ + к212 ) .

Разделим (27) на (к ^ + к2¡2)(к1 + к2 + к3),

что соответствует переводу этого члена в структуру числителя передаточной функции, тогда получим

к 2 ¡2 к2

Учитывая то, что нами было принято условия к1 ¡1 - к2¡2 = 0, полагая к 1 = к2 — = к2г, полу-

¡1

чим

к12

к 1 к 2г2 к1 + к 2г2 к1 + к 2 + к 3

(31)

В = т1 р + к 1 -

к1 ¡12 + к 2 ¡2 к1 + к 2 + к 3

или

2 к1 к 2 ¡1 В = т1 р2 + , 1 21

к1

к1 ¡1 + к 2 ¡2 к1 + к 2 + к 3

После введения г = — найдем, что ¡1

(28)

(29)

где кпр = ", , .2' р к, + кл

В = т1 р 2 + к пр -

к1 к 2г2

к2

к1 + к 2 + к 3

(30)

Из соотношения (30) можно получить, что при условии к1 ¡1 - к2¡2 = 0, упрощенная система (32 = 0, т2 + т3 = 0) с рычагом, у которого г >> 1, возникает режим квазинулевой жесткости, если выполняется

к3 = к2(г -1). (32)

Таким образом, безынерционный рычаг, в схеме с промежуточной опорой на упругий элемент, реализует эффект образования приведенной характеристики по формулам (5), (14). Если на схеме (рис.11а) полагать к3 =да, то результат в этом частном случае совпадает с расчетами на схеме, соответствующей рис.4б.

V. При учете инерционных свойств рычага, не имеющего фиксированной точки поворота, рассмотрим схему балочного типа, как показано на рис 13.

Запишем для системы, приведенной на рис.13, выражения для кинетической и потенциальной энергии

1 1 • 2

Т = - Му2 + - 3ф2, 2 2

П^к 1(У1 -21)2 +1 к2(у2 -22)2,

1

2

(32)

иркутский государственный университет путей сообщения

K = (Ma 2 + Jb2)p2 + kv K2 = (Ma 22 + Jb2)p2 + k 2.

Сделаем ряд предположений: M ф 0 и J = 0, но предварительно найдем частотное уравнение

B = (Ma2 + Jbj ) (Ma2 + Jbj )p'

p2 k j( Ma 22 + Jbj

Рис.13. Расчетная схема последовательного соединения £х — к1 и S2 — к2 при рычаге с учетом его инерционных свойств.

и введем ряд необходимых соотношений:

+p2 к 2( Ma2 + А2) + к 1 к 2 - p 4( Ma1 a 2 - Л2,)2, которое после некоторых преобразований примет вид:

В — р4 МЛ^ а1 + а 2)2 + р2 [к 1( Ма 2 + /¿2) +

+ к 2( Ма2 + /¿2)1 + к 1 к 2. Если У — 0, то

5 = p M[k a 2 + к2 a1 ] + ^ к2

Ф

.У 2 - Jl. У 2 /1 - У1 l2

¡1 + l2

У = У 2 + ¡2Ф Тогда 1

2

или

1

У

l1 + ¡2

■; yi = у - ¡1Ф; у = У1 + ¡1Ф;

или

где

В = p2 M +

к 1 к 2

T = i- M(aj y 1 + a 2 y 2)2 +1 Jb2(y 2 - y 1)2,

¡1 + ¡2

-, a2

к 1 a 2 + к 2 a 2 ¡1

2

(35)

(36)

(37)

¡1 + ¡2

-, к 1 a2 =

к1 ¡i2

( ¡1 + ¡ 2 ):

T = — M( a1 у1 + 2a1 a 2 a 2 у1 у2 + a 2 у2) +

к 2 a 2 = ■

1

+ 2 А( У2 - У2У1 + У1 )•

/ 42 (38)

(¡1 + ¡ 2 )

Подставим (37) в (36) и после некоторых

Для получения дифференциальных уравнений движения систем используем уравнения Лагранжа 2-го рода

jMaj y j + Jbj2 y j + Mai a 2 y 1 - Jbj2 y j + k j y j = k j z j, [Ma2y2 + Jb2y2Ф + Maja2yj -Jbl^ + k2y2 = k2z2.

(33)

Структурная схема, соответствующая расчетной схеме на рисЛ3 имеет вид в соответствии с рисЛ4, откуда может быть получена передаточная функция системы

y2 kj

преобразований, приняв i =

¡1 + ¡2

, найдем:

В = p2 M +

= p2 M +

к1 к 2

2 к 1 к 2i к 1 к 2i +-+ 1 2

к 1 + к 2i2 к 1 + к 2i2 к 1 + к 2i2 к1 к 2(1 + i )2

(39)

к 1 + к 2г2

Анализируя (39) можно говорить о приведенной характеристике и для весомого рычага с У — 0, но М ф 0. В этом случае получим:

к пр =

к1 к2 .2

1 2 + кл +

2 к 1 к 2i + к1 к 2i

Zj K -K2 -(Maja2 -Jb2)2p4

(34)

к1 к 1 к 2i2

+

к 1 + к 2i2 к 1 + к 2i' к 1 к 2(1 + 2i )

(40)

где

к 1 + к 2i к 1 + к 2i'

Рис.14. Структурная схема системы, приведенной на рис.13.

¡

2

a

¡

2

откуда следует, что в выражении для приведенной жесткости появляется еще одна компонента к 1 к 2(1 + 21)

Если

± = 1, то

7 7 - * (41)

к 1 + к 2г

к1 = к 2 = к, а1 = а 2 = 1/2,

к^ к212

/ 1

—

.//г + кхГ{ + к212

Рис.15. рис.13.

к пр = 2 к.

(42)

В этом частном случае последовательное соединение упругих элементов вырождается в параллельное.

Будем полагать, что М = 0 и 3 ф 0, тогда получим, что

Структурная схема системы, приведенной на

Если принять, что 3 = 0, то выражение (49) упростится до:

В = Мр 2( к 1 ¡2 + к 2 ¡22) + к 1 (к 1 ¡2 + к 2 ¡22) -

В = р2 3 [к 1Ь2 + к 2 Ь] + к1 к 2

где

Ь1 =—^, к 1 ь2 = к

к 2 ь2 =■

(43) 2 . (44)

к2(к1 ¡2 + к2¡2) - к2¡2 + 2к1 к2¡1 ¡2 - к2¡2.

(50)

¡1 + ¡2 (¡1 + ¡2 ) (¡1 + ¡2 ) Подставим (44) в (43) и после некоторых

преобразований, приняв I =—, найдем

¡1

Произведя некоторые преобразования, получим приведенной коэффициент жесткости

к = к 1 к 2 ¡2 + 2к 1к 2 ¡1 ¡2 + к 1 к 2 ¡1 (51)

В = р2 3 +

5)

2г ■ к1 к2 (11 +12)2 = р23 + кпоа(11 +12)2.(4

или

к1 + к 2

пр к 1 ¡2 + к 2 ¡22 к 1 ¡2 + к 2 ¡22 к 1 ¡2 + к 2 / 2

к! к л2 2 к. к л2 к. к 2 кт =———- +-1 2 „ +-1 2 „, (52)

к1 + к 2г к 1 + к 2г к1 + к 2г

2

к = к (I + ¡2)2

пр поел 2 /

(46)

Система дифференциальных уравнений движения в обобщенных координатах у, ф для системы, приведенной на рис.13, имеет вид

\Му + у (к1 + к2 ) - ф(к111 - к212 ) = к1 ^ 1 + к2^2 , |3ф + у(к1 + к2 ) -ф(к112 - к212) = к111 ^ + к212^2.

(47)

Соответствующая структурная схема системы приведена на рис.15, откуда может быть определена передаточная функция

где I = . ¡1

что

- = ^ =

Из анализа (52) следует: если ¡2 = 0, то г = 0 и кпр = к2;

• 1 , 4к1 к 2

если г =1, то кпр = --= 4кпоел;

к1 + к 2г

если к1 = к2 = к, то если г = 1 - кпр = 2к; если г =да - кпр = к1.

Возвращаясь к выражению (35), запишем,

В = р4 М3Ь1( а1 + а 2)2 + р 2[к1( Ма 22 + 3Ь2) + + к2( Ма2 + 3Ь2)] + к1 к2.

Откуда, обозначив 3 = у и разделив на Ь2 М1

( Мр 2 + к! + к 2 )с! 1! + к 2( к! 1! - к 2 12

найдем

( Мр ^ + к! + к 2 ) (3р 2 + к! 12 + к 2 12 ) - ( к! 1! - к 2 1

(48)

В = р4М3Ь1 + р2М[к1 —2 + ук1 + к2 -1- + ук2] + к1 к2,

Ь1

Ь2

для которой частотное уравнение имеет вид В = (Мр2 + к 1 + к 2)(3р2 + к 112 + к 2122) -

(к 111 к 2 12

(49)

¡2 ¡1 1

где а1 = /-Г"- а2 = /-Г"-Ь1 = /--

¡1 + ¡2 ¡1 + ¡2 ¡1 + ¡2

(53)

(54)

¡1

2

2

2

иркутский государственный университет путей сообщения

VI. Для оценки свойств рычага с точкой опоры, совпадающей с траекторией движения центра масс, рассмотрим систему, представленную на рис.16.

Запишем уравнения для кинетической и потенциальной энергии в системе обобщенных координат у, ф

1 2 1 2

Т — - Уф2 + - му2,

2

2

(58)

1 2 1 2

П =-к 1( у - ¡1ф )2 + -к 2 (у + ¡2Ф )2.

Рис.16. Расчетная схема системы (балка на двух опорах).

Подставив (54) в (53) и произведя преобразования, получим

В — р4 МЛХ + р2 М[к1 (12 + у) +

+к (12 +у)] + к к 2.

Откуда найдем полное (учитывающее мас-соинерционные свойства рычага) значение

(55)

к пр:

к пр =■

к 1 к 2(1 + г )2

У

к, + кЛ2 +--- (к, + к2)

1 2 м^ 1 2;

где г

примет вид

к 1 к 2(1 + г )2

пр

к 1 + к 2г2 +0(к 1 + к 2)

Используя формализм Лагранжа 2-го рода, получим уравнения движения системы

Лф + ф(к112 + к212 ) - У (к111 - к212 = 0, (59) Му + У( к, + к 2) -ф(к! 1! - к 212) — 0. и построим соответствующую расчетной схеме (рис.16) структурную схему, как показано на рис.17

Запишем также выражения для кинетической и потенциальной энергии в системе координат у1, у2

(56)

Т — 2^'(У2 -У1)2 + 2M(alУ1 + a2У2)2,

11

П — 2 к1 У 2 + 2 к 2 У ^

(60)

где а 2 —

1

21

а —

Обозначим ——0, тогда выражение (56)

м2

¡2 ¡1 —2—, а 2 ——1—,

¡1 + ¡2 ¡1 + ¡2

(¡1 + ¡2) 2

Используя аналогичные приемы, получим соответствующие уравнения движения

системы

22

(57) Ja2 у 1 - Лс2 У2 + Ma2У 1 - Ma1a2У 2 + к1 У1 — 0,

Лс 2 у 2 - Лс 2У 1 + ^2 У2 - Mala2 У 1 + к2 У 2 — 0

(61)

Рис.17. Структурная схема системы в системе координат у, ф.

Рис.18. Структурная схема системы, представленной на рис.16 в системе координат ух, у2.

¡

2

¡1

Рис.19. Расчетная схема для определения силовых нагрузок в точка (1) и (1х).

кпр = к1, при нагрузке в точке (1//) -соответственно следует кпр = к2 (рис.16 ).

При приложении силы Р в промежуточной точке, например Е (рис.19) на расстоянии г от центра тяжести весомого рычага, необходимо учесть, что силовая схема нагружения будет иметь свои особенности (рис.19).

При переносе силы Р в центр масс рычага о1 в системе появляется момент сил Мвнеш = Р • г, по этому при рассмотрении движения в системе координат у, ф в качестве внешних сил возмущения в правой части системы дифференциальных уравнений (61) появятся соответствующие члены Р и Pr.

Если используется система координат у1 и

а структурная схема системы примет вид, по казанный на рис.18.

Передаточная функция системы запишет- у2, то силы в точке (1/) и (1//) будут иметь две

ся в виде компоненты

л -

Р " где

(3а2 + Ма2) р2 + к 2

Р = Р

и

р 4 + р2 + к2( 3а2 + Ма^) + к1 к2

(62)

/ 1 + ¡2

+Р

¡1 + ¡2

Р,, = Р

/ 1 + ¡2

- Р

¡, + ¡2

или после преобразований Р = Р1 + ^

(63)

/ 1 + ¡2

Р, = Р^

и - Г

/ ! + ¡2

(64)

(65)

(66) (67)

Если г = ¡1, то будем иметь

Р= Р; Р1И = 0.

(68) (69)

р 4 = р 4( JMa2 а12 + JMa2 a 2), р 2 = р Цк^2 + Maf), откуда найдем частотно уравнение системы: р 4( JMa2 a12 + JMa2 a 22) + р 2(к^2 + Ma12) +

+к 2( Ja2 + Ma12) + к1 к 2.

Если принять 3 = 0, М = 0, то прикладывая силу Р в точке (1/) мы имеем только одну пружину к 1. Тоже самое получим, если сила Р приложена в точке (1//), тогда параллельное соединение вырождается в пружину к2.

Таким образом, если обычное параллельное соединение подвергается процедуре «разноски» и вместо точек (1) и (2) вводятся в рассмотрение точки (1/), (1//), (2/) и (2//) (рис. ), то параметры взаимодействия между звеньями определяются

внешними факторами, соотносимыми с действиями в точках (1/), (1//), (2/) и (2//). Так, если сила Р приложена только в точке (1/), то вместо суммарной жесткости к1 + к2 (как в

обычном параллельном соединении), мы получим значение приведенной жесткости Рис.20. Структурные схемы с учетом корректировки: (а) - система

координат у, ф; (б) - система координат уг, у2.

г

г

2

иркутский государственный университет путей сообщения

Однако, при выводе передаточных функций нужно будет внести соответствующие коррективы в структурные схемы, как это показано на рис.20а,6.

В связи со сделанной корректировкой получено, что

Ру

V11 + 12

V11 + 12

(Лс 2 + Ma22)p2 + к 2

_р 4 +р 2 + к 2 (Ла2 + Ma12) + к1 к 2

(Ла2 + Ma12)p2 + к 1

р 4 +р 2 + к 2(Ла2 + Ma12) + к 1 к 2

(70)

или после преобразования -

У1, (12 + г)[(Ла2 + Ma 22)р2 + к 2 ]

Р1, (11 +12 )[р 4 +р 2 + к2 (Ла2 + Mal2) + к 1 к2 ]

(11 - г)[(Ла2 + Mal2)p2 + к 1 ]

(11 +12 )[р4 +р2 + к2(Ла2 + Mal2) + к 1 к2]'

(71)

При У — 0 и М — 0 выражение (71) примет

вид:

ж — уг —(Ь + г)к2 -г)к1 Ру (¡1 + ¡2 )[к1 к2 ] . а при ¡1 — ¡2 — ¡ соответственно -

]¥ = Уу_ = (73)

Р1, 2 ¡[к 1 к 2 ] . ( )

В более компактной форме (73) имеет вид 2к1 к 2

Г — * —

Р1, (¡ - г)к1 +(¡ + г)к 2'

(74)

Заключение. Подводя некоторые итоги проведенным исследованиям, можно сделать вывод, что, если рычаг обладает массой и моментом инерции, то в таком виде он представляет собой обычную расчетную схему механической колебательной системы в виде твердого тела на двух упругих опорах (балка на двух упругих опорах). В этом случае как-бы стирается грань между последовательным и параллельным соединением, если приложение силы, соотносится с ее действием на плечо рычага между точками разнесения (1/), (1//), (2/) и (2//) (точка Е на рис.19).

Однако, полученные результаты имеет практическое значения, поскольку развиваемый подход позволяет внести в рассмотрение детали взаимодействия, определяемые характером накладываемых связей, реализуемых через механические звенья, механические цепи. Последнее имеет значение для более полного учета конструктивных свойств и особенностей динамических колебательных систем, когда определяются для практических целей их динамические характеристики.

Отметим также, что при всей схожести схем нагружения имеются и вполне определенные различия. При последовательном соединении внешнее воздействие прикладывается к точке (1), а «разносится» с помощью рычага к точке 2 (2/ и 2//), тогда как точка 3 может быть связана с неподвижной системой отсчета ( неподвижной поверхностью) или входить в контакт с соответствующими элементами (звеньями) системы, в которую исходное образование входит как составная частью Поэтому последовательное соединение, по-существу, определяет связь между точками 1 и 3. В этом плане параллельное соединение рассматривается как связь между точками 1 и 2, которые

Рис.21. Схемы последовательного (а) и параллельного (б) соединения двух пружин к1 и к2 с использованием рычага.

могут разноситься с помощью рычагов на точки (1/), (1//), (2/) и (2//).

Если рассматривается рычаг, имеющий инерционные свойства как показано на рис.21 а,б, то внешние воздействия прикладываются к различным точкам:

• при последовательном соединении к точке 1 (рис.21 а);

/

• при параллельном соединении к точке 1 или 1// (рис.21 б).

Не исключая возможность совпадения результатов в случаях а и б (рис.21), отметим, что разница между двумя типами соединений все же носит достаточно принципиальный характер. Имеется в виду то обстоятельство, что внешнее воздействие прикладывается к разным точкам механической системы. Случай, представленный на рис.21 а,б носит частный характер, отражая размытость граней между чисто последовательным и чисто параллельным соединением. Возможны, как показывают исследования и комбинированные, более сложные варианты, приводимые при обнулении параметров рычага, к исходным известным правилам соединения элементов.

Выше приведенное затрудняет использование рычага в структурных интерпретациях в качестве еще одного дополнительного типового звена 1-го уровня [2], [4], но, определенно, вводит специальный способ или новый тип соединения двух звеньев между собой, учитывающий важное свойство в конкретных ко-нструкторско-технических решениях, когда в упругих взаимодействиях участвует несколько одновременно работающих звеньев, линия действия усилий в которых не находится на одной линии.

Развивая этот подход, можно представить себе соединение определенного набора звеньев (это могут быть пружины, демпферы и т.д.), которые соединяются через сложный рычаг, как это показано на рис.22а,б.

Если на рис.22а представлена схема последовательно-параллельного соединения трех пружин к1, к2 и к3, приведенная жесткость которого имеет вид

К _ (к2 + к3 )к 1

к 1 ^ к 2 ^ к з

(75)

Рис.22. Схемы соединения с использованием пла-нарного рычага с тремя точками.

то на рис.22б и в показаны возможные варианты соединения, которые могут быть получены при введении рычага с неподвижной точкой опоры или весомого рычага, у которого центр вращения не фиксируется.

Таким образом, появляется возможность реализации новых способов соединения типовых элементарных звеньев через рычаг, создать некоторые основы для поиска закономерностей построения сложных колебательных структур, которые могут найти различные приложения. Не исключено, что построение многих существующих сложных структур, в том числе молекулярных, можно помимо классических представлений об упругих взаимодействиях, описывать, используя специальные типы (или виды) соединений.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Дружинский И.А. Механические цепи. Издательства «Машиностроение». 1977. 238с.

2. Насников Д.Н., Логунов А.С. Типовые звенья в структурных интерпретациях механических колебательных систем // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. Вып.4 (12) ИрГУПС. Иркутск. 2006 С.70-78.

3. Гальперин И.Н. Автоматика как односторонняя механика. Издательство «Машиностроение». Москва. 1964. 248с.

4. Вибрации в технике: справочник. Том 4. Глава 2. Передаточные функции линейных механических систем. Москва. Издательство «Машиностроение». 1979. С.41-82.