CC BY
31
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
УДК 517.957:517.938
А.И. Землянухин, А.В. Бочкарев
НОВЫЕ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ КОННО - КАМЕЯМЫ - САНУКИ
Проведен анализ эволюционных уравнений, имеющих точные солитонопо-добные решения вида n ■ arctg f (0). Получены новые точные решения такого вида для обобщенного уравнения Конно - Камеямы - Сануки.
Нелинейная волновая динамика, солитоноподобные решения, обобщенное уравнение Конно - Камеямы - Сануки
А.1. Zemlyanukhin, А.У. Bochkarev
NEW EXACT SOLUTIONS TO THE GENERALIZED KONNO-KAMEYAMA-SANUKI EQUATION
The analysis of evolution equations with exact soliton-like solutions of the n ■ arctg f (0) form is performed. The new exact solutions of this type for the generalized Konno-Kameyama-Sanuki equation are obtained.
Nonlinear wave dynamics, soliton-like solutions, generalized Konno-Kameyama-Sanuki equation
Точное солитоноподобное решение вида
u(x, t ) = n arctg f (0), (1)
где n - четное целое число, f (0) - функция бегущей координаты
0 = a(x-Vt), (2)
удовлетворяет широкому классу эволюционных уравнений.
Хорошо известно решение классического уравнения синус-Гордона [1]
utt -ux + sinu = 0 (3)
в форме (1), где n = 4, f (0) = e0, a = (1 - V2 )-V2. Дисперсионное уравнение синус-Гордона
ut - uxx -buxxxx + sin u = 0 (4)
имеет решение в форме солитонного комплекса вида (1), в котором n = 8, f (0) = ee, а константы a и V являются известными функциями дисперсионного параметра b [2].
В [3] показано, что комбинация уравнений синус-Гордона и модифицированного уравнения Буссинеска
utt - uxx -gu1uxx -buxxxx = - sin U, (5)
описывающая движение дислокации (краудиона) в кристалле с нелинейным взаимодействием между соседними атомами, имеет решение вида (1) с n = 4, f (0) = ee, при выполнении условия
g = 3Р/2 (6)
Если (6) не выполняется, уравнение (5) имеет точное решение в форме солитонного комплекса (1), в котором n = 8 [4].
Весьма похожей на (5) структурой обладает уравнение Конно - Камеямы - Сануки (ККС) [5]:
3
u ,+ —bu 2u +bu - sin u = 0. (7)
xt 2 x xx r xxxx v y
В [6] отмечено, что уравнение ККС описывает явление самоиндуцированной прозрачности при распространении оптического импульса в двухкомпонентной среде из двухуровневых атомов. Тем же автором показано [7], что уравнение вида (7) имеет точное решение в форме (1), с n = 4,
f (е) = е0.
В [8] приводятся точные решения для одинарного (8), двойного (9) и тройного (10) уравнений синус-Гордона:
uxt =a sin u, (8)
uxt = a sin u + b sin 2u, (9)
uxt = a sin u + b sin2u + g sin3u. (10)
Отмечено, что уравнение (9) находит широкое применение в физике ферромагнитных материалов, жидкокристаллических волн, (10) описывает распространение сверхкоротких резонансных оптических импульсов. Показано [8], что (1) будет решением уравнений (8) - (10) в случае n = 2, f (е) = a0 + a1 sn е, где sn - эллиптическая синус-функция Якоби.
Для уравнения (9) также найдено решение вида (1), где n = 2, а функция f (е) равна A tg(Be + C), B0 + C или A th(Be+C) в зависимости от соотношения между величинами a и b [9]. В работе [10] для двойного дисперсионного уравнения синус-Гордона
utt - uxx - buxxxx + sin(u)+ 2h sin(^-2-^ = 0 (11)
получено решение (1) с n = 8, f (е) = e0. При добавлении в (11) дисперсионного слагаемого в виде шестой производной uxxxxxx следует принять в (1) n = 12. Более того, точное решение в такой форме
существует даже для тройного дисперсионного уравнения синус-Гордона, содержащего шестую производную [10].
Наконец, в [11] показано, что уравнение, составленное из левой части (5) и правой части (9)? допускает точное решение в форме (1), если n = 4, f (е) = е°.
Найдем точные солитоноподобные решения вида (1) для обобщения уравнения ККС с правой частью в виде суммы синусов кратных аргументов:
их - + С2Мхххх = X 8Ш ки (12)
к=1
С помощью перехода к новой независимой переменной
е = в(х - о) (13)
уравнение (12) приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению
- B2Cuее - c1B4ы^ы00 + c2B4ы0000 = Ъ dk sin ku. (14)
k=1
Будем искать его решение в форме
u = 2arctg е. (15)
Левая часть уравнения (14) принимает вид
i з
1=1^ Ъ Lkе (16)
где Lk - постоянные коэффициенты, зависящие от B, C, c1, c2.
Для правой части (14) после преобразования по формулам синусов кратных углов и подстановки (15) имеем
1 N
где Rk - постоянные коэффициенты, зависящие от d1,... , dN .
Условие Ь = Н дает систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), связывающих параметры В, С, й1,..., , с1, с2.
Предположим, что только часть коэффициентов di в правой части (14) отлична от нуля. Рассмотрим, каким получается решение при различном выборе этих ненулевых коэффициентов.
Будем искать решение СЛАУ только в случае с1 Ф 0, с2 Ф 0. Для удобства назовем этот случай и соответствующее ему решение нетривиальными.
Оказывается, любой одиночный ненулевой коэффициент di, а также набор {й1, й2} дают тривиальное решение. Добавление к перечисленным наборам любой комбинации коэффициентов, старших й4, то есть й5, й6 и т.д., также приводит к тривиальному решению. Необходимое условие нетривиального решения - наличие в наборе хотя бы одного из коэффициентов й3 или й4. Добавление к набору, дающему нетривиальное решение, любой комбинации с коэффициентами й5, й6 и т.д. не имеет смысла - в ходе решения все коэффициенты, старшие й4, обращаются в ноль. Это происходит по причине появления в (17) слагаемых с более высокими степенями 0, чем в (16).
Таким образом, имеются всего 10 вариантов наборов, дающих различные нетривиальные решения: {й1, й3}, {й2, й3}, {й1, й2, й3}, {й1, й4 }, {й2, й4 }, {й3, й4 }, {й1, й2, й4 }, {й1, й3, й4 },
{й2, й3, й4}, {й1, й2, й3, й4}
В частности, младшему из этих наборов {й1, й3} соответствует решение
9 3
— с2 В4, й3 =--с2 В4, С = 12с2 В2, с, =-6с2, , ч
2 3 2 1 (18)
и = 2аг^(в(х - 12с 2 В2г)),
в котором имеется условие для коэффициентов с1 , с2 левой части уравнения (12) и все величины выражены через два свободных параметра с2 и В.
Набор из 3 коэффициентов {й1, й2, й3} дает
1 5 .^4 , 1 ..о _ „ .^4 , 3
й1 = В2С--с2В4 й2 = —В2С - 6с2В4, й3 = — с2В4, с = -6с2,
1 2 2 2 2 2 3 2 2 1 2 (19)
и = 2arctg(в(x - Сг)).
Набор из 4 коэффициентов {й1, й2, й3, й4 } приводит к решению самого общего вида:
7 17 9
й1 = В2С +-с1В4 + 3с2В4, й2 = -В2С+ -с1В4 + -с2В4,
1 4 1 2 2 2 4 1 2 2
3 1 3
й3 = - с1В4 + 3с2 В4, й4 =1 с1В4 + - с2 В4, (20)
3 4 1 2 8 1 4 2
и = 2 аг^ (В (х - Сг)), не содержащему никаких условий для с1 и с2.
Будем искать теперь решение (14) в форме
и = 4аг^ 0. (21)
При условии N = 2 структуры обеих частей уравнения (14) сохраняют форму (16) и (17). По вышеуказанной причине все коэффициенты йк с номерами к > 3 в ходе решения обращаются в ноль. Любой одиночный ненулевой коэффициент дает тривиальное решение. Поэтому имеется единственный вариант нетривиального решения - для набора {й1, й2}:
й1 = -с2 В4, й2 =1 с2 В4, С = 4с2 В2, с1 =-с2, 1 2 2 2 2 2 1 2 (22)
и = 4аг^(В(х - 4с 2 В 2г)) Рассмотрим решение (14) в форме
и = 2аг^(ее). (23)
При условии N = 4 вид (16) и (17) не меняется, с учетом замены 0 ® вв. Имеются 4 варианта нетривиального решения - для нулевой правой части (12) и трех наборов ненулевых коэффициентов: {d2}, {d4}, {d2, d4 }. Добавление в эти наборы любых других коэффициентов, отличных от d2 и d4, не имеет смысла - все эти коэффициенты в ходе решения обращаются в ноль.
Например, набору {d2} соответствует решение
d2 = 1 c2B4 -1B2C, c1 = -6c2, u = 2arctg(eB(x-Ci'), (24)
а набору {d2 , d4} - решение
d2 = —c B4 -c2B4 -1B2C, d4 =1 cB4 + 3c2B4, u = 2arctg(eB(x-Ci)). (25) 2 4 1 2 2 8 1 4
Поиск решения уравнения (14) в форме
u = 4arctg(e0) (26)
приводит к 4 вариантам нетривиального решения - для нулевой правой части (12) и трех наборов {d1}, {d2}, {d1, d2}. Добавление в эти наборы любых других коэффициентов, отличных от d1 и d2 , лишено смысла - все эти коэффициенты в ходе решения обращаются в ноль.
В частности, набор {d1} дает решение
d1 = c2B4 -B2C, c = -3c2, u = 4arctg(eB(x-Ct)), (27)
а набор {d1, d2 } - решение
d1 = -2c1 B4 - 2c2B4 - B2C, d2 = c1B4 + 3 c2B4, u = 4arctg(eB(x-Ct)). (28)
Наконец, подстановка
u = 8arctg(ee) (29)
приводит к единственному варианту нетривиального решения для набора {d1}:
d1 = 8c1B4 + 3c2 B4 C = -2B2 (4c1 + c2), u = 8arctg(eB (x+2B2 (4c1+c2 )t ^ (30)
Заметим, что более высокие значения n не позволяют получить новые нетривиальные решения (14).
Таким образом, для обобщенного уравнения Конно - Камеямы - Сануки (12) найдены все варианты точных солитоноподобных решений вида n arctg (0) и n arctg(e0), для которых коэффициенты левой части этого уравнения отличны от нуля.
ЛИТЕРАТУРА
1. Абловиц С. Солитоны и метод обратной задачи / С. Абловиц, Х. Сигур. М.: Мир, 1987. 480 с.
2. Bogdan M.M. Radiationless motion of one-dimensional solitons in dispersive medium / M.M. Bogdan, A.M. Kosevich // Nonlinear Coherent Structures in Physics and Biology, NATO ASI Series: Physics. 1994. V.329. P. 373-376.
3. Kosevich A.M. The supersonic motion of a crowdion. The one-dimensional model with nonlinear interaction between the nearest neighbours / A.M. Kosevich, A.S. Kovalev // Sol. State Comm. 1973. V. 12. №8. P. 763-765.
4. Charkina O. Internal modes of solitons and near-integrable highly-dispersive nonlinear systems / O. Charkina, M. Bogdan // Symmetry, integrability and geometry: methods and applications. 2006. V. 2. Paper 047.
5. Konno K. Effect of weak dislocation potential on nonlinear wave propagation in anharmonic crystal / K. Konno, W. Kameyama, H. Sanuki // J. Phys. Soc. Japan. 1974. V. 37. № 1. P. 171-176.
6. Сазонов С.В. Эффект самоиндуцированной прозрачности в системе изотопов / С.В. Сазонов // Изв. РАН. Серия физическая. 2007. Т. 71. № 1. С. 121-126.
7. Сазонов С.В. Оптические солитоны в средах из двухуровневых атомов / С.В. Сазонов // Науч.-техн. вестник инф. технологий, механики и оптики. 2013. Вып. 5(87). С. 1-22.
8. Liu S. Exact solutions to sine-Gordon-type equations / S. Liu, Z. Fu, S. Liu // Physics Letters A. 2006. V. 351. P. 59-63.
8
9. Wang M. Exact solutions to the double Sine-Gordon equation / M. Wang, X. Li // Chaos, Solitons and Fractals. 2006. V. 27. P. 477-486.
10. Bogdan M.M. Soliton complex dynamics in strongly dispersive medium / M.M. Bogdan, A.M. Kosevich, G.A. Maugin // Wave Motion. 2001. V. 34. P. 1-26.
11. Гендельман О.В. Точные солитоноподобные решения в обобщенных динамических моделях квазиодномерного кристалла / О.В. Гендельман, Л.И. Маневич // ЖЭТФ. 1997. Т. 112. Вып. 4(10). С. 1510-1515.
Землянухин Александр Исаевич -
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Прикладная математика и системный анализ» Саратовского государственного технического университета имени. Гагарина Ю.А.
Бочкарев Андрей Владимирович -
кандидат технических наук, доцент кафедры «Прикладная математика и системный анализ» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Статья
Aleksandr I. Zemlyanukhin -
Dr. Sc., Professor,
Head: Department of Applied Mathematics and System Analysis
Yuri Gagarin Technical University of Saratov
Andrey V. Bochkarev -
Ph.D., Associate Professor Department of Applied Mathematics and System Analysis,
Yuri Gagarin Technical University of Saratov
пила в редакцию 15.02.15, принята к опубликованию 11.05.15
