Новые результаты и нерешенные вопросы в теории многообразий колец Текст научной статьи по специальности «Математика»

Новые результаты н нерешенные вопросы ...

главных идеалов, и пусть f(x) = а^х + +

• • + опа,п 6 Ф[х]• Произвольная Ф-алгебра R, удовлетворяющая тождеству f(x) = 0. является коммутативной тогда и только тогда, когда либо О] - обратимый элемент в Ф или а\ - необратимый элемент, и если ai = А ■ 7rf1 ... тт*• -его разложение на неприводимые множители, то а) 7г,|2; б) (ai,a2) = 1 и (а2х3 + • • • + а„хп) = 0 не являются тождеством ни в одном из полей Ф/(7Г|)1 > < s. Данный результат опубликован в работе [Мальцев Ю.Н., Чибриков Е.С. Коммутативность Ф-операторных алгебр, удовлетворяющих тождеству от одной переменной // Известия А ГУ. 1999. № 1] и обобщает основной результат работы [Lafiey T., Machale D. Polynomials that force a ring to be commutative // Proc. R. Ir. Acad. 1992. V. 92 A. №2]. Доказательство этой теоремы использует описание почти коммутативных многообразий Ф-алгебр, где Ф - коммутативное кольцо Джекобсона [Mal’cev Y.N. Just uoncommutative varieyies of operator algebras and rings with some conditions on nilpotent element // Tamkang J. Math. 1996. V. 27]:

2) произвольное кольцо, удовлетворяющее тождеству [j/ - <р(уЩх),х] = 0, где ip(t) =

п m

£2 а,/', у?(<) = М° € Z[С], является коммута-i=n 1=0

тивным тогда и только тогда, когда 1— agbi = ±1 [Мальцев Ю.Н., Дурандпна Е В. Известия АГУ, 2002. №1.]. Данный результат обобщает работу [Bell Н. Results Math. 2000. №38].

Ассоциативное кольцо П называется кольцом с обобщенным условием Фейта (относительно множества S' С Z[x]) или FS'Ck - кольцом, если для любых элементов a, b £ R существуют многочлены /, g € S', зависящие от о и 6 такие. что [/(a),«7(6)]ft = [[/(а),<?(6)]*_1,у(6)] = 0. В работах [Мекей А. О кольцах с условием Фейта // Математические исследования: Сб. ст. Кишинев 1973. Т. 8. Вып. 4(30)] и [Chacron М. А commutativity theorem for ring // Amer. J. Math. 197(5. V. 59] изучено строение FS'Ci - колец при некоторых подмножествах S'. В недавней работе [Журавлев Е.В. S-радикальные расширения колец // Известия АГУ. 2001. № 1] получаем обоб-

щения результатов А. Мекея - М. Chacron. Именно доказаны следующие основные результаты.

Теорема. Пусть S = {zn+,p(z) ± г"}, So = {/€S;/(1)*0},S, ={/€So;/(l) = l},

Sa = {х2р(;г)±г}, S4 = {/ € S31/( 1) = 1}. Тогда

1) если Я— FSaCk-кольцо и а, к нилыютент-ные элементы, то [а, 6]* = Ü;

2) если R — FSoCfc-алгебра над полем нулевой характеристики, не содержащая ненулевых ниль-идеалов, то R будет коммутативной тогда и только тогда, когда R - PI-алгебра.

Пусть R = F(alt..., а*) - конечнопорожден-ная алгебра над полем, удовлетворяющая полилинейному тождеству степени гг и V - некоторое множество слов от образующих {аь ..., а*}. Скажем, что R имеет высоту h относительно множества слов длины не более ?п, если каждый элемент а £ R является линейной комбинацией слов вида Vf' .. , где v,- е V и и, имеет длину

не более т. В работе [Ширшов А.И. О кольцах с тождественными соотношениями // Матем. сб. 1957. Т. 43. №2] доказано существование высоты для произвольный конечнопорожденной PI-алгебры. В [Zelmanov E.I. Nil rings and periodic groups // Korean Math. Sue. Lecture notes, 1992] приведена следующая оценка, доказанная A.B. Беловым: h(n,k) < 2n6fc2n+2. При этом высота h(n.k) рассматривается относительно множества слов длины < (п — 1) от исходных образующих.

Проблема 12. Верно ли, что h(n,k) = O(fciiJ), где функция h(n,k) рассматривается относительно множества слов длины < [^] от исходных образующих?

В подтверждение данной гипотезы справедливы следующие результаты:

1) h(3,k) < 2к относительно слов длины 1;

2) h(4,k) < (7А:2 — 2к) относительно слов длины < 2.

[Чибриков Е.С. О высоте Ширшова конечно-порожденной ассоциативной алгебры, удовлетворяющей тождеству степени четыре // Известия АГУ. 2001. №1]. *

Доказательство основано на комбинаторном анализе слов.