О высоте Ширшова конечнопорожденной ассоциативной алгебры, удовлетворяющей тождеству степени четыре Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДИ 512.552.4

Е.С. Чибрикиь

О высоте Ширшова конечнопорожденной ассоциативной алгебры, удовлетворяющей тождеству степени четыре

Пусть R = F < ai,... , а* > - ассоциативная алгебра над полем F, порожденная к элементами

{«I.....ак) и удовлетворяющая полилинейному

тождеству степени п

Л] • ■ Л’и — ■ - •J'cr(n)' Г Дв F •

Пусть V - некоторое множество слов от образующих {«1-----,ак}.

Определение [1]. Алгебра R имеет высоту Л, относительно множества слов длины не более т, если каждый элемент а£й является линейной комбинацией слов вида vfruj13 .. .vf *. где Vj £ V и v, имеют длину не более т.

Например, любая коммутативная алгебра, порожденная ¿-элементами, имеет высоту, равную числу к,

В работе [I] А.И. Ширшов доказал, что существует функция li(n,k), зависящая от чисел V и к, такая, что любая ¿-порожденная алгебра, удовлетворяющая полилинейному тождеству степени п, имеет высоту /г(п,к) относительно множества слов длины < п - 1 от исходных образующих.

В книге [2] доказано, что h(n,k) < 2пе>кгп+2 (доказательство принадлежит А. Белову). Из существования такой функции h(n,k) следует, что алгебраическая (ниль) PI-алгебра является локально конечной (соответственно, локально нильпотентной). Этим объясняется важность существования такой функции и важность нахождения наилучших верхних оценок для h(n,k). Следующий вопрос является открытым: верно ли. что

/|(и,А:) = 0(кЩ,

где функция h(n,k) рассматривается относительно множества слов дличы < [£] от исходных образующих?

Цель настоящей работы - подтвердить выше приведенную гипотезу при п — 3 и п — 4. Именно в работе доказана следующая теорема.

Теорема. Справедливы следующие неравенства:

1) h('A,k) < 2к относительно слов длины 1;

2) /i(4, к) < (7к~ - 2к) относительно слов длины < 2.

Докажем первую часть теоремы. Пусть алгебра R = F < а 1,. .. , «fc > удовлетворяет поли-

линейному тождеству степени три, i.e. тождеству вида:

xiX2xA — a\X\xAX2 + 02X2X1X3+

011X2X3X1 + 04X3X1X2 + 05X3X2X1. (1)

Произвольное слово иі Е R представим в виде и) = ait" Если t > 2к + 1, то су-

ществует элемент а, из множества образующих

{ai,.,. .а*-}, который встречается в записи и> не

6 1

менее грех раз, т.е. и = ufoai lu>i af2u>2af3LJ3. Полагая в (I) xi = af1wi, xo = af2, X3 = w2af3, получаем, что слово ш является линейной комбинацией слов, имеющих высоту меньшую, чем высота слова и (относительно слов длины один). Таким образом, /і(ЗД-) < '2к.

Докажем 2). Пусть алгебра R'. = F < ai.... , afc > удовлетворяет тождеству степени четыре

X і . . . Х4 —^ ^ СКаХа(і) . . . Хст(4). (2)

аЄЗ* ,oj±E I

Лемма 1. Пусть и - произвольное слово ціз R вида и = vs'*wn

v63uj3v6*uj4, где V Є V■ Тогда слово и можно представить следующими способами:

(>) и = а(41И)и0ивЗы3«л1и>1г/2

22

u>2't,i4uJ4 + XI Р>Т»>

) = 1

(II) и = a(3,aA)voVi2w2VfiLj1v6a

22

ШЭУ**Ш4 + Е

3 = 1

(III) и = aii3ti)woviluiVl‘2<M3VS4

22

U)2VS3.UJ4 -f 08 т" ,

3=1

/. ч / jtf) <5W)

(iv) U = ¿^CtjUQVUJiV 1 U2V 2

j

(j)

UZV*S W4+I я

(v) U = Y^O(jUJoV*l U)2

j

(j)

8

где Є F (q = 1,2,3);

г,,т,(,) (/ = 1,2,3), r'" - слова, имеющие высоту строго меньшую, чем высота слова и.

Доказательство. Заметим сначала справедливость пункта (¡). Действительно, выбрав г\ =.

и1*!, Х-> = и.') 1^2 , Жз = и>2, Х4 — 3 И ПОДСТЯ-

ВИВ в тождество (2), получим, что высота уменьшите« во всех слагаемых, кроме слагаемого, соответствующего перестановке (4123).

Представление слова и из пункта (¡1) можно получить, подставив в (2) X] — т-2 =

у ту = иЛз, = и^зг,<54 (высота не умень-

шится в слагаемом, соответствующем перестановке (2134)).

Пункт (Ш) следует из подстановки в тождество (2) следующих значений переменных: а?! =

Х'2 = I!6-, Хз = 0/2г*3. Х4 = о-'з!)'5'1 (ВЫСО-

ЧИ не уменьшается в слагаемом с перестановкой (1243)).

Докажем пункт (¡у). Запишем слово и следующим образом: и — иигч’^~1и/1ь62ш^Зи/3ь^и/4. Далее, выбрав = гг1-*и>1, х2 =

5-’иЬ. *3 = 1,{э1 *4 = И 110Д-

Iі

ставив в тождество (2), получим, что

а = о,

(X,

о

51 л)~ ‘ Ы'>* и>іІ/^иізІ’^иІ4 +

' о/1 ї'^-Ч-

20 ,

,П;о;иГо^^+^а^Гй1_1оПГ’гЗо/4 + £ А Т, , Г Де

л = 1

р, - некоторые элементы из ?\ а т, - слова, имеющие высоту строго меньшую, чем высота слова и.

Первое слово в записи и, ввиду (и), можно записать следующим образом: Ш0^2+1и2^1~1‘^1^3^3^4Ш4 —

«пи—*и)1^2 + 1и-'21’гЗыз^и/4 + £ 0'чт,.

11=1

Рассмотрим второе слово в записи и. Ввиду (¡). (Ш) и (11) соответственно можно записать следующую цепочку равенств:

1>*2и>211^3и>4 — а(413Л>1л>а^‘*^М2Ьиз ^4 ^1-^11^3^ + £/?, т, = п(и13)аи^У)ы01>^и.21-

«1 ^Зо/зи^ +<1“1Ы4 + Т,а(ищ0"т” + ГАГ« =

.* 5

(41 .’Л®(1 з.|5)«Ц1М)*0® 11 -1^21' ^>л>зЬ 1 0/4 +

£ ®(41 л)°1 134л

^ + Е«(413„^'т" + ЕА7-9.

.< я

Аналогично для третьего слова, пользуясь (¡) н (Ш) соответственно, запишем- иоЬц>зУ1*+*'-1Ы2и61~1Ш\г>*3и4 =

О',

)\ ии.

ЗіА+^ц^Зоц + £/?,Т> =

а(..1 = ма(1^3|и'пг'^ ХЫ\Уи>2

+ ^а|41Н//г; + £/Лг,.

5 8

Подставляя все в запись слова г/,

окончательно получаем, что и =

_» .. С , х(Л М) а($ )

(У ^ <>0()У ^ ^ и)% V - и ЗУ з и).\ -\-

х(я) х{ч) х(я)

Е и'дШаиш-!г»1 о>2^ 2 щ3гтЗ + £ /5гг,, для

9 _ «

некоторых а", а"1, Д, 6 Тем самым пункт (п>) леммы доказан.

Докажем, наконец, пункт (у). Запишем слово и следующим образом: и —

мо1>1’1Ш1и{''1и>^3шзи{*~1Ыл)4. Выбрав в (2)

X і = V 1Ші, Х2 иІ2І'ІЗ, *4 = Ы31>г4-1,

V"2, ¿‘з =

получим, что

7/ = 1ц.,2«Лз+1ч«>4 +

<У^,)ш0У^^2Г{Зызг'^+^~'1и11УШ4+а1м^)и10г{2шз

20

у*4-'1Ш2У*ъ+{1ц>11Ы4 + £ /?,та, где Д, € У. Г, -8=1

слова строго меньшей высоты, чем и,

Первое слово в записи и, ввиду (ш), запишем так:

о.'о I'1*' Ы11>^2а)3Г^4 — ХЫ21’^3"*"^о^4 = 0(1345)и/р»Л1и111;4Я

и;21/з + 1и)31;''-1_ 1 а>4 + Е ^зтз ■

3

Аналогично второе слово в запи-

си и. ввиду {¿), зат/еа\?»г следующим образом: \^ат6'1Ш2^6'л<л1зИ6^+б1~1Ш1УЫ4 =

а{„ы)иоУ6л+61~‘[и\.и62и>2У&з^зУШ4 + ЕАт».

$

Рассмотрим третье слово в записи и. Используя (¡) и (¡и) соответственно, запишем следующую цепочку равенств:

Ы0и*3И311Л4-1и;2«,!3+'51и>1ии>4 = °(41аз)и',111,'*3+‘>1^1 1)г2и,з^4-1а;2«Ш4 + Е = “(41«)а(1«.ч)и’0^3+,!1

5

опг^оиызгА-'иц + Е а(41П)01тз + Е Аг» •

а 5

Окончательно получили, что и =

г-. „ ¡¡(^ №1 XI

£е*,-Ш0Ь ^ и)\У 2 ЮоV 3 С(^з^

Е а'"шаг^^и2і>^ о>зі/и;4-|-Е /3*Г,, Д

ля не-

которых а", а'",/У, Є Таким образом, пункт (у) леммы доказан.

Лемма 2. Произвольное слово и из Я вида

<5і £і ¿9 £1 ¿4 ¿4 г~4 <5г.

І/ = Ыоа, ^ ^ ^2«,- а/^3«, «/ ^5

можно представить следующим об-„(*) „(') „(*) а(') разом: и = Е піаі1 аі ~ а,л 1 <*>* +

Я

„ ст'Л?’1 ,т'(Р) о’М „ з .

Етр«, «, я, ШР + £АГ»' где

р л

а*,1р,Рг Є г4 - слова меньшей высоты, чем и.

Доказательство. В слове и выберем а-! = «ов,-1, а?2 = А'з =

¿ого ¿оса 6л

а/а^шп. л4 =: а^а^и>3а^ и подставим

в тождество (2). Тогда получим, что и =

б*) Є•) б'л £•а іїд ¿і ел _

“(»чиа] Ші“і'а, ^'іа, «/ ^зсі, ^па, а^чи4 +

¿о іЬ Єї ¿й £Д ¿4 ел -

а(зіз4)аГа^'“и;2‘*,оа)- а^1 а’за,. а^. и!4 +

<5»> ег , Г 1 6ъ егг 5л б \ £4 -

“(3341)аГа/ и'2а/ аУ ^3®» 0_/‘о?4 +

£4 -шіа^иц +

Й| £ л 4 +

£ 4 - и*'20^ ^4 +

Л! £4 _ *;*а^ «4 +

высоту стро-

<5о £ о ¿з €3 ¿4 «51 сі

:/а) *п/иіца,чо/оа{ aJ

І,,,.. а (а і О ■ • ’ и,' з а, ■* иі (, а, а иі і о, - а ^

лЛЯ„*3..,-»*4„Ч „Л„е2,

го меньшую, чем высота слова и.

Далее будем рассматривать каждое слово в

записи и отдельно. Обозначим первое слово иг =

£ I <5 О £п (5 О £ о 15 Л С4 - ГІ

а / ] а а-н В тождест-

во (2) подставим ¡в і = и»іа\2, х% = а-'1ыч, хз =

а-3а*3ыз, х4 = а?4. Получим, что «і. = П (5'< £1 б О «ГО ¿4 ¿1 Є 4 .

»„1),,^ «,• а/^и^зи/ха.-а^-ызв,- ¡¿оа,- а/+

£•1 <)<і (Го Со ¿4 ¿о 51 £4

а (¿241) а/ аі аз ^а% ^ 1 аі ^аі аі и*аі ^5

й** шв+а (міа) 1 а*8 а^3и>3а®4 а>і а*2 а У2<*>ов<1 и»4а;5

^5 + «(л,1)^1о^3а‘3и)за;4а‘2и>2и>іа|.2и;оа^а^4й)4 +

£ і ¿4 <5о о ¿з (Єз ¿і £4 - ,

а, ч .»І °.ї »« ы Іа. я ^ и> 2 а,- а ^и^зи; а а,-* а,- иц +

£і ¿4 £о ¿з £ з ¿о ^1 £4 - і

агни11віІоі',аіла;аО,ва/ц;зи»іО(^0О<1аі‘,и»4 + £Д. г,, где .'?» Є ґ и под знаком суммы стопі слова меньшей высоты, чем исходное слово

II1.

Теперь рассмотрим каждое слово, но уже в ЗаПИСИ Іі[, отдельно. ГГерНОЬ 1 а кис и.гиоо ибоэпа-

/ Г і <5о £3 ¿0 СО ¿4 <5 I «’4 _

чим и: = а,'а^°^з^іа^а^- и;2а^ а/оа,* а^- ^4.

В (2) положим її = 0)30/1 а,-2, Х2 = х3 =

. х4 = а]*1 . Получим, что =

Е аі.а*1 «*3а}3°і4* + £А,П., где а\.,01,

$ ’ 9

- некоторые элементы из .Г. п, - слова меньшей

высоты, чем .

Второе слово в записи «і обозначим и" =

Г] ¿1 :‘3 £*> 64 (5о ¿1 £4 Л а <5Л

а/ а ,• а ^ а; з а ^ ^ и/ 2 а, ^ і а і и; о а, а ^ ^ 4 аї и; 5 а, ° и; в • Затем в (2) выберем хі = ыза^ыго^и^а^ыоа^1,

¿К ¿Й

л‘2 = (С4Ы^. Х3 = П,Г‘~й, •'-4 = а,6 ■ Получим, ЧТО !/'[' = Е'*2.а*‘а*3а‘3а?5 /?2, + Е&.тъ,, где

» 9

®2.,02, € т2, - слова меньшей высоты, чем

и'{.

Аналогично третье слово в записи ьл обозна-

г#» - і ^ <>л <5о со оі — м

чим мх == а,- а^°ыза,- о^а^а^и^ыов,-

и/5. Далее в (2) положим хі = из«,4^^2, хо :

а2иізиіц. х3 = а^а)4, х4 = а.5 Получим, чт

< = Е^’а?3«;3«^^, + £А>Т-Зі.

- ¿г.

Точно такгке дли четвертою слова в записи

(4) £ і со <5 4 со <5о <5і

аі имеем г/\ 7 = с/у и^за,- а;- и/2^10,

Выбрав В (2) X! = Ыз<2,4, х2 =

(5 О

п^шииь а\з = а^ыо, #4 = а,.*, получим, что

«‘г4’ = ^ач.я^^^а^7 ^4. + Е34,г4,-

5 в

Рассмотрим пятое слово в записи «і - Обозна-

(5) Сі <?4 <5і С 4 -

чим и\ ] = а-1а^и)\а^а^2^і а

Затем возьмем її = иііа^^-у = а^-ыг, гз = а-3а^3и>3ыо, ^4 = а^1 и, подставив в

тождество (2), получим, что =

£1 Ял СО ¿3 СЗ ¿1

°»(аз41)аз а% аг а/ и)Х

а*2а*4¿4 + Е^5,г5,. Рассмотрим слово в запи-

а

си к,01, не стоящее под знаком суммы. В (2)

ПОЛОЖИМ І1 = и>2«^3, ^2 = а‘3и)3Шо, хз =

а.^ь г4 = а^2. Тогда получим, что и*51 =

Еа5.а;П°!4а?а,*8( !Р5, + Е/35,Г5,.

> і

Наконец, шестое слово в записи «і обозна-

(6) £ 1 ¿4 еп &') г4 ~

чим и\ ' = а3'и2а1,3а^ли)зи1о/ыоо1 а^’ш4.

В (2) положим £і = ига?3, го = а'3и»3и/і, хз = а6{2и>а, Т-4 = а-1. Получим, что —

ЕГ| ¿4 ГО п

а<з,аі а, о^-а,- Рб. + 2_Рб.ге,.

3 >

Подставлян и^, и", и"', и{*], и^0* и в запись слова иь получаем, что иі = (,(«) а{>) д(’) „(О . „

ІГ й,а,1 а, 2 а3 3 а, 4 р4 -(- £ т,, где а,, р, Є

5 ^ 5

7^, г, слова меньшей высоты, чем и^.

Таким образом, мы рассмотрели только первое слово в записи и. Рассмотрим второе. Обозначим его следующим образом: ы2 = а2а2Ы2^ (і'^иіа^а^и/за^а^иі. Выберем ¿і = и/чиов?1, х2 = а^1и;ь ^з -а^а^из, х4 = а*4 и подставим в (2). По-

V—% ~ ¿о ¿2

лучим, ЧТО М2 = £«1,а, Я; О,- а», +

а(4і3,)а<2аРаі'Іи/2^оаІ'1а]1иііа-3а‘3иіза‘4У4а-5іІ5Н

ЕА.П.

Я

Рассмотрим слово в записи и?, не стоящее под знаком суммы. Обозначим его через

/ <5О £0 ¿4 ¿1 С | <5д £3 £4 <5* _

и2 = аі-сі^аінЛ2ипа11 а^[ шха^а^

Затем, выбрав в (2) х\ = и^шои6,1, х2 =

Є] 6-3 Со С 4 ¿е

2*3 = а,- а^- с^3а^> 0^4, , полу-

^«і(*)

ЧИМ, ЧТО и2 = Е°2.а| а7 а. “2, +

Е^2,Г2,.

Л

Аналогичные преобразования проделаем с третьим словом в записи и. Обозначил/

<5о ЄЇ1 «5-л Є а ¿4 6\ Ел бк. -

из = аііа^Ш2^1шіа^аУи)ааіШ0аі1а;ічШ4аіои;5 Затем в (2) выберем следующие значения переменных: хі = ига^шіа-3, х2 =

£3 ¿4 £4 ¿й

а - и3а^Ыо, = а{ а.у и4, а?4 = а^0, тогда по

^ ¿о гч ¿2()) ...

лучим, 410 4/3 = Еа3,а,-‘а/ из, +

3

бч £-. Ак £1 ¿О £Ъ 6 А <51 £д -

0 ш»|11 і ' п.і аі ^аі *'іа» о, *'зо^ыоа,- а/ч)4ы6+ , Е&.гз..

$

Рассмотрим слово, не стоящее под знаком суммы в записи из. Обозначим его через

/ с5‘> С- <5 к Єї (5о Со ¿4 Лі с 4 ~

: 1Аз - «Г®./ аі ь>2^^іа^а^за^Уоа/а^и;^.

В (2) ПОЛОЖИМ ¿1 = Ц)2«*і иь а-3, ^2 =

0’:і^3, Х3 — Й^4а>|]. .Г,| = а*1. Получим, что *(») г(*) *<•> ,(*> .

»э = Е“з,а,1 «/ О,3 аі4 “з, +Е/?з,^..

•> #

С! другими словами в записи слова и поступим аналогично (как со словами п2 и из) и тем самым завершим доказательство леммы 2

Доказательство теоремы. Пусть ш произвольное слово из Я, представим его в виде и> — а'^ .,, а^’1. Если < — 1 >

4к- + 1, то существует элемент а,і из множества образующих {аь... ,«к}, который встреча-

<5 • &І

ется в записи подслова а,*1 ...а1(^"‘ не менее 4к + 1 раз, т.е. ш = шоа^иіі,. ,а**к+1и14к+\ =

и0а",1 (а}?Х') • ■ .а*к+> (а/^Хл+і)- Но Т0ГДа среди элементов ajl,... , а^4к+1 существует а,-(г ф ]), встречающийся не менее 5 раз. Следовательно, о,- = ы/(,пр «*1 л,о‘-*«*-¿-¡а]34а-4

К 4 /

О, Я/и>5-

С учетом леммы 1. пунктов (ІІ) И (І) слово _ для удобства запишем в виде л =

£>] £і _ ¿2 ' V - - ¿Л £Л . /Э ~

аи»:;«,- о/-,-!ы,*а^ы2а(ла^за( *а,-*ы4 4- ¿^Р,т,,

3

где о,/Л - некоторые коэффициенты из поля Г. 7-, - слова меньшей ВЫСОТ Ы, чем ш И и-'о, й-л

не содержат а,, а ш4 содержит о, (их количество

не меньше 4& - 3) и пару а,5а;5.

Ввиду леммы 2 можно записать.

» „(*) „(*) „(»)

*+■

(»)

— J2arajai2 Uia^1ü)safaU3afiü>4 +

что

''I w3 v,

a, a,

_ <Л(Р) „'(P) cr'(P) „i(P>

w' + E Д r,, где

'>!■, Д.■ > £ /\ г, - слова меньшей высоты, чем а подслова и и.', содержат не менее М- — 1 элемен тов и, и по крайней мере три элемента а,-.

Теперь возьмем произвольное слово, стоящее под первым знаком суммы в записи л, и, пользуясь пунктом (IV) леммы 1, запишем следующую цепочку равенств:

_(■’) .(*) А*) _(») _(*) „(') „(») .(*)

I ^ *’1 ^*3 ■! — 1 / О О /Л \

а,1 а,- я(3 а,-4 = я,1 (я, ‘ а/ а,4 а^)

£ 1 £ *> £4 171 с 1 С 2 С О

о5‘и<за, ыз«,- и/4 = я; Ы1ал>и»зо^и/зп^0= (*) „(») „(«)

£ 1\Ра^ах - (я.3 а,-4 ^0)о|1^2а|.:,йза,ай)4 +

г

YLP>T> - I2aga}a>aj3 (ai4 Ыо^йза^шза'3^

s q

+ Е^г,' = Ea9aja¿aj3 w,a^lW2«^W3rt^3ü/4 +

» <7

Е^ГІ = Eümaja<“iV1 й0а^2а^й)за^^4 +

s m

л’Ы) л'Ы) л'Ы)

E = E a'j'ajOiOjOiWaOi' -’2«,3 ¿з«,-1 ¿4 + E/?r<,d

Я

Аналогичное преобразование можно выполнить и со словами, стоящими под вторым знаком суммы в записи и>. Следовательно, можно записать, что и = J2atnQj<4aj<4Üin +

m

Еáda,a.jaiajü¡d + £&г, Начиная с этого мес-

d .5

та, мы будем рассматривать высоту уже относительно слов длины < 2. Тогда слово и мы запишем так: и = ¿2almv\müm + ЕЛ»Г*. г*1е г'1™ -

m $

слова длины 2. Заметим, что высота относительно слов длины < 2 в словах v'fmüjm уменьшилась на 3, а количество подслов длины 1 стало на 4 меньше.

Далее те же действия выполним со словами йщ U Г,, получим, ЧТО U = £a2mí’lmt,’2m¿m +

ГГ

ЕДз.іИГ + Е7^а (возмогкно, vim совпадает

d 1 з

с і>2т) и так далее до тех пор, пока слов длины 1 станет менее 4к2 + 2 в каждом из слагаемых, либо в записи и> появится слово, у которого среди слов длины 2 будет 4 одинаковых слова, т.е. и = au.'oVelu'¡ rf2i»-2»'e3_'3r'-!al'' (-

Е«т^1/з^ ••■^mWm + E^»ub '■■“(м)Ііі» +

m s

tn -

■ ■ • + E%rip¿p + E&ягг где v’Vij■ u'j’■■■1

P 9

- слова длины 2, a wm,ws,.. . , wp, состоят из

слов длины 1.

Преобразуем первое слово в последней записи ш. Обозначим его и = ¿Jrjt'*1 ... о(.‘'. Ввиду пункта

(v) леммы 1 слово tí запишем следующим обра-^ £(9) ,(9) Лч) <*., 6.

зом: и = ¿^aqu>ov i u>\V 2 ыгг з W3tia(i • я,,

+ ЕЙТ

Рассмотрим слово вида: ü = loov^^iv^^'jv1'3 ы3va*H . .. a**1. Если и = a,a¿, то ü =

й,-1 л

ї ... а *І , "і І

слове я,а^а“‘' количество слов длины 1

... a^'. Если в под-

К. <5.

больше, чем 4^2 + 1 (то есть t -1-2 > 4А-2 + 2),

го слово и можно представить в виде: и =

à' à'j

sr* і> Un 2 1 і ... 1 ( f - З)

І2ат»>0» Luiv^wiifswsvi а( +

á"

íí'

E !%W'1 u i у1'яшза í

■Cl:

‘n+0.

где

+ !)„

от,0р 6 /г. Последнее равенство покапывает, что можно добигьен уменьшения количества подслов длины 1, при этом не увеличивая количества подслов длины 2 (ведь к подслову

<•(, , ..а,-(1+1) можно применить те же рас-

суждения). Тем самым мы доказали, что подслов длины 2 будет в такой записи не более ЗА-(А- - 1) + 1, так как количество различных слов длины 2 равно к{к — 1) и среди ‘Лк(к — 1) + 1 слов длины 2 существует по крайней мере 4 одинаковых слова.

Окончательно получили, что слово и/ представимо суммой слов вида г*/1 ... и/ра/1 ■.. а,”

•' ¿1 J р Ч *1

(возможно р — 0), где р < 3к(к — 1) + 1, а

1 < Ак1 + 1, но тогда высота этих слов не более Щк - 1) + 1 + 4Аг2 + 1 = 7к2 - \\к + 2 < 7к- - 2к (к ф 1). Теорема доказана.

Следствие. Пусть алгебра Я = Р < а\,,.. ,а.к> удовлетворяет полилинейному тождеству степени четыре (три). Тогда:

1) если все слова от образующих длины <

2 (длины 1) нильпотентны индекса т, то

д(7/с3-2*с)(т-1) + 1 _ д ^ ^2*(т-1)+1 _ ц).

2) если все слова ог образующих длины < 2 (длины 1) алгебраичны над Р степени не более т, то йітрЯ < (к~іп) л ~~к (¿ітгЯ < (кт)21*).

В заключение отметим, что в формулировке доказанной выше теоремы поле Р можно заменить ассоциативно-коммутативным кольцом Ф с единицей, при этом необходимо, чтобы в полилинейном тождестве алгебры Я существовал коэффициент, равный единице.

Литература

Ширшов А.И. О кольцах с тождественными соотношениями // Математический сборник.

1957. Т. 43. №2.

2. Zelmanov ЕЛ. Nil rings and Periodic groups Korean Math. Soc.: Lecture note. 1992,

*