CC BY
16УДК 531.38
Ю. Д. Плешаков, Е. А. Брусенцова
НОВЫЕ ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СЛУЧАИ В ЗАДАЧЕ ЖУКОВСКОГО О ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА С ПОЛОСТЯМИ, ЗАПОЛНЕННЫМИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТЬЮ
Найден ряд новых интегрируемых случаев уравнений Жуковского — Пуанкаре. Существенное отличие найденных решений от классических общих случаев интегрируемости уравнений состоит в том, что матрицы параметров гамильтониана являются недиагональными. Показано, что в случае, когда матрицы параметров диагональные, все девять параметров матриц независимы и, следовательно, полученные решения содержат как частные результаты классические случаи интегрируемости Клебша — Шоттки, Ляпунова — Стеклова, Адлера — ван Мербеке.
E-mail: udpleshakova@mail.ru
Ключевые слова: твердое тело с эллипсоидальной полостью; уравнение Жуковского — Пуанкаре; задачи Клебша — Шоттки, Ляпунова — Стеклова, Адлера — ван Мербеке; интегрируемые случаи.
Работа посвящена классической проблеме интегрируемости уравнений Жуковского — Пуанкаре. Специальными случаями уравнений Жуковского — Пуанкаре являются:
уравнения движения твердого тела с эллипсоидальной полостью, заполненной идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое движение, — задача Жуковского;
уравнения движения, описывающие динамику взаимодействующих спинов, — классические модели Гейзенберга.
Гамильтониан уравнений Жуковского — Пуанкаре определяется выражением [1, 2]
2H = aP • P + 2cR • P + bR • P = const, (1)
где a, b, c — матрицы 3 x 3, причем a, b — симметричные матрицы. Уравнения движения можно представить следующим образом:
P = P•WpH ^ P = P• aP + P• cR, (2)
R = R xWRH ^ R = R • Pc + R • bR. (3)
Уравнения (2)—(3) имеют три первых интеграла 2H = aP • P + 2cR • P + bR • R = const, P • P = const, R • R = const.
Для интегрируемости гамильтоновой системы (1)—(3) по Лиу-виллю достаточно найти четвертый первый независимый дополни-
тельный интеграл. Известны три общих случая интегрируемости уравнений Жуковского — Пуанкаре с четвертым первым дополнительным интегралом.
Эти классические решения характеризуются следующими условиями.
1. Случай Клебша — Шоттки [3, 4, 7]:
ау = Ъу = су = 0, V/ * j, /, j = 1, 2, 3, а = Ъ, г = 1, 2, 3, с2(а2 - а3) + с2(а3 - а1) + с2(а1 - а2) + (а1 - а2)(а2 - а3)(а3 - а1) = 0.
2. Случай Ляпунова — Стеклова [4, 5, 7]:
ау = Ъу = с у = 0, V/ * у, г, у = 1, 2, 3,
а = ё1ав(Л|Л32, Л2 Л2, Л2 Л2), с = [ДЛэ (¿2 + Л), ЛЛ Л + Л2), ЛД2 (Л2 + Л)], Ъ = ё1ав[л2+Л)2, Л2+Л2)2, Л2 + Л2)2].
3. Случай Адлера — ван Мербеке [6, 7]:
ау = Ъу = су = 0, V/ * у, г, у = 1, 2, 3, 2
а/ = - -ВуиЛу2Ли2, /, у, к = 1, 2, 3; Л + Л2 + ¿3 = 0, с/ = 8ук [Л4+ЛД ЛЛ - (Лу+Лк )2(ЛД + Лк)],
Ц4 - ЛуЛк(Лу2 + Лк2 + 4ЛуЛк) ,
где символ еук означает круговую перестановку индексов.
Следует обратить внимание, что в классических решениях недиагональные элементы матриц гамильтониана уравнений Жуковского — Пуанкаре равны нулю: ау = Ъу = су = 0, V/ * у, /, у = 1, 2, 3.
В общих случаях интегрируемости уравнений (2) — (3) с четвертым первым квадратичным интегралом справедлива теорема Стекло-ва об обращении роли функций гамильтониана и квадратичного интеграла.
Проведем доказательство этой важной теоремы. Следуя Стекло-ву, будем искать квадратичный интеграл в виде
2VU = X P • P + 27 R • P + Z R • R = const, (4)
где X, 7, Z — матрицы 3 x 3, причем X, Z — симметричные матрицы.
Квадратичная форма (4) будет являться первым интегралом уравнений (2)—(3), если первая производная по времени от параметра V , составленная в соответствии с уравнением движения, тождественно равна нулю.
Согласно уравнениям (2)—(3), находим
2V = X P • P + 7 R • P + P7 • R + ZR • R =
= [P • (aP • XP)] + [cR • (X P • P) + 7 R • (P • aP) + (5)
+ R • (Pc • P7)] + [P7 • (R • bR) + Pc • (Z R • R) + P • (cR • 7R)] + + [R • (bR • ZR)] = 0, VP, R * 0.
Поскольку в соотношение (5) параметры гамильтониана H (a, b, c) и квадратичного интеграла V(X, 7, Z) входят симметрично, справедлива теорема Стеклова. Если для уравнений движения Жуковского — Пуанкаре известен общий случай интегрируемости с четвертым квадратичным интегралом V = const, то для этих уравнений можно указать еще один случай интегрируемости, поменяв местами роли функций H и V:
V(1) ^ H(2^ H(1) ^ V(2).
Покажем, что существуют новые интегрируемые случаи при наличии в гамильтониане уравнений Жуковского — Пуанкаре матриц общего недиагонального вида.
Примечание. Везде далее символ ^ означает, что сумма состоит из
(123)
членов, полученных круговой перестановкой индексов; диагональные элементы матриц имеют один индекс.
Теорема 1. Если
ci = в+ nai + mXi 1, Xi = а+ Щ- i = 1, 2, 3, а, в, n, m, rj = const,
a12 = a23 = bl2 = b23 = c12 = c21 = c23 = c32 = 0,
°13 A и c13 „ a13 A13, b13 B13,
Г 13 Г 13
c123 = c31,
2 «1(^2 -A3) = 0, ai -Ü2 = -^(4 -40,
(123) Г 13
^ MB2-B3) = 0, b-¿2 = -^(Д-B2), (6)
(123) Г 13
СГ13 -C13Г1 = C2A13 - Г2ai3,
C3Г31 - С31Г3 = C2A13 - Г2а13, Г13С31 = Г31С13,
то существует четвертый первый независимый квадратичный интеграл
2VU = AP • P + 2rR • P + BR • R = const, (7)
где элементы матриц A, B, Г определяются выражениями
A12 = A23 = B12 = B23 = Г12 = Г 21 = Г23 = Г32 = °
(8)
Г 2 = Г 2 А2 = B2 w
1 13 " 1 31, А13 - B13,
г = ХС + Xi(С + М) + Y, X, М = const, х(а1 - а3) = A - A3, (9)
B = Zo -1+Z b, Zo,Z = const, (10)
причем а, в, n, М, X, Z, m, n, Y1, Y2, Y3 можно найти следующим образом:
mini2 + n +1 2
d1 =----d2, d2 = do (mna) (-a3)(a3-a2)(ai -2), (11)
mna
d3 + X3 (c3 + М = d0 (mna( c3 + a3) + mrf + n +1), (12)
^ C1a1 (a2 - a3)
m
2 (123) rf + n =-1—
mm rja = •
(«1 -a3)(a3 -a2)(a2 -«1
2 C1 (a3 - «2)
(123)_
(13)
(«1 -a3)(a3 -a2)« -«1)'
(B2 - £3)^(^3 - C36I) + (B3 - BO#1(C203 - C3&) = 0, (14)
х =
"2 B1(A3 - A2) (123) 01&2
(C2Ö1 - С102)(A3 - A2 + B2 - B3XB1 - B3) + d02 "2 B1(A3 - A2) .(123) _
Z=x +
"2 B1(A3 - A2)
.(123) J
0Хв2{A3 - 4)(B2 - B3) + €20l(A2 - As)(Bi - B3)
(15)
(16)
Здесь
d1 = 2 71a1(a2 - a3) + an(a3 - a2)(a1 - a3)(a2 - a1);
(123)
d2 =2 ^1(a2 - a3) + n(a3 - a1)(a2 - a3)(a2 - a1);
(123)
d3 = nn+a(ß + ß) + 73;
(17)
да
m =
?7 =
r(M + ß).
x1 x2 x3aia2a3 aa a3
6i = xci - Гь 7 = 1,2,3; d0 = [а(в + )) + пи](mrj2 + и -1) A-1; A = (mrj2 + и) -1 + mrja{m77a[a3 (a1 + a2) -a1a2] + 2(mтц2 + и)a3 -2c3}.
Следовательно, уравнения Жуковского — Пуанкаре интегрируются в квадратурах.
В силу теоремы Стеклова об обращении роли функций гамильтониана и квадратичного интеграла справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Если гамильтониан задачи Жуковского — Пуанкаре определен выражением
2 H1,2 = AP • P + 2 Г R • P + BR • R = const,
где элементы матриц A, Г, B связаны между собой соотношениями (6)—(17), то существует четвертый первый квадратичный интеграл
2VU = aP • P + 2cR • P + bR • R = const.
Здесь элементы матриц a, b, c отвечают условиям (6), (8)—(17). Из теоремы 2 вытекает следующая теорема.
Теорема единственности. Уравнения Жуковского — Пуанкаре интегрируемы в квадратурах в самом общем случае, когда матрицы параметров гамильтониана задачи являются диагональными, т. е. число независимых элементов матриц параметров гамильтониана задачи Жуковского — Пуанкаре равно девяти.
Следствие 1. Интегрируемые случаи задачи Жуковского — Пуанкаре, открытые Клебшем — Шоттки, Ляпуновым — Стекловым, Адлером — ван Мербеке, являются частными результатами найденного решения, определяемого условиями теоремы 2.
Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Если
a12 = a13 = ¿12 = ¿13 = 0, a23 + ¿23 = 0, b = bo + ai, i = 1, 2, 3, C2Y23 = C1X23 - Y1a23, C2 + C3 = 0, Cij = 0, Vi * j, i, j = 1, 2, 3, (a1 - a3) X23 = (X1 - X3) a23, (a2 - a3) X23 = (X2 - X3) a23,
то существует четвертый первый независимый квадратичный интеграл
2V3,1 = X P • P + 2Y R • P + Z R • R = const, где элементы матриц X, Y, Z связаны между собой соотношениями
X12 = X13 = Z12 = Z13 = 0, X23 + Z23 = 0, Zi = Z0 + Xi, i = 1, 2, 3,
Y12 = Y21 = Y13 = Y31 = 0, Y23 + Y32 = 0,
C1 «23
Y23 I Y3 +--^-3 Y23 I + Y1X23
V Л 23
= -72 + 7,2
Y223 (X2 -X1)(X1 -X3 )
23 1 Y 2
X 23
(Г3 + Х-?* Г23)2 = 72 - Г23 + Х23 + (Х2- )(2 Х1)(Х■- Х3),
Х23 (72 + 73 ) = 723 ( Х3 - Х2 ),
и, следовательно, уравнения Жуковского — Пуанкаре интегрируются в квадратурах. Значит, справедлива следующая теорема.
Теорема 4. Если
а12 = а23 = Ъ.2 = Ъ23 = 0, а13 + Ъ^ = 0, а1 = а2, Ъ1 = ¿2,
Cl3 = al3, C2 = Cl, Cl3 + C31 = 0, C12 = C21 = C23 = C32 = 0,
(al - a3) X13 =(Xi - X3)aB, (Ъ - ЪЗ)Z13 = (ZI - Z3)Ъ,З,
то существует четвертый первый независимый квадратичный интеграл
2V4,, = X P • P + 2Y R • P + ZR • R = const, где элементы матриц X, Y, Z связаны между собой соотношениями
X12 = X23 = Z12 = Z23 = 0, X13 + Z13 = ° X1 = X2, Z1 = Z2,
Y12 = Y21 = Y23 = Y32 = 0, Y13 + Y31 = 0, X13 = Y13, Yl = Y2,
(Y2 + Y3V13 = ( C2 + C3) X13,
Y2 ( a2 - a3 + C3 ) = ( X2 - X3 + Y3 ) C2, Y2 ( b2 - ЪЗ + C3 ) = ( Z2 - Z3 + Y3 ) C2
и, значит, уравнения Жуковского — Пуанкаре интегрируются в квадратурах.
Следствие. Решение, определяемое теоремой 4, включает в себя интегрируемый случай, полученный А.В. Борисовым, И.С. Мамаевым и В.В. Соколовым [Т]. Таким образом, найденные в работе решения существенно отличаются от классических общих случаев интегрируемости уравнений тем, что матрицы параметров гамильтониана являются недиагональными.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Жуковский Н. Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью: тобр. соч. Т. 1. М., 1949.
2. Моисеев Н. Н., Румянцев В. В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость М.: Наука, 1965.
3. Schottky F. Über das analytische Problem der Rotation eines starren Körpers in Raume von vier Démensionen. Sitzungsber. König. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, 1891. Bd. XII. S. 22Т—232.
4. Бабенко А. Н. Уравнения Эйлера на алгебрах e(3) и so(4). Изоморфизм интегрируемых случаев // Функ. ан. и его прил. 1986. Т. 20 № 1. С. 64—66.
5. Stekloff V.A. Sur le movement d'un corps solide ayant une cavite de forme ellipsoidale remple par variations des latitudes. Ann. de la fac. des Sci.: de Toulouse. Ser. 3, 1909. Vol. 1.
6. Adler M., van Moerbeke P. The algebralic integrability of geodesic flow on so(4), Invent. math., 1982. V. 6Т. P. 29Т—331.
Т. Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика твердого тела. Москва; Ижевск: РХД, 2001.
Статья поступила в редакцию 14.09.2012
