CC BY
13УДК 531.38
Новые интегрируемые случаи в задаче о движении тяжелого твердого тела в идеальной несжимаемой жидкости
© Ю.Д. Плешаков МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
Рассмотрена классическая задача о движении многосвязного твердого тела в идеальной несжимаемой жидкости — задача Кирхгофа. Показано, что в том случае, когда матрица параметров гамильтониана приводится к диагональному виду, то на элементы диагональных матриц никаких ограничений не накладывается, а именно: все девять параметров независимы и могут принимать любые значения. Показано, что с помощью канонических преобразований уравнения сферического движения в осесимметричном силовом поле приводятся к виду уравнений Кирхгофа, описывающих движение многосвязного твердого тела в идеальной несжимаемой жидкости. Установлено, что уравнения задачи о сферическом движении твердого тела в осесимметричном силовом поле интегрируются в квадратурах при произвольном тензоре инерции, произвольном расположении центра масс и произвольной квадратичной части потенциала. Классические интегрируемые случаи Лагранжа, Ковалевской, Горячева — Чаплыгина содержатся в найденном решении как частный результат.
Ключевые слова: задача Кирхгофа, осесимметричное силовое поле, интегрируемые случаи.
Рассматривается сферическое движение твердого тела в осесимметричном силовом поле, потенциал которого содержит линейную и квадратичную части. Показано, что с помощью канонических преобразований уравнения сферического движения в осесимметричном силовом поле приводятся к виду уравнений Кирхгофа, описывающих движение многосвязного твердого тела в идеальной несжимаемой жидкости, которые при определенных ограничениях на параметры уравнения интегрируются в квадратурах.
Уравнения задачи Кирхгофа, описывающие движение многосвязного твердого тела в несжимаемой жидкости [1-7], имеют вид
Р = Р х аР + Р х сЯ + Р X Н + Я х Рс + Я х г + Я х ЬЯ; (1)
Я = Я х аР + Я х сЯ + Я х Н, (2)
где а, Ь — симметричные матрицы 3х3; с — произвольная матрица 3х3; Н, Г — векторы, постоянные в теле.
Уравнения (1), (2) имеют три первых интеграла
2H = aPP + 2cRP + bRR + 2Pd + 2Rr = const, PR = const, RR = const.
Для интегрируемости уравнений (1), (2) в квадратурах надо найти четвертый первый независимый интеграл.
Уравнениям (1), (2) можно придать иную, более компактную и удобную для вычислений структуру, выполняя линейную обратимую замену переменных, предложенную Г.В. Колосовым:
C = aP + cR + d оP = Ш-IcR-Id.
Тогда они примут вид
I й = I йхй+йх e + CxoR + R х g + R xAR, (3)
R = R хй, (4)
где I = a-1; o = Ic + (Ic )т -1- spIc; A = b - cтIc, e = Id; g = Г - ec; j =
= 1 - spI - 21; 1 — единичная матрица. Символ ^ означает, что
(123)
сумма образуется круговой перестановкой индексов (123). Справедлива теорема 1 [8]. Если выполняются условия
I12 = I13 = 012 = 013 = A12 = A13 = A 23 = 0, (5)
A1 =A2 = A3, g = 0, (6)
0212 - G3I3 = 0,
01I1 - 0212 + 023/23 = 0, (7)
<?23 (I2 -13 ) +123 (2 - 03 ) = 0,
то существует четвертый первый независимый интеграл
2V = X CI й + 2YR й + ZR - R + 2 ^ I йе + 2WR = const, (8)
где элементы матриц X, Y, Z и W определяются выражениями
X13 = X12 = Y12 = Y13 = Z12 = Z13 = 0; (9)
^ X (12 -13 ) = 0, X23 (I1 -13 ) +123 ( X - X3 ) = 0, X23 =Л I23; (10) (123)
Новые интегрируемые случаи в задаче о движении тяжелого твердого тела.
Yl - Y3 -аз), Y2 - Y3 -аз), Y23 =л^2э; (11)
Zi = Z3 + Y1G3 - Y3ai, Z2 = Z3 + Y2G3 - Y3G2, Z 2э = Y23G2 - Y2G23; (12)
Wi = ( - Y1 W2 = ( - Y1 W3 =(^CT1 - Y1)ез, е * 0, (13)
и, следовательно, уравнения движения задачи Кирхгофа интегрируются в квадратурах.
Теорема 1 справедлива, поскольку производная по времени V1, составленная в силу уравнений движения (3), (4), равна нулю при выполнении условий теоремы 1, следовательно, V1 = const — первый интеграл уравнения движения.
Имеет место теорема 2. Если гамильтониан задачи Кирхгофа определяет выражение
2 H 2 = APP + 2 ГЯР + BRR + 2Pq + 2%R = const,
где элементы матриц A, Г, B и векторы q и х определены соотношениями
A = Xa, Г = Y + Xc, B = Z + 2YIc + cт IXc; q = Ae х = W + (Y + cxX + ^ cxl) e,
а элементы матриц a, c, b, X, Y, Z и вектор W отвечают условиям (5)-(13), то существует четвертый первый независимый интеграл
2V2 = aPP + 2cRP + bRR + 2Pd + 2RF = const
и, следовательно, уравнения движения задачи Кирхгофа интегрируются в квадратурах.
Справедливо следствие 1. Если выполнить каноническую замену переменных
P ^ P + k х R,
где компоненты вектора k определяют соотношения
Г23 - Г32 7 Г13 Г12 k1 =-, k2 =--, k2 =-
4г + А3 А1 А1
то матрицы A, Г, B одновременно приводятся к диагональному виду с помощью одной матрицы ортогональных преобразований, причем элементы преобразованных диагональных матриц А, Г, В будут связаны только одним соотношением:
+ + = о, (14)
А А2 А
причем при Г1 = Г2 = Гз имеет место соотношение
А-^+А-^+АД=о. (15)
А А2 Аз
Замечание. Соотношения (14), (15) определяют условия интегрируемости уравнений движения в однозначных функциях времени [9].
Напомним, что в переменных А, Г, ВВ классические случаи интегрируемости выглядят следующим образом: случай Клебша характеризуется условиями
Г1 = Г2 = Гз, X В (/ - Уз ) = 0;
(123)
случай Ляпунова — Стеклова определяется выражениями
А = Г у = Вр, V/ * ] (/, ] = 1,2,3),
X Г1 (./2 - Уз ) = 0,
(123)
В1 - (( - Гз )2 .1 = В2 - (Гз - Г )2 .2 = Вз - (( - ГГ2 )2 Уз.
Следствие 2. Если
¡2 + 1з = 0, С12 = С21 = С1з = С31 = 0, С1 = 0, С23 = С32, «1 (2 + Сз ) + а2 (С2 - Сз ) + 2^23^23 = 0, Х23 (С2 - Сз ) = С23 (Х2 - Хз) + Г32 - Г23, Х2С3 = Х23С23 + Гз - Г1,
Новые интегрируемые случаи в задаче о движении тяжелого твердого тела...
Хз (с2 - сз ) + (Хз - X2 ) С3 = Г2 - Гз,
B = Z + 2YIc + Ст IXc,
то элементы матриц A, Г, B в переменных Колосова связаны соотношениями
/12 = J13 = -£12 = £13 = N\2 = N13 = 0; N23 (/2 - /з ) + /23 (N2 - N3 ) = 0; J23 (£2 - £3) + £23 (/2 - /3) = 0; E = /Г + (/Г)т -1-sp/Г; / = A-1;
N = B - Гт/Г, j = 1-sp/-2/,
(1 — единичная матрица) и, следовательно, матрицы /, E, N одновременно приводятся к диагональному виду с помощью одной матрицы ортогональных преобразований, причем на элементы преобразованных диагональных матриц /, E, N никаких ограничений не накладывается: все девять элементов независимы и могут принимать любые значения.
Замечание. В переменных Колосова классические интегрируемые случаи выглядят следующим образом:
случай Клебша определяется выражением
E = nj, n = const, ^ N (/2 - J3 ) = 0;
(123)
случай Ляпунова —
/1 = /2 = /з, N1 /1 + -2 Ез = NN2 /2 + E1E3 = N3 /з + E-1E2; случай Стеклова характеризуется соотношением N1 = N2 = N3, E/1 = E2 /2 = E3 //з.
Справедлива теорема 3 (поскольку справедливы теоремы 1, 2 и их следствия). Уравнения сферического движения твердого тела в силовом поле с потенциалом, содержащим линейную и квадратичную части, интегрируются в квадратурах [8] при произвольном тензоре инерции, произвольном расположении центра масс тела и произвольной квадратичной части потенциала.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Кирхгоф Г. Механика. Лекции по математической физике. Москва, АН СССР, 1962.
[2] Ламб Г. Гидродинамика. ОГИЗ, Гостехиздат, 1947, 928 с.
[3] Clebsch A. Über die Bewegung eines körpers in einer Flüssigkeit. Math. An-nalen, Bd. 3, 1871, s. 238-262.
[4] Жуковский Н.Е. Полн. собр. соч., т. II. Гидродинамика. ОНТИ-НКТП СССР. Москва — Ленинград, 1935, 359 с.
[5] Ляпунов А.М. Соб. соч., т. I. Москва, 1954, с. 276-324.
[6] Чаплыгин С.А. Соб. соч., т. I. Москва, ГИТЛ, 1948, с. 194-311.
[7] Стеклов В.А. О движении твердого тела в жидкости. Харьков, тип. Даре, 1893, 234 с.
[8] Плешаков Ю.Д. Новые интегрируемые случаи в классических задачах динамики твердого тела. Докл. РАН, 2007, т. 413, № 4, с. 478-480.
[9] Козлов В.В. Симметрии топологии и резонансы в гамильтоновой механике. Изд-во «Факториал», Удм. ун-т, 1995, 429 с.
Статья поступила в редакцию 05.02.2014
Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:
Плешаков Ю.Д. Новые интегрируемые случаи в задаче о движении тяжелого твердого тела в идеальной несжимаемой жидкости. Инженерный журнал: наука и инновации, 2014, вып. 1. URL: http://engjournal.ru/catalog/eng/teormech/1188.html
Плешаков Юрий Дмитриевич — доцент кафедры «Теоретическая механика им. Н.Е. Жуковского» МГТУ им. Н.Э. Баумана. е-mail: udpleshakov@mail.ru
