Случаи интегрируемости, соответствующие движению маятника в трехмерном пространстве Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2016. № 3-4 75

МЕХАНИКА

УДК 531.01+531.552

М.В. Шамолин1

СЛУЧАИ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ, СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ДВИЖЕНИЮ МАЯТНИКА В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ2

В работе систематизируются результаты по исследованию уравнений пространственного движения динамически симметричного закрепленного твердого тела-маятника, находящегося в некотором неконсервативном поле сил. Его вид заимствован из динамики реальных закрепленных твердых тел, помещенных в однородный поток набегающей среды. Параллельно рассматривается задача о пространственном движении свободного твердого тела, также находящегося в подобном поле сил. При этом на данное свободное тело действует также неконсервативная следящая сила, заставляющая во все время движения величину скорости некоторой характерной точки твердого тела оставаться постоянной во времени, что означает наличие в системе неинтегрируемой сервосвязи. Полученные результаты систематизируются и подаются в инвариантном виде. Указаны нетривиальные механические и топологические аналогии.

Ключевые слова: твердое тело, сопротивляющаяся среда, динамическая система, трехмерный фазовый портрет, случай интегрируемости

1. Модельные предположения

Рассмотрим однородный плоский круговой диск V с центром в точке Б, плоскость которого перпендикулярна державке ОБ (ср. с [1]). Диск жестко закреплен к державке, находящейся на сферическом шарнире О, и обтекается однородным потоком среды (рис. 1). В этом случае тело представляет собой физический (сферический) маятник. Поток среды движется из бесконечности с постоянной скоростью V = = 0, а державка сопротивления не создает.

Предположим, что суммарная сила 8 воздействия потока среды на диск направлена параллельно державке, а точка N приложения этой силы определяется, по крайней мере, углом атаки а, измеряемым между вектором скорости vд точки Б относительно потока и державкой ОБ (рис. 1), углом измеряемым в плоскости диска V (таким образом, () — сферические координаты конца

1© Шамолин М.В.,2016

Шамолин Максим Владимирович (shamolin@rambler.ru, shamolin@imec.msu.ru), Институт механики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, 119192, Российская Федерация, г. Москва, Мичуринский пр., 1.

2 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 15-01-00848-а).

v.

Рис. 1. Закрепленный маятник на сферическом шарнире в потоке набегающей среды

вектора vd), а также приведенной угловой скоростью ш = iQ/vd, vd = |vd| (l — длина державки, Q — угловая скорость маятника). Подобные условия возникают при использовании модели струйного обтекания пространственных тел [2, 3]. Таким образом, примем, что сила S направлена по нормали к диску в сторону, противоположную направлению скорости Vd , и проходит через некоторую точку N диска так, что вектор скорости vd и сила воздействия S лежат в плоскости ODN. Вектор e = OD/l определяет ориентацию державки. Тогда S = s(a)vDe, s(a) = si (a)sign cos а, где коэффициент сопротивления si ^ 0 зависит лишь от угла атаки а. В силу свойств осевой симметрии тела-маятника относительно точки D функция s(a) является четной.

Пусть Dxix^x^ = Dxyz — система координат, жестко связанная с телом, при этом ось Dx = Dxi имеет направляющий вектор e, а оси Dx2 = Dy и Dx^ = = Dz лежат в плоскости диска D (рис. 1). На этом же рисунке показаны и в = = £, Ф = П1 — углы, определяющие положение маятника на сфере. При этом угол в измеряется между державкой и направлением набегающего потока (ось xo), а угол ф — между проекцией державки на неподвижную плоскость yozo, перпендикулярную набегающему потоку, и осью yo (рис. 1). Очевидно, что углы (в,ф) = (£, ni) являются сферическими координатами точки D.

Пространством положений такого сферического (физического) маятника является двумерная сфера

Сопоставим угловой скорости П = Пхв! + 0.2^2 + Пзвз (в1, в2, вз — единичные вектора системы координат Бх\х2хз) кососимметрическую матрицу

Расстояние от центра Б диска до центра давления (точки N, рис. 1) будет иметь вид

S2{(£,ni) е R2 : 0 < £ < п, ni mod 2п}, а фазовым пространством — касательное расслоение двумерной сферы

(1.1)

T*S2{(£,rji; £,ni) е R4 : 0 < £ < п, ni mod 2п}.

(1.2)

(1.3)

где rn = {0,X2N,xsn} = [0,Vn, zn} в системе Dxix2xs = Dxyz (волну над Q опустим).

2. Группа динамических уравнений на алгебре Ли so(3)

Если diag{/i,/2,12} — тензор инерции тела-маятника в системе координат DX1X2X3, то общая система уравнений его движения примет следующий вид:

I1Q =0,

I2Q2 + (Ii - l2)QiQ3 = -ZN (a, Pi, vD) s(a)vl, (2.1)

I2Q3 + (I2 - Ii)QiQ2 = yN (a, Pi, VD) s(a)vl,

где {-s(a)v'2), 0, 0} — разложение силы S воздействия среды в системе координат

DxiX2X3.

Поскольку размерность алгебры Ли so(3) равна 3, система уравнений (2.1) и составляет группу динамических уравнений на so(3), а, попросту говоря, уравнения движения.

Видно, что в правую часть системы уравнений (2.1) входят, прежде всего, углы a, Pi, поэтому данная система уравнений не является замкнутой. Для того, чтобы получить полную систему уравнений движения маятника, необходимо к динамическим уравнениям на алгебре Ли so(3) присоединить несколько групп кинематических уравнений.

Сразу же заметим, что система (2.1), в силу имеющейся динамической симметрии

I2 = Is, (2.1)

обладает циклическим первым интегралом

Qi = Q0 = const. (2.2)

При этом в дальнейшем будем рассматривать динамику системы на нулевом уровне:

Q0 = 0. (2.3)

При условиях (2.1)—(2.3) система (2.1) примет вид незамкнутой системы двух уравнений:

I2Q2 = -zn (a, Pi, — ) s(a)v^, I2Qs = yN (a, Pi, — ) s(a)v2D. (2.4) v v

3. Первая группа кинематических уравнений

Для получения полной системы уравнений движения нам потребуется группа кинематических уравнений, связывающих скорости точки D (центра диска D) и набегающего потока:

v d = vD ■ iv(a,Pi) = Q I 0 I +(-vTO)iv(-C,m), (3.1)

¡ cos а \ 1ц (а, в1) = I sin а cos f31 I . (3-2)

у sin а sin f3\ J

Равенство (3-1) выражает теорему сложения скоростей в проекциях на связанную систему координат DxiX2X3-

Действительно, в левой части равенства (3-1) стоит скорость точки D маятника относительно потока в проекциях на связанную с маятником систему координат DX1X2X3. При этом вектор iv (а, ¡í\) — единичный вектор вдоль оси вектора vD- Вектор iv(а,@\) имеет сферические координаты (1, а, в.), определяющие разложение (3-2)- В правой части равенства (3-1) стоит сумма скоростей точки D при повороте маятника (первое слагаемое) и движения потока (второе слагаемое)-При этом в первом слагаемом имеются координаты вектора OD = {l, 0,0} в системе координат DX1X2X3-

На втором слагаемом правой части равенства (3-1) остановимся подробнее- В нем имеются координаты вектора (—vTO) = { v^q , 0, 0} в неподвижном пространстве- Чтобы его записать в проекциях на связанную систему координат DxiX2X3 необходимо произвести (обратный) поворот маятника на угол (—£), что алгебраически эквивалентно умножению величины (— vTO) на вектор iv (—£,-1)-

Таким образом, первая группа кинематических уравнений (3-1) в нашем случае примет следующий вид:

vd cos а = —vcos £, vD sin а cos в1 = IO3 + vsin £ cos -1, (3-3)

vD sin а sin в1 = —102 + sin £ sin -1.

4. Вторая группа кинематических уравнений

Нам также потребуется группа кинематических уравнений, связывающих тензор угловой скорости 0 и координаты £,r1,£,r1 фазового пространства (1-2) исследуемого маятника — касательного расслоения T*S2{£,r¡ 1; £, -1}-

Проведем рассуждения в стиле, допускающем любую размерность- Искомые уравнения получаются из следующих двух групп соотношений- Поскольку движение тела формально происходит в евклидовом пространстве En,n = 3, сначала выражается набор, состоящий из фазовых переменных 0.2, 0з, через новые переменные Z1,Z2 (из набора z)- Для этого производится следующий поворот на угол П1:

(£) = Tun К Z0 • (4*1)

T1.2(m) = ( cos'1 — sm--1 V

sin 1 cos 1 Другими словами, справедливы соотношения

U)=T1.2(—-40:) ■

02 з т-е-

z1 = 02 cos-1 + 03 sinr-2, z2 = —02 sin-1 + 03 cos r-2. (4-2)

Затем вместо группы переменных z подставляется следующая зависимость:

¿ ■ sin£ (Л ч\

z2 = £, z1 = — -1--. (4-3)

cos £

Таким образом, две группы уравнений (4.1) и (4.3) дают вторую группу кинематических уравнений:

^ > • .sin £ ^ > .sin £ ■ /,

"2 = —£sin т — ni-; c°s Ш; "з = £cos ni — ni-; sin ni- (4.4)

cos £ cos £

Видно, что три группы соотношений (2.4), (3.3), (4.4) образуют замкнутую систему уравнений. В эти три группы уравнений входят следующие функции:

yN (a, Pi, — ) , zN (a, Pi, — ) , s(a). (4.5)

V vd) V vD J

При этом функция s считается зависимой лишь от a, а функции yN,zn могут зависеть, наряду с углами a, Pi, вообще говоря, и от приведенной угловой скорости Ш = l"/vD.

5. Задача о движении свободного тела при наличии следящей силы

Параллельно рассматриваемой задаче о движении закрепленного тела, рассмотрим пространственное движение свободного осесимметричного твердого тела с передним плоским торцом (круговым диском D) в поле силы сопротивления в условиях квазистационарности [3, 4] с той же моделью воздействия среды (рис. 2).

Рис. 2. Пространственное движение свободного динамически симметричного твердого тела в сопротивляющейся среде

Если (ю,а,Рх) — сферические координаты вектора скорости центра Б диска V, лежащего на оси симметрии тела, П = {П1, 0.2, ^з} — проекции его угловой скорости на оси системы координат 0x1x2x3, связанной с телом, при этом ось симметрии СБ совпадает с осью 0x1 = Бх (С — центр масс, рис. 2), а оси Бх2 = Dy,Dxз = Бг лежат в гиперплоскости диска, /1, /2, 1з = 12, т — инерционно-массовые характеристики, то динамическая часть уравнений движения тела,

при котором касательные силы воздействия среды на диск отсутствуют, примет вид:

v cos а — áv sin а + 02v sin а sin 01 — 03v sin а cos 01 + a(02 + 0|) = —,

m

v sin а cos 01 + аv cos а cos 01 — 0 1v sin а sin 01 + 03v cos а— —01v sin а sin 01 — a0102 — a03 = 0, v sin а sin в1 + аи cos а sin 01 + 01 v sin а cos 01 + 01v sin а cos 01 — (5-1) —02v cos а — a0103 + a02 = 0, I101 = 0,

I2O2 + (I1 — 12)0103 = —zN (а, 01, s^)v2,

I2O3 + (I2 — 11)0102 = VN ^а, 01, s^v2, Fx = —S, S = s^)v2, a = CD, при этом

0) ( о 0"

— ,zn \а,01,— vv

^0, vn (а, 01, , ZN [а, 01,

— координаты точки N приложения силы S в системе координат DX1X2X3 = Dxyz, связанной с телом (рис. 2, на котором 0 = 0i).

Первые три уравнения системы (5.1) описывают движение центра масс в трехмерном евклидовом пространстве E3 в проекциях на систему координат Dxix2x3. Вторые же три уравнения системы (5.1) получены из теоремы об изменении кинетического момента тела в осях Кенига.

Таким образом, фазовым пространством системы динамических уравнений (5.1) шестого порядка является прямое произведение R1 х S2 х so(3) трехмерного многообразия на алгебру Ли so(3). При этом, поскольку сила воздействия среды не зависит от положения тела в пространстве, система динамических уравнений (5.1) отделяется от системы кинематических уравнений и может быть рассмотрена самостоятельно (см. также [4, 5]).

5.1. Циклический первый интеграл

Сразу же заметим, что система (5.1), в силу имеющейся динамической симметрии

I2 = I3, (5.2)

обладает циклическим первым интегралом

Oi = О? = const. (5.3)

При этом в дальнейшем будем рассматривать динамику системы на нулевом уровне:

О? = 0. (5.4)

5.2. Неинтегрируемая связь

Если рассматривается более общая .задача о движении тела при наличии некоторой следящей силы T, проходящей через центр масс и обеспечивающей во все время движения выполнение равенства (см. также [6, 7])

v = const, (5.5)

то в системе (5.1) вместо Fx будет стоять величина T — s(a)v2.

В результате соответствующего выбора величины T следящей силы можно формально добиться во все время движения выполнения равенства (5.5) [7, 8]. Действительно, формально выражая величину T в силу системы (5.1), получим при cos а = 0:

T = Tv (а, , П) = ша(П22 + П|)+

+s(a)v2

1 -

ma sin а

zN а

( (

а, pi, — sin pi + yN а, pi, — cos pi

V v) \ v)

(5.6)

I2 cos а

На данную процедуру можно посмотреть с двух позиций. Во-первых, произошло преобразование системы при помощи наличия в системе следящей силы (управления), обеспечивающей рассмотрение интересующего нас класса движений (5.5). Во-вторых, на это все можно посмотреть как на процедуру, позволяющую понизить порядок системы. Действительно, система (5.1) в результате действий порождает независимую систему четвертого порядка следующего вида:

áv cos а cos ji — jiv sin а sin j3i + "3v cos а — a"3 = 0, áv cos а sin ji + вiv sin а cos ji — "2v cos а + a"2 = 0, I2Ü2 = —zN (a,ji, V)) s(a)v2, I2" = yN (а, ji, V) s(a)v2,

(5.7)

в которой к постоянным параметрам, указанным выше, добавляется параметр V. Система (5.7) эквивалентна системе

av cos а + v cos а ["3 cos ji — "2 sin ji] + a jiv sin а — v cos а ["2 cos ji + "3 sin ji] + a

"2 = — zn (a,вl, V)) s(a), "3 = gyN (а, ji, V) s(a). Введем новые квазискорости в системе:

(£)=z0 ■

cos ji — sin ji Ji'2(ei)^sin ji cos ji Другими словами, справедливы соотношения

—"3 cos ji + "2 sin ji "2 cos ji + "3 sin ji

0,

(5.8)

(5.9)

.

U)

Ti,2( —ji)

("0 ■

т.е.

zi = "2 cos ji + "3 sin j2, z2 = — "2 sin ji + "3 cos j2. Как видно из (5.8), на многообразии

>4 : a = П 2

O = | (a, ji, "2, "3) € R4 : a = 2 k, k G zj

(5.10)

(5.11)

нельзя однозначно разрешить систему относительно а, в 1. Формально, таким образом, на многообразии (5.11) происходит нарушение теоремы единственности. Более того, при к четном неопределенность возникает по причине вырождения сферических координат в1), а при к нечетном происходит явное нарушение

теоремы единственности, поскольку при этом первое уравнение (5.8) вырождается.

0

Из этого следует, что система (5.7) вне и только вне многообразия (5.11) эквивалентна системе

« = -Z2 + f CoSa [zn (a, 01, j) sinв + VN (a, fa, j) cos fa] , ,,2

i2 = j-s(a) [zn (a, Pi, j) sin в + Vn (a,0i, j) cos 0i] -

Z2

J2 cos a

Ш - 77 S¡Bzi [zn {a, 01, j) cos fa - vn (a,0i, j) sin fa]

I2 sin a • __cos a i

z 1 — zi z2—--г

i i 2 Ч1П (T 1

-vl s(a) + 77 sm z2

- I- I- sin a 2

x [zn (a,0i, j) cosei - VN (a,0i, j) sin0i]

I- sin a)

j )

V '

(5.12)

Pi = ZiConSa + 77sna [zn {a, 0i, V) cosei - VN Мъ v) sin0i\ .

Здесь и далее зависимость от групп переменных (а, Q/v) понимается как сложная зависимость от (а, z\/v, z2/v) в силу (5.10).

Нарушение теоремы единственности для системы (5.8) на многообразии (5.11) при нечетном к происходит в следующем смысле: почти через любую точку из многообразия (5.11) при нечетном к проходит неособая фазовая траектория системы (5.12), пересекая многообразие (5.11) под прямым углом, а также существует фазовая траектория, полностью совпадающая во все моменты времени с указанной точкой. Но физически это различные траектории, так как им отвечают разные значения следящей силы. Покажем это.

Как показано выше, для поддержания связи вида (5.5) необходимо выбрать значение T при cos а = 0 в виде (5.6).

Пусть

[zn (a, fa, 7) sin ei + VN (a, fa, j) cos 0i] s(a)

lim ' v'-' * 4 " ' v'-—^—-—- = L

a^n/2 COS а

Заметим, что \L\ < тогда и только тогда, когда

lim

д

da

^ zn ^a, ¡3i, —^ sin0i + VN ^a, ¡3i, —^ eos0i s(a)^

<

При а = п/2 нужная величина следящей силы найдется из равенства

- , таЬу2

T — Tv(2, fa, — — ma(—2 + —3) -

I

2

(5.13)

где значения — произвольны.

С другой стороны, поддерживая с помощью следящей силы вращение вокруг некоторой точки Ш евклидова пространства Е3, необходимо выбрать следящую силу в виде

^ (5.14)

t=Tv и

а*-—)

,2" ) До где Д0 — расстояние СШ.

Равенства (5.13) и (5.14) определяют, вообще говоря, различные значения следящей силы Т для почти всех точек многообразия (5.11), что и доказывает сделанное замечание.

i

5.3. Постоянная скорость центра масс

Если рассматривается более общая .задача о движении тела при наличии некоторой следящей силы T, проходящей через центр масс и обеспечивающей во все время движения выполнение равенства (см. также [9, 10])

Vc = const (5.15)

(Уо — скорость центра масс), то в системе (5.1) вместо Ех должна стоять величина, тождественно равная нулю, поскольку на тело будет действовать неконсервативная пара сил: Т — в(а)у2 = 0.

Очевидно, что для этого нужно выбрать величину следящей силы Т в виде

T = Tv(а,в1, ft) = s(a)v2, T =-S.

(5.16)

Случай (5.16) выбора величины Т следящей силы является частным случаем возможности отделения независимой подсистемы четвертого порядка после некоторого преобразования системы (5.1).

Действительно, пусть выполнено следующее условие на величину Т:

Т = % (а, в!, ") = ^ V) "А' = тАа13ъ V = V. (5.17)

Введем для начала новые квазискорости (5.9)—(5.10). Систему (5.1) в случаях (5.2)—(5.4) можно переписать в виде

v + &(z2 + zJ) cos а—

—a — s(a) sin а I2

. ft\ fft\

yN ( а, в1, — 1 cos в1 + zN I а, в1, — ) sin в1

Ti (а,въ ") v2 — s^)v

2

аю + Z2V — a(z^ + Z2) sin а—

—а — в(а) cos а I2

( ft\ ( ft\

yN а, в1, — cos в 1 + zN а, вь — sin в 1 vv

ft3 = ^yN ^а, в1, «(а), ft2 = — у-zn (а, вь ft ) «(а),

з(а)ю2 — Ti (а,в1, У) v2 m

v J ' ' 12

в 1 sin а — z1 cos а—

av < \ — — s(a)

12

ftft)

а, в1cos в1 — yN а, в1, — si vv

0.

(5.18)

Вводя далее новые безразмерные фазовые переменные и дифференцирование по формулам zk = n1vZk, k = 1, 2, < • >= n1v <'>, П1 > 0, П1 = const, система (5.18) приведется к следующему виду:

v = vФ(а,в1,Z1,Z2),

(5.19)

+

/2П1

а' = —Z2 + an1(Z2 + Z|) sin а+ в(а) cos а [yN (а, вь n1Z) cos в1 + zn (а, вь n1Z) sin в1] —

T1 (а, в1, n1Z) — в(а) --sin а,

Z'

«(а)

In

mn1

[1 — an1Z2 sin а] [yN (а, в1, n1Z) cos в1 + zN (а, в1, n1 Z) sin в1] — cos а

(5.20)

Z

+ an1Z2(Z( + Z2) cos а—

2

cos а

2

sin а

a

sin а

г s (а)

-Z- —-[zN (а, ¡3i, n\Z) cosSi — yN (а, вь n\Z) sinSi] —

/2П1 sin а

Ti (а, ei, niZ) — s(а)

—Z2-cos а,, (5-21)

mni

, 1 s(а)

Z= ——2-[rniZ2 sin а — 1] [zn (а, Si, niZ) cos Si — yN (а, Si, niZ) sin Sil +

I2n2 sin а

+ZiZ2+ aniZi(Z2 + Z|) cos а—

sin а

г

Z-i^s^) sin а [zN (а, Si, n iZ) sin в i + yN (а, в i, n iZ) cos в i ] —

Ti (а, вi,niZ) — s(а) —Zi-cos а,, (5-22)

cos а 'n-

3> = Zi +

a s (а)

+---:-[zN (а, вi, niZ) cos вi — yN (а, вi, niZ) sin в i], (5-23)

I2n i sin а

Ф(а, вi,Zi, Z2) = —an i(Z2 + Z|) cos а+

+ —-s^) sin а [yN (а, Si, n -Z) cos Si + zN (а, в 1, n -Z) sin Si ] +

I2 ni

Ti (а, вi,niZ) — s^)

+--cos а..

mn

Видно, что в системе пятого порядка (5.19)—(5.23) может быть выделена независимая подсистема четвертого порядка (5.20)—(5.23), которая может быть самостоятельно рассмотрена на своем четырехмерном фазовом пространстве.

В частности, при выполнении условия (5-16) только что рассмотренный прием выделения независимой подсистемы четвертого порядка также возможен-

6. Случай отсутствия зависимости момента неконсервативных сил от угловой скорости

Выберем функцию rN в следующем виде (диск D задается уравнением x1N =

0):

rN = I X2N I = Д(а^, Ín = (2,Si) (6-1)

V X3n /

(см- (3-2))-

В нашем случае

í 0 '

iN = cos в 1 y sin в i

Таким образом, выполнены равенства

X2N = И(а.) cos в i, X3N = И(а) sin в 1,

убеждающие нас о том, что в рассматриваемой системе отсутствует зависимость момента сил от угловой скорости (имеется лишь зависимость от углов а, в i)-

sin а

Итак, для построения силового поля используется пара функций R(a),s(a), информация о которых носит качественный характер. Подобно выбору аналитических функций типа Чаплыгина [11, 12], динамические функции s и R примем в следующем виде:

R(a) = A sin a, s(a) = B cos a, A, B > 0. (6.2)

6.1. Приведенные системы

Теорема 6..1 Совместные уравнения (2.1), (3.3), (4-4) при выполнении условий (2.1)-(2.3), (6.1), (6.2) редуцируются к динамической системе на касательном расслоении (1.2) двумерной сферы (1.1).

Действительно, если ввести безразмерные параметр и дифференцирование:

AB

Т2

то полученные уравнения будут иметь следующий вид:

n'2 sin g = о

b* = lno, n0 = , < ■ >= novж <'>,

(6.3)

с + ь* e cos e+sin e cos e - ^i2 fosg

0.

ni + Mi cose+enicmé = 0, b* > Фазовый портрет системы (6.4) (e ^ д, ni ^ Ф) изображен на рис. 3.

(6.4)

Рис. 3. Фазовый портрет закрепленного маятника на сферическом шарнире в потоке набегающей среды

После же перехода от переменных z (о переменных z см. (4.3)) к переменным

W2 =

1 К ■ с 1 -Z2 — b* sin e, Wl =--zi,

nov

nov

система (6.4) будет эквивалентна системе

2 cos e

e = —w2 — ь*sine, w2 = sinecose — w2——-, w1 = w1w2—

sin e

cos e sin e,

ni

cos e wi-—г, sin e

(6.5)

(6.6) (6.7)

w

на касательном расслоении

T,S2{(w2,w1; £,щ) G R4 : 0 < С < n, ni mod 2п}

двумерной сферы S2{(£, щ) G R2 : 0 < £ < n, n1 mod 2n}.

Видно, что в системе четвертого порядка (6.6), (6.7) по причине цикличности переменной ni выделяется независимая подсистема третьего порядка (6.6), которая может быть самостоятельно рассмотрена на своем трехмерном многообразии.

6.2. Общие замечания об интегрируемости системы

Для полного интегрирования системы (6.6), (6.7) четвертого порядка необходимо знать, вообще говоря, три независимых первых интеграла.

6.2.1. Система при отсутствии силового поля

Рассмотрим систему (6-6), (6-7) на касательном расслоении T^S2{w2,w1; £,п1] двумерной сферы S2{£, ni}- При этом получим из нее систему консервативную-Более того, будем считать, что функция (1-3) тождественно равна нулю (в частности, bФ =0, а также коэффициент sin £ cos £ во втором уравнении системы (6-6) отсутствует)- Рассматриваемая система примет вид

£' = —W2, (6-8)

, 2 cos £

(6-9) cos £

w- = w-w2~—-, (6-10)

sin £'

cos £

í ~—7, sin £

' cos £ СЙ1-П

ni = wi^—. (6-11)

sin £

Система (6-8)—(6-11) описывает движение твердого тела при отсутствии внешнего поля сил-

Теорема 6..2 Система (6.8)-(6.11) обладает тремя независимыми аналитическими первыми интегралами следующего вида:

Ф 1(w2,w 1; £,n 1) = \Jw2 + w2 = C1 = const, (6-12)

^2(w2, w -; £, n i) = w - sin £ = C2 = const, (6-13)

Ф3^2,w1; £, ni) = C3 = const. (6-14)

Два первых интеграла (6-12), (6-13) констатируют тот факт, что поскольку внешнего поля сил нет, то сохраняются две (вообще говоря, ненулевые) компоненты угловой скорости трехмерного твердого тела, а именно:

Q2 = = const, = = const.

В частности, наличие первого интеграла (6-12) объясняется равенством

w2 + w2 = 2\ [^2 + ^3] = C? = const.

novL

Третий первый интеграл (6-14) имеет кинематический смысл, "привязывает" уравнение на ni и может быть найден из следующей квадратуры: dwi/dni = w2, при этом если воспользоваться уровнем первого интеграла (6-12)

dw1

dni = ±

vCf—

1

то искомое равенство примет вид

ni + C3 = ± arcsm — = ± arcsm ■

Ci Vw? + w| '

откуда

W1

$3(w2,w i; 4,ni) = П i T arcsin —= ? = C3. (6.15)

\J w 2 + w?

Теперь перефразируем теорему 6..2. Теорема 6..3 Система (6.8)-(6.11) обладает тремя независимыми первыми интегралами следующего вида:

Ф2 w2 + w2

Фi(w2, wi; e,n i) = ф = i+ 2 = C = const, (6.16)

Ф2 wi Sin 4

^2(w2,w i; 4,n i )= C2 = const, (6.17)

^3(w2,w i; ni) = C3 = const. (6.18)

Первый интеграл (6.18) также имеет кинематический смысл и "привязывает" уравнение на ni, а функции Ф2, Фз можно выбрать соответственно равными Ф2, Фз.

В формулировке теоремы 6..3 (в отличие от теоремы 6..2) отсутствует характеристика гладкости первых интегралов. А именно, там, где знаменатели (или числители и знаменатели одновременно) первых интегралов (6.16)—(6.18) обращаются в нуль, сами интегралы как функции имеют особенности. Более того, они часто не могут быть, вообще говоря, даже непрерывными функциями.

В силу теоремы 6..3 преобразованный набор первых интегралов (6.16)—(6.18) системы (6.8)—(6.11) (системы при отсутствии силового поля) по-прежнему остается набором первых интегралов данной системы.

6.2.2. Система при наличии консервативного силового поля

Теперь рассмотрим систему (6.6), (6.7) при условии b* = 0. При этом получим систему консервативную. А именно, наличие силового поля характеризует коэффициент sin 4 cos 4 во втором уравнении системы (6.6) (в отличие от системы (6.8)—(6.11)). Рассматриваемая система примет вид

a' = -w2, (6.19)

' ■ t t 2 cos 4 w2 = sin 4 cos 4 — w2-, sin 4 (6.20)

cos 4 w i = wi w2-, sin 4 (6.21)

cos 4 ni = w i • t. sin 4 (6.22)

Итак, система (6.19)—(6.22) описывает движение твердого тела в консервативном внешнем поле сил.

Теорема 6..4 Система (6.19)-(6.22) обладает тремя независимыми аналитическими первыми интегралами следующего вида:

Ф i(w2, wi; 4,ni) = w2 + w2 + sin2 4 = Ci = const, (6.23)

Ф2^2 ,w i; 4, n i) = w i sin 4 = C2 = const, (6.24)

i; 4,n i ) = C3 = const. (6.25)

Первый интеграл (6.23) является интегралом полной энергии. Первый интеграл (6.25) имеет кинематический смысл, "привязывает" уравнение на п 1 и может быть найден аналогичным образом.

Действительно, искомый интеграл может быть найден из следующей квадратуры: с]м l/dп 1 = , при этом если воспользоваться уровнями первых интегралов (6.23), (6.24)

[¿т = ±г ^

Vc¡ - W - cq/г

то искомое равенство примет вид

1 . 14w¡ - 2C¡

щ + Сз = ±2 arcsin у c4 - 4C¡¡ , C(> 2|C¡|,

откуда

Фз(w¡,w i;) = пi Т §arcsin^- 4C¡ = Сз, С > 2|C¡|, (6.26)

где вместо Ci,C¡ необходимо подставить левые части равенств (6.23), (6.24).

Теперь перефразируем теорему 6..4. Теорема 6..5 Система (6.19)-(6.22) обладает тремя независимыми первыми интегралами следующего вида:

/ £ \ Ф i w¡ + w¡ + sin¡ g (6 27)

Vi(w¡,wi; g,ni) = -r- =-—;-= C1 = const, (6.27)

Ф2 wi Sin g

V¡(w¡,w i; g, пi) = C¡ = const, (6.28)

V3(w¡, wi; g, пi) = C3 = const. (6.29)

Функции V¡, Ф3 можно выбрать соответственно равными Ф2, Ф3. В формулировке теоремы 6..5 (в отличие от теоремы 6..4) отсутствует характеристика гладкости первых интегралов. А именно, там, где знаменатели (или числители и знаменатели одновременно) первых интегралов (6.27)-(6.29) обращаются в нуль, сами интегралы как функции имеют особенности. Более того, они часто не могут быть, вообще говоря, даже непрерывными функциями.

В силу теоремы 6..5 преобразованный набор первых интегралов (6.27)-(6.29) системы (6.19)-(6.22) (системы при наличии консервативного силового поля) по-прежнему остается набором первых интегралов данной системы.

6.3. Полный список первых интегралов

Перейдем теперь к интегрированию искомой системы четвертого порядка (6.6), (6.7) (без всяких упрощений — при наличии всех коэффициентов).

Для начала сопоставим системе третьего порядка (6.6) неавтономную систему второго порядка

dw¡ sin g cos g - w¡ cos g/ sin g dwi wiw¡ cos g/ sin g (6 30)

dg —w¡ — bФ sin g ' dg —w¡ — bФ sin g

Используя замену т = sin g, перепишем систему (6.30) в алгебраическом виде dw¡ т — w ¡/т dw i w i w¡/t

1 . 14w¡ - 2С¡

dT -w¡ - dT -w¡ - ЬцТ

(6.31)

1

Далее, вводя однородные переменные по формулам = и^т, к = 1, 2, приводим систему (6.31) к следующему виду:

¿и2 1— и? + и2 — Ьи2 ¿и 1 2и 1 и2 — Ьи 1

т—2 =--2, т—1 = 2_1_2—. (6.32)

ат —и2 — ЬФ ат — и2 — Ь*

Сопоставим системе второго порядка (6.32) неавтономное уравнение первого порядка

¿и2 1 — и2 + и2 + ЬФи2

'2и\и2 + ЬФи! ' которое несложно приводится к полному дифференциалу:

¿^и"2 + и2 + Ь„щ + = 0

Итак, уравнение (6.33) имеет следующий первый интеграл:

и2 + и2 + Ьи + 1

(6.33)

Ci = const, (6.34)

u i

который в прежних переменных выглядит как

rw ^ w2 + w2 + b*w2 sin 4 + sin2 4

вi(w2,wi;4) = —-i---= C i = const. (6.35)

w sin 4

Замечание 6..1 Рассмотрим систему (6.6) с переменной диссипацией с нулевым средним [13, 14], становящейся консервативной при b* = 0:

2 cos 4 cos 4

4 = —w2, w2 = sin4cos4 — wi--, w'= wi w2--. (6.36)

2 sin 4 sin 4

Она обладает двумя аналитическими первыми интегралами вида

w\ + w2 + sin2 4 = C* = const, (6.37)

wi sin 4 = C* = const. (6.38)

Очевидно, что отношение двух первых интегралов (6.37), (6.38) также является первым интегралом системы (6.36). Но при b* =0 каждая из функций

w\ + w2 + b*w2 sin 4 + sin2 4 (6.39)

и (6.38) по отдельности не является первым интегралом системы (6.6). Однако отношение функций (6.39), (6.38) является первым интегралом системы (6.6) при любом b* .

Далее, найдем явный вид дополнительного первого интеграла системы третьего порядка (6.6). Для этого преобразуем для начала инвариантное соотношение (6.34) при ui =0 следующим образом:

(u2 + I )2 + (u i — C )2 = ^ — (6.40)

Видно, что параметры данного инвариантного соотношения должны удовлетворять условию

b* + C2 — 4 > 0, (6.41)

и фазовое пространство системы (6.6) расслаивается на семейство поверхностей, задаваемых равенством (6.40).

Таким образом, в силу соотношения (6.34) первое уравнение системы (6.32) примет вид

¿и2 = 2(1 + Ьи + и2) — и2)

ат —и2 — ьФ '

^1(^1, и2) = 2 {С1 С2 — 4(и2 + Ьи + 1)},

при этом постоянная интегрирования С1 выбирается из условия (6.41).

Поэтому квадратура для поиска дополнительного первого интеграла системы (6.6) примет вид

dr

(—b* — u2)du2

т J 2(1 + b*u2 + u2) — Ci{Ci ±y/C2 — 4(u2 + b*u2 + 1)}/2

(6.42)

Левая часть (с точностью до аддитивной постоянной), очевидно, равна ln | sin Если

U + ^ = Ti, b2 = bl + C2 - 4,

то правая часть равенства (6.42) примет вид

1

d(bi — 4г2)

4 J (b2 — 4r2) ± CXyJbl — 4r2

+b

dri

1

— 1ln 2

(b2 — 4r2) ± Ci^b2 — 4r2

VW—4r¡

C

1

b

± — Ii, 2 Ь

dr3

гз

\Jb2 — 4r 2.

J ybf-T2 (T3 ± C Г При вычислении интеграла (6.43) возможны три случая.

I. h > 2.

I =

+

4

ln

y/W—4 + V/bí—r2

гз ± C i

i " '3 ± Ci

+

ln

02—4 ^v/bf—n^ Ci

гз ± Ci

T

VW—4

+ const.

II. к < 2.

III. b = 2.

т 1 • ±Ci гз + b2 , t

Ii = —. arcsin —-, ^ i + const.

л/4—b* bi (гз ± Ci)

I i = T

v/bí—r2

Ci (гз ± Ci)

+ const.

Возвращаясь к переменной

w2 b* r i = _~¿ + , sin 4 2

имеем окончательный вид для величины Ii:

I. bi > 2.

Ii =--A-ln

2VW—4

v/b*—4 ± 2r i ± Ci

vb — 4r2 ± Ci v/b*—4

+

(6.43)

(6.44)

(6.45)

(6.46)

(6.47)

1

1

з

+--, ln

2VW-I

VW—4 Т 2ri C\

vb - 4r2 ± Ci ^/W-4

+ const. (6.48)

II. К < 2.

III. к = 2.

г 1 ±CXJbí - 4rí + bí , ,

Ii = , arcsin-y 1 1 + const. (6.49)

Щ bi^v/bf-ir? ± Ci) v ;

2ri

Ii = Т-, 0 \-+ const. (6.50)

1 ^Ciiy/b—Tf ± Ci) V ;

Итак, только что был найден дополнительный первый интеграл для системы третьего порядка (6.6) — предъявлен полный набор первых интегралов, являющихся трансцендентными функциями своих фазовых переменных. Замечание 6..2 В выражение найденного первого интеграла формально необходимо вместо Ci подставить левую часть первого интеграла (6.34)-

Тогда полученный дополнительный первый интеграл имеет следующий структурный вид (аналогичный трансцендентному первому интегралу из плоской динамики):

©í(w?, wi; g) = G I sing, , W\ I = Cí = const. (6.51)

V Sin g Sin gj

Таким образом, для интегрирования системы четвертого порядка (6.6), (6.7) уже найдены два независимых первых интеграла. Для полной же ее интегрируемости достаточно найти еще один (дополнительный) первый интеграл, "привязывающий" уравнение (6.7).

Поскольку

dui ui(2u? + b*) dqi ui

dr (-b* - Uí)r' dr (-b* - Uí)t' то dui/dni = 2uí + b*. Очевидно, что при ui = 0 выполнено равенство

щ = 2 ( -b* bí - 4(u - j , bi = b* + Ci - 4,

тогда интегрирование следующей квадратуры:

du1

ni + const = ±

\Jb\ - 4 (ui - f)í

приведет к инвариантному соотношению

2u1 C1

2(ni + C3) = ± arcsin — =, C3 = const.

Vb* + Cí - 4

Другими словами, выполнено равенство

2u1 - C1

sin[2(ni + C3)] = ±-

Vbí* + Cí - 4 или, при переходе к старым переменным,

2w1 - C1 sin g

sin[2(ni + C3)] = ±

Vb* + Cí - 4sing'

В принципе, с целью получения дополнительного инвариантного соотношения, "привязывающего" уравнение (6.7), на последнем равенстве можно остановиться,

добавив к этому то, что в последнем выражении формально необходимо вместо Ci подставить левую часть первого интеграла (6.34).

Но мы проведем некоторые преобразования, приводящие к получению следующего явного вида дополнительного первого интеграла (при этом используется равенство (6.34)):

tg2[2(„ + C )] = (u2 — u2 — b*u2 — 1)2 tg [2(m + Cз)]= u2(4u2 +4b*u2 + b*) . Возвращаясь к старым координатам, получим дополнительное инвариантное соотношение в виде

tg2[2(n + C )1 (w2 — w2 — b*w2 sin 4 — sin2 4)2

tg [2(n i + ^з)\ = 2í. 2 , -. t . , 2 . 2c\ ,

w2 (4w2 + 4b* w2 sin 4 + b2 sin2 4)

или окончательно

rw e \ i 1 , w2 — w2 — b*w2 sin 4 — sin2 4

вз^2, wi; 4,ni) = —ni ± oarctg-^-~r——7т-= Cз = const. (6.52)

2 wi (2w2 + b* sin 4)

Итак, в рассматриваемом случае система динамических уравнений (6.6), (6.7) имеет три первых интеграла, выражающихся соотношениями (6.35), (6.51), (6.52) (при этом используются выражения (6.47)-(6.50)), являющихся трансцендентными функциями фазовых переменных (в смысле комплексного анализа) и выражающихся через конечную комбинацию элементарных функций.

Теорема 6..6 Три группы соотношений (2.1), (3.3), (4.4) при условиях (2.1)-(2.3), (6.1), (6.2) обладают тремя первыми интегралами (полным набором), являющимися трансцендентными функциями с точки зрения комплексного анализа, выражающимися через конечную комбинацию элементарных функций.

6.4. Топологические аналогии

Предъявим далее две группы аналогий, связанных с системой (5.1), описывающей движение свободного твердого тела при наличии следящей силы.

Первая группа аналогий касается случая наличия в системе неинтегрируемой связи (5.5). В данном случае динамическая часть уравнений движения при некоторых условиях приводится к системе (5.12).

При выполнении условий (6.1), (6.2) система (5.12) примет вид

. . 2cos а . cos а

а = —w2 + b sin а, w2 = sin а cos а — w-,-, w' = wi w2-, (6.53)

2 sin а sin а

e= w i ^, (6.54)

sin а

если ввести безразмерные параметр, переменные и дифференцирование по аналогии с (6.3):

AB

b = ano, n2 = —¡—, zk = n0vwk, k = 1, 2, < • >= n0v <'> . (6.55) I2

Теорема 6..7 Система (6.53), (6.54) (для свободного тела) эквивалентна системе (6.6), (6.7) (для закрепленного маятника). Действительно, достаточно положить

4 = а, ni = в i, b* = —b. (6.56)

Следствие 6..1 1. Угол атаки а и угол скольжения @i для свободного тела (рис. 2) эквивалентны соответственно углам отклонения 4 = 6 и ni = Ф закрепленного маятника (рис. 1).

2. Расстояние а = CD для свободного тела соответствует длине державки l = OD закрепленного маятника.

3. Первые интегралы системы (6.53), (6.54) могут быть автоматически получены через равенства (6.35), (6.51), (6.52) после подстановок (6.56) (см. также [12, 15]):

w2 + w2 - bw2 sin a + sin2 a

в -| (w2, wi; a) = -= Ci = const. (6.57)

w sin a

w2 w

©2(w2,wi; a) = G (sin a,-,-) = C2 = const. (6.58)

2 sin a sin a

e3(w2,w 1; a, в1) =

= -01 ± 1 arctgw2 - w2 + bw2 Sin a -SÍn2 a = Сз = const. (6.59)

2 wi (2w2 — b Sin a)

Вторая группа аналогий касается случая движения с постоянной скоростью центра масс тела, т.е. когда выполнено свойство (5.15). В данном случае динамическая часть уравнений движения при некоторых условиях приводится к системе

(5.19)-(5.23).

Тогда, в силу условий (5.15), (6.1), (6.2), (6.55) (wk ^ Zk) преобразованная динамическая часть уравнений движения (система (5.20)-(5.23)) примет вид аналитической системы

a' = —Z2 + b(Z\ + Z|) sin a + b sin a cos2 a,

Z'2 = sin a cos a — Z\ ^--+ bZ2(Z ? + Z2) cos a — bZ2 sin2 a cos a, (6.60)

2 sin a 2

Z\ = Z1Z2 cosa + bZ1 (Z? + Z22) cos a — bZ1 sin2 a cos a,

sin a 2

в = Zi ^, (6.61)

sin a

при этом выбирая постоянную ni следующим образом: ni = no.

Если вопрос о первых интегралах системы (6.53), (6.54) решается с помощью следствия 6..1, то аналогичный вопрос для системы (6.60), (6.61) решает следующая теорема 6..8.

Сначала отметим, что один из первых интегралов системы (6.60), (6.61) имеет следующий вид:

ГЛ'ЧУ 7 ч Z22 + Z2 — bZ2 sin a + sin2 a

в ' (Z2, Zi; a) = --—:-= Ci = const. (6.62)

Z sin a

Далее, изучим вопрос дополнительного первого интеграла системы третьего порядка (6.60), используя при этом первый интеграл (6.62). Для этого введем следующие обозначения и новые переменные:

т = sin a, Zk = ukт, k = 1, 2, p = . (6.63)

t 2

Тогда вопрос о явном виде искомого первого интеграла сводится к решению линейного неоднородного уравнения:

dp = 2(u2 — b)p + 2b(1 — ^2(Ci,U2) — u2) (6 64)

du2 1 — bu2 + и2 — UKC]^,^) '

и (Съп2) = 2 |С С2 — 4(Щ - Ьщ + 1)} ,

при этом постоянная интегрирования С выбирается из условия Ь2 + С2 — 4 ^ 0.

Последний факт означает, что может быть найден еще один трансцендентный первый интеграл в явном виде. При этом общее решение уравнения (6.64) зависит от произвольной постоянной С2. Полные выкладки в данном месте приводить не будем, отметив лишь для примера, что общее решение линейного однородного уравнения, полученного из (6.64), даже в частном случае Ь = С =2 имеет следующее решение:

Р

= po(u2) = C[^1 — (u2 — 1)2 ± 1\exp

/

1 W1 — (u2 — 1)2

1 ±y/1 — (u2 — 1)2

C = const.

Тогда искомый дополнительный первый интеграл имеет следующий структурный вид (аналогичный трансцендентному первому интегралу из плоской динами-

©2'(Z2,Zi; а) = G sin а

Z2 Zi

= C2 = const,

(6.65)

sin a sin а,

используя при этом обозначения и замены (6.63).

Таким образом, для интегрирования системы четвертого порядка (6.60), (6.61) найдены два независимых первых интеграла. Для полной же ее интегрируемости достаточно предъявить один (дополнительный) первый интеграл, "привязывающий" уравнение (6.61). Искомый первый интеграл может быть получен из

• гг./п ^ м , 2Zi - C i sin а sin[2(£ 1 + Сз)]= ±-

' ^Jb2 + C\ — 4 sin а

В принципе, с целью получения дополнительного инвариантного соотношения, "привязывающего" уравнение (6.61), на последнем равенстве можно остановиться, добавив к этому то, что в нем необходимо формально вместо C подставить левую часть (6.62). Но, проводя некоторые преобразования, получим окончательный вид дополнительного первого интеграла:

1 Z 2 Z22 + bZ2 sin а sin2 а

©3' (Z2,Zi; а, в i) = —в i ± X arctg—- \ 2 ---= C3 = const. (6.66)

2 Zi (2Z2 — b sin а)

Теорема 6..8 Три первых интеграла (6.62), (6.65), (6.66) системы (6.60), (6.61) являются трансцендентными функциями своих фазовых переменных и выражаются через конечную комбинацию элементарных функций.

Теорема 6..9 Три первых интеграла (6.62), (6.65), (6.66) системы (6.60), (6.61) эквивалентны трем первым интегралам (6.57), (6.58), (6.59) системы (6.53), (6.54).

Действительно, пары первых интегралов (6.62), (6.57) и (6.66), (6.59) совпадают. Осталось формально отождествить фазовые переменные Zk, k = 1, 2, для системы (6.60), (6.61) с фазовыми переменными wk, k = 1, 2, для системы (6.53), (6.54). Аналогичные рассуждения, касающиеся пары первых интегралов (6.65), (6.58), не приводим ввиду громоздкости изложения.

Заключение

Итак, мы имеем следующие топологичекие и механические аналогии в том смысле, в котором они объяснены выше. (1) Движение закрепленного на сфе-

рическом шарнире физического маятника в потоке набегающей среды (неконсервативное поле сил). (2) Пространственное движение свободного твердого тела в неконсервативном поле сил со следящей силой (при наличии неинтегрируемой связи). (3) Пространственное сложное движение твердого тела, вращающегося вокруг центра масс, движущегося прямолинейно и равномерно, и находящегося в неконсервативном поле сил.

О более общих топологических аналогиях см. также [9, 10].

Литература

[1] Шамолин М.В. Случаи интегрируемости, соответствующие движению маятника на плоскости // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2015. № 10(132). С. 91-113.

[2] Shamolin M.V. New integrable cases and families of portraits in the plane and spatial dynamics of a rigid body interacting with a medium // Journal of Mathematical Sciences. 2003. Vol. 114. № 1. P. 919-975.

[3] Шамолин М.В. Многообразие случаев интегрируемости в динамике маломерного и многомерного твердого тела в неконсервативном поле // Итоги науки и техники. Сер.: "Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры". T. 125. "Динамические системы". 2013. C. 5-254.

[4] Походня Н.В., Шамолин М.В. Некоторые условия интегрируемости динамических систем в трансцендентных функциях // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2013. № 9/1(110). С. 35-41.

[5] Шамолин М.В. Многообразие типов фазовых портретов в динамике твердого тела, взаимодействующего с сопротивляющейся средой // Доклады РАН, 1996. Т. 349. № 2. С. 193-197.

[6] Шамолин М.В. Динамические системы с переменной диссипацией: подходы, методы, приложения // Фунд. и прикл. мат. 2008. Т. 14. Вып. 3. С. 3-237.

[7] Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: ВИНИТИ, 1985. 304 с.

[8] Трофимов В.В. Симплектические структуры на группах автоморфизмов симметрических пространств // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1984. № 6. C. 31-33.

[9] Трофимов В.В., Шамолин М.В. Геометрические и динамические инварианты интегрируемых гамильтоновых и диссипативных систем // Фунд. и прикл. мат. 2010. Т. 16. Вып. 4. С. 3-229.

[10] Шамолин М.В. Методы анализа динамических систем с переменной диссипацией в динамике твердого тела. М.: Изд-во "Экзамен", 2007. 352 с.

[11] Shamolin M.V. Classes of variable dissipation systems with nonzero mean in the dynamics of a rigid body // Journal of Mathematical Sciences. 2004. Vol. 122. № 1. P. 2841-2915.

[12] Шамолин М.В. Некоторые модельные задачи динамики твердого тела при взаимодействии его со средой // Прикл. механика. 2007. Т. 43. № 10. С. 49-67.

[13] Шамолин М.В. Новые интегрируемые случаи в динамике тела, взаимодействующего со средой, при учете зависимости момента силы сопротивления от угловой скорости // Прикл. мат. и мех. 2008. Т. 72. Вып. 2. С. 273-287.

[14] Шамолин М.В. Об интегрируемости в элементарных функциях некоторых классов динамических систем // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2008. № 3. С. 43-49.

[15] Шамолин М.В. Об устойчивости прямолинейного поступательного движения // Прикл. механика. 2009. Т. 45. № 6. С. 125-140.

References

[1] Shamolin M.V. Cases of integrability corresponding to the pendulum motion on the plane, Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta. Ser.: Esyestvennonauchnaya [Vestnik of Samara State University. Natural Sciences Series], 2015, no. 10(132), pp. 91-113. (in Russ.)

[2] Shamolin M.V. New integrable cases and families of portraits in the plane and spatial dynamics of a rigid body interacting with a medium, Journal of Mathematical Sciences, 2003, 114, no. 1, pp. 919-975.

[3] Shamolin M.V. Variety of cases of integrability in dynamics of lower-, and multidimensional body in nonconservative field, Itogi nauki i tekhniki. Ser. Sovremennaya matematika i ee prolodzeniya. Tematicheskie obzory [Contemporary Mathematics and its Applications], 125, Dynamical Systems, 2013, pp. 5-254. (in Russ.)

[4] Pokhodnya N.V., Shamolin M.V. New case of integrability in dynamics of multi-dimensional body, Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta. Ser.: Esyestvennonauchnaya [Vestnik of Samara State University. Natural Sciences Series], 2012, no. 9/1(110), pp. 35-41. (in Russ.)

[5] Shamolin M.V., Variety of types of phase portraits in dynamics of a rigid body interacting with a resisting medium, Doklady RAN [Physics Doklady], 1996, 349, no.

2, pp. 193-197. (in Russ.)

[6] Shamolin M.V., Dynamical Systems With Variable Dissipation: Approaches, Methods, and Applications, Fund. Prikl. Mat. [Journal of Mathematical Sciences], 2008, 14, no.

3, pp. 3-237. (in Russ.)

[7] Arnold V.I., Kozlov V.V., Neyshtadt A.I. Mathematical aspect in classical and celestial mechanics, M.: VINITI, 1985. 304 p. (in Russ.)

[8] Trofimov V.V. Symplectic structures on symmetruc spaces automorphysm groups, Vestnik Moskovskogo Universiteta. Ser. 1. Matematika. Mekhanika [Moscow University Mathematics Bulletin], 1984, no. 6, pp. 31-33. (in Russ.)

[9] Trofimov V.V., Shamolin M.V. Geometrical and dynamical invariants of integrable Hamiltonian and dissipative systems, Fund. Prikl. Mat. [Journal of Mathematical Sciences], 2010, 16, no. 4, pp.3-229. (in Russ.)

[10] Shamolin M.V. Methods of analysis of various dissipation dynamical systems in dynamics of a rigid body, M.: Ekzamen, 2007. 352 pp. (in Russ.)

[11] Shamolin M.V. Classes of variable dissipation systems with nonzero mean in the dynamics of a rigid body, Journal of Mathematical Sciences, 2004, 122, no. 1, pp. 2841-2915.

[12] Shamolin M.V. Some model problems of dynamics for a rigid body interacting with a medium, Prikl. Mekh. [International Applied Mechanics], 2007, 43, no. 10, pp. 49-67.

[13] Shamolin M.V. New integrable cases in dynamics of a medium-interacting body with allowance for dependence of resistance force moment on angular velocity, Prikl. Mat. Mekh. [Journal of Applied Mathematics and Mechanics], 2008, 72, no. 2, pp. 273-287.

[14] Shamolin M.V. Integrability of some classes of dynamic systems in terms of elementary functions, Vestnik Moskovskogo Universiteta. Ser. 1. Matematika. Mekhanika [Moscow University Mechanics Bulletin], no. 3, pp. 43-49 (2008).

[15] Shamolin M.V. Stability of a rigid body translating in a resisting medium, Prikl. Mekh. [International Applied Mechanics], 2009, 45, no. 6, pp. 125-140.

M.V. Shamolin3

CASES OF INTEGRABILITY CORRESPONDING TO THE PENDULUM MOTION IN THREE-DIMENSIONAL SPACE

In this actitity, we systemize some results on the study of the equations of spatial motion of dynamically symmetric fixed rigid bodies-pendulums located in a nonconservative force fields. The form of these equations is taken from the dynamics of real fixed rigid bodies placed in a homogeneous flow of a medium. In parallel, we study the problem of a spatial motion of a free rigid body also located in a similar force fields. Herewith, this free rigid body is influenced by a nonconservative tracing force; under action of this force, either the magnitude of the velocity of some characteristic point of the body remains constant, which means that the system possesses a nonintegrable servo constraint. The obtained results are systematized and served in the invariant form. We also show the nontrivial topological and mechanical analogies.

Key words: rigid body, resisting medium, dynamical system, three-dimensional phase pattern, case of integrability

Статья поступила в редакцию 18/V/2016. The article received 18/V/2016.

3Shamolin Maxim Vladimirovich (ivanov@mail.ru), (shamolin@rambler.ru, shamolin@imec.msu.ru), Institute of Mechanics, Lomonosov Moscow State University, Moscow, 119192, Russian Federation.