Об одном случае интегрируемости уравнений движения колесного робота Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.36

ОБ ОДНОМ СЛУЧАЕ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ КОЛЕСНОГО РОБОТА

А. В. Карапетян, М. А. Салмина

Рассматривается задача о движении трехколесного мобильного робота [1-3] по шероховатой горизонтальной плоскости без скольжения и отрыва. Именно такого типа роботы принимали участие в соревнованиях фестиваля "Мобильные роботы", организованного академиком РАН Д. Е. Охоцимским. Робот моделируется системой четырех твердых тел: тележка, два одинаковых задних колеса и переднее рояльное колесо. Механическими моделями таких роботов служат неголономные системы.

Применяемые в работе методы неголономной механики существенно зависят от выбора обобщенных координат и способа разрешения уравнений связей. Это связано с тем, что для неголономных систем в отличие от голономных существуют две принципиально различные группы определений циклических координат [4]. В первую группу входят определения, которые обеспечивают существование циклических интегралов. Вторую группу составляют определения, обеспечивающие существование стационарных движений. В общем случае эти определения не совпадают. Однако встречаются ситуации, когда наличие циклических координат приводит к существованию и линейных интегралов, и стационарных движений, что представляет особый интерес. Именно такая ситуация имеет место в рассматриваемой неголоном-ной модели мобильного робота при специальном выборе обобщенных координат и специальном способе разрешения уравнений неголономных связей.

В качестве модели трехколесного мобильного робота будем рассматривать систему твердых тел: тележка массы М; корпус тележки, жестко соединенный с осью, на которую насажены два одинаковых колеса радиуса г и массы т; в точке В платформы прикреплена жестко ось с насаженным на нее рояльным колесом радиуса р и массы ц (рисунок).

Введем неподвижную систему координат 0£п(. Положение системы естественным образом определяется координатами: п, §, 9, Х1, Х2, Хз, где п — координаты точки В — середины заднего моста; § — угол между осью симметрии робота ВВ и неподвижной осью 0£; 9 € (— п/2,п/2) — угол поворота стойки относительно оси робота ВВ; при этом §1 = 9 + §, где §1 — угол поворота стойки относительно неподвижной оси 0£; Х1, Х2, Хз — углы поворота колес вокруг соответствующих осей.

Введем обозначения: 2а — задняя полуось, ¡1 и ¡2 — расстояния

\0

^SWD \ и

В

О

%

Проекция робота на горизонтальную плоскость

от точек В и В соответственно до центра масс, ¡1 + ¡2 = ¡.

Условия отсутствия скольжения колес (условия неголономных связей) имеют вид

£ cos § + П sin § — a§ — r\1 = 0, £ sin § + П cos § = 0, £ cos § + П sin § + a§ — r%2 = 0, £ cos §i + П sin §i + l§ sin 9 — px3 = 0, £ sin §1 + П cos §1 + l§ cos 9 = 0.

Введем новые обобщенные координаты:

Qi = ^(Xi + X2), q-2 = 9, q¿ = ti, q4 = 95 = V, Qa = Хз, q7 = ^(Xi - X2)•

(1)

Уравнения неголономных связей (1) в переменных (2) примут более простую форму

r

<7з = у tg <?2 <?Ъ 94 = Г cos q3 qi, q5 = rsmq3qi,

r 2a (3)

(?6 = -cos q2qi, q7 = — tgq2qi. p l

Скорости qj (j = 3,..., 7) зависят только от скорости q\ и координат q2, q3-

Выражение для кинетической энергии системы без учета связей (3) имеет вид

1 7

т = 2 I] AijMj,

i,j

где

a11 = A77 = J1Y, a22 = J3Z, A33 = sl, a44 = A55 = s0, A66 = J3Y, A35 = A53 = S2 cos q3, A34 = A43 = So sin q3, A23 = A32 = J3Z, а остальные коэффициенты Aj равны нулю. Здесь

S0 = M + 2m +/j,, S1 = Ml2 + JG + 2ma2 + 2 J1Z + ^l2 + J3Z, S2 = ц1 + Ml1,

JjZ, JjY (j = 1,2,3) — моменты инерции колес относительно осей вращения; Jg — момент инерции тележки относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс.

Исключив величины q3,...q из выражения для кинетической энергии T при помощи уравнений связей (3), получим выражение приведенной кинетической энергии

© = \ [aiiQi + 2ai2<7i<72 + а22<7г] •

Здесь

r

an = S3 + S4tg2q2 + 5*6 cos"2 <72, ai2 = - S5 tg q2, a22 = S5,

r2 4a2 r2

S3 = J\y + Sor , S4 = S\ -pr + J\Y S5 = Jsz, S6 = j3y 9 •

l2 l2 p2

Коэффициенты ац, a12, a22 зависят только от координаты q2 (угла 9). Уравнения движения трехколесной мобильной платформы имеют следующий вид:

an (q2)q1 + a12 (q2 )q2 + k(q2 )q1<72 = 0,

(4)

a12 (q2)q1 + a22 (q2 )q2 + p(q2)q1<l2 = 0, где r

Л(<7г) = (54 + ^e) tg <72 cos"2 q2, p{q2) = S5 у cos"2 <?2.

Координата <?i = ^(X1 + X2) (полусумма углов вращения задних колес) является циклической в смысле

определения [4], а координата q2 = 9 — позиционной.

Следует подчеркнуть, что в данной задаче введение обобщенных координат по формулам (2) позволило получить уравнения движения рассматриваемой неголономной системы в достаточно простом виде. А именно уравнения движения (4) при отсутствии управляющих воздействий представляют собой замкнутую систему уравнений первого порядка относительно переменных q1, q2, q2. Остальные переменные находятся из уравнений связей (3). Очевидно, что при таком подходе упрощается анализ стационарных движений системы, анализ их устойчивости и возможностей стабилизации.

Рассматриваемая механическая система консервативна и, следовательно, допускает интеграл энергии:

anq2 + 2a12<71*72 + a22<72 =2h = const. (5)

Кроме того, механическая система обладает симметрией и уравнения движения инвариантны относительно поворота всей системы как единого целого вокруг вертикали (это эквивалентно инвариантности

68

вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2008. №6

уравнений относительно выбора неподвижных осей в опорной плоскости). Это означает, что система допускает линейный интеграл [4]:

r

j tg q2 qi + <й = с = const. (6)

Система (4) с двумя степенями свободы допускает два первых интеграла и, следовательно, интегрируема в квадратурах.

Выразим qi из (6) и, подставляя в (5), получим интеграл энергии редуцированной по Раусу системы с одной степенью свободы:

r2 \ r2

ctg2 Q2 + s4 - S5 -p + S6 sin2 q2 J (c - q2)2 =(2h - S5), откуда

-л/2h - S5 sinq2

q2 = c±^= 1 =. (7)

r2 2

y S3 cos2 q2 + - S5 -J sin Q2 + S6 При нулевом значении константы линейного интеграла (с = 0) выражение (7) можно представить в виде

— ^^1 ^2Z dz = 2h ^тг dt, 1 — z2 l2

r 2 r 2

где z = cos q2, R\ = ¿>6 - S5 —r + S4, R2 = S3 - S4 + S5 —r.

l2 l2

Это соотношение интегрируется в элементарных функциях [5].

При с = 0 существует стационарное движение системы, которому соответствует прямолинейное движение платформы: q2 = 0, q2 = 0, qi = v = const.

Можно показать, что при v > 0 (рояльное колесо впереди) прямолинейное движение неустойчиво, а при v < 0 (рояльное колесо сзади) — устойчиво.

В случае, когда с = 0, из выражения (7) находим

, , cy/Hy/Ih + R2z2 , л/Нл/l^z1 ,

Щ2 ± Т7,-Ч-Т7,-^Г dz — -¡—-г-1—-г—- dz = dt,

(c2Ri - Я) + {с R2 - H)z2 (c2Ri - Я) + {с R2 - H)z2

r2

H = -p{2h-Sb).

Полученное выражение также может быть проинтегрировано в элементарных функциях для различных значений параметров системы и величин первых интегралов [5].

Таким образом, в рассмотренном случае полученные квадратуры позволяют провести глобальный качественный анализ динамики трехколесного робота.

Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (гранты № 06-08-01574, 07-01-00290, 06-0100222) и программы "Университеты России".

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Девянин Е.А., Буданов В.М. О движении колесных роботов // Прикл. матем. и механ. 2003. 67, вып. 2. 244-255.

2. Каленова В.И., Морозов В.М., Салмина М.А. Об устойчивости и стабилизации установившихся движений него-лономных механических систем одного класса // Там же. 2004. 68, вып. 6. 914-925.

3. Карапетян А.В., Салмина М.А. Бифуркации Пуанкаре-Четаева и Андронова-Хопфа в динамике трехколесного робота // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2006. № 2. 56-59.

4. Карапетян А.В., Румянцев В.В. Устойчивость консервативных и диссипативных систем // Итоги науки и техники. Сер. Общая механика. Т. 6. М.: ВИНИТИ, 1983.

5. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1961.

Поступила в редакцию 06.06.2008