Свободные и управляемые движения некоторой модели экипажа с роликонесущими колесами Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.36

СВОБОДНЫЕ И УПРАВЛЯЕМЫЕ ДВИЖЕНИЯ НЕКОТОРОЙ МОДЕЛИ ЭКИПАЖА С РОЛИКОНЕСУЩИМИ КОЛЕСАМИ

А. А. Зобова, Я. В. Татаринов

Вывод уравнений движения экипажа с роликонесущи-ми колесами. Роликонесущее колесо (отш-тоЪее1) представляет собой диск, на периферии которого укреплены ролики: они могут свободно вращаться относительно касательной к ободу в точке укрепления каждого ролика прямой [1]. Простейшей механической моделью такого колеса является диск, причем скорость точки диска, в которой он опирается на несущую поверхность, перпендикулярна его плоскости. В работе рассматривается экипаж, который катится по горизонтальной шероховатой плоскости и на котором установлены три роликонесущих колеса: колеса 1, 3 параллельны друг другу, колесо 2 им перпендикулярно, центры колес расположены в вершинах равнобедренного треугольника (рис. 1). При этом плоскости колес в течение всего времени движения вертикальны и относительно корпуса экипажа сохраняют неизменное положение. Описанная система представляет собой неголономную механическую систему с тремя степенями свободы.

Введем две системы координат — неподвижную OXYZ и жестко связанную с корпусом экипажа — следующим образом. Плоскость OXY совпадает с опорной, ось OZ вертикальна. Точка Q — середина отрезка, соединяющего центры параллельных колес; ось совпадает с их осью вращения; ось Qn проходит через центр масс системы 5, который расположен на оси геометрической симметрии; расстояние QS равно В.

Обозначим через 9 угол между осями ОХ и Q£. Пусть (х,у) — координаты точки 5 на плоскости OXY. Скорость центра масс разложим по ортам подвижной системы координат: V., = + Я»2е^

(здесь Я — радиус колес). Пусть Хг — угол поворота г-го колеса относительно тележки, г = 1,2,3; ¿1, ¿2,(з = ¿1 — расстояние от точки Q до центров колес. Условие перпендикулярности скорости наинизшей точки колеса плоскости колеса запишется в виде

Рис. 1

X1 = V! + ¿19, Х2 = VI + (¿2 - А) 9, Хз = -»2 + ¿19.

(1)

Здесь А и ¿г — безразмерные длины: А = Я В, ¿г = Я(¿. Эти уравнения представляют собой три дифференциальные связи, наложенные на систему. Сумму первого и третьего уравнений (1) можно проинтегрировать и получить конечное соотношение на Х1, Х3, 9. Оставшиеся две связи являются неголо-номными.

Рассмотрим движение экипажа по инерции, т.е. предположим, что на систему помимо идеальных реакций связей действует только сила тяжести. Для вывода уравнений движения воспользуемся лаконичной формой, предложенной в [2, 3]. Для этого выпишем сначала кинетическую энергию системы:

2Т = М (X2 + у2) + 9 + 3 (Х1 + X 2 + X з).

Здесь М — полная масса системы; ^ — полный момент инерции относительно вертикальной оси, проходящей через точку 5; 3 — момент инерции каждого колеса относительно их осей вращения (они предполагаются одинаковыми). Введем безразмерные параметры Л и Л следующим образом: ls = Л2МЯ2, 3 = Л2МЯ2, и введем скорость Vз = Л9. Таким образом, псевдоскорости имеют вид

/х\

(Яссе9 -Я8ш9 0 \

Я 8ш 9 Я ссв 9 0

»2

(2)

\9/ \ 0 0 1/Л/ \из/

Итак, на механическую систему, положение которой описывается переменными [дг] = {х,у,9,Х1,Х2, Хз}, с лагранжианом Ь = Т (потенциальная энергия силы тяжести не изменяется, так как экипаж движется по

горизонтальной плоскости) наложены связи (1), которые в матричном виде можно записать следующим образом:

í X ^ (V1 ^ 0 1 а ^

XÍ2 _ ^ V2 ^ _ —1 0 р , а _Л-101, р _Л-1 (02 — А)

W \V3/ 0 —1 а

Обозначим через Fi, P2, F3 коэффициенты перед псевдоскоростями в сумме ^piQi с учетом (1) и (2): Z FaVa = {VxX + Pyy + Veв + Pix 1 + P2X2 + РзХз) | (1))(2) • Они имеют следующий вид:

F\ = R(Px cos в + Py sin в) - P2, F2 = R(-Px sin в + Py cos в) + Vi - Рз, Рз = Л-1ре + Pia + Р2Р + Рз°-

Здесь Pi — формальные канонические импульсы, т.е. переменные, в сочетании с qi позволяющие вычислять

(dF dG dF dG \

dqi d'Pi d'Pi dqij Уравнения движения могут быть записаны в виде

d dL*

dt dva

+ [Pa ,L*} Vß {Pa,Pß}*

1

Здесь Ь* = Т1^) (-2) = 2 г/Т-^-г/ — лагранжиан после подстановки связей, г/т = (щ, V2, г/3) — трехмерный вектор, матрица А = Е + Л2НТН. Заметим, что {Ра, Ь*} = 0; найдем далее {Ра, }:

P ,P2 } = 0, P ,Рз} _ {P2 ,P3} _

c)P\ dP3

~Wd^ = RA~1(-P^s'me + Pycose)'

dP2 dP3 n4_!

dQ dpe

RA 1 (—px cos Q — py sin Q).

dT

dT

Только вслед за этим подставим вместо рх, pv общеизвестные выражения рх = ——, pv = —— и учтем

dx ду

соотношения (1), (2):

p*x = Mx = MR(cos 6vl - sin 6v2), p*y = My = MR(sin 6vl +cos 6v2).

Получаем, что {Р1,Рз}у = MR2A-lV2, {P2, Рз}y = -MR2A-lVi. Тогда динамические уравнения принимают вид

d дТy MR2 d дТy MR2 d dTy

V2V3,

dt dv1 Л dt dv2

Раскрывая левые части уравнений, получаем

AV = Л-1а, v _ (vi, V2, V3)T,

(1 +Л2 0 —р\2

0 1 + 2Л2 0

Л

V1V3,

A

dt dv3

а = (V2V3, —V1V3, 0)T,

\ ( A1 0 —кА3 \ 0 А2 0

0.

(3)

\—рЛ2 0 1 + (2а2 + р2)Л2) V—КА3 0 A3 )

Система допускает интеграл энергии Tу = const и линейный интеграл

дТ* dv3

= const, а также ин-

dv1 Л dv2 Л dv3

вариантную меру ß = -¡—¡-. В пространстве псевдоскоростей г/i, г/2, г/3 траектории системы

\V31

лежат на сечении эллипсоида Ы^2иТАи = 2Н, являющемся уровнем интеграла энергии, плоскостью

дТ* dv3

_ MR2 (A3V3 — КА3 V1) _ MR2k.

Заметим, что при Л = 0 уравнения (3) суть уравнения плоскопараллельного движения свободного твердого тела.

Предположим, что р > 0 (центр масс расположен между осью параллельных колес 1, 3 и колесом 2). Зафиксируем некоторый уровень k линейного интеграла. Тогда проекции фазовых кривых на плоскость п = {v\ = 0} (рис. 2) описываются следующими дифференциальными уравнениями:

= («Лз + = J™-

В плоскости п траектории системы принадлежат эллипсам с центром на прямой V2 = 0, который соответствует равномерному вращению экипажа вокруг вертикальной оси, проходящей через центр масс. В окрестности центра эллипса располагается инвариантная область движений с периодическим поведением фазовых скоростей. Если со стороны корпуса на колеса действуют некоторые малые моменты (например, управляющие), то движение можно будет исследовать методом осреднения по Д. А. Аносову при наличии инвариантной меры.

Особая прямая V3 =0 соответствует равномерному прямолинейному движению экипажа (угол 9 во время движения постоянен, причем ось симметрии экипажа не обязана быть параллельна курсу). Определяя направление движения изображающей точки по фазовым траекториям, получим, что равномерные прямолинейные движения = const, V2 = const, V3 = 0 устойчивы при V2 < 0 и неустойчивы при V2 > 0. Физический смысл этого условия заключается в том, что прямолинейное движение устойчиво, если и только если центр масс во время движения находится позади оси параллельных колес.

Во-первых, отметим, что для другой модели экипажа с роликонесущими колесами, расположенными в вершинах правильного треугольника и ориентированными перпендикулярно биссектрисам соответствующих углов [4], свободное прямолинейное движение является глобально асимптотически устойчивым.

Во-вторых, полученное нами условие устойчивости V2 < 0 является прямо противоположным условию устойчивости свободного прямолинейного движения классической неголономной модели, известной как сани Чаплыгина (именно к ней в случае динамической симметрии и отсутствия управлений и трения сводится другая модель мобильного экипажа — двухколесник Е. А. Девянина [5]). Далее обсуждаются условия устойчивости прямолинейных движений некоторого семейства механических систем, в которое входят как рассматриваемый экипаж с роликонесущими колесами, так и сани Чаплыгина (при стремлении некоторого параметра к бесконечности).

Сравнение условий устойчивости прямолинейных движений исследуемой модели экипажа и двухколесника Е. А. Девянина. Модель двухколесника (саней Чаплыгина) может быть получена из описанной выше динамической системы, во-первых, наложением следующей связи: проекция скорости Vq£ точки Q на ось равна нулю (в терминах модели саней Чаплыгина это означает, что острое лезвие конька расположено в точке Q и направлено по оси Qn), а во-вторых, удалением из системы колеса 2. Указанная связь имеет вид Vq£ = V\ + ДЛ_1^з = 0.

Для того чтобы связать эти две системы и сравнить их поведение, рассмотрим некоторый класс систем: к исходной (роликонесущей) системе добавим вязкое трение, пропорциональное скорости Vq£ с коэффициентом с. Понятно, что при с = 0 получаем роликонесущую систему. При этом ожидается, что при с поведение системы близко к поведению саней Чаплыгина.

Этот класс систем описывается системой уравнений (3), в правую часть которой следует добавить

соответствующие вязкому трению обобщенные силы, которые могут быть получены в виде Qi = дФ/дщ,

С С 2

где Ф = ——(vq^)2 = — + АЛ_1г/з) — диссипативная функция Рэлея. Таким образом, уравнения

принимают вид

Aii>i - кАзV3 = Л-1V2V3 - c(vi + ДЛ-1^з),

A2V2 = -Л-1^3, (4)

-кА31>1 + A3V3 = -сДЛ-1(и1 + ДЛ-1^3).

При любом значении с система допускает прямолинейные стационарные движения V1 =0, V2 = v, V3 =0 (условия устойчивости которых как раз и различаются в рассматриваемых двух системах). Линеаризованные уравнения (4) в окрестности указанного стационарного движения V1 = 0 + 5щ, V2 =

v + 5v2, V3 = 0 + 5v3 имеют вид A5v = B5v, где

( -с 0 v - сДЛ-1\

B

0

0

0

\-сДЛ-1 0 -сД2Л-2 J

Собственные числа / линеаризованной системы уравнений являются решениями кубического уравнения

/ ([АхАз — к2А2]/л2 + [с(Д2Л-2Ах + Аз + 2ДЛ-1кАз) - кЛ3у]р + сДЛ-^) = 0.

Заметим сначала, что коэффициент А1А3 — к2А| > 0 как диагональный минор положительно определенной матрицы А кинетической энергии. Для роликонесущего экипажа (с = 0) получаем два нулевых собственных числа (соответствующие двумерному многообразию положений равновесия из = 0). Условие устойчивости имеет вид — кАзV > 0, т.е. устойчивы движения ^2 = V < 0. Для произвольного с > 0 получаем следующие условия устойчивости:

v < с

A2A~2Ai + + 2ЛЛ~1кЛ3 кАя

cДЛ-1v > 0.

(5)

Таким образом, при добавлении даже малого трения все движения ^2 = V < 0 теряют устойчивость: один из двух нулевых корней характеристического уравнения становится малым положительным. Быстрые неустойчивые движения ^2 = V > 0 остаются неустойчивыми, однако медленные (с небольшой по модулю скоростью V) становятся устойчивыми при выполнении первого из неравенств (5). При с условия (5)

превращаются в указанное выше условие устойчивости саней Чаплыгина V > 0.

Устойчивость стационарных движений при постоянных управлениях. Рассмотрим теперь управляемое движение экипажа. Пусть к осям колес со стороны корпуса приложены управляющие моменты Ыг = ЬЦг — с%г, где Ц — управляющие напряжения. Такое описание приводов с двигателями постоянного тока является общепринятым при рассмотрении динамики управляемых экипажей. Тогда

^ принимают вид

c

уравнения движения в новом времени т

Av = Л 1a + u -

MR2

uT = (U1,U2,U3) = MR2bc-1(Ü1 ,U2, U3)i

(6)

Исследуем стационарные движения этой системы (v1(t) = p = const, V2(t) = r = const, V3(t) = Ли = const) при постоянных управлениях.

Наиболее важными режимами движения являются прямолинейные равномерные движения экипажа. Такие движения возможны при выполнении условия U3 = —рщ на управляющие параметры. Оказывается, в этом случае помимо прямолинейных движений p = U1, r = U2/2, и = 0 существуют еще и вращательные стационарные движения — на опорной плоскости центр масс движется по окружности, при этом экипаж равномерно вращается вокруг центра масс: Л(р2 +2а2)и2 +р^и + (4Ла2 —U2р) =0, p = U1 +Лр-1(р2+2а2)и, r = 2Лр-1а2.

Прямолинейные движения асимптотически устойчивы при 4Ла2 — pU2 > 0. Это условие означает, что величина проекции скорости центра масс на ось Qn не превосходит некоторого положительного значения V2 = r = U2/2 < 2Ла2/р.

Исследуем вращательные стационарные движения. На бифуркационной диаграмме (U2,и) (рис. 3, знаком " +" отмечены асимптотически устойчивые движения, знаком " —" — неустойчивые) это семейство представляется параболой, ветви которой

pU1

направлены вправо, с вершиной в точке со о

ill'

+ + + + ----+ + í*-**^

м0 +V Í4 -V- "2

4Ла2

2

рщ

2(р2 + 2а2)' -. Характеристическое уравнение

(г'2)° - р 2Л(р2 + 2а2)' линеаризованных в окрестности этих стационарных движений динамических уравнений (6) имеет вид

Рис. 3

M3P3 + M2р2 + M1P + Mo = 0, M3 > 0, M1 > 0, Mo = 2(р2 + 2а2)и2 + рЛ-1 щи.

M2 > 0,

T

Это означает, что при и = 0 и при и = ио происходит смена знака действительного корня характеристического уравнения, а следовательно, и характера устойчивости. Анализ выражения К = М1М2 — М0М3 показывает, что существуют такие значения инерционных и геометрических параметров, при которых К < 0 в некоторой области (—ж,и-) и (и+, а в дополнении указанной области К > 0 (при этом

(и-, и+) Э (ио, 0)).

Рассмотрим подробнее характер бифуркации в точках и = ш± при из = —рп\ = 0. Критические точки и± в этом случае являются решениями уравнения

К = f (Х,р,а) и± + д(Х,р,а). (7)

Это уравнение имеет решение при тех значениях массово-инерционных

0,10

характеристик (Х,р,а), для которых f (Х,р,а) < 0 (функция f полином третьей степени от Х2). Анализ этой функции показывает, что максимальный безразмерный момент инерции колеса, при котором существуют решения уравнения (7), меньше 0,15.

Для того чтобы выяснить характер бифуркации при и = и±, необходимо изучить нелинейные уравнения возмущенного движе- , i, ; ; ния. Анализ выражения для первого ляпуновского коэффициента Li [6] дает следующий результат: во-первых, его знак не зависит от величины параметра Л, а во-вторых, этот коэффициент больше нуля во всей области f (Х, р, а) < 0.

Итак, при U3 = —pui =0 в пространстве параметров (Х, р, а) ^

можно построить две области, в которых поведение системы имеет качественные различия. На рис. 4 изображен характерный вид сечения пространства параметров плоскостью а/р = const (r = ■\/<т2 + р2 ). В области I вращательные стационарные движения всегда устойчивы (не существует критических значений и±), в области II к вращательным стационарным движениям при увеличении U2 стягиваются неустойчивые предельные циклы.

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ № 07-01-00290, 06-08-01574 и программы "Университеты России".

[

р ь»

• ш

Рис. 4

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. http://kornylak.com/wheels/omniwheel.html.

2. Татаринов Я.В. Уравнения классической механики в новой форме // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2003. № 3. 67-76.

3. Татаринов Я.В. Уравнения классической механики в лаконичных формах. М.: Изд-во Центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2005.

4. Мартыненко Ю.Г., Формальский А.М. О движении мобильного робота с роликонесущими колесами // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2007. № 6. 142-149.

5. Девянин Е.А., Буданов В.М. О движении колесных роботов // Прикл. матем. и механ. 2003. 26, вып. 2. 244-255.

6. Баутин Н.Н. Поведение динамических систем вблизи области устойчивости. М.: Наука, 1984.

Поступила в редакцию 28.03.2008