Новые гиперболические модели многокомпонентных гетерогенных сред Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.529.5

НОВЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕД

B.C. Суров, И.В. Березанский

Разработка математически корректных и физически непротиворечивых моделей много-фазных сред является актуальной задачей, поскольку не все существующие к настоящему времени модели гетерогенных сред являются таковыми. В данной работе для многокомпонентной среды предлагаются две новые модели - в одно- и многоскоростном приближениях. Модели основаны на законах сохранения. Учитываются вязкие и теплопроводящие свойства смеси. Для приведенных моделей строятся автомодельные решения типа бегущей волны. На примере бинарной смеси расчеты, произведенные в одно- и многоскоростном приближениях. Показывается, что при использовании релаксационных законов для диссипативных процессов системы уравнений относятся к гиперболическому типу.

Ключевые слова: многокомпонентные вязкие теплопроводны,е смеси, одно- и многоскоростные среды, гиперболические системы уравнений в частных производных, автомодельные решения.

Введение

Одттоскоростттые модели многокомпонентной среды используются при моделировании волновых процессов во вспененных жидкостях и полимерах [1], в пузырьковых жидкостях [2], для локализации контактных поверхностей в мттогожидкостпой гидродинамике [3]. Включение в уравнения смеси сил вязкого трения и теплопроводности расширяет сферу приложения модели и дает возможность проводить расчеты течений, например, углеводородных смесей, биологических жидкостей и т.д. В литературе, помрімо использованной в настоящей работе модели одпоскоростпой смеси РІЗ [4], рімєтотся РІ другріе Гріперболріческріе модєлрі, опрісьіватощріе течетшя бріпарпьіх смесей (см. [5-7]), которые, в отлрічріє от [4], не распространяются па случай с прорізвольтіьім чріслом фракцрій в смєсрі.

Еслрі пррі рассмотретіРіРі явлетшя распростратіепрія тепла в одпоскоростпых гетерогенных средах воспользоваться законом Фурье, то тепловые волны будут перемещаться с бескопеч-НЫМР1 скоростямрі. Еслрі же вместо закона Фурье прріметшть закон Максвелла - Каттапео [8-9], учрітьіватощрій релаксацрпо теплового потока, то двріжєпріє волн прорісходріт с копеч-НЫМР1 скоростямрі, что в свою очередь связано с прршадлежпостыо срістємьі уравпепрій к Гріперболріческому ТРІПу [10].

ВключетіРіе сріл вязкого третіРія в уравпепрія модєлрі одпоскоростпой многокомпонентной среды різ [4] также прріводріт к появлетшто волн с бесконечно больптрімрі скоростямрі распро-страпепрія. В настоящей работе представлена модель среды, свободная от этого парадокса, в которой по апалогрірі с подходом Максвелла - Каттапео в теплопередаче также учтена релаксацрія вязкріх папряжетшй.

Вязкріє папряжепрія вводятся в уравпетшя модєлрі одпоскоростпой многокомпонентной среды різ [4] па уровне смєсрі в целом, которые по вріду совпадают с газодріпамріческрімрі. В газовой дрітіамріке іттріроко ріспользуется упрощенная формула для расчета вязкріх папряжетшй [11], которая для одномерных течетшй рімєєт ВРІД

ди

° = 'ЧГх' (1)

где ^ - коэффициент вязкости. Но применение этого соотношения приводит к потере гиперболичности исходной системы уравнений. Чтобы остаться в рамках гиперболической системы, вместо выражения (1) предлагается использовать соотношение

( да да \ ди

т’{т + идь) +а = (2)

Подобный прием впервые использовался в теплопередаче для исключения парадокса, связанного с бесконечной скоростью распространения тепловых волн. С точки зрения физики это означает, что силы вязкости начинают действовать не мгновенно, а в прошествии времени релаксации та.

Отметим также, что уравнение (2) есть упрощенный вариант реологического выражения для жидкости Максвелла [12]. С этой точки зрения смесь в целом может рассматриваться как вязкоупругая среда. Для вязкоупругих жидкостей время релаксации может быть найдено из соотношения та = ^/в, где в - модуль упругости смеси.

При рассмотрении мпогоскоростпых сред в работе использовалась модель гетерогенной среды из [13], основанная па законах сохранения. Особенность этой модели состоит в том, что в пей вводится такое состояние среды как смесь в целом, характеризуемая осредпетт-ттыми значениями скорости, плотности и т.д., уравнения для которых по виду совпадают с газодинамическими. К этим уравнениям добавляются соотношения, выражающие законы сохранения для отдельных компонентов смеси. Давление полагалось общим для всех фракций смеси.

В настоящей работе использована модификация модели из [13] , учитывающая вязкие и теплопроводящие свойства смеси.

1. Гиперболическая модель односкоростной вязкой теплопроводной среды

Рассмотрим п-компопептпуто смесь с первыми тп сжимаемыми фракциями [4], в уравнения которой включены эффекты вязкости и теплопроводности

др / ч

— + ё1у(р и) = 0, р

(д W

д_

д

ди

- + (и У)и

+ V (р - а) = Е,

+ ё1у

р[£ + 1 |и|2 + ) и + W

да

Е • и,

т^-д^ + (и • ф + X VT + W = 0, т^ — + (и ^)а) - ц ё1у (и) + а = 0;

да ■ 'П .

* * +ё1у {агр°°и) =^2 5гк3гк, к=1

дг

(де* \ а*р

д: + (и • Юе<) + —

$гк3гк — ( —-Рт + (и ' V)P:

к=1

/1 \ П ^ ' $гк Qik ( 2 1 и 1 ) ^ ' ^гк 3гк, * — 1,..., Ш 1

к=1 ' ' к=1

(3)

к=

да л. / ч 1 ^ г т

+ а1у (а^ и) = -^2^ °гк ^к, 3 = т + 1,...

Р'

дг

.

з к=1

Поведение сжимаемых фракций описывается калорическими уравнениями состояния £г = £г(р,р°), поэтому выражение для удельной внутренней энергии смеси, учитывая равенства ^г=1 аг = 1, р = ^Т=1 Рг^ может быть записано как

Л

£ — £ (р, р, аl,рl,..., ат— 1, рт-1,> ат+1,1 . . ., ап).

Среднюю температуру определим в соответствии с формулой

п

Т = Е агТг,

г=1

(4)

(5)

где Т* - локальная температура г-й фракции, которая находится из термического уравнения состояния Т* = Т*(р,р0). Формулу (5) перепишем так

Т — Т (р, р, а1, рl, . . . , аm—1, рm—l, аm+1, ... , ап).

(6)

Можно показать, что система уравнений (3) при отсутствии массовых сил, фазовых и химических превращений для одномерных плоских течений приводится к виду

дШ

~д!

+ и

др др ди ди ди 1 др 1 да

ттг +и ^ + ртг~ = ° ттт +ид I д тт~ = 0,

д Ь д х д х д Ь д х рд х рд х

др др 2 ди ТТдШ

~я7 + ия—+ рс я—+ Н^— = 0,

д Ь д х дх д х

дШ . , др др т-1 {1 даг др0\ . ^ , да

дх

+дх+кр дх + £

к“- дХ + кр0 дх

др0 др

р дх

г=1

да да ц ди а

д Ь + идх та дх + та ди „ даг даг „ „ди

+ Е к

3=т+1

д Ь

+ и^~ + р0Сг^~ = 0 + и а

д х д х д Ь д х

дадади

+ аг(1 — Сг)—— = 0 г = 1,..., ш — 1; дх

—— + и—------------------------------1 а* — =0, 1 = т, +1,...,п,

дх

дЬ

дх

(Т)

ГД6

к = к = к =

кР — О , кр — О , каг — О :

тщ др тщ др тщ да1

к = р0 тщ др1

кап —

X дТ тщ дап

Соответствующие выражения для Н, Сг и адиабатической скорости звука с имеют вид

Н =1

р

д£+т-1 д£±( д£±

др 4-^ др I др0

г=1 4 1 г

1

аг д£ д£

р0 даг с)р\

1

С- = 1 Сг = 0 рг0

д£.

др

1

р°г

рс

>д£г

др

т- 1

£=£. _ р ^ _ V р р др ^

г=1

р дг

Щ

(д|) + агш-г (1 -р ((р0)2 д|) )

3=т+1

\

т- 1

дг | ^ дг1

г=1

др \др\

дг

дг _|_ V' дг1 I дг± \ I а± дг дг

др + 2^ др \ др0 I \ р0 да1 др0

-1

а дг

дг

др0

Систему уравнений (7) перепишем в векторной форме

(8)

ГД6

р

с

р

и = (р, и, Р, Я р1 al, ■ Р0 т -1, ат— 1, ат+1, ■ ■ ■ , ап: ж)т,

в = (0, - 0, 0, Я / Та, ■ ■ ■ , 0, —Ж/тш)т,

и Р О 0 0 0 0 0 0 ■ 0 0

О и 1/Р -1/Р 0 0 0 0 0 ■ 0 0

О 2 С и 0 0 0 0 0 0 ■ 0 н

О -^/Та 0 и 0 0 0 0 0 ■ 0 0

О Р?^1 0 0 и 0 0 0 0 ■ 0 0

О «1(1 — €1) 0 0 0 0 0 0 0 ■ 0 0

О Гр рт—1€т— 1 0 0 0 и ■ 0 0 0 ■ 0 0

О ат—1(1 €т— 1) 0 0 0 0 и 0 0 ■ 0 0

О ат+1 0 0 0 0 0 и 0 ■ 0 0

О ап 0 0 и 0 0 0 0 и 0

\кр О кр 0 кр1 ка1 ■ ■ ■ кР°га-1 кат-1 кат+1 кап и

Здесь Т - оператор транспонирования. Характеристическое уравнение системы (7) имеет

[С - {и — С1>] [£ - ('и — С2>] (С - и)п+т-2 [{ - {и + С2>] [С - (и + С1>] = О, (9)

где С = Лх/йЬ. Значения скоростей С1 и С2 рассчитываются по формулам

С1 = У1 {с2 + ш2+кpH + 2} ,

с2 = ,

Корпи характеристического уравнения (9) - действительные числа. Кроме того, матрицу А можно представить в виде

А = П—1ЛП, (10)

поэтому система (7) гиперболическая. Отметим, что система (7) к дивергентному виду тте приводится.

Для бинарной смеси идеального газа с несжимаемой второй составляющей газодинамическая часть системы уравнений (7) имеет вид

др др ди ди ди 1 д (р — а)

~я7 + иТ)--+ р^~ — 0 ~яГ + и^~ + я------------— 0

д Ь д х д х д Ь д х р д х

д. + »£++ цд~=0, (п)

д дх„ дх „дх

да да , .ди

дь + идх — (1 — а) дХ — 0

где с у Н = м а - объемная доля газа я смеси. Выражение для закона Фурье

с тепловой релаксацией, учитывая соотношение Т — Т(р,р,а), перепишем как

дШ дШ др др да Ш „

о , + и^-----+ кр——+ —+ ка^------1--= ° (12)

д Ь дх дх дх дх тщ

к = к = к =

кр — 0 , кр — о , ка — 0 •

тщ др тщ др тщ да

Систему (2), (11) и (12) представ»™ в векторной форме (8), в которой

и

р и

Р а

а

\ Ш )

А —

и р 0 0 0 0

0 и 1/р —1/р 0 0

0 р02 и 0 0 Н

0 —рш2 0 и 0 0

0 а — 1 0 0 и 0

V кр 0 кр 0 ка и )

0 0 0

—а/та 0

V —Ш/тщ )

(13)

Матрица А имеет шесть действительных собственных значений: и ± в\, и, и, и ± 02-

ГД6

С1 — ^ 1 | с2 + ш2 + крН + у'С4 + Н кр [2(с2 + ш2) + крН] +4 — р(1 — а)^ |

С2 — ^/2 ^ с2 + ш2 + крН — \! с4 + Н кр [2(с2 + ш2) + крН] +4 (кр — р(1 — а)

(14)

Отметим, что 01 определяет скорость распространения газодинамических возмущений, а 02 - тепловых. Соответствующие матрицы О и Л в представлении (10) имеют вид

О —

( —!кЕ С1 р с2 с1 , Н

кр С1 р с2 с1 \Н — кр

кр С2 р с2 с2 , Н — кр

кр С2 р с2 с2 ,Н кр

„2

С1

н

Л

С2

н

1 С± - к

сх I Н кР

_± (с1 _ к

сх у Н кР

с2 [тН — кр

—с2 (Н— кр

___ка

С1

ка

С1

ка

С2

ка

С2

1 0 0 0 Р_ а—

0 0 0 1 рш2 а— 1

и 01 0 0 0 0 0

0 и + 01 0 0 0 0

0 0 и 02 0 0 0

0 0 0 и + 02 0 0

0 0 0 0 и 0

\ 0 0 0 0 0 и

1 1 1 1 0 0

(15)

Подробнее рассмотрим пузырьковую жидкость. Без потери точности можно считать, что температура несжимаемой фракции постоянна, т.е. T2 = const, поскольку ее доля в смеси значительна. Это предположение снимается при учете сжимаемости жидкости. Выражение для средней температуры (о) дает

Т =

2

ар

[р — р2(1 — а)] R

+(1 — а)То,

(16)

где То - начальная температура среды, К - газовая постоянная. С использованием (16) коэффициенты кр, кр и ка, которые входят в соотношения (14), принимают вид:

2

k =_____________а2хр__________

tw [р — р2(1 — а)]2R,

к = а2х

p TW[р — р2(1 — а)] R,

(17)

ка —

х / ар(2р + ар2)

TW \ [р — р2(1 — а)]^ R

-T0

В частности, для водпо-воздуптной смеси при нормальных условиях и объемной доле газовой составляющей а = 0,1 (р*2=1000 кг/м3), значения скоростей в\, С2 и с равны 39,38, 2,06 и 39,44 м/с соответственно. В расчетах коэффициент теплопроводности смеси определялся из выражения

X —1 (р 1Х1 + р 2 Х2) р

где Х1 =2, 58 х 10 кг-м/(с3 К) - для воздуха, Х2 = 60, 2 х 10 кг-м /(с3 К) - для воды, а коэффициент тщ =10 с [14]. Вязкость смеси полагалась равной вяз кости жидкости л = 10_3 кг/(м с), та= 0,1 с. Значения определяющих параметров гетерогенной смеси, в отличие от «чистых> газов, существенно зависят от коэффициента тепловой релаксации тщ и в меньшей степени ОТ л и та.

2. Модель многоскоростной вязкой теплопроводной среды

а

ставлятощей уравнения мпогоскоростпой модели из [13], в которой дополнительно учтены вязкостные и теплопроводящие свойства смеси, принимают вид

др др ди „ ди ди 1 д (р — а)

~я7 + иТ)-+ р^~ = 0 ~яГ + ия--+ я---= 0

д t д x д x д t дх р д x

др др 2 ди ттдШ (да да\ ди

ттг + и— + ре— + н—— = 0, та — + и— +а = ц—

д t д x дх д x \ot дх ) дх

дШ дШ др др да W

~яТ + и^-----+ кР я-+ кР7,-+ ка я---------+ = 0

д t дх дх дх дх TW

да да ,диБп диБ ди3 : 1 др „да

ГД6

ттт + us—---(1 — а) —— — 0, ———+ и.

д t

'д x

дх

д t

(18)

Н (Р — а) ар

к = ХдТ

кР — О , tw др

н

Y — 1

а

к =

кР — о ,

tw др

G =

р

(1 — а) рй

к = ХдТ

ка — м •

tw да

с

Характеристическое уравнение системы (18) определяется різ соотношения

{—и —Р 0 0 0 0 0

0 {—и — 1/Р 1/Р 0 0 0

0 —рс2 {—и 0 —Н 0 0

0 М/Та 0 {—и 0 0 0

—кр 0 кр 0 {—и ка 0

0 0 0 0 0 { — из 1 — а

0 0 — 1/Рз 0 0 О { — из

или, раскрывая определитель, получим

А({) — [({—ив)2 — (1 — а)О] ({—и)5+

+ |(1 — акаН — [({—и)2 — (1 — а)О] (с2 + крН + ^ ({—и)3+

+ {Н [({—и8)2 — (1 — а)О] (— к^ — м(1 —Фа") ({—и) — 0.

(19)

рвр

Выписать аналитические выражения для всех корней уравнения (19) не удается. Однако, если в выражении (19) положить ка = 0, то оно преобразуется к виду

Аі({) — ({—и) [({—ив)2 — (1 — а)О] х

^к

корни которого

ГД6

С1

({—и)4 — (с2 + крН+£ \ ({—и)2 — (кр — Н

и, и і Сі, и і С2, ив і Сз,

{ С2 + ш2 + крН + \1 с4 + Н (кр [2(с2 + ш2) + крН] + 4^^,

(20)

х

Отметим, что для газожидкостных систем условие ка — 0 практически не меняет вид характеристического полинома, что видно из рис. 1, где приведены зависимости А({) и Аі({) для водно-воздушной смеси с параметрами: а — 0, 9 То — 293 К, р0 — 1,19 кг/м3, 7 —1,4. рв —1000 кг/м3, % — 2, 58 х 10_2 кг-м /(с3 К), %в — 60, 2 х 10_2 кг-м/(с3 К), тщ — 10_2 с, М = 0,01 кг/(м с), та—0,1 с. С точностью до графического представления полиномы (19) и (20) совпадают. Для других многокомпонентных систем условие ка — 0 может оказаться неприемлемым, в этом случае корпи характеристического уравнения необходимо определять численно из (19).

3. Автомодельные решения

Решение системы (7) будем искать в виде р = р(£), и = и(£), р = р(£), а = а(£). Ш = IV(£), р0 = р0(£), аг = аг(£), а^ = а^(£), где £ = х — БЬ. При учете соотношений

д = Ад£ = _д = = А

дЬ дЬ , дх дх ,

К К

Рис. 1. Зависимости и А^£) (кривые 1 и 2) для водно-воздушной смеси

система (7) приводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений:

, ^,йр йи , ^,йи 1 йр 1 йа , ^йр 2 йи

(и — О)-| + р— = 0, (и — £)- + --£ —- — = 0, (и — О)^ + ре2— + Я— = 0,

. (1р йр т—1 Л йаг , йрг \ ^ йан Г

(п — О) юг + кр £ + к> йр + § (*«+ кр0 $) + н £+1 ^ ^ ™ =0'

, ^,йа и йи а п йр0 0 ^ йи

(п — Й) — ТГ П + ТГ = 0 (и — О) й[ + р?Й = 0'

йаг йи

(и — О)_й^ + аг(1 — ^г) = 0 г = 1,...,т — 1;

, _ йан йи

(и — О)^с~ + аэ^с = 0 ] = т +1,...,п.

В частности, для бинарной смеси идеального газа с несжимаемой второй составляющей соответствующая система уравнений запишется как

йр йи йи 1 йр 1 йа

(п—в)тр + рц = 0 (п—В)Ж+}£ - рщ = 0

„.ф 2 йи „йГг „

(п—О) й+ре2 +Яж

йШ йр йр йа Ш

(и — О)—— + к^— + кр~Т7. + ка~гр + = 0,

^,йа и йи а . _ йа . йи

(и — О)«-и* + тг = 0 (и-О)о?— (1—а)01 = 0-

Систему (22) перепишем в удобном для интегрирования виде

(22)

р/р0, и, Мс

W/|W0|

а

Рис. 2. Зависимости р(£)/ро (кривая 1), а(^)/а0 (2), и(^), а(£), Ш(£)/|ЭДо| для водно-воздутттной смеси (односкоростная модель)

йШ

й"

1

Ф

йр

йи

— = Ф

Ф

Ш

Я

йр йа йа

Тр = АФ• к = ЕФ + * * = ВФ'

ЕШ\ _(2 ЯШ\

кр А +ка В — т^)-р(и - О){е2 — Т^)_

TW

Ш

ре I----------+ крТ I — (и — О) < — [р(и — О) — Е] + Т (крА + каВ)

Tw

(23)

ГД6

А=

р

в =

1а

Е =

и

а

и — О’ и — О’ тГ (и — О)’ тГ (и — О)’

Ф = (и — О) {р [(и — О)2 — с2] — ркЛЯ — иЩ + Я (крА + каВ),

(и — ву—ЩкР + ТАЛ

В качестве примера рассмотрена задача о движении волны по неподвижной однородной газожидкостной смеси с параметрами: ао = 0,9, То = 293 К, р°о = 1,19 кг/м3, 7 = 1,4, р8 = 1000 кг/м3, х = 2, 58 х 10-2 кг-м/(с3 К), Хэ = 60, 2 х 10-2 кг м/(с3 К), тw = 10^ с, и =

0,01 кг/(м с), тГ = 0,1 с. Скорость перемещения волны полагалась равной Б = — 39,112 м/с.

Отметим, что из-за особенностей в системе (23) найти распределение параметров во всем фронте волны не удается. С использованием численного метода Руттге - Кутта решалась задача Коши на отрезке от = 0,005 до ближайшей особой точки. На рис. 2 приведены результаты вычислений для варианта: р (£_) = 0,1 МП а, и (£_) = 0, И^(£_) = —103 Дж/(м2 с), а(_ = 104 Па.

При рассмотрении мпогоскоростпой модели, учитывая соотношения (18), система (17) приводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений:

^,'р 'и , _ 'и 1 'р , ^'р 2 йи

(и — О)тР+РТ( =0- (и — О)п + р| = 0 (и—в)і + + нт = °-

. 'р . 'р . 'а Т .

(и — О) т+кр щ +кр щ+ка ж + тщ = 0, (24)

(п. — °) '£ — (1 — а) 'и = 0, (и, — О)!П + і % — с* = 5.

Перепишем (24) в удобном для интегрирования виде

| = * I = ^ I = л« + "

! = Кф + Ь 1 = рф + я (25) п = Ф

,

ГД6

и — О’ и, — О То- (и — О)’ То- (и — О):

м = К — р(и — О), р = — м (и — О)+рс2, я = — Ь (и - О),

нн

X = (и — О)Р + каА + крМ, У = —крЬ — (и — О)Я — Т/тщ. ф = Р,У (и, — О — ВС) + каВ(Ь — р,5) ф = _ МУ + X (Ь — р,5)

р,Х (и, — О — ВС) — каВМ ’ р,Х (и, — О — ВС) — каВМ'

Как и в предыдущей задаче решалась задача Коши на отрезке от £_ = - 0,005. На рис. 3 представлены результаты интегрирования системы (25) для вариантов с коэффициентом ка, равным нулю и рассчитанным по формуле (17). Исходные данные для задачи следующие: О = —39,178 м/с, р (£_) = 0,1 МП а, и (_ = 0, и,({_) = 0, Ш(_ = —103 дж/(м2 с), &(£_) = 104 Па, 5 = 0. Параметры водно-воздушной смеси те же, что и в первом примере.

Полученные решения автомодельных задач могут быть использованы при тестировании численных методов, разрабатываемых для интегрирования общих уравнений моделей (3) и (18).

Заключение

Представлены модифицированные модели одно- и многоскоростной многокомпонентной среды, учитывающие вязкостные и теплопроводящие свойства смеси. Показано, что при использовании релаксационных законов для диссипативных процессов системы уравнений относятся к гиперболическому типу. Для рассматриваемых моделей среды исследованы автомодельные решения типа бегущих воли, которые в дальнейшем могут быть использованы при конструировании решателей задачи Риматта, используемых в численных схемах годуповского типа.

p/p0, а/а0 u,u, м/с

р/р0 W/IWJ

Рис. 3. Зависимости p(£)/p0 (кривая 1), а(£)/а0 (2), и(£) (3), us(£) Ц), р(С)/р0-

W(£)/\W0\ для водно-воздушной смеси (многоскоростная модель). ка из (17) - сплошные кривые;ка = 0 - кружочки

Обозначения

с - скорость звука в смеси; c*i, 7^ p*i - константы уравнения состояния; D - скорость перемещения волны; гп - число сжимаемых фракций в смеси; п - общее количество фракций; р - давление; и - вектор скорости; F - плотность массовой силы; Jij - интенсивность превращения массы из г-й фракции в j-ю на единицу объема смеси; Qij - тепловыделе-ттие в единицу времен»! па единицу объема смеси вследствие превращения г-й фракции в j-ю; T и W - осредненные температура и вектор плотности те илового потока; ai - объемная доля г-й фракции в смеси; 5j - символ Кронекера; £ - автомодельная переменная; р - плотность смеси; р0- истинная плотность г-й фракцпп; ps- плотность несжимаемой фракции; pi= aip0 - приведенная плотность г-й фракции; £i - удельная внутренняя энергия г-го компонента; а - вязкое напряжение; ц - коэффициент вязкости; у - коэффициент теплопроводности смеси; tw и та - времена тепловой релаксации смеси и релаксации вязких напряжений. Индексы: О-в певозмущеппой среде; г - для сжимаемых фракций; j - для несжимаемых.

Литература

1. Суров, B.C. Об отражении воздушной ударной волны от слоя пены / B.C. Суров // Теплофизика высоких температур. - 2000. - Т. 38, № 1. - С. 101-110.

2. Суров, B.C. К расчету удартго-волтговых процессов в пузырьковых жидкостях / B.C. Су-

ров /'/ Жури. техн. физики. - 1998. - Т. 68, № 11. - С. 12-19.

3. Суров, B.C. О локализации контактных поверхностей в мттогожидкостпой гидродинамике ./' B.C. Суров /'/ Иттжеперпо-физ. жури. - 2010. - Т. 83, № 3. - С. 518-527.

4. Суров, B.C. Одпоскоростпая модель гетерогенной среды с гиперболичным адиабатическим ядром / B.C. Суров /7 Журнал вычисл. математики и мат. физики. - 2008. - Т. 48, № 6. - С. 1111-1125.

5. Wackers, ,J. A fully conservative model for compressible two-fluid flow / J. Wackers, B. Koren // ,J. Numer. Metli. Fluids. - 2005. - Vol. 47. - P. 1337- 343.

6. Murrone, A. A five equation reduced model for compressible two phase flow problems /

A. Murrone, H. Guillard // ,J. Comput. Phvs. - 2005. - V. 202. - P. 664-698.

7. Kreeft, J.J. A new formulation of Kapila’s five-equation model for compressible two-fluid flow, and its numerical treatment / J.J. Kreeft, B. Koren /'/ J. Comput. Phys. - 2010. -V. 229. - P. 6220-6242.

8. Catt.aneo, C. Sur line forme de l’equation de la chaleur elinant le paradoxe d’une propagation instantance ./' C. Catt.aneo // CR. Acad. Sci. - 1958. - V. 247. - P. 431-432.

9. Dai, W. A mathematical model for skin burn injury induced by radiation heating / W. Dai,

H. Wang, P.M. Jordan j j Int. J. Heat and Mass Transfer. - 2008. - V. 51. - P. 5497-5510.

10. Суров, B.C. Гиперболическая модель односкоростной многокомпонентной теплопроводной среды / B.C. Суров // Теплофизика высоких температур. - 2009. - Т. 47, № 6. -

С. 905- 913.

11. Самарский, А.А. Разностные методы решения задач газовой динамики / А.А. Самарский, К).П. Попов. - М.: Наука, 1980.

12. Лодж, А.С. Эластичные жидкости / А.С. Лодж. - М.: Наука, 1969.

13. Суров, B.C. Гиперболическая модель многоскоростной гетерогенной среды / B.C. Суров II Иттжеперпо-физ. жури. - 2012. - Т. 85, № 3. - С. 495-502.

14. Kaminski, W. Hyperbolic heat conduction equation for materials with a non-homogeneous inner structure / W. Kaminski, /'/ Trans, of the ASME. J. of Heat Transfer. - 1990. - V. 112. - P. 555.

Виктор Сергеевич Суров, доктор физико-математических паук, профессор, кафедра «Вычислительная механика сплошных сред>, Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск, Российская Федерация), svs@csu.ru.

Иван Владимирович Березанский, аспирант, кафедра «Вычислительная механика сплошных сред>, Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск, Российская Федерация), mynaineivanych@gmail.com.

Bulletin of the South Ural State University. Series «Mathematical Modelling, Programming 8z Computer Software:»,

2013, vol. 6, no. 1, pp. 72-84.

MSC 35Q35

The New Hyperbolic Models of Heterogeneous Environments

V.S. Surov, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, svs@csu.ru,

I. V. Berezansky, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, inynameivanych@gmail .com

Invention mathematically and physically correct models multiphase environment is an important problem, since many of the available models of heterogeneous environment are not such. In this paper, for multi-component environment offers two new models - single- and multi-velocity approximations. The models are based on the laws of conservation. Viscous and heat-conducting properties of the mixture are considered. For the described models is constructed automodels solution kind of traveling wave. On the example of a binary mixture have done of calculations for single- and multi-velocity approximations. It is shown that, if the use of the relaxation of the laws for the dissipative processes then the system of equations are hyperbolic.

Keywords: w/ulticomponent viscous heat-conducting mixture, singlevelocity and multivelocity multicomponent medium, hyperbolic systems of partial, differential equations, automodel solutions.

References

1. Surov V.S. Reflection of the Air Shock Wave from the Foam Layer. High Temperature, 2000, vol. 38, no. 1, pp. 101-110.

2. Surov V.S. Calculation of Shock Wave Propagation in Bubbly Liquids. Technical Physics. The Russian ,1. of Applied Physics, 1998, vol. 68, no. 11, pp. 12-19.

3. Surov V.S. Localization of Contact Surfaces in Multifluid Hydrodynamics. ,/. of Engineering Physics and Thermophysics, 2010, vol. 83, no. 3, pp. 518-527.

4. Surov V.S. Single Velocity Model of Heterogeneous Media with Hyperbolic Adiabatic Core. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2008, vol. 48, no. 6, pp. 1111-1125.

5. Wackers J.A., Koren B. Fully Conservative Model for Compressible Two-Fluid Flow. ,/. Numer. Meth. Fluids, 2005, vol. 47, pp. 1337-1343.

6. Murrone A.A., Guillard H. Five Equation Reduced Model for Compressible Two Phase Flow Problems. ,/. Comput. Phys., 2005, vol. 202, pp. 664 - 698.

7. Kreeft. J.J., Koren B.A. New Formulation of Kapila’s Five-Equation Model for Compressible Two-Fluid Flow, and its Numerical Treatment. ,/. Comput. Phys, 2010, vol. 229, pp. 6220-6242.

8. Cattaneo C. Sur line forme de requation de la chaleur elinant le paradoxe d’une propagation instantance. СВ.. Acad. Sci., 1958, vol. 247, pp. 431-432.

9. Dai W., Wang H., Jordan P.M. A Mathematical Model for Skin Burn Injury Induced by Radiation Heating. Int. ,/. Heat and Mass Transfer, 2008, vol. 51, pp. 5497-5510.

10. Surov, V.S. Hyperbolic Model Single-Velocity Multi-Component Heat Conductive Medium. High Temperature, 2009, vol. 47, no. 6, pp. 905 - 913.

11. Samarskiy A.A., Popov L'.P. Difference Methods for Solving Problems of Gas Dynamics. Moscow, Nauka, 1980. (in Rusian)

12. Lodge A.S. Elastic Fluids. Moscow, Nauka, 1969.(in Rusian)

13. Surov V.S. Hyperbolic Model Single Velocity Heterogeneous Environment. ,/. of Engineering Physics and Thermophysics, 2012, vol. 85, no. 3, pp. 495-502.

14. Kaminski W. Hyperbolic Heat Conduction Equation for Materials with a Noil-homogeneous Inner Structure. Trans, of the ASME. ,/. of Heat Transfer, 1990, vol. 112, pp. 555.

Поступила в редакцию 21 ноября 2012 г.