Истечение в вакуум многокомпонентной смеси Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вестник Челябинского государственного университета. 2012. № 31 (285). Физика. Вып. 15. С. 5-9.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

В. С. Суров, И. В. Березанский ИСТЕЧЕНИЕ В ВАКУУМ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ СМЕСИ

Для многоскоростной модели гетерогенной среды, в которой учтены свойства смеси в целом, получено решение одномерной автомодельной задачи об истечении многокомпонентной смеси в вакуум. Представлены результаты численных расчетов истечения водно-воздушных смесей.

Ключевые слова: многокомпонентная многоскоростная среда, гиперболические системы уравнений в частных производных, автомодельное решение.

Задача об истечении многокомпонентной смеси в вакуум ранее исследовалась в рамках односкоростных моделей гетерогенных сред [1-2]. В настоящей работе используется модель среды, учитывающая собственные скорости составляющих смесь фракций [3]. В этой модели, в отличие от моделей из работ [4-5], вводятся параметры, характеризующие свойства смеси в целом, что позволяет использовать ее при моделировании волновых процессов, например, в пузырьковых жидкостях. Заметим, что в рамках упомянутых выше моделей из [4-5], в частности, не удается удовлетворительно описать «аномальное» поведение скорости звука в зависимости от концентрации газа в пузырьковой жидкости (скорость звука здесь может быть существенно ниже, чем в отдельных составляющих смесь фракциях).

Истечение многокомпонентной среды в вакуум

Система уравнений «-компонентной смеси с первыми т сжимаемыми фракциями, описывающая течение многоскоростной гетерогенной среды [3], включает уравнения законов сохранения массы, импульса и энергии для смеси в целом:

ар+ф»=0_

дt дх

др др

— + и — дt дх

ди ди 1 Эр _ — + и — + --^- = 0, дt дх р дх

Эр Эр

— + и — дt дх

= 0,

(1)

где и, р и с — осредненные скорость, плотность и скорость звука в смеси в целом; р — давление.

Для сжимаемых фракций имеем 3(т - 1) законов сохранения:

да, р° , Эа,.р°и, дt

+

а,р,

ди,

дt

- + и •

ди,

дх

+

дх

да,Р

дх

= 0,

= Х,(и -и,),

э 0 ( 1 1 . * 2 д 0 / + 1 2 1

ар £ ■ + и ■ + — ар, £ , +— и ■ и

дt О 2 Эх V 2, ] 1

+

+ да ри, =^,и.(и -и1), , = 1, ... , т - 1. (2)

дх

Здесь а, — объемная доля ,-й составляющей смеси; р0— истинная плотность ,-й фракции.

Для несжимаемых компонентов справедливы 2(« - т) выражений:

+

3 3 _

ди

дt

3 + и 3

дt дх

+

0,

ди,1 Эа,р

= ^з (и - из), (3)

Эх

Эх

3 = т + 1, ... , п,

представляющие собой законы сохранения массы и импульса. При расчете сил сопротивления полагалось, что они пропорциональны разнице скоростей смеси в целом и отдельного компонента.

Поведение сжимаемых фракций для определенности будем описывать с помощью двучленного уравнения состояния

/ 0ч р - с2 (р°-р*,) bi + рБ1

£ = £,(р,р, ) = р0(1) = ^Г^-,(4)

Р,(У, -1) Р,

где Б = 1/(У,- -^ Л г = с1гБ г, ь г = Л(р„ (у,, р„, с* — константы, индивидуализирующие , -ю фракцию).

С учетом (4) систему уравнений (1)-(3) приведем к квазилинейному виду:

Dр ди п Ви 1 Эр _ Бр 2 Dр _

—+ р— = 0, ------+ —= 0, —-с —- = 0;

Dt дх Dt р дх Dt Dt

1 Д-р“ , 1 Аа, , ди

+

р Dt аi Dt дх

+ ^ = 0,

... . 1 др р Эа,. . . (5\

, ,+^^ + ~^^± = ^(и1 -и), (5)

^ р,0 дх ар0 дх а,р,0

Е:Др + - О= 0, і = 1, ... , т - 1;

Дґ

-

Дґ

Дґ

+

Д- а. ди.

1 1 + а,.—- = 0;

Дґ 1 дх

1дР + Р да1 = А_(и - и)

о ™ „о „о (и1 и^

Дґ ро дх а.ро дх а.р.

- = т + 1, ... , п.

Здесь

Б д д Д. д д де, Д

— = — + и—, — = —+ и,—, Е, =—L = -£■, Дґ дґ дх Дґ дґ дх др р

К =

де

др, (р)2

О=

Ь, + Р(1 + В,) (р-)2 :

0 ■

ар

При вычислении скорости звука в смеси использовалась формула обобщенно-равновесной модели [6]:

с =

р + "11 В ^т-^а (Ьт + рв _ т = Ь.+рВ 1 т )

р и + ^р1 а,(ЬтВ, - Ъ,Вт ) _ т =1 Ь1 + рВ1 _

(6)

где ь,т = ь, -bm, Б,т = Б, -Бт'■ Скорость звука из выражения (6) близка к рассчитанной по аппроксимирующей экспериментальные данные формуле Вуда [7]

1 ^ а,

2 = — Т0~2~, рС ,'-1 р, С,

(7)

что видно из рис. 1, где представлены зависимости с(ае), вычисленные по формулам (6) и (7) для водно-воздушной смеси.

с, м/с

150

100

50

0,3

0,6

0,9 «

Рис. 1. Зависимости с(ао), рассчитанные по формулам (6) и (7) (кривые 1 и 2)

Решение системы (5) будем искать в виде

р = р(%Х и = и(%Х р = р (%Х р0 = рі0(%),

и, = и, (%), а, = а, (%), и- = и- (%), а - =а - (%), где % = х/ ґ. При специальном выборе коэффициентов сопротивления вида X і = Х*/ґ и X- = Х*/ґ с учетом соотношений

д = й д% = % й д = й д% = 1 d

дґ й% дґ ґ й%, дх й% дх ґ й%

система (5) приводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений:

(и-%)^ + р—= 0,

. ^йи 1 йр п

(и-%Ъ% + “£ = 0, й % р й %

йР - Й= ^ = 0;

й % й %

и-% йр0 , и-%

(8)

р.1, й% а, й% й%

<»,-»> = *,.«

й% р й% ар,- й% ар

гйр йр0 йа

Е, — + К —1—-О, —, = 0, , = 1, ... , т - 1;

, й% , й% , й%

йа ■ йи

( - %й = “""г( -и) = ), (10)

й% рр й% а- рр й% а- р0

- = т + 1, ... , п.

После ряда преобразований уравнений подсистемы (8) нетрудно найти первый интеграл

(и-£)2 = «^ р, ат-1). (11)

Продифференцировав выражение (11) по переменной получим

-\9» „,^-4 9» \

(12)

йи Л 1 — = 1 + -

2(и - %)

дс2 йр дс2 йр ^т-1 дс2 йаі др др ^да,

Имея в виду соотношения

йи = (и -%) йр йр = 1 йр

й% рс2 й%, й% с2 й%,

йа, а,{[К + Е(и -%)2]йр/й%-р°} й% = (а,О, + р°К )(и,-%)2-рК ’

которые следуют из (8) и (9), перепишем (12) как

«о pi0FS dc2 + 2(u _5)

dp _Ф = - 0=1 [(aiG, + Pi0F )(ui _5) - pF ] da

d5 dc^ + ^dc^ + : [F + Ei(ui -5)2] dc2 + 2(u _5)2 '

dp + c2 dp + : [(«Д. + p,0Ft )(u, -5)- pFt ] da, + pc2

(13)

Систему (8)-(10), учитывая соотношение (13), запишем в удобном для интегрирования виде:

аР =ф аи = (и -£)ф dр = Ф

d£ , а£ рс2 ’ а£ с2 ’

= (и, -£)[р,05,.(аД +р° 1)-(аД +р^. + рК,)ф] а£ р,0 [(аД + р,01 )(и ,-£)2-р1] ,

а а , а ,{[ { + { (и-^)2]ф-р,015,}

^ = —У=---------------- ----------I (14)

а £ (а,Д + р,01 )(и,-£)2- р¥г ’ ' '

а р [а д + рК,-р0К, (и,-£)2]ф-а,р0ДД

, - , = 1, ... , га - 1;

d5 (a,G, + p;'F )(u, -5) - pF

d5 p p0 (uj -5)2 ,

da- _ a- (-ф)

d5 p -P,(u, -5)

j = m + 1, ... , n.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений (14) интегрируется от £ = £, где параметры смеси совпадают с начальным состоянием (р = р0, р = р0, и = и i = и = 0, р,. = р,0, а ,=а ,0, а=а0) до £+, которому соответствует значение давления р = 0. Величина £- в соответствии с формулой (11) находится из соотношения а

5- _ -c0 _ -

bm + p0 і , D Л-1 a 00 (bim + p0Bim )

[1lB”-1ґ b,+PoB, ]

P0 B + V1 a 10 (bmBi _ bBm ) m 0=1 ь + p0 b, _

где с0 — скорость звука в невозмущенной смеси. Из решения системы (14) также может быть найдена скорость «головы» фронта волны разрежения, вычисленная из выражения и+ = и (£+).

Результаты численного моделирования

В качестве первого примера использования приведенного выше алгоритма расчета рассмотрим истечение газожидкостной смеси в вакуум. Сначала будем полагать, что жидкая фракция является несжимаемой, т. е. р^ = const, а газ — идеальным с показателем адиабаты у. В этом случае система уравнений (14) принимает наиболее простой вид:

dp = _ 2ур(ц _£)p

d£ Y(Y_1)Р + 2р(и -£)2 ,

аи = (и - £)ф

а£ ур ’

ар = рф аиь = (иь £)(рЬ(ь-ф) (15)

а£ ур ’ а£ р-рь0(иь-£)2 ,

а а ь = аь ( -ф)

а £ р -рь0(иь-£)2,

где р = ад рД + аь р°. Исходные данные для рассматриваемой задачи следующие: у = 1,4; с„а = 0; р<зо =рд* = 1,19 кг/м3; рс= 105 Па; ав0= 0,8; рь = 1000 кг/м3; = 0 .

На рис. 2 приведены зависимости распределений р(£)/Рo, и(£)/и+, иь (£)/и+, аь (£) (сплошные кривые) в газожидкостной смеси.

концентрации жидкой фракции в смеси. Состав смеси представлен в таблице. Все компоненты смеси, кроме воды, считались сжимаемы-

Интегрирование системы (15) проводилось от ми. В начальный момент времени смесь пола-

галась неподвижной, а давление равным 105 Па. Результаты расчетов приведены на рис. 3.

£- = -/^р° = -26,4 до £+ = 130,6 (где р = 0), при

. ро

этом и+ = 130,8 м/с.

В качестве другого примера исследовано истечение в вакуум водно-воздушного тумана, состоящего из пяти компонентов в зависимости от

Заключение

Представлено решение автомодельной задачи об истечении многокомпонентной смеси в вакуум, полученное в рамках многоскоростной

р/р0> и/и_

иь/и+ аь

Рис. 2. Зависимости рО^Урд, и(£)/и+ , иь (£)/и+ , ах© (кривые 1—4) в водно-воздушной смеси

Рис. 3. Зависимости р(Е), и(£) , р(£) для смеси с концентрацией воды 1, 2 и 3 (кривые 1—3)

Состав смеси Y c* P* a

Кислород 1,409 0 1,314 0,2053

Азот 1,4 0 1,149 0,7б53

Углекислый газ 1,310 0 1,97б9 0,0003

Аргон 1,бб7 0 1,7S4 0,0091

Вода - - 1000 0,02

модели [3], которое, помимо самостоятельного значения, также может быть использовано при тестировании численных методов, предназначенных для интегрирования общих уравнений движения смеси. Приведены результаты численных расчетов истечения в вакуум водновоздушных смесей.

Список литературы

1. Суров В. С. К расчету истечения в вакуум односкоростной гетерогенной смеси // Инж.-физ. журн. 2002. Т. 75, № 1. С. 61-65.

2. Суров В. С. О некоторых автомодельных задачах течения односкоростной гетерогенной среды // Инж.-физ. журн. 2007. Т. 80, № 6. С. 164-172.

3. Суров В. С. Гиперболическая модель многоскоростной гетерогенной среды // Инж.-физ. журн. 2012. Т. 85, № 3. С. 495-502.

4. Baer, M. A two-phase mixture theory for def-lagration-to-detonation transition (DDT) in reactive granular materials / M. Baer, J. Nunziato // Int. J. Multiphase Flow. 1986. Vol. 12. P. 861-889.

5. Lallemand, M.-H. Pressure relaxation procedures for multiphase compressible flows / M.-H. Lallemand, A. Chinnayya, O. Le Metayer // Int. J. Nu-mer. Meth. Fluid. 2005. Vol. 49. P. 1-56.

6. Суров В. С. Односкоростная модель гетерогенной среды с гиперболичным адиабатическим ядром // Журн. высш. математики и мат. физики. 2008. Т. 48, № 6. С. 1111-1125.

7. Уоллис Г Одномерные двухфазные течения. М. : Мир, 1972.