Метод С. К. Годунова для многоскоростной модели гетерогенной среды Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 519.6:531.33

DOI: 10.14529/mmpl40208

МЕТОД C.K. ГОДУНОВА ДЛЯ МНОГОСКОРОСТНОЙ МОДЕЛИ ГЕТЕРОГЕННОЙ СРЕДЫ

B.C. Суров, И.В. Березанский

В настоящей работе используется гиперболическая модель, в которой введено в рассмотрение такое состояние среды как смесь в целом, характеризуемая осреднен-ными значениями величин, уравнения для которых совпадают с газодинамическими. К этим соотношениям добавляются уравнения, выражающие законы сохранения, но только для тех компонентов смеси, в которых локальные скорости перемещения возмущений не превышают скорость движения волны в смеси в целом. При этом считалось, что остальные волны поглощаются средой, формируя волну в смеси. Поскольку система уравнений модели не является полностью дивергентной, применение оригинального метода С.К. Годунова для интегрирования уравнений многоскоростной гетерогенной среды невозможно. В представленной работе описан модифицированный МГ, предназначенный для интегрирования недивергентной системы уравнений, описывающей течение многоскоростной гетерогенной смеси. При расчете задач Римана использован линеаризованный римановский решатель.

Ключевые слова: многоскоростная многокомпонентная гетерогенная среда; гиперболические системы недивергентного вида; модифицированный метод Годунова; линеаризованный римановский решатель, численное моделирование.

Введение

Ранние модели гетерогенных сред не являлись гиперболическими, что приводило при их использовании к появлению различного рода нефизичных эффектов, связанных, например, с наличием волн, распространяющихся с бесконечно большими скоростями. Кроме того, для этих моделей, описывающих течение гетерогенных сред, задача Коши не всегда оказывалась корректной, что затрудняло применение численных методов [1]. Поэтому дальнейшее развитие получили гиперболические модели гетерогенных сред. Обзор наиболее часто используемых гиперболических моделей имеется в [2].

В настоящей работе используется гиперболическая модель из работы [3], в которой введено в рассмотрение такое состояние среды как смесь в целом, характеризуемая осреднен-ными значениями величин, уравнения для которых совпадают с газодинамическими. К этим соотношениям добавляются уравнения, выражающие законы сохранения, но только для тех компонентов смеси, в которых локальные скорости перемещения возмущений не превышают скорость движения волны в смеси в целом. При этом считалось, что остальные волны поглощаются средой, формируя волну в смеси. Давление полагалось общим для всех фракций смеси. Для газожидкостных смесей модель с газодинамическим ядром из [3] описывает «пузырьковое> течение, и оно полностью соответствует наблюдаемому в экспериментах (см. [2]).

Метод С.К. Годунова (МГ) [4], широко используемый для решения газодинамических задач, предназначен для численного интегрирования гиперболических систем уравнений, записанных в дивергентной форме. Применение оригинального МГ для интегрирования уравнений многоскоростной гетерогенной среды невозможно, поскольку система определяющих уравнений модели [3] не является полностью дивергентной. В представленной работе описан модифицированный МГ, позволяющий численно решить систему уравнений модели

гетерогенной среды с газодинамическим ядром из [3] недивергентного вида. Отметим, что ранее МГ успешно использовался для расчета течений, описываемых различными моделями гетерогенных сред в рамках односкоростного приближения. В частности, в работе [5] МГ с точным римановским решателем из [6] использовался при исследовании ударно-волновых процессов во вспененных жидкостях в рамках условно гиперболической модели. В работе [7] описан модифицированный МГ, предназначенный для интегрирования уравнений гиперболической модели односкоростной гетерогенной среды из [8]. Для этой модели среды точный решатель Римана, используемый в алгоритме метода, представлен в работе [9], а приближенный - в [10].

Поведение сжимаемых фракций для определенности будем описывать с помощью двучленного уравнения состояния

Р - С1г (Р0 - Р**) _ Ь + рД Р° (7* - 1) _ Р

У ^*г\гг г*г; иг \

£* _ --пО _ —3)-----^, (1)

где е - удельная внутренняя энергия, р0 - истинная плотность г-й фракции, Дг _ 1/(7г — 1), ^г _ с*гДг, Ь _ ^гР*г (7г, Р*г, с*г - константы, индивидуализирующие г-Ю фракцию). В частности, для воды - 7 _5.59, с* _1500 м/с, р* _1000 кг/м3.

При рассмотрении алгоритма МГ ограничимся одномерным приближением. Используемый подход непосредственно обобщается на многомерный случай.

1. Модель гетерогенной среды

Система уравнений п-компонентной смеси с первыми т сжимаемыми фракциями, описывающая одномерное течение многоскоростной гетерогенной среды из [3], включает в себя уравнения законов сохранения массы, импульса и энергии для смеси в целом

др + дри дри + д (р + ри2) _0 др + ф — с2 (-р + ,,-рА _° (2)

д£ дх ’ д^ дх ’ д£ дх \ д^ дх / ’

1 2

где с - скорость перемещения волны в смеси в целом, е _ е + 2и2 - удельная полная энергия смеси, р - давление, и - скорость смеси, р - плотность смеси.

Для сжимаемых фракций имеем 3(т - 1) законов сохранения:

дагр0 дар0иг дагр0иг даг (р + р^2) , Л

+ —я----_ °, —^— +------------я-------_ Пг (и - иг),

д£0 дх 0 от дх (3)

дагр°ег дагр^гиг дагри

—гтт----1-----^------1--п---_ Пгиг (и - иг), г _1,...,т - 1,

д£ дх дх

где аг - объемная доля г-й фракции.

Для несжимаемых компонентов справедливы 2(п - т) выражений

да 7 да7и 7 да*и7 да^' (и:? + рр.?) п7' (и - и7)

" + 7 _0, 7 +--------------'_ Ь ( .0 , _ т + 1,...,П (4)

д£ дх д£ дх р1

представляющие собой законы сохранения массы и импульса.

При записи уравнений (3) для определенности полагалось, что скорость возмущений в т-й фракции превосходит с, поэтому законы сохранения для этой составляющей опущены. При расчете сил сопротивления предполагалось, что они пропорциональны разнице скоростей смеси в целом и отдельного компонента. При вычислении скорости волны в смеси в

целом использовалась формула обобщенно-равновесной модели, которая в случае применения двучленного уравнения состояния (1) принимает вид

с =

\

1-1

Вт

т— 1

+ £

і=1

аі (ЬтВі ЬіВт)

Ьі + рВі

— 1

Ьт + Р

т— 1

1 + Вт —

і=1

аі (Ьіт + рВіт)

Ьі + рВі

(5)

где Ьгт _ Ьг - Ьт, Дгт _ Дг - Дт. Скорость с из выражения (5) близка к рассчитанной по аппроксимирующей экспериментальные данные формуле Вуда (6) [11].

1 п

1 ак

Рс2 к—1 Рк ск'

(6)

Перепишем систему уравнений (2) - (4) в квазилинейной форме как

др др ди ^ ди ди 1 др др др 2 ди

"Т"- + — + р~.— = 0, — + — = 0, — + РС — = 0;

ді

д-

д-дР0

ді

дР0

д- р д-ди т, др

ді

диі

д-

д-

^ - Я— - К{— - и— = 0,

О і " О "О "О "О /

„ ді „ д- „ д- „ д- д-

ди , ди , 1 др , ^ да

Пі

ді

д-

д-

пО

д-

аіР0

(и — иі)

ді и д- рО д- г д-

да, даі одЯі ди аіКі др ( ЬЛ дщ .

+ щ— + —^ + —^ + М 1+ рО) ~ = 0, * = 1,

РЇ

ди, , ди, , 1 др да,-

Р

^ и І- + Р0 д- + С

да, да, ди

д-

д-

а,Р,

(и — щ )

ді

+ Щ^г- + а,^- = 0, з = т + 1,...,п, д- д-

, т — 1;

(7)

где

Яі

Рс2Р0Еі

аіСі + р0^і я =

К = (и - иі) р0Еі аіСі + Р°яі

де.

Ь, = — аір°Сі

аіСі + Р0яі

Еі =

р

дР0 (р0У

Ьі + р (1 + Ві) ТР°)

Сі =

р

аіР:

0 •

деі

др

Ві

Систему (7) можно представить в векторном виде как

§ + 4- = 8,

ді д-

(8)

где

и = (р ,щ ,р , [р0 , иі , а]™/ Ли > а, ]П=т+і)

П, (и - и)

0, 0, 0,

0, п(и -0и), 0'

аіР0

т-1

і=1

а, р0

,=т+1 ,

0

Р

п

а матрица У примет вид 0

и Р 0 1

0 и —

рс2 Р

0 и

0 -Н1 -К1 1

Р1

0 0

0 «1^1 «1^1

Р°

о

V о

— Нт — 1

о

аш — 1Нт — 1

Р°

Рш —1

о

о

о

о

Р1

— Кт — 1 1

Р°

Рш —1 ат — 1 Кт — 1

Р°

Рш —1 1

Р°

рш + 1

о

0 0 0 . .. 0 0 0 0 0 • •• 0 0

0 0 0 . .. 0 0 0 0 0 • •• 0 0

0 0 0. .. 0 0 0 0 0 • •• 0 0

и1 —-^1 0. .. 0 0 0 0 0 • •• 0 0

0 и1 2 С1 . .. 0 0 0 0 0 • •• 0 0

0 с1 С1 и1 . .. 0 0 0 0 0 • •• 0 0

0 0 0. • • ит —1 -^ш-1 0 0 0 • •• 0 0

0 0 0. .. 0 ит —1 2 ^ш —1 0 0 • •• 0 0

0 0 0. •• 0 ст—1 ^ш-1 ит —1 0 0 • •• 0 0

0 0 0. •• 0 0 0 иш + 1 Сш + 1 • •• 0 0

0 0 0. •• 0 0 0 ат + 1 иш + 1 • •• 0 0

0 0 0. •• 0 0 0 0 0 • • • ип Сп

0 0 0. •• 0 0 0 0 0 • • ап ип

Штрихом отмечен оператор транспонирования.

Матрица У имеет только действительные собственные значения, которые равны

и ± с, и, и ± Сі, иі, где

Сі =

рЕ,

аг^г + Р,

• 1 1 / Р , 1

г = 1, ...,т — 1; сЗ- = 4/ —о, ] = т + 1,...,п.

Р3

Кроме того, собственные векторы, соответствующие собственным значениям, линейно независимы, поэтому система уравнений модели относится к гиперболическому типу.

2. Метод Годунова для недивергентных систем

Систему (2) - (4) перепишем в векторной квазидивергентной форме

^ + дЕ + [*? Р дС = Я

Ж + дХ + (РС — р дХ = S,

(9)

где

Е

W = (Р, Ри^ [ОДР0, ОДР0^ агр0Є^”=11 , [а,, аЗиЗ]™=т+^ , ри,р + Ри2,ри, [а,Р0и,, а, (р + Р0и2) , и, (а,р + Р,е,)]”=11, [а3и, а3 (и2 + РР0)]

0)1п

З' -І З=т+1

С =(0, 0, и, 0,..., 0)

Я = I 0, 0,0, [0, п, (и — и,), п,и, (и — и,)]”=11,

ПЗ (и — иЗ)

Р0

З=т+1 ,

Переходя от дифференциальных соотношений в (9) к конечно-разностным, получим следующее явное выражение, связывающее искомые параметры на новом временном слое £+ДЬ (с индексами вверху) с соответствующими значениями на предыдущем слое Ь (с индексами внизу):

Wk — Wfc Ек+1/2 — Ек-1/2 / 2 N Ск+1/2 — Ск-1/2

---------------1 *---------------------+ 1РС — р) к-----------------------

Д*

Дж

Дж

Як

(10)

\

0

Р°

гп

П

0

где Ек±1/2= Ли,Р + Ли2,Ри,

і т— 1

[Агя0и„ А, (Р + я0и2) , (Р + Я0£*)]’=1

Ск±1/2= (0, ^ ^ 0, . . . , 0)к±1/2 .

Аз из, Аз из + ^0

З=т+У к±1/2

Используемые в (10) обозначения соответствуют принятым в [4]: узлы конечноразностной сетки имеют целые индексы, а грани ячеек - полуцелые. «:Большие> величины, которые входят в выражения (10) (Р - давление; и, Ц, Ц - скорости, Я - плотность смеси; Я0 и Е, -плотность и удельная полная энергия г-й составляющей смеси; А,, А/ - объемные доли), относящиеся к граням смежных ячеек, определяются из решения соответствующих задач Римана, алгоритм для расчета которых приведен ниже.

Другой способ интегрирования недивергентной системы (2) - (4) связан, как и в предыдущем случае, с выделением уравнений, приводящихся к дивергентному виду, для которых выписываются явные выражения, связывающие искомые параметры на новом временном слое Ь + ДЬ (с индексами вверху) с соответствующими значениями на предыдущем слое Ь (с индексами внизу):

Ді

Рк = Рк + [(Ли)к—1/2 — (^и)к+1/^ ДХ

Дж

2)

Ді

ДХ

Ді;

дХ;

(Ри)к = (Ри)к + (Р + 2) к—1/2 — (Р + 2) к+1/2

(а,Р0)к = (а,Р0)к + [(А^ )к—1/2 — (А^и )к+1А (а,Р0и,) = (а,Р0и,)к + | (А,р + АгЛ0иг2)к—1/2 — (А,Р + Агр0иг2)к+1/^ +

+ [П (и — и,)]к Ді,

(а, р0Є,) = (а, Р0Є,)к + { [(Д^г + Р,) А,и,] к—1/2 — [(Л0Е* + Р) А*и*!к+1/^ ДЖ + (11)

+ [п,и, (и — и,)]к Ді,

г = 1,..., т — 1;

(аЗ)к = (аЗ)к + (АЗ иЗ)к—1/2 — (АЗ иЗ)к+1/2

(аЗ иЗ) = (аЗ иЗ )к +

Аз (З+З

+

ПЗ (и — иЗ)

РЗ0

Ді,

Ді ДХ

Аз (иЗ2+З

к—1/2 ь V Рз.

І = т + 1,..., п.

к+1/2

Ді

Дж

+

П

к

Используемые в (11) обозначения соответствуют принятым в [4].

Для вычисления оставшейся неизвестной переменной р на новом временном слое запишем в конечно-разностном виде третье уравнение (2), используя противопоточную схему, как

рк — рк . — рк+1 — рк . + рк — рк—1 2 / Рк — Рк , — Рк+1 — Рк . + Рк — Рк—1

______________________________________1________________________I __________________ -1— Ґ)! _______________ I /)| I ________________

. ^к+1 ^к . и + ^к ^к—1 с2 Г ^к . -Гк+1 ^к . и+^к ^к—1 =0 (12)

Ді +ик Дж +ик^Х сн~ДГ +ик Дж +ик Дж )=0, (12)

где

и

+ _

1

1

2 (иК + |ик|) , ик =2 (“К |иК I) •

2

Из уравнения (12) вычисляется давление рк, что завершает вычислительный цикл. Отметим, что ранее подобный подход показал свою эффективность в расчетах течений односкоростной гетерогенной среды (см. [7]).

3. Линеаризованный римановский решатель

Задача Римана для гетерогенной среды формулируется следующим образом. Пусть имеются две однородные многокомпонентные массы среды, состоящие из и пд составляющих каждая, расположенные в начальный момент Ь = 0 соответственно «:слева> от плоскости Х = 0 и «справа> от нее. Необходимо рассчитать течение, возникающее при Ь > 0. «Точный> решатель задачи Римана для модели из [3] приведен в [12], применение которого требует значительных временных затрат. Существует ряд «быстрых> способов приближенного решения задачи Римана для сред, описываемых системами гиперболических уравнений. Это решатели Роя, Хартена - Лакса - ван Лира (ИЬЬ, ИЬЬС), Лакса - Фридрихса, Русанова и др. [13, 14], предназначенные в основном для дивергентных систем. В этом разделе описан алгоритм линеаризованного римановского решателя (ЬКИ) [15] для модели среды с газодинамическим ядром.

При описании римановского решателя для определенности ограничимся газожидкостной смесью, состоящей из двух сжимаемых сред - газа, параметры которого отмечены индексом д, и жидкости (с индексом I). В этом случае система дифференциальных уравнений (2) - (4) принимает вид

др др ди ди ди 1 др др др 2 / др др

т + идХ + рдХ = 0, д + “аХ + рдХ = 0, т + идХ - с (вг + маХ

др0 + и др0 Я ди К дР Т диг = 0

“ттт + иг ------Яг я-----Кг я------тг 'тт- = 0

дЬ дХ дХ дХ дХ

ди ди/ 1 др да/ пг , ч _ о

ттт + иг~—I—о ^—+ Сг^— = —о (и — и) = рр дХ дХ агрр

дЬ

дХ

да/ + даг + а/Я/ ди + а/К/ др + дЬ и/ дХ р0 дХ рО дХ а/

р°

= 0,

(13)

где

рс2р°Ег

Яг

К/ =

(и - и/) р°Е/

агр°С/

аг С/ + р°Кг аг Сг + р°Ег агСг + р0 К/

В/

Ьг + Р (1 + В/)

р/

ро 2

С/ =

р

а/рО

с/

рК/

аг Сг + р°Кг

р

ай рд

Кд = —

+ р (1 + ВА) (рр)2 :

рЕЙ

ад Сд + р°Ед

В0 +

аг (Ьд Вг — ьг Вд) Ьг + рВ/

Ь/д = ьг — ь

-1

Ьд + р

1 + Во —

а/ (Ь/д + рВ/д) Ьг + рВ/

В/д = Вг — Вд •

Поскольку скорость перемещения возмущений сд превосходит скорость движения волны в смеси в целом, поэтому уравнения для газовой фракции не включены в общую систему уравнений.

Формула линеаризованного римановского решателя, с использованием которого вычисляются параметры смеси на контактной границе (Ис) по известным значениям параметров

к

сй =

с

среды слева (Иь) и справа (Ця) от нее, имеет вид (см. [15]):

Ис = И - -^2 згдп (Лй) Я*

&=!

В (14) введены обозначения

(14)

Ис

( Р \

и

Р Р и

V а )

И = - (Иь + Ия), И

с

Р и Р Р и

V а )

Ия

Р и Р Рі и

V а )

я

Правые собственные векторы Я^ системы (13), соответствующие корням характеристического уравнения Л1= и, Л2 = и/, Лз= и/ — с/, Л4= и/ + с/, Л5= и — с, Л6= и+с, имеют вид

Я

1 =

Яд

/1 \ 0 0 0 0

V 0 /

0

0

0

1

о_

V и С )

Я

■2 =

0 0 0 1 0 0

Я;

3 =

Як

/ — Р \

1

— /

РС ^1 ^2 V ^3 у

0 0 0

Сі 1 Сі

V Сі у

Яб

/ - \ • с '

1

РС ^4 ^5

V ^б /

где

^1 = —'

Рі (Ні — РсКі) (и — С — иі)2 — с2 + ^ [аі+ РС (иі — и + С — аіКі)]

Р0 (и — с — и^) [(и — с)2 + иг2 — с2 — 2и(и — с)] ’

аіСіні + рс (иі — и + С — аіСікі) Сг(и — иі — с) (ні — РсКг) — Рсс2

^2 п [/ \о ! 2 2 ^ / \Г, ^3

Р0 [(и — с)2 + и2 — с2 — 2и(и —

Р0С [(и — с)2 + и2 — с2 — 2и(и — с)]

^4 = — -

Рі (Ні + рсКі) (и + с — и)2 — С2 + [а Сі н + РС (и + с — и — а Сі К)]

Р0 (и + с — и) [(и + с)2 + и2 — с2 — 2и(и + с

^5 =

+ рс (и — и + с + )

Р0 [(и + с)2 + и2 — с2 — 2и(и + с)]

а Сі (и — и + с) (Н + РсКі) + Рссг2 Р0Сі [(и + с)2 + и2 — сг2 — 2иі(и + с)]

б

с

с

с

Значения констант й1, ... , ав, которые входят в (14), определяются из выражений

_Л 0 . . Ар

а2=Ар + ~7Г 1 - 2РС

а1=Ар —^Ар, с2

д4 — д1 +-22^ (дв — д)

- 1 (к °1 л ^ I Ар

аа ^ Аи1-------------Аам + —

2 V С1 ) 4рс

= А А + Ар

а4 = “— —Аи1---------Аа1 + “

2с [ С1 2рс

д2 — д5 +-----------(дб — да)

С1

д5 — д2 +-----------(дб — да)

С1

Аи ~2

Аи

4~

Аи

д4 + д1 +---------2Г~ (дб + да)

д2 + д5-------------(дб + да)

С1

+ -

2

д2 + д5 +----(дб+да)

С1

а5=1 ( Аи - —Ар 5 2 рс

ав=1 ( Аи + —Ар 2 рс

где

Ар= рд - рь, Аи=ид - иь, Ар=рд - рь, Аи = (и)к - (и)ь

Ар°= (р°)к - (р°)ь , Аа1=(а1)п - (а1)

ь

«Большие> величины, входящие в расчетные формулы (10) - (11), вычисляются из соотно-

шений:

(р, и,р, и, р°, а) (К,и,Р,и1,К1, А)к+1/2 = ^ (р, и,р, и, р°, а)

(р, и,р, и, р°, а)

к+1

(и - с)с > 0; (и + с)с < 0; (и - с)с < 0,

(и + с)с > 0.

4. Результаты численного моделирования

В качестве примера применения описанных выше алгоритмов МГ рассчитана задача об отражении ударной волны в газожидкостной смеси от абсолютно жесткой неподвижной стенки. Константы уравнения состояния уравнения (1) для жидкой фракции следующие: р* = 200 кг/ма, 7*1 = 5,59, с* =1500 м/с. Соответствующие константы уравнения (1) для газа: р*д = 1,19 кг/ма, 7*д = 1,14, с*д =0. Коэффициент щ принимался равным нулю. Параметры смеси до распада следующие: слева от диафрагмы (ж < 0) - р°£ =0,15 МПа, и°ь = июь =0, а °ь =0,05, р°°ь = р*1, рд°ь = р*д; справа от нее (ж > 0) - р°к =0,1 МПа, и°к = и°к =0, а°к =0,05, р°°к = р*/, р°°к = р*д. В момент времени I = 0 диафрагма мгновенно удаляется, при этом реализуется режим течения с волной разрежения, перемещающейся влево и ударным скачком, движущимся вправо.

На рисунке представлены результаты расчетов, полученные к моментам времени Ь =

0,03, 0,06 и 0,09 с. Данные этого рисунка иллюстрируют возникновение «вторичных> волн при распаде начального разрыва (сплошные кривые), формирование отраженной «вторичной> волны, возникшей вследствие отражения УВ от преграды (пунктирные кривые), процесс взаимодействия движущейся к преграде и отраженной «вторичных> волн (кружочки). Отметим, что описанная картина образования и взаимодействия «вторичных> волн происходит на фоне неизменного уровня давления. Под «вторичными> волнами подразумеваются волны, характеризуемые измененными значениями объемных долей отдельных компонентов в смеси и их локальных скоростей при неизменном профиле давления.

Заключение

Описан модифицированный метод С.К. Годунова, предназначенный для интегрирования уравнений многоскоростной многокомпонентной смеси недивергентного вида. При расчете

Р/Ря

и

X

X

X

и

X

X

Зависимости р(х), и(х), р(х)/рк°, р°(х), щ (х), а (ж) к моментам времени Ь = 0,03 (сплошные), 0,06 (пунктирные), 0,09 с (кружочки), полученные с использованием формул (10)

задач распада произвольного разрыва использован линеаризованный римановский решатель. Рассмотренный метод расчета непосредственно распространяется на задачи с несколькими пространственными переменными. Расчеты рассмотренной задачи, выполненные по формулам (11) - (12) с точностью до графического представления совпадают с данными, полученными с использованием выражений (10) представленными на рисунке.

Литература

1. Stewart, H. Two-Phase Flow: Models and Methods / H. Stewart, B. Wendroff // Journal Comput. Phys. - 1984. - V. 56. - P. 363-409.

2. Суров, В.С. Гиперболические модели в механике гетерогенных сред / В.С. Суров // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2014. - Т. 54, № 1. -С. 139-149.

3. Суров, В.С. Гиперболическая модель многоскоростной гетерогенной среды / В.С. Суров // Инженерно-физический журнал. - 2012. - Т. 85, № 3. - С. 1111-1125.

4. Годунов, С.К. Численное решение многомерных задач газовой динамики / С.К. Годунов,

A.В. Забродин, М.Я. Иванов. - Москва: Наука, 1976. - 400 с.

5. Суров, В.С. Об одной модификации метода Годунова для расчета односкоростных течений многокомпонентных смесей / В.С. Суров // Математическое моделирование. -

1998. - Т. 10, № 3. - С. 29-38.

6. Суров, В.С. Распад произвольного разрыва в односкоростной гетерогенной смеси сжимаемых сред / В.С. Суров // Теплофизика высоких температур. - 1998. - Т. 36, № 1. -

С. 157-161.

7. Суров, В.С. К расчету модифицированным методом С.К. Годунова течений односкоростной многокомпонентной смеси / В.С. Суров // Инженерно-физический журнал. -2011. - Т. 84, № 4. - С. 777-784.

8. Суров, В.С. Течение Буземана для односкоростной модели гетерогенной среды /

B.С. Суров // Инженерно-физический журнал. - 2007. - Т. 80, № 4. - С. 45-51.

9. Суров, В.С. Задача Римана для односкоростной модели многокомпонентной смеси / В.С. Суров // Теплофизика высоких температур. - 2009. - Т. 47, № 2. - С. 283- 291.

10. Суров, В.С. Об одном способе приближенного решения задачи Римана для односкоростной многокомпонентной смеси / В.С. Суров // Инженерно-физический журнал. - 2010. - Т. 83, № 2. - С. 351-356.

11. Уоллис, Г. Одномерные двухфазные течения / Г. Уоллис. - Москва: Мир, 1972. - 436 с.

12. Суров, В.С. Задача Римана для многоскоростной модели многокомпонентной среды / В.С. Суров // Инженерно-физический журнал. - 2013. - Т. 86, № 4. - С. 869-876.

13. Куликовский, А.Г. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений / А.Г. Куликовский, Н.В. Погорелов, А.Ю. Семенов, - Изд. 2-е, доп. и испр. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012. - 635 с.

14. Toro, E.F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics / E.F. Toro, -Berlin: Springer, 1999. - 645 с.

15. Toro, E.F. Riemann Solvers with Evolved Initial Condition / E.F. Toro // Int. Journal for Numerical Methods in Fluids. - 2006. - V. 52. - P. 433-453.

Виктор Сергеевич Суров, доктор физико-математических наук, профессор, кафедра «Вычислительная механика сплошных сред>, Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск, Российская Федерация), svs@csu.ru.

Иван Владимирович Березанский, аспирант, кафедра «Вычислительная механика сплошных сред>, Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск, Российская Федерация), mynameivanych@gmail.com.

Поступила в редакцию 17 февраля 2014 г.

Bulletin of the South Ural State University. Series "Mathematical Modelling, Programming & Computer Software",

2014, vol. 7, no. 2, pp. 87—98.

MSC 35Q35 DOI: 10.14529/mmp140208

Godunov’s Method for a Multivelocity Model of Heterogeneous Medium

V.S. Surov, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, svs@csu.ru,

I. V. Berezansky, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, mynameivanych@gmail.com

This article uses a model of heterogeneous media accounting for an additional state of the medium as a mixture characterized by averaged quantities. The equations describing this state coincide with the equations of gas dynamics. Additional equations express conservation laws, but only for the components with the local speed of sound lower than in the mixture; we assume that other waves are absorbed by the media and form waves in the mixture. Since the equations are not in divergence form, the original Godunov’s method is inapplicable. We suggest a modified Godunov’s method to integrate the nondivergent system of equations for a multivelocity heterogeneous mixture. We use a linearized Riemann solver for Riemann problems.

Keywords: multivelocity multicomponent medium; hyperbolic systems of PDEs not in divergence form; modification of Godunov’s approach; linearized Riemann solver; numerical modelling.

References

1. Stewart H., Wendroff B. Two-Phase Flow: Models and Methods. Journal Comput. Phys., 1984, vol. 56, pp. 363-409. DOI: 10.1016/0021-9991(84)90103-7

2. Surov V.S. Hyperbolic Models in the Mechanics of Heterogeneous Media. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2014, vol. 54, no. 1, pp. 148-157. DOI: 10.1134/S096554251401014X

3. Surov V.S. Hyperbolic Model of a Multivelocity Heterogeneous Medium. Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2012, vol. 85, no. 3, pp. 530-538. DOI: 10.1007/s10891-012-0683-0

4. Godunov S.K., Zabrodin A.V., Ivanov M.Ya. Chislennoe reshenie mnogomernyih zadach gazovoy dinamiki [The Numerical Solution of Gas Dynamic Multidimensional Problems]. Moscow, Nauka, 1976.

5. Surov V.S. A Modification of Godunov Approach for Calculating Single Speed Flows of Multicomponent Mixtures. Matematicheskoe modelirovanie [Mathematical Modelling], 1998, vol. 10, no. 3, pp. 29-38. (in Russian)

6. Surov V.S. Breakup of Arbitrary Discontinuity in One-Velocity Heterogeneous Mixture of Compressible Media. High Temperature, 1998, vol. 36, no. 1, pp. 156-159.

7. Surov V.S. Toward the Calculation of Flows of a One-Velocity Multicomponent Mixture by the Modified S.K. Godunov Method. Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2011, vol. 84, no. 4, pp. 840-848. DOI: 10.1007/s10891-011-0541-5

8. Surov V.S. The Busemann Flow for a One-Velocity Model of a Heterogeneous Medium.

Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2007, vol. 80, no. 4, pp. 681-688.

DOI: 10.1007/ s10891-007-0092-y

9. Surov V.S. The Riemann Problem for One-Velocity Model of Multicomponent Mixture. High Temperature, 2009, vol. 47, no. 2, pp. 263-271. DOI: 10.1134/S0018151X09020175

10. Surov V.S. On a Method of Approximate Solution of the Riemann Problem for a One-Velocity Flow of a Multicomponent Mixture. Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2010, vol. 83, no. 2, pp. 373-379. DOI: 10.1007/s10891-010-0354-y

11. Uollis G. Odnomernyie dvuhfaznyie techeniya [One Dimensional Two-Phase Flows]. Moscow, Mir, 1972.

12. Surov V.S. The Riemann Problem for the Multivelocity Model of a Multicomponent Medium.

Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2013, vol. 86, no. 4, pp. 926-934.

DOI: 10.1007/ s10891-013-0913-0

13. Kulikovskii A.G., Pogorelov N.V., Semenov A.Yu. Matematicheskie voprosyi chislennogo resheniya giperbolicheskih sistem uravneniy [The Mathematical Complexities of Numerical Solving the Hyperbolic Systems]. Moscow, Fizmatlit, 2001.

14. Toro E.F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Berlin, Springer,

1999. DOI: 10.1007/978-3-662-03915-1

15. Toro E.F. Riemann Solvers with Evolved Initial Condition. Int. Journal for Numerical Methods in Fluids, 2006, vol. 52, pp. 433-453. DOI: 10.1002/fld.1186

Received February 17, 2014