CC BY
34
Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (5), с. 2519-2520
2519
УДК 532.529
НОВЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В МЕХАНИКЕ МНОГОФАЗНЫХ СРЕД
© 2011 г. В. С. Суров, Е.Н. Степаненко
Южно-Уральский госуниверситет, Челябинск svs@csu.ru
Поступила в редакцию 24.08.2011
Обсуждается ряд новых гиперболических моделей односкоростных многофазных сред, учитывающих наличие теплопроводности и вязкости. Также рассмотрена гиперболическая модель течения грунтовых вод в пористой среде. Для каждой из рассмотренных моделей предложены методы расчета, с использованием которых решены различные модельные задачи.
Ключевые слова: односкоростная вязкая многокомпонентная среда, гиперболические системы, численное моделирование.
Разработка математически корректных и физически непротиворечивых моделей многофазных сред является актуальной задачей, поскольку не все существующие к настоящему времени общие модели гетерогенных сред являются таковыми. В частности, при рассмотрении явления распространения тепла в односкоростных гетерогенных средах [1] с привлечением закона Фурье оказывается, что тепловые волны обладают бесконечными скоростями распространения. Если же вместо закона Фурье использовать закон Максвелла—Кат-танио, учитывающий релаксацию теплового потока, то тепловые волны в среде распространяются с конечными скоростями и указанное выше противоречие нефизического характера исчезает, что, в свою очередь, связано со сменой типа уравнений — от параболического к гиперболическому [2].
Односкоростная вязкая многокомпонентная среда
Включение сил вязкого трения в уравнения модели односкоростной многокомпонентной среды из [1] на уровне смеси в целом также приводит к появлению решений с бесконечно большими скоростями распространения возмущений. Представлена новая гиперболическая модель од -носкоростной вязкой многокомпонентной среды, в которой по аналогии с подходом Максвелла— Каттанио в теплопередаче учтена релаксация вязких напряжений. Для упрощения в общей системе опустим члены, ответственные за фазовые, химические и другие превращения. Система уравнений вязкой «-компонентной смеси с первыми т сжимаемыми фракциями, в которых учтены
силы межфракционного взаимодействия, после ряда преобразований, аналогичных проделанным в [1], принимает вид:
Бр + р^и = 0, -Би+-^гад(Р —а) = 0,
Бг Бг р
Бр 2 Бр
—*- — с 2—= 0, та
Бг Бг с
Ба и Бр
---------^ + а = 0;
Бг р Бг
— 10р+1£Р_ + ±Ощ =0,
р Бг р0 Бг а, Бг
1 Бе+р0д^БР , р° Эе, бр° = 0
Бау а у Бр
где
с=
Бг р Бг
Б Э
---=------+ I
Бг Эг
Р — а Эе т—1
--------Рд-- Ё
Р ЭР ,=1
р Эр° Бг
ч — 1;
у = т +1, к, п
и V),
( \
Р Эе Эе,
00 Р, ЭР, Э "О О
+
+ а,
Эе
да,-
Эе
у = т +1 7 Э«у
1 — Р
(р°)2 Iе
ЭР
ч-1
0
1/2
Эе т—1 Эе, — + Ё —-
ЭР , =1 ЭР
Эе,
Эр0
\-1
х
х
Г а, Эе Эе Л
Р° Эа, Эр°
—1/2
1
Р
Обозначения в (1) те же, что в [1]. Характеристическое уравнение системы (1)
(5 — и)п+т £ — (и — с*)][5 + (и — с*)] = 0
имеет только действительные корни. Здесь 5 = = ёх/Ж. Кроме того, собственные векторы, соответствующие корням характеристического уравнения, линейно независимы, поэтому система квазилинейных уравнений (1) при т Ф 0 — гиперболическая.
Для частного случая одномерных течений среды, состоящей из двух сжимаемых фракций, выражение для скорости звука в смеси имеет вид
c* —
c2 +
_н_
Рта
т
дu дu
+u дt дx
p = pgh + const.
= NдP £
= —^-------S
дx
Систему (2) перепишем в векторно-матричной форме
дU . дU _
^-+a—=s,
дt дx
(3)
где
U=
h
u
V У
A=
S =
—nu
Матрица А имеет действительные собственные значения и + у[ак, и — у[ак . Здесь а = ц^Н/т. Кроме того, справедливо равенство А = П—*АП, где
П—1 =
Видно, что при Та ^ 0 скорости перемещения возмущений в рассматриваемой среде стремятся к бесконечности.
Для интегрирования уравнений модели течения вязкой среды использованы численные методы, с помощью которых решен ряд модельных задач: сеточный метод характеристик, ранее использованный для интегрирования теплопроводной смеси [3]; метод Куранта—Изаксона—Риса.
Течение грунтовых вод в пористой среде
Гиперболическая модель течения грунтовых вод в пористой среде описывается следующей системой уравнений:
ЭН , Эи ЭН
— + Н— + и— = 0,
Эг Эх Эх
1 JV а
1
П = -
1
1
Л=
(2)
и — л[аН 0
0 и + л[ак
V /
что свидетельствует о гиперболичности системы (3). Если же использовать оригинальный закон Дарси с т = 0, то, как следует из приведенных ранее формул, скорости перемещения возмущений становятся бесконечно большими.
Список литературы
1. Суров В. С. Односкоростная модель гетерогенной среды с гиперболичным адиабатическим ядром // ЖВМ и МФ. 2008. Т. 48, №6. С. 1111—1125.
2. Суров В.С. Гиперболическая модель односкоростной многокомпонентной теплопроводной среды // ТВТ. 2009. Т. 47, №6. С. 905—913.
3. Суров В.С., Степаненко Е.Н. Сеточный метод характеристик для расчета течений односкоростной многокомпонентной теплопроводной среды // Вестник Челябинского госуниверситета. Сер. Физика. 2010. Вып. 8, №24 (205). С. 15—22.
0
1
2
NEW HYPERBOLIC MODELS IN THE MECHANICS OF MULTIPHASE MEDIA
V.S. Surov, E.N. Stepanenko
A series of new hyperbolic models of one-high-velocity multiphase mediums is considered, taking into account the presence of thermal conduction and viscosity. Hyperbolic model of a ground water flow in a porous medium is also considered. For each of the considered models the methods of account are offered, which are used to analyze various model tasks.
Keywords: one-velocity viscous multi-component medium, hyperbolic systems, numerical modeling.
