Нормальные связности L-подрасслоения сильно взаимного распределения проективного пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА

УДК 514.75 (08)

Ю. И. Попов, С. Ю. Волкова

НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ L-ПОДРАССЛОЕНИЯ СИЛЬНО ВЗАИМНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА

Рассматривается специальный класс трехсоставных распределений проективного пространства Pn — VH -распределение. В каждом центре X VH-распределения отношение инцидентности элементов Л-, M-, H-подрасслоений имеет вид X е Лг с Mm с Hn_1r где r < m < n - 1. Этот класс характеризуется тем, что пары (Л, Ф), (L, *¥), (M, E) основных структурных подрасслоений данного трехсоставного распределения взаимны.

Вводятся в рассмотрение инвариантные двойственные нормальные связности, индуцируемые в расслоениях нормалей 1-го и 2-го рода L-под-расслоения данного VH -распределения.

The special class of the threefold distributions of the projective space Pn — VH -distribution — is considered. In each center X of VH -distribution the incidence relation of the elements of the Л-, M-, H-subbundle has an appearance X е Лг с Mm с Hn-1, where r < m < n - 1. This class is characterized by the fact that the pairs (Л, Ф), (L, *¥), (M, E) of the main structural subbundles of this threefold distribution are mutual.

Invariant dual normal connections induced in bundles of the 1st and 2nd kind normals of the L-subbundle of this VH -distribution are examined.

Ключевые слова: распределение, проективная связность, подрасслоение, тензор кручения-кривизны, объект проективной связности, геометрический объект, охват геометрического объекта.

Key words: distribution, projective connection, subbundle, torsion-curvature tensor, projective connection object, geometrical object, geometrical object coverage.

Данная статья является продолжением исследования по теории сильно взаимных распределений, которые названы кратко VH1 -распределениями [1; 2].

1. Во всей работе использована следующая схема индексов:

J, K, L, P, Q = 1, n; J, K, L = 0, n; p, q, r = 1, r; p, q, r = (1, r; n);

i, j, k = r +1, m; i, j, k = {r +1, m; n}; a, P, у = m +1, n -1; a, P, у = m +1, n; a, b, c, d = 1, m; A, B, C, D = {1, r; m +1, n -1}; A, B, C = {1, r; m +1, n};

u,v,w = r + 1,n -1; s = m - r; 8 = 0,1; s = 0,18.

5

© Попов Ю. И., Волкова С. Ю., 2017

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2017. № 3. С. 5-17.

2. Оператор V дифференцирования такой же, как и в работах [1-3].

3. Символом 5 обозначим дифференцирование по вторичным параметрам, а значение формы Ю| при фиксированных параметрах —

через . В этом случае оператор обозначается символом

1. Известно [1 — 3], что относительно репера Я1 = {Ау} 1-го порядка ЗН -распределение задается уравнениями

юр = л 4, < = л ^0, <=л ПрЮ0,

„а _ ла ,-К 1 _ А 1 К а _ л а К /-1\

Юр = лркю0 , юр = ЛрКю0 , Ю1 = Л1Кю0 , (1)

®а = ЛРаКюК, < = ЛаКюК, юР = ЛКюК,

где компонентах фундаментального объекта Г2 = {Г1; Лак, ЛгаК, ЛРк} второго порядка ЗН1 -распределения удовлетворяют уравнениям (здесь мы сразу введем краткие обозначения для квазинормалей 1-го порядка)

def def def

л п = ь , л " = ^, л п = ь ,

рп ''р' т ап ^а'

VЛи +лп?ю0 =лП^юо, ^р + ьрю0 -Л-ю° = ьр0 юо,

VЛn.+ЛП-®0 = ЛПо®0, Vti + -ЛпЮП "®0 = ,

^Пр+ЛПРЮ0 =ЛПрОюО, ^а + ьаю0 -ЛПРЮП -ю° = ¿а1,юО,

(2)

V7A а I Л а ^о . \П „С sa^ü А а „L

VAvK +ЛpKЮо +лpq5KЮ„ -окЮр =Лp^^

VAрк +ApKю0 + APqoKюП -5КЮР = ApKLЮ))'

VACK + ACKю0 + AnjOKю„а -5Kю0 = А^Ю, VACK + ApKЮ0 + A"aKюP -5Kю° = ApKlю), VACK +aCKю0 +AокюП -5KЮ° = aCKLю() , VApk +Apkю0 +АПкюP -5Kю0 = Ap^ю) .

Пусть 3H1 -распределение оснащено в смысле Нордена — Картана [1]. Выберем другой точечный проективный репер {LJ}, адаптированный нормализации {vln, v0} L-подрасслоения

¿0 = Ao, L = A +V0Ao, LB = AB, Ln = An +vOAl +lBAb, (3)

где

VvO +юП = VnKЮк, Vvü +ю0 = vüKЮк, VLA + юа = юК . (4)

Уравнения инфинитезимальных перемещений нового репера имеют вид

dLJ =фК LK. (5)

6

Дифференцируя (3) с учетом структурных уравнений проективного пространства и соотношений (1), (3) — (5), выразим фК через юу :

0 0 0/ ; ; п\ 0 0 К , 0 ; п 0 0/ ; ; п\

Фо - ю0 - V; (ю0 - vnю0 I Ф; - V;кю0 + ; - у; (ю0 - упю0),

Ф0 = ю0 - vnюn, ф| - ю| - vn (юП + у0юП) + у0ю0),

Ф0А = Ю0А - ЮП, фА = юА - (ЮП +v0ю0) + v0юА),

и и П „П . , П

Ф0 =ю0, Ф; =ю; +v; ю0,

фА -юА -^(юА -vn юА ), фП = юП +vnю0 + ЬАП ю0А -v0( vnк юК + ьАюА - vn vn юи- ^А юпА),

фА =юА -vn юА, фП =ЧК юК + кА юА (vn юП +1А юА),

В В ТВ п В тВ К , ; В тВ/ ; п , тА и\ ФА =юА - КпюА, Фп = КпКю0 +vnю; - Кп (vnю; + Кп юА ),

п п п „п . и , М,,п ФВ =юВ, Фп =юп +vnю| + Ч юА.

Введем в рассмотрение систему форм {9 А, 9 А}, где

п0 о . т-г0 к пВ ,-гВ к 0

9 А =ФА +ПАкФ0, 9А =ФА +ПАкФ0 -8АФ0.

9ПА =юА - (ПА; vn +ППАс1(п )юП +П

тп юК

АКШ0 '

(6)

(7)

Формы (7) в силу соотношений (6) представим в виде

9А = ю0А +v0(vnюПА -юА)-(ПА;vn +П0АВ1Вп) + П°уФу,

9П = юП - v0(v'nкюК + 1Ап юА -vn(vnюn + 1Ап юПА)) + vnю0 + 1Ап ю0А -- (П П^п + пПа^И )юи +пПк юК, 9А = юА - 1ВпюПА + 8А(ю0 - v0ю0 + v0vnюП) - (ПАvn + ПАс1сп )юП + ПВАКюК, (8) 9вп - 1ВпКюК +vnюВ -LBn(vnюn + ¿АюПА)-(П;^ +П„ВсЬС)юП +П„ВКюК,

ОП _ „п , ,,Р.,п . тА„п „0 .,0(,,1 „п\ /тгп .,; I пп тА^.п.г-гп „ 9п - юп + vnюp + Кп ю А - ю0 - V; (ю0 - ) - (Пп/ vn + ПпАКп )ю0 + ПпКю.

п „К 0 .

Система форм {9А, 9А} (8) определяет нормальную центропроек-тивную связность 1-го рода 91 [3; 4] (центропроективную линейную связность 91) в расслоении нормалей 1-го рода К-подрасслоения данного ЗН1 -распределения, если она удовлетворяет структурным уравнениям Картана — Лаптева [5]:

09°а - 9А л9С +«Арйю£ лю0, 09А - 9А л9ёс + жАроюрр люО

АРО

(9)

Для того чтобы система форм (8) удовлетворяла структурным уравнениям Картана — Лаптева (9), необходимо и достаточно, чтобы охваты компонент объекта связности {ПАК, ПАК} имели такое строение:

7

ПА1 = ПА1 = пП1 = Ппп = ПА1 = 0, ПАп = ПпА = у;0А, Ппп = (у;0 ,

Пппп = 2У0, ПАп = ППА = 5АуП, ПАС = 5А0С + 5С°А, (10)

т-гп _ т-гП _ т0 т-г0 _ т0 т0 т-гП 0 т-г0 _ т~гП 0

11пА - Ап ~ °А, 11АС - °А°С АСуп, 1 _ ^п^п,

где

„0 О . тАт 0 О ,1 \п.,1.,]\\7 „0 т0 т-т А . т-1-0 . тг0 _ п

Уп =Фп +°п°п, Фп =--(Ут -Л1iVЧ), V5Фn -0АПп +упП1 +Пп = 0,

в ^

00 = 1 л 1 00 = 1 л 1 т-0 + „0 = 00 „К Vт А + „А = 0А К

0р =--Лр1, 0а=--Ла1, У0А + „А = 0АКЮ0 , У0п + Юп = 0пКЮ0 .

и в И в

В формулах (10) в качестве тензоров ПП, ПАп можно взять любой из следующих охватов:

П Ап = 0, П Ап = ЛАп, (11)

0 1

ПП = 0, ПП = ^ +У0 +ЛпV',

ППп. = Ъ- -V0 + ЪпV1, ППп = I- -V0 + Ь"V7', ППп = е- -V0 + ъ" V7',

ППп1 = ^ + 01) + ъпvn, ППп = ^ +л 1) + ъпvn, П п = -1(^1 + Е)+ъп vn, П п1 = -1(^1 + Ъ)+ъп vn,

9 1 10 1

ПП1 = ^ + /1) + ъпЧ, ПП = ^ +е1) + ъпЧ, (12)

11 12 П = 01 +л; vn, ПП1 = Л1 -v0 +лп1 vn,

13

П п = Е,-v0 +Л П1 vn,

14 15

П п1 = Б, + 301 - 4v0 + 2ъп vn, П П = Б, + 3Л1 - 4v0 + 2ъп vП,

16 17 18

Пп = Б, + 3Е1 -4v0 + 2ъп^, Ппт = Б,+лп1 vn, П = Ъп^п,

где квазинормалями 0-подрасслоения [1 — 3] являются

Л1 = 1Л*Л, Ц = ЛтЛ^, Ег = —Ц ЛРаЛар,, (13)

г " в + 2 1 п - ш -1

/1 = ^/ъ;^, ъ = , е, = —А— ъРаъар1. (14)

г " в + 2 1 ; - ш -1

Структурные формы (8) при охватах (10) — (12) обозначим соответ-

5е 5е -

ственно 9 А и ^ А. Рассматривая попарные комбинации охватов

0е 1е

(11) — (12), получим тридцать восемь нормальных связностей 9 и 9

(е = 0,18,5 = 1,2).

8

00 00 -

2. Следуя работам [3; 4], представим формы {9 А, 9 А}, определяю-00

щие связность 9 , в следующем виде: 00

9 А - ю0А (vn юПА -юА) + кАкВюВ + К0а( у0 - К0сКСп )юП,

00

9 И- юП +v^ю0 +КАюА -v0КкюК + 1^ -v,nКюП +КАюПА)] +

+ уИ(уИ -КсКп)юИ + уИКсюс,

00

а В „В . т<) В Т В/п . Т 0 п\ сВ г О т0 С ,,0 ; 9 А-юА + КАю0 - Кп (юА + КАю0)-8А [ю0 - Ксюп - vi ю0 -

-(у0 -v0vn - КсКп )юИ ], (15)

00

9 В- ККюК + vnю- - КВп(vnюn + Кспюс) + уИ(юВ -КВю0), 00

а п _ п . т0 п 9 А-юА + КАю0,

00

<лп_ г,п 0 . то с . ,о ; „п . тс„п , 9 и-юп-ю0 + Ксю0 + ^ ю0 + ^ю; + Кпюс +

I т0 тс о ; \„п

+ (2Уи - КсКп vn )ю0. Далее, используя соотношения (10) — (12), (15), найдем зависимости

8е 0 8е в

между формами 9 а, 9 а и формами (15):

8е 00 8

й0 „0 , пи ,,0/„В т В п \ 9 А- 9 А+ П А-уп (ю0 - Ьи ю0), 8е 00 е

9 И-9 И +ПП;уи0(ю0 -vnюП),

8е 00

а В- а -

9А- ^ ^ (16)

8е 00 О В_ о В

9 И - 9 И ,

8е 00 8

9 А -9 А+П Ап(юВ-Л ВюИ),

8е 00 е

9 и -9 И+П П;(ю0-vn юП). В результате справедлива

Теорема 1. На оснащенном в смысле Нордена - Картана К-подрассло-ении данного ЗН-распределения в расслоении его нормалей 1-го рода индуцируются тридцать восемь нормальных связностей, определяемых системой слоевых форм (15), (16), связанных зависимостями (16).

3. Пусть К-подрасслоение ЗН -распределения оснащено в смысле Нордена — Картана. Выясним условия, при которых некоторые из

8е

связностей V совпадают или вырождаются в одну связность. Имеет место

85 80 86 80

Теорема 2. Каждая пара нормальных связностей (V1, V1), (V1, V1),

87 80 88 80 89 80 810 80

(V1, V1), (V1, V1), (V1, V1), ( V 1, V1), индуцируемых на оснащенном в смысле Нордена - Картана К-подрасслоении ЗН-распределения, совпадает

9

тогда и только тогда, когда поле нормалей 1-го рода Ы;-в 0-подрасслоения (при этом выбор поля нормалей 2-го рода произволен) определяется соответственно полем квазитензора {в;}, {^}, {Е;1}, {ъ;}, {/;}, {е1п}.

Доказательство. Действительно, последовательно получаем

v1-v1 «п пт - п пт « ^ + 0)+ъ; V; = 0 «V; =- 2 ъ; (ь. + ь.) = в;, (17)

56 50 1 1 def

V1-V1«-(^ +Л1)+ъ; V; = 0 «V; =- - ъ; & +л,) = ^, (18)

1Л 57 50 1 1 def

ли V1- V1« ^ + Е1)+ъ; V; = 0 «V; =--ъ; и. + Е. ) = ; , (19)

58 50 1 1 def .

V1-V1«+ ъ)+ъ;vn = 0 «V; =- - ъщ, + ъ,) = ъ;, (20)

59 50 1 1 def

V1-V1« ^ + )+ъ; V; = 0 «V; =-2 ъ; (*.. + ) = 1;, (21)

510 50 1 1 def

V ^ V1« -(^+е,)+ъ; V; = 0 «V; = - - ъ; & +е,) = е;. □ (22)

Теорема 3. Индуцируемые на оснащенном в смысле Нордена - Картана 0-подрасслоении ЗН-распределения каждая пара нормальных связностей

52 50 53 50 54 50

(V1, V1), (V1, V1), (V1, V1) совпадает тогда и только тогда , когда соответственно равны нулю тензоры:

def

Т0 = ъ + ъ^п-v0 = 0, (23)

def

= 11 + ъ; V'; ^0 = 0, (24)

def

т =е, + ъ;V'; ^0 = 0. (25)

Определение. Если для нормализации (V;, V0) в смысле Нордена 0-подрасслоения данного ТН -распределения выполняется условие Т° = 0 (23), или 0 = 0 (24), или = 0 (25), то будем говорить, что нормали {V;} и {V0} взаимны [4] или нормализация (V;, V0) взаимна соответственно относительно квазинормали {ъ,}, {1,}, {е,} (14).

4. Нормаль 2-го рода, взаимная с нормалью В1п (17), задается (определяется) в силу (23), (17) квазитензором

1 def

V0 = ъ, + ъв = ъг - А(*1 + Ц) = в. (26)

Следовательно, нормализация (&п, В0) К-подрасслоения взаимно относительно квазинормали {Ъ;} (14) (Т-0 = 0).

Известно [3; 4], что нормализация Фубини (ФИ, Ф0), где

ФИ - 2ЪЩ + 3Ц - 4Ъ]), Ф0 - 2ЪИ(Ц + 3К- - 2Ъ-), (27)

также взаимна относительно квазинормали {Ъ;}.

В случае голономного К-подрасслоения или К-подрасслоения с по-

(!е£

лем симметрического тензора Ли - Щ (Л-.] - 0) также взаимны относительно квазинормали {Ъ;} нормализации Вильчинского (Н-, [3; 4] и Михэйлеску (, М-0), где

--2+ ^),.0 -!(Ъ, -^). (28)

Кроме того, согласно (12) — (14), (17), (20), (26) имеем

ц = Ъ-,В - .0, щИ - мП.

Резюмируя, приходим к выводу.

Теорема 4. При нормализациях (&п(17), (26), (ФП, Ф0) (27) К-под-

82 80

расслоения ЗН-распределения нормальные связности V1 и V1 совпадают. В случае голономного К-подрасслоения или К-подрасслоения с полем симметрического тензора ЛП (Л^ - 0)

а) нормализация Вильчинского (НИ, Н^0) К-подрасслоения порождает сов-

82 80

падающие нормальные связности V1 и V1;

82 80 85 88

б) четверка нормальных связностей (V1, V1, V1, V1) вырождается в одну связность и при этом К-подрасслоение нормализовано полями нормалей Михэйлеску (.М-, .0) (28).

Непосредственным вычислением убеждаемся, что нормализации К-подрасслоения

а) Фубини , 0) (второй аналог), где

с!е£ 1 с!е£ 1

- 2ЪИ(Ц + 3Л) - 4\]), 3"0 - -(Ц + 3Л- - 21-); (29)

Ь) Михэйлеску (т1п, т0) (второй аналог), где

с!е£ 1 с!е£ 1

тИ --1 ЪП1(11 + ti), т0 - ^ - и); (30)

11

12

с) нормализация (Щ;1, Щ0), где

def 1 0 def 1

щ;1 = - - ъ; (л. + ), Щ?0 = 1, - +л 1) (31)

взаимны относительно квазинормали {1.} (14), т. е. тензор 0 - 0 (24).

Кроме того, на 0-подрасслоении с полем симметрического тензора Л"ъ (лП«ъ] = 0) имеем

л 1 = 11, щ0 = ш0, Щ;1 = Ш;.

В результате справедлива

Теорема 5. Нормализации (ЩП, Щ?0) (31), (ж;1, 0) (29) порождают (индуцируют) на 0-подрасслоении ЗН-распределения совпадающие нормаль-

53 50

ные связности V1 и V1.

На 0-подрасслоении с полем симметрического тензора ЛПъ (Л;^ = 0)

5 4 50 57 510

четверка нормальных связностей (V1, V1, V1, V 1) вырождается в одну связность тогда и только тогда, когда 0-подрасслоение оснащено полями (вторых аналогов) нормалей Михэйлеску (т1п, т0) (30).

Введем в рассмотрение квазитензоры 0-подрасслоения

def 1 def 1

е;1 =- 1 К(Е. + ),Щ0 = е, - ^ + Е,), (32)

def 1 def 1

З = 2ъ;;(Б. + 3Е. - 4е.), З? = 2(О + 3Е, - 2е,). (33)

Поля этих квазитензоров на 0-подрасслоении ЗН-распределения порождают поля взаимных нормализаций (Е; ,Ц0), (ЗП, относительно поля квазинормали {е,}, так как тензор Т'¡° - 0 (25).

С учетом этого замечания имеет место (доказательство аналогично теоремам 4 и 5)

Теорема 6. Нормализации (Щ1 ,Ц0), (ЗП, З0) индуцируют на 0-подрас-

54 50

слоении ЗН-распределения совпадающие нормальные связности V1 и V1. На 0-подрасслоении с полем симметрического тензора Л^ (л;^ = 0)

5 4 50 57 510

четверка нормальных связностей (V1, V1, V1, V 1) вырождается в одну связность тогда и только тогда, когда 0-подрасслоение нормализовано полями нормалей Михэйлеску (третий аналог)

def 1 def 1

м; = - 2К (е.. + ), М = ^ - и). (34)

Из теорем 4—6 непосредственно получаем

Следствие. Индуцируемые на оснащенном в смысле Нордена - Картана 0-подрасслоении ЗН-распределения каждая тройка нормальных связностей

85 82 80 86 83 80 87 84 80

(V1, V1, V1), (V1, V1, V1), (V1, V1, V1) вырождается в одну связность тогда и только тогда, когда нормализациями К-подрасслоения являются соответственно (№1п,В0), (2-,2°), (Еп1 ,Ц0) или когда полем нормалей 1-го рода Ып-В К-подрасслоения является соответственно поле квазитензора

{&И}, {2-}, ОП } и нормализация взаимна относительно соответственно квазинормали {Ъ-}, {1;}, {е;}.

5. Найдем условия совпадения тройки нормальных связностей

80 82 814

(V1, V1, V 1):

801 821 8141 [ъ -v0+ъи Ч -0,

[О- + 3К- - 4v0 + 2ЪИV- - 0,

1 с!е£

V- - 2 к (Ц + 3К - 4Ъ,.) -ФИ,

1

и

ае£

v0 --О + 3К- -2Ъ-) -Ф0.

13

Аналогично получаем:

^8^1 I1'+ЪИ ^-0,

[Ц + 3Л' - 4v0 + 2ЪИV- - 0,

1 с!е£

vn - 2К (Ц + 3Л1 - 41 -) - ,

1' ае£

1 ае£

v0 - 2^, + 3Л' - 21-) - 3Г0,

8°1 841 8161 [е> -V0 + Щ V}n - 0,

[ц + 3Е, - 4v0 + 2ЪИV- - 0,

1 ае£

V- -2ЪП(Ц + 3Е--ф 1) - ,

1

1

1 ае£

v0 -2(О, + 3Е, -2е,) - £0.

Следовательно, имеет место

80 82 814

Теорема 7. Каждая тройка нормальных связностей (V1, V1, V 1),

80 83 815 80 8 4 816

(V1, V1, V 1), (V1 , V1 , V 1), индуцируемая на оснащенном в смысле Норде-на - Картана К-подрасслоении ТН-распределения, вырождается в одну связность тогда и только тогда, когда К-подрасслоение нормализовано соответственно полями нормалей Фубини (ФИ, Ф-1), (3-', 0), , ^0) (первые аналоги нормалей Фубини 1-го, 2-го и 3-го типа).

14

Из соотношений (12) находим следующие зависимости среди тен-

зоров П "п{.

11

12

13

ПП+Пп =2Пп ПП+Пп =2Пп ПП+Пп =2Пп

т т т' т т т' т т т'

(35)

В силу равенств (35) приходим к выводу

Теорема 8. Индуцируемые на оснащенном в смысле Нордена - Картана Ь-подрасслоении УН -распределения каждая из троек нормальных связностей

81 811 85 81 812 86 81 813 87

(V1, V 1, V1), (V1, V 1, V1), (V1, V 1, V1) вырождается в одну тогда и только тогда, когда в каждой тройке любые две нормальные связности совпадают.

Доказательство. Действительно, если в любом из равенств (35) ка-

кие-нибудь два тензора П П совпадают, то и все три тензора из этой тройки совпадают. □

6. Предполагая, что Л— = 0, найдем условия совпадения любой па-

81 85 811 80

ры из тройки нормальных связностей (V , V , V ) со связностью V . Из соотношений (12), (20), (28) последовательно находим.

81 85 80

а) V1= V1= V1 »

и +У0 +Ц УП =0, + Ъ,)+ьп уП = 0,~

1 с!е£

у0 = 1(Ъ - и) = м

1 с!е£

уП =- 2 ьп (^ + ьj) = .

80 85 811

Ь) V1= V1= V1 »

Ъ-У0 +ьп уП =0,

+ Ъ) + ьп уП = 0,~

ае£

у0 = мт0,

1 с!е£

уП =- 2ЪП (Ъ; + ^ ) =

81

811

80

с) V1= V1= V1 »

[ъ,-у0 +ЪП уП =0, [^+у0 +ъпп уп =0,

ае£

у0 = 2(Ъ - Ь) =

, ае£

уП = -

Таким образом, справедлива

Теорема 9. На оснащенном в смысле Нордена - Картана Ь-подрасслое-нии УН -распределения с полем симметрического тензора ЛП = Щ (Л^] = 0)

81 85 811

любые две нормальные связности из тройки (V1, V1, V 1) совпадают со

80 80 81 85 811

связностью V1 и четверка нормальных связностей (V1, V1, V1, V 1) вырождается в одну связность тогда и только тогда, когда Ь-подрасслоение нормализовано полями нормалей Михэйлеску (мп1, мт0) (28).

Аналогично (см. теорему 9) с использованием соотношений (12), (21), (22), (30), (34) доказываются следующие теоремы.

Теорема 10. На оснащенном в смысле Нордена - Картана Ь-подрасслое-нии УН -распределения с полем симметрического тензора Л"аЬ = ЬпаЬ (ЛПяЬ] = 0)

81 86 812

любые две нормальные связности из тройки (V1, V1, V 1) совпадают со

£

80 ! 80 ! 81 ! S6 ! 812 !

связностью V и четверка нормальных связностей (V , V , V , V ) вырождается в одну связность тогда и только тогда, когда L-подрасслоение нормализовано полями нормалей Михэйлеску (mln, m0) (30).

Теорема 11. На оснащенном в смысле Нордена - Картана L-подрасслое-нии VH-распределения с полем симметрического тензора ЛUv = bnv (Л^^ = 0)

81 87 813

любые две нормальные связности из тройки (V1, V1, V 1) совпадают со

80 80 81 87 813

связностью V1 и четверка нормальных связностей (V1, V1, V1, V 1) вырождается в одну связность тогда и только тогда, когда L-подрасслоение нормализовано полями нормалей Михэйлеску (Mln, Ш°) (34). 7. Используя уравнения (2) убеждаемся, что функции

^ =--m__ л? , ¿n = -Лn (e. + tj), (36)

n - m -1 J J

X =-1Л Pp, Ч =-ЛП (h + h) (37)

r F

являются квазитензорами 1-го порядка (36) и квазитензорами (37) 2-го порядка. Теперь нетрудно проверить, что соотношениям

81 80

V1^ V1 »tt +v0 +лп.v>n =0 (38)

удовлетворяют:

a) в 1-й дифференциальной окрестности поля нормалей {e'n}, {e0};

b) во 2-й дифференциальной окрестности поля нормалей из пучков

def def

vn(^1) = Mi + и( M^ -x n), v0 (и) = Mi0 + ^(MJ0 -X0), (39)

def def

vn(M = x n +MX n - in), v0(M = X0+MX 0 -i), (40)

def def

vn(Ц3) = Mn1 + ^(Mi -in), v0^) = Mi0 + ^(MJ0 -l0) (41)

при каждом фиксированном параметре ц.

Теорема 12. На оснащенном в смысле Нордена - Картана L-подрасслое-

нии VH-распределения нормальные связности V1 и V1 совпадают (38), если

полями нормализующих объектов {v'n}, {v0} являются:

1) в первой дифференциальной окрестности - поля нормалей (eln, e0);

2) во второй дифференциальной окрестности - поля нормалей любого из пучков (39) - (41) при каждом фиксированном параметре ц.

Так как тензор Лn невырожден (det |^Ц ^ 0), то из соотношений

ЬпТП = 0 следует, что тензор Т = 0.

Теорема 13. На регулярном оснащенном в смысле Нордена - Картана L-подрасслоении VH-распределения с полем симметрического тензора

818 80

(Л^] = 0) нормальные связности V1 и V1 совпадают тогда и только тогда, когда L-подрасслоение коинцидентно [6].

15

8. Пусть Ь-подрасслоение ЗН -распределения оснащено в смысле Нордена — Бортолотти [3; 4]. Используя двойственную теорию оснащенных многообразий [4], нами построен двойственный образ данному ЗН1 -распределению — ЗН1 -распределение проективного пространства Рп [1; 3; 7]. Для ЗН1 -распределения системам форм (15), (16) соответствуют двойственные им системы форм (9А, 9 А}, имеющие аналогичные строения (формы и функции, входящие в выражения форм,

записываются с чертой сверху). Системы форм (9 А, 9 А} задают нор-

бе

_ мальные связности V1 в расслоении нормалей 2-го рода, двойственные

16 8е1

_ по отношению к связностям V относительно инволютивного преобразования ] [8]. Формы (9А, 9 ®} имеют следующее строение.

00

77 0 аП г. О, В . а В а Сп . а В/10. т0 а С\п . В . ,, — В

9Л=ЛВЛ[у;уПю0 +ЛпЛпюС +Лп(Пп +ЬСЛп )ю0 + юп + уПю; ,

00

9П= юП -Ь0л»А -У0®П +УП[у0кюК -Ь0» -У0(У0®0 + Ь°С®С)] + +пП[ лВюВ +(пП +№ К ],

00

9 А =ЛВС[йЛ"СА + (ЛСП + Ь0С)ЛХАюП -Лп0А(Ь0Сю? + юС)] + (42)

+ ЛипЛ"ш юВ +8ва [ЛС юС +уП юП + (пП +Ь0сЬсп +у0 уП К +< ], 00

9 А = ЛВА(ЬпюП -ю0 ),

00

77 В лВСгт 0 К. т0/0 1 , А\ . 0/,. п ,т 0 \п . ,0 ¿П| О, В

9 п =Лп [ЬСК ю0 + ЬС ( у1 ю0 + ЬАю0) + Пп (ЛСп + ЬС )ю0 + у1 юС ] + nпю0, 00

п П П 0 , 0 1, 1 п.твп, т0 В , /г» 0 , т0 т В , 0 1 \ П 9 п= юп -ю0 + у1 ю0 + упю1 + ЬпюВ + ЬВю0 + (2Пп + ЬВЬп + у1 уп )ю0,

5е 00 А

9 А= 9 А +П Ас пП [юС +ЛСВ(ЛВп + 4 )юП ],

5е 00

9 П =9 П +П П; пП [ю0 + Л £( Л ПП +У0)ЮП ], пП = у0,

5е 00 00

9 А= 9 А, 9 В= 91, (43)

5е 00 А

9 А= 9 А+П Ас[юС +ЛСВ( л пвп + Ь0В )юП ],

5е 00 £

9 п =9 п +п П;[ю0 +Л £( Л Пп +у0)юП ].

Каждая из систем форм (9 А, 9 А} удовлетворяет структурным уравнениям Картана — Лаптева [5]. Таким образом, справедлива теорема, двойственная теореме 1.

Теорема 14. На оснащенном в смысле Нордена - Бортолотти Ь-подрас-слоении данного ЗН-распределения в расслоении его нормалей 2-го рода индуцируются тридцать восемь нормальных связностей V1, определяемых системами слоевых форм (42), (43).

Список литературы

1. Попов Ю. И. Сильно взаимные трехсоставные распределения проективного пространства // Деп. в ВИНИТИ РАН 29.09.2003, № 1743-В2003.

2. Попов Ю. И. Сильно взаимные трехсоставные распределения проективного пространства // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2015. Вып. 10. С. 62-76.

3. Попов Ю. И. Основы теории трехсоставных распределений проективного пространства. СПб., 1992.

4. Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий. Чебоксары, 1992.

5. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Московского математического общества. 1953. Т. 2. С. 275 — 382.

6. Mihailescu T. Geometrie differentiala projectiva. Bucaresti Acad. RPR, 1958.

7. Попов Ю. И. Двойственные нормальные связности базисного подрасслое-ния SH-распределения проективного пространства // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 2006. Вып. 37. С. 137 — 144.

8. Попов Ю. И. Инволютивное преобразование трехсоставного распределения проективного пространства // Естественные и математические науки в современном мире : сб. статей по материалам XXVII международной конференции. Новосибирск, 2015. № 2(26). С. 33—47.

Об авторах

Юрий Иванович Попов — канд. физ.-мат. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E-mail: yurij.popoff2015@yandex.ru

Светлана Юрьевна Волкова — преп., школа «Росток», Калининград.

E-mail: yurij.popoff2015@yandex.ru

About the authors

Dr Juriy Popov, prof., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad.

E-mail: yurij.popoff2015@yandex.ru

Svetlana Volkova, teacher, «Rostock» school, Kaliningrad.

E-mail: yurij.popoff2015@yandex.ru

17

УДК 550.388.2+519.63+533.9

К. Ю. Богомолов, С. А. Ишанов, Н. М. Кащенко, С. В. Мациевский

МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ В ИОНОСФЕРНОЙ ПЛАЗМЕ

Рассмотрена модель распределения концентраций, скоростей и температур ионов вдоль геомагнитной силовой трубки. В этой модели также учитываются основные процессы химической кинетики, амби-полярная диффузия, влияние горизонтального нейтрального ветра и нагрев плазмы сверхтепловыми электронами.

© Богомолов К. Ю., Ишанов С. А., Кащенко Н. М., Мациевский С. В., 2017

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2017. № 3. С. 17 — 26.