Введение проективных связностей на -распределении проективного пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА

УДК 514.75 (08)

Ю. И. Попов

ВВЕДЕНИЕ ПРОЕКТИВНЫХ СВЯЗНОСТЕЙ НА SH-РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА

Дано построение проективных связностей, определенных путем проектирования и ассоциированных с подрасслоениями Л, L, E сильно сопряженного трехсоставного распределения (SH -распределения) проективного пространства. Приведены охваты компонент тензоров кручения-кривизны построенных проективных связностей Г, Z, S соответственно подрасслоений Л, L, E SH -распределения. Указан способ построения двойственных проективных связностей Г, Z, S, соответствующих связностям Г, Z, S.

Projective connections defined by projection and associated to subbundles Л, L, E of the strong dual threefold distribution (the SH -distribution) of the projective space are constructed. Coverages of torsion-curvature tensors components of the constructed projective connections Г, Z, S of subbundles Л, L, E of the SH -distribution respectively are given. The way of creation of dual projective connections Г, Z, S corresponding to connections Г, Z, S is specified.

Ключевые слова: распределение, проективная связность, подрасслоение, тензор кручения-кривизны, объект проективной связности, геометрический объект, охват геометрического объекта.

Key words: distribution, projective connection, subbundle, torsion-curvature tensor, projective connection object, geometrical object, geometrical object coverage.

Данная статья является непосредственным продолжением работы [1] и выполнена инвариантным теоретико-групповым методом Г. Ф. Лаптева [2; 3].

Во всей работе использована следующая схема индексов:

J, K, L = 1~n ; J, K, L = On ; f, p, q, s, t = 1, r; f, p, q, J, t = 0, r; f, p, q, s, j = {1, r; n};

h, i, j, k, l = r +1, m; h, i, j, 1c, l = {r +1, m; n}; h, i, j, k = {0; r +1, m};

a, P, у, "л, s = m +1, n -1; à, P, y, fi, il = m +1, n;

a, b, c = 1, m; a, b = {1, m; n}; a, p, т = 1, n -1;

A, B = {1, r ; m +1, n -1}; A, B = {1, r ; m +1, n}; u, v = r +1, n -1; u, v = r +1, n, а также обозначения и символы работы [1].

5

© Попов Ю. И., 2017

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2017. № 1. С. 5-15.

1. Как известно [1], относительно репера 1-го порядка дифференциальные уравнения .9Н -распределения имеют вид

ю" =Л"~юЦ, ю" — Л"^, Ю"=Л

" - Л"-ю0

0'шI --"Ч] 0' а _ арО'

* а „А / _ \1 Я „а _ а 5

„а _ \ а А _ а 1 ^я ^а _ л а „5 /-] \

<Р — ЛрАю0 , юр -ЛРаЮ0, <1 -Л15<0, (1)

Р рА О' •"■ря

-

аА

—ЛрАюА, ®р—л р ®о, <а—л аг®5,

(2)

где компонентах фундаментального объекта второго порядка Г2 — {Г1; Л Ра , Л Ря, Л а5} удовлетворяют уравнениям

УЛ "ц +Л р?ю° — Л ,

УЛР„ +ЛР"®0 -Лю" -®Р — ,

УЛ" +Л]ю0 —Л ^, УЛ"" +Л""®0 -Л"ю" -ю0 —Л, УЛ " р+Л" рю0 — Л " р0 юо,

ул а"+Л""ю0 -л " р®" -ю°—л а"ою0,

Т7Л а . »а 0 . к" „ а 0 л а „0

УЛрА +ЛрАю0 +ЛпЪАю" Аюр — ЛрАою0,

УЛрА + ЛрАю0 +Л"Аюр -5Аю0 — ЛРАою0,

аА аА 0 аА " А а аА0 0'

т-7 а а . »а„ 0 , л " я/„ а га„ 0 »а „0

УЛ15 +Л 15ю0 +Л1-55ю" -55ю1 —Лi50ю0,

УЛа5 +Ла5ю0 + Ла5ю" -55ю0 — Ла50ю0,

УЛря+Лря®0 +лр^5|ю" -5Яюр — ЛРЯ0®0,

УЛ I +Л р^ ®0 +Л"я юр-5рю0 —Л ря0®0.

Имеет место [1].

Теорема 1. В "-мерном проективном пространстве Рп сильно сопряженное распределение .Н (1), (2) существует с произволом 2г(" - ш -1) функций (" - в) аргументов, 2гв функций (ш +1) аргументов и 2(" - т -1) х х (ш - г) функций (" - г) аргументов.

2. Рассмотрим пространство проективной связности Рп,г, "-мерной базой которого является точечное проективное пространство Р", а слоями (г-мерными центропроективными пространствами) — плоско-

ае£

сти Л г — Л соответствующих г-мерных линейных элементов базисного Л-подрасслоения данного .9Н -распределения.

Проективную связность Г пространства Рп,г определим при помощи системы форм {Т р}:

Тр —юр - ГГр^юК,

ц ц цК 0 '

6

удовлетворяющих структурным уравнениям [3; 4]

=ю„ лю[ +Ю0 ЛЮ0, (3)

ОТр = Т лТр + юК лДГЦК, (

ц ц й и цК'

где

ДГрк = йГрк -Г^юЦ +Г^юр - ГюК + ггркю0 юИ - ГГЦкю0,

А И __А п _ СП

Л0К = оК, Лик = оК •

Геометрический объект Гр,, следуя работе [4], назовем объектом проективной связности пространства Рп,г•

Формы Тр (3) определяют проективную связность в слоях (плоскостях Л-подрасслоения) пространства проективной связности Рп ,г тогда и только тогда [2—4], когда

ДГЦк = ГркХ • (4)

При этом структурные уравнения для слоевых форм Тр (3) пространства Рп,г имеют вид

ОТр = ТЦ лТ? + якюК лю'0, (5)

где ЯК = Гр[К1] — компонентах тензора кручения-кривизны проективной связности Г пространства Рп,г.

Пусть базисное Л-подрасслоение 5Н -распределения оснащено в смысле Картана [5] внутренним образом. Итак, в каждом центре Л0 элемента 5Н -распределения внутренним инвариантным образом присоединена оснащающая плоскость Кп-г-х(\гп) [5], принадлежащая нормали 1-го рода Ып-Г (Л0) базисного Л-подрасслоения и не проходящая через точку Л0.

Известно [5], что плоскость Картана Кп-г-1( уЩ) натянута на точки К = Л +Л0Л0, К = Л. +Л0Л0,

о о о 0' I I I 0' (г\

К (ур) = (у0 + уи Л0 )Л0 + урЛ + Л, ( )

п^ п' ^ п п и' 0 п р п'

где

V00 = --(уР -Л" У у'), Уоу0 -у00 л" + ур л00 + л0 =0,

п г Р РЦ п п 0 п " п п р п '

Л0 = - - Л р , УоЛ0 + л" = 0, Л0 = -1Л р, УоЛ0 + л0 = 0.

о г ор о о о ' I г " 1 г

Построим проективную связность Г, внутренне определенную самим 5Н-распределением, т. е. построим охват объекта проективной связности Г фундаментальными объектами 5Н -распределения.

7

Предварительно запишем систему дифференциальных уравнений (4) в следующем вице:

УГр = 0 УГР - ГР юа + юР — ГР ю0

УL0a-yJ'УL0n 1 0а a'nTa'n 1 0п0Ш 0'

УГ0р +Г0рю0 = 0, УГ0И +гриюр + ю^ — Г0И0ю0 УГ0" -Г0" ю" +гр"юр +ю" —Г

0" Г 0аюп 1 Г 0пюр 1 юп Г 0п0

УГ + ГР ю 00-Г ю0 + Л" юр =0,

ц а ц а 0 0 а ц ц а п '

УГ +Грю0-Гр ю0-Г юа +Л" юр = 0,

цп цп 0 0п ц ца п цп п '

(7)

УГ0 +Г0 ю!°-Г0 ю0 + Г ю0 +ЛЙ ю0 = 0,

ц а ц а 0 0 а ц ц а в ц а 5 '

УГ0 +Г0 ю0-Г0 ю0 + Г ю0 + Л5 ю0-Г0 юа =0.

цп цп 0 0" ц цп в цп 5 ца п

Непосредственной проверкой убеждаемся, что уравнения (7) удовлетворяются, если охваты компонент объекта проективной связности

Г — {ГГрК} представить в виде

Г0а — 0, Г0" —Vр ,

-0,

(8)

Г0 — 0 Г0 — Л0 Г0 — V0

1 0 р 1 0 5 1^5> 1 0"

Гр„ — Л 5К Vp,

цК ц К п'

Г° — Л", 5К V0 +Л 0Л аА5А +Л0 Л '~51.

цК цЬ К п а цА К 1 ця К

Замечание. Порядок £ ^ 2 охвата объекта проективной связности Г по формулам (8) зависит от порядка охватов квазитензоров {V"}, {V", V", Л5}.

Слоевые формы Тр пространства проективной связности Рп,г, внутренне определенного на подрасслоении Л с .9Н, имеют вид

Т 0 —ю0 - (vn5"к +Л 5 5К )юК, тр — юр - V"5КюК, тр — юр - V"Л"5КюК, (9)

т0 — ю0 - (V0Л5К +Л0ЛаА5А +Л0Л'я5К )юК.

ц ц \ п цЬ К а цА К 1 ця К / 0

Можно показать, следуя работе [4], что построенная внутренним образом проективная связность Г определена путем проектирования при помощи оснащающей по Картану плоскости Кп-г^^) — [К;, Ка, Кп ] (6).

Компоненты тензора кручения-кривизны Я!рК0 пространства Рп,г в структурных уравнениях (5) имеют следующие охваты:

8

= Л0урЛ'-5?К5?] +Л0урЛа25ЛК5? + у0урЛп;5К5? -Л0Л ^5?] -

0 К? I п ра [ К ? ] о п рЛ [ К?] п п Ы [ К?] г ра [ К?]

-ЛЧа35ЛК5?] -у0Лп;5*5?] -Л0[К5"] -у0[К5?],

о рЛ [ К ? ] п р [ К? ] "[ К?] п[ К ? ]'

я0К, = Л05"К5?] + у05!К.5?] + уруЕЛ".5*5" -Лр5аК5гП -

0К? " [ К? ] п [ К? ] п п в. [ К?] га [ К?]

-Л^5°° -урЛ" 5[К5^] -VЛ005"К5? ] -ур[К5",

оЛ [К ?] п в. [К ? ] п " [К ? ] п[К ? ]'

ЯК = у0Лп;5.К5?] - урЛ"5? - Лур[К5? ] +Л0Лг Жк5?] +

цК? п [К ?] п [К ?] п[К ? ] г ца [К ?]

+ ЛЧа35ЛК5р] +ЛгаЛ^5аК5?]+Ла3Лой5ЛК5?] -уру0Лп;5?„5" -

о цЛ [К ? ] ца й [К ? ] цЛ оВ [ К ? ] п п ^ [ К ?]

- у Л0 Лга 5аК 5"- ур ЛЧ^ 551 ] - урувЛ " Л5К 5? ],

п г ца [ К ?] п о цЛ [ К ? ] п п [К ?]'

яК = у00Л"Г[К5? -Л";у0[К5? +Лга5аКл00|П +Ла25ЛКЛ0 ? -

цК? п цг [К ?] п[К ?] ца [ К |г|?] цЛ [ К | о|?]

-Л0Лца[К5?] -лол^К5?Л] - уу°пЛпф5[К5^] -уЛ0Л^К5^--у^Лол-Л5ЛК55?] ^Л"Л^5[к5?] -Л0Л0Л^к5?] --Л"Лол:Л5ЛК5?] - уУЛпЛп5[к5] -Л0УЛ^Лва5[к5?] --Л0 УЛ ЛоЛ5[к^

9

3. Рассмотрим пространство проективной связности Рп,в, п-мерной базой которого является точечное проективное пространство Рп, а слоями (в-мерными центропроективными пространствами) — плоскости ? (в = т - г) соответствующих в-мерных линейных элементов ?-подрассло-ения данного 5Н -распределения.

Определим проективную связность Ъ в Ь-подрасслоении при помощи системы форм {01}

0} =ю} -ЪЪкюК, (10)

удовлетворяющих структурным уравнениям [3; 4]

Ою0 = ю? лю? +ю0 лю0,

(11)

где

О0| =001 л00 +юК лДЪЪк,

= -4 ю? ю"! -г!? ю?к +Ъ}к ю0 +Л^ ю^ - г*? г^ ю?,

Л ЛК =5К.

Для того чтобы формы 0^ (10) определяли проективную связность в

слоях (плоскостях Ъв подрасслоения ? с 5Н) пространства проективной связности Рп,в, необходимо и достаточно, чтобы было задано поле объекта связности {Ъ1К} [2] —[4], т. е. в^тполнялись дифферепциальн^1е уравнения

ДЪ }к =г I? ю?. (12)

10

В этом случае структурные уравнения слоевых форм 64 (10) 0-подрас-слоения данного .9Н -распределения имеют вид

Щ — бк л61 +ЦК0юк0 лю0, (13)

где П]К0 — 2][К0] — тензор кручения-кривизны проективной связности

пространства Рп,б [2—4].

Предположим, что 0-подрасслоение оснащено в смысле Э. Картана внутренним образом полем плоскостей Сп-8-1( V")(А0) [5].

Оснащающая плоскость Сп-в-1( V")(А0) натянута на точки [5]:

Са— Аа+ 00аА0, Ср — Ар + 0^,

С" (V") — (ф" +vА0А )А0 +vаА + А„,

(14)

где

1

0 / 1 а п 1 ] \ \-7 0 т 0 а т 0 р . 1 0 , 0 г\

ф —— (V ■ -Л-V V), У5ф — 0п -0 к +v п + п — 0,

тп ^ V т 1- п п /' 5 тп а п р п п 1 п '

00р — - -в Л р1, У50°р +пр — 0,00а — - -1Л а, У50°а +па — 0,

00А — -1Л А, У500А +пА — 0. в

Построим проективную связность 2, внутренне определенную самим .9Н -распределением.

Охват компонент объекта проективной связности 2 можно осуществить с помощью функций

г0 ,_0яп . т 0 я А гу1 ,1 гу1 Л п $?Н ^ г

0К — Фп5К + 0А5 К , 20К — Vn5K , 2-К — ЛН 5К Vт , , ч

. - * (15)

20К —Ф"Л "5К + 0^ + 00р Л ря5К,

которые удовлетворяют соответствующим дифференциальным уравнениям (12).

В силу (15) слоевые формы 61 пространства проективной связности Рп,в, внутренне определенного .9Н -распределением, примут вид

а0 „0 /„Ояп . т 0 еА\^К 60 — ю0 - (Фп5К + 0А5К Мм

г\1 1 .1 Я." г\1 „ 1 а пей л -.К

0 — ю0 -vm5KюК, 6} — ю) -Лпн5КV"юК, (16)

0 — ю0 - (ф"Л"5К + 00л;5К + 00рЛрй5К )юК.

Следуя работе [4], нами доказано, что проективная связность 2, определенная формами (16), получена проектированием при помощи оснащающей по Э. Картану плоскости Сп-в-1( V")(А0) (14).

Компоненты тензора кручения-кривизны {ПЮк?} связности Ъ, определенной в слоях Ь-подрасслоения, в структурных уравнениях (13) имеют следующее строение:

П0к? = а>0унЛ".5К + I0 у?Л5" + 10у}гЛШк54, -?Л*5"к5?] -

0 К? тп п Ь.1 К оп пи [ К ?] р п ¡ш [ К ?] о пи [ К?]

- ?ЛПа5ак5?] -ФпЛюк5?] - ?Л[к5Л] -Фп[К5п], П0к? = упуПЛп5Юк5п] + ?0ЛуП5пк5Л] +фП5пк5?] + Ь0А5,К5?] -

-Ло"5"к5оо -Лра5ак5?] -у"N¡5-5?] -у"[к55?],

11

П',к? = Л0[К у* ] -Л "¡[К5?] у" + Ф" л Пп 5Пк5? ]+Л оЛ ;5"к5?] + + КЛ^Ик5?] +л;лои5"к5?] +Лралрь5ак5?] -уПф0лпП5^5"] --ул;5"к55?] -у"?,Лра5ак55"] - у"у"Л"пЛ"5^5?],

ПК = Л"ЛкФП|?] -Ф"Л"¡[К5?] - ?0оЛМК5?] - КЛра[К5?] --л;ь0о[ к 5? ] - Л р?^ к 5? ] -фПф" л "п 5?к 5?] -фПь0рлР"5"к5П] -

-фП?рЛра5ак55"] -фИ?,ЛП55Л]-10л10,л^"5"К5Л] -

- 10А10Л5?к5Л -Ф0улЛПЛ"5К5? - ? упЛпгЛ" &к5"] -

Ар ]а [К ? ] Тп п уг Ы [К ?] о п уг п" [ К ?]

- Ь0ун Л 4 Л5!к 5? ].

р п уг па [ К ? ]

4. Е-подрасслоение 5Н -распределения [1] можно трактовать как пространство проективной связности РП,П-т-1, и-мерной базой которого является точечное проективное пространство РП, а слоями ((и - т - 1)-мерными центропроективными пространствами) — характеристики ЕП-т-1 соответствующих (и - 1)-мерных линейных элементов оснащающего Н -подрасслоения данного 5Н -распределения.

Проективную связность 9 в слоях Е-подрасслоения (пространства Рп,и-т-\) можно определить при помощи форм :

зо=юо-эок юк, ат)

удовлетворяющих структурным уравнениям [3; 4]

О»Ю=д-лд-+юК лД9|к,

где

Д9?к=йЩк -9о?юК ю!ю-;+9ок ю0 +Лк ю? ю?,

Л 0к =5К.

12

Геометрический объект (9°к} назовем [4] объектом проективной связности Б-подрасслоения (или, что то же, пространства Рпд-т-г). Для того чтобы формы 9а определяли проективную связность 9 на Б-подрасслоении,

необходимо и достаточно [2—4], чтобы было задано поле объекта связности (9°к}, т. е. выполнялись дифференциальные уравнения

= 9°°кХ, (18)

или, что то же,

ТО^ЗХлМ^К л^,

где Т°К1 = — компоненты тензора кручения-кривизны (Т^}

Б-подрасслоения (пространства Рп,п-тл).

Непосредственной проверкой убеждаемся, что уравнения (18) удовлетворяются, если охваты компонент объекта проективной связности (9°к} представить в виде

90К = +В05К, 9дк = <5К, 9рк = у'л^К,

9°к =^п л :,5К+В0л ^ Л?^,

(19)

где

1

0 ± /а Л п аР\т-7 0 0 _ а . а_ 0 . _0 /л 6п =--Т(^а "Ла^уп Л у56п - 6а^ + УпЛа + лп = 0

п - т -1

О 1 лау7 0 . _0 п

6. =--Л. , У5е,- +п- = О,

г -1 га' 5 II'

п - т -1

б0 =--1-Ла , У5е° +6° = О,

р ра' 5 р р '

у п - т -1 у у у

0 1 Л»У7 0 . _0 /л

6 =--Л. , У56 + я = 0.

а га' 5 а а

п - т -1

Замечание. Порядок £ ^ 2 охвата объекта (9°к} (19), а также объекта (2г-К} (15) зависит от порядка охватов квазитензоров (у а}, (уЩ}, (б0п, 6а, у а }, (фП, Ь0А, у'п}, участвующих в охватах (19), (15). Построение квазитензоров (уРп }, {у'п }, (у°} различных порядков приведены в работах [5; 6].

Итак, слоевые формы 9а (17) связности 9 в силу (19) примут виц

о0 0 /0Яп. 0Яа \ К 90 = Ю0 -(6п5К + 65КК ,

па ^ а ,аоп ^ к 90 =Ю0 -уп5КЮ0< па ^ а А ,а а п оу

9Р =Юр -Уп Лру5КЮ0

к (20)

9а = ®°а - (бПЛ"ау5К +б0 Л 'а, 5К + Бр Л 0а5А )*

Нами показано, следуя работе [4], что проективная связность 9 определяется путем проектирования при помощи оснащающей в смысле Картана плоскости

С~т (Л) = [Кр , К , К" ]

[5; 6], где

Кр = Ар -уд, К = Л -в?А0, К" =(в" +уПМа0)А+у„а Аа+А".

Проведем охваты компонент тензора кручения-кривизны {ТрК?} связности 9, определенной на Е-подрасслоении многообразия 9Н:

17~0 0 - л п , „0 - * р , „0 - * г " п „0 £а

Т0К? = В"уПЛ-о5[К5?] + ВруПЛ-Л5[К5?] +В0 уПЛ-"5[К5?] Ва[К5?] -

-в0Лр-5Л 5- -в0Лг 5" 5- -в0Л" 5о 5- -в0 5"

р -Л [Ки?] ЬгУ1-"и[Ки?] п - а [ К ?] Ьи[Ки?]'

Т0К, = уаууЛ"й5рк5"] +в05"к5" +в05"5" -уаЛ"Р5рк5?] -

0К? п п -р [ К ? ] п [К ?] а [ К ?] п -р [ К ? ]

о Оса яуп \ о ?Л а ос" с. о оп

-у в 5[к5?] - Л а5[к5?] - Л-5[к5?] - у [к5?],

п а [ К ? ] рЛ [ К ? ] г" [ К ? ] п[ К ? ]'

ТрК? =Л"-5-ку??] - у:Лр-[к5?] +в0Л^-5-к5?] + врЛ^л5Ак5?] +

+ в0ЛР"5"к5° +ЛрлЛ;в5Лк5В] +Лр"Л:5"к5И] -^005?] --у?в0ЛРл5Ак5?] -у?в0ЛР"5"к5?] - у?у-Л^Л-^5?], Т0 =Лп-5Р в0 -в0Л" 5- -В0Лр~ 5Л-в0лг 5" -

Та.К? ари [ К |и|? ] ьпп :-[ Ки?] Ьр^оЛ[К ?] Ьг^о"[ Ки? ]

-Лр в0 5Л -Лг в0 5" -в0в0Л" 5Р 5" -в0в0Лг 5л 5" -

^°льр[ки?] о" г[к ?] ьиьи^°ри[ки?] ьрьп^°«ли[ки?]

-в0в0Л°"5"к5?] -в0в0ЛПор5рк5?] -в0в0рЛ^5?] -

5"к5? ] -в0 у" л:рл-в5Рк5? ] -в0 у-л:рлПЛ5РК 5 --В0у-ЛИ~Лг 5Р 5" 5. Рассмотрим систему из (и + 1)2 форм Пфаффа юК :

ю0 = ю0 -БкюК, юр = ю0 +ЛрЛ^ю", ю0 = ю0 +ЛП¡"Х, = ю00 +Л:РЛР"ю", ю" = ю", ю" = -Л"цюЦ, ю" = -Л4ю0, юр =-ЛРа ю° , юп =ю" - Бк юК, ю0 =Л" ю0, юг = -Л "Л 'ю',

п п о' п п К 0' р цр 0' р цр п ] '

ю" = -л; ю0, ю°о = -л; л>р, ю0 = лию", юр = -л;ли юц, (21) юр = юр +Л"ЦЛ"ркюК -5рБкюК, = юу +ЛП'ЛИкюК -5&юК, ю? = -Л"гЛ:Рю°о , ю" = -Л"гю0 , ю0 = ЛРоюР , = -ЛПЛРаюР ,

юра = -Л"ц Лр° юЦ, < = -Л;>0, = ю° +ЛП"ЛИак юК -5° Бк юК.

Заметим, что формы (21) удовлетворяют структурным уравнениям проективного пространства РИ и задают инфинитезимальные перемещения тангенциального репера {Ху}:

Оту =юК хк,

13

где

14

= Р[ А,, Лр , Лг , Л„ ], ^ = Р[ , Лр , Лг , Л, ], ъГ =рХл;[Ао, Л, ..., Л,Л„, Л9+1, ..., Л; Л,, Аа],

ъ = р^л; [ Ло, ЛР, л+1,..., А _1, л„ , А+1,..., ли ; ла ],

]

Ъа =р^л;а[ Ло, А, Л,, А.+1,•••, Лр-1, Л„, V,..., А-Л,

р

л = аеЬ i|лпЛ Ф 0,1 = аеЬ i|лп ii Ф 0, Е = аеЬ i|лЧ ф о,

Р =

^> 5 = ае11|5Пр|| = Л-1 • Е ф 0, 5К = — (Лк + 1К +ЕК),

V Б К + Бк ^0 +8К -Л "ПК 0.

В работе [5] доказано, что регулярное (Б ф 0) трехсоставное распределение

ТН1 с Рп

во второй дифференциальной окрестности его образующего элемента индуцирует проективное пространство Рп, двойственное исходному проективному пространству Рп относительно инволютивного преобразования р форм юК по закону (21). Данное утверждение справедливо и для 5Н -распределения — частного класса трехсоставных ТН1 -распределений [6].

Дифференциальные уравнения геометрического образа

с Р,

п '

двойственного данному 5Н-распределению (1), (2) пространства Рп, имеют вид (без соответствующих замыканий)

ю" = Лю0, ю" = ЛПй, й" = Л"Рю0,

р р, 0' г г] 0' а ар 0 '

— X" Т^Л —г _ ~Гг —а Та—V

й =Л -й , ю =Л -Юп, й =Л~ЮП,

р рЛ 0' г Ра 0' г IV 0'

й" = Л"ЛюЛ, = Л?-®0, й" = Л'-Ю.

а аЛ 0' г га 0' а "V 0

Каждая из систем величин [5; 6]

У=-лрч у^, у=-л>0, у=-лп у0, V» =Л ъ Укп, у =л; у, , у" = лр„Ур

(22)

(23)

образует квазитензор, двойственный соответствующему квазитензору 5Н -распределения относительно преобразования р (21).

Следуя работе [7], укажем способ построения двойственных проективных связностей относительно инволютивного преобразования р (21). Строим, например, охват объекта проективной связности

__ай _

(Г рК =П рК }

двойственного образа

с Рп,

аналогичный охвату объекта (ГрК} (для величин (Г^,} входящие в них

формы и функции пишутся с черточкой сверху). После чего по закону р (21), учитывая при этом формулы (22), (23), находим охват объекта

проективной связности (П } — двойственного образа объекта (ГрК}.

Системы форм

построенные по законам соответственно вида (9), (16), (20) (в этом случае входящие в них формы и функции пишутся с черточкой сверху), удовлетворяют (каждая) структурным уравнениям Картана — Лаптева и определяют соответственно пространства

Р Р Р

п,г ' п,БГ П,П-Ш-1

с линейной связностью проективного вида, двойственные соответствующим пространствам

Р Р Р

п .г ' п .б' п.п-т-1 *

15

Список литературы

1. Попов Ю. И. Сильно сопряженные трехсоставные распределения проективного пространства // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. Сер.: Физико-математические и технические науки. 2016. № 1. С. 5-18.

2. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Московского математического общества. 1953. Т. 2. С. 275 — 382.

3. Лаптев Г. Ф. Многообразия, погруженные в обобщенные пространства // Тр. 4-го Всесоюзного математического съезда. 1961. Т. 2. С. 226 — 233.

4. Лаптев Г. Ф., Остиану Н. М. Распределения га-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I // Тр. Геом. семинара. ВИНИТИ АН СССР. М., 1971. Т. 3. С. 49 — 94.

5. Попов Ю. И. Трехсоставные регулярные распределения Hrm n1 проективного пространства. Калининград, 1982. Рукопись деп. в ВИНИТИ 16 декабря 1982 г., № 6192-82 Деп.

6. Попов Ю. И. Основы теории трехсоставных распределений проективного пространства. СПб., 1992.

7. Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий. Чебоксары, 1992.

Об авторе

Юрий Иванович Попов — канд. физ.-мат. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E-mail: yurij.popoff2015@yandex.ru

About the author

Dr Juriy Popov, prof., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad.

E-mail: yurij.popoff2015@yandex.ru