Сильно сопряженные трехсоставные распределения проективного пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА

УДК 514.75 (08)

Ю. И. Попов

СИЛЬНО СОПРЯЖЕННЫЕ ТРЕХСОСТАВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА

Рассмотрено построение общей теории специального класса (SH -распределения) регулярных трехсоставных распределений (H-распределений) проективного пространства Pn, состоящих из базисного распределения 1-го рода r-мерных плоскостей Лг, оснащающего распределения 1-го рода m-мерных плоскостей Mm (m >r) и распределения 1-го рода гиперплоскостных элементов (гиперплоскостей) Hn-1 с отношением инцидентности их соответствующих элементов в общем центре X: X е Л cM cH. Эта тройка распределений рассмотрена как единое погруженное многообразие. В силу указанного строения SH -распределения в геометрии этого многообразия имеются аналогии с некоторыми фактами из геометрии m-мерных линейных элементов, (n -1)-мер-ных линейных элементов и гиперполосных распределений. Однако эти аналогии не относятся к геометрии только базисного или оснащающих распределений, взятых в отдельности.

Исследования осуществлены методом Г. Ф. Лаптева. Приведены задание H -распределения и теорема существования H -распределения в репере нулевого порядка. Требуя, чтобы Л-, L-, E-распределения были попарно сопряженными, вводим специальный класс трехсоставных распределений, который назовем сильно сопряженным распределением, или SH -распределением. Дано задание SH -распределения в репере 1-го порядка и доказана теорема существования. Построены поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов SH -распределения в дифференциальных окрестностях 2-го и 3-го порядков.

Construction of a general theory of a special class (SH -distribution) of the regular threefold distributions (H-distribution) of the projective space Pn consisting of a basic distribution of the 1st kind of r-dimensional planes Лг are equipped with the distribution of the 1st kind of m-dimensional planes Mm (m >r) and equip distribution 1st the first kind of hyperplane elements (hyperplanes) Hn-1 with the ratio of the incidence of the corresponding elements in the common center X: X е Л cM cH is considered in this article. In this paper, these three distributions is considered as a immersed manifold. By virtue of the SH -distribution structure in the geometry of the manifold are similar to some of the facts from the geometry of m-dimensional linear elements (n -1)-dimensional linear elements and hyperband distribution. However, the analogy does not relate to the geometry of the base only or equipping distributions taken separately.

Research was carried out by G. F. Laptev method. Determinations of the H-distributionand existence theorems are given in the frame of zero order. Requiring that Л-, L-, E-distribution were mutually associated we introduce a

5

© Попов Ю. И., 2016

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2016. Сер. : Физико-математические и технические науки. № 1. С. 5—18.

special class of threefold distributions, which we call strongly associated distributions or SH -distribution. Definition of SH -distribution is given in the frame of the 1st order and the existence theorem is proved.

Ключевые слова: распределение, взаимность распределений, сопряженная система плоскостей, тензор, квазитензор, подрасслоение, квазинормаль.

Key words: distribution, duality of distribution, adjoint surface system, tensor, quasitensor, subbundle, quasinormal.

1. Во всей работе использована следующая схема индексов:

K, L = 1, n; I, K, L = 0, n; f, p, q, r, s, t = 1, r; h, i, j, k, l, m = r +1, m; a, P, у, ц, e, 8 = m +1, n -1; a, b, c = 1, m; ст, p, т = 1, n -1;

u, v = r +1, n -1; u, v = r +1, n; A, B = {1, r; m +1, n -1}; A, В = {1, r; m +1, n};

p, q = {1, r; n}; a, P = m +1, n; i, j = {r +1, m; n}; a, b = {1, m; n}; s = m - r.

2. Оператор V дифференцирования такой же, как и в [1].

3. Символом 8 обозначим дифференцирование по вторичным параметрам, а значение форм юк при фиксированных параметрах — через . В этом случае оператор обозначается символом V8.

4. Символ = обозначает сравнение по модулю базисных форм юк.

§ 1. Дифференциальные уравнения трехсоставного SH -распределения проективного пространства. Теорема существования

1. Рассмотрим n-мерное проективное пространство Pn, отнесенное к подвижному реперу {Aj}, состоящему из (n + 1) аналитических точек Aj. Дифференциальные уравнения инфинитезимального движения репера имеют вид

dAT =

где формы Пфаффа юк удовлетворяют структурным уравнениям

D(DK =№iJ А ®к

и

линейному соотношению ^ юj = 0 .

I=0

Потребуем, чтобы в некоторой области и с Рп для любого центра Х имели место следующие соотношения инцидентности:

XеЛг е Мт с Ип_г

Проведем канонизацию репера {А^}: X = А0, а грань [Л5 ] совместим с плоскостью Нп_г(А0) Н1 -распределения так, чтобы {Ар}сЛ(Ад), {Ар} с Л(А0), {Аа} с М( Ао). Такой репер {А^} — репер 0-го порядка Я0 .

6

Относительно репера Я0 дифференциальные уравнения трехсо-ставного распределения Н Ря имеют виц [1]

(1)

„Я _ Л П „К „я _ Л П К я _ д я К

юр -ЛркЮо, ю! -Л 1кЮо/ Юа-ЛаКю0 ,

„а _ л а ,-.к а _ л а К 1 _ л 1 К юр - ЛрКю0 / Ю1 - Л!Кю0 / юр - ЛрКю0 /

Г7А Я Л Я „0 яя „0 л я УЛрК + ЛрКЮ0 - ЬКЮр - ЛрКЬЮ0 /

Х~7 \ я , л Я „0 л Я „А „-0 л я

УЛж +Лкю0 -ЛКЮ1 -8КЮ1 -Л1К1Ю0,

Т7\Я , л я „0 . я а \Я ГЛ гя „ 0 .я Ь УЛаК + ЛаКЮ0 - ЛаКЮа - Л!КЮа - ЬКЮа - ЛаКЬЮ0 /

Т7Ла I »а „0 . л я „а 0 .а Ь /г)\

УЛрК + ЛрКЮ0 + ЛрКюя - 8КЮр - ЛрКЬЮ0/ (2)

па а л а 0 а а „р , а я „а са^0 а а „Ь УЛ1К - Л¡КЮ0 - ЛрК< + Л!КЮя - 8КЮ1 - Л!КЬЮ0 /

Т7Л 1 I л' „0 . »а Л , ГЛ г! , 0 »1 „Ь

УЛрК +ЛрКЮ0 +ЛрКюа +ЛрКЮя -ЬКЮр - ЛрКЬЮ0-

Теорема 1. Н1 -распределение, заданное в репере Яв уравнениями (1), (2), существует с произволом (я - т - 1)(т +1) + г(т - г) + т функций я аргументов.

2. Проведем канонизацию репера Я0 следующим образом. Рассмотрим в каждом центре А0 плоскости

def def def

Ф(4,) - Фя-г-1(А), Е(А0) - Ея-т-1(А,), ¥(А0) - Тя-8-1(А0) -

характеристики гиперплоскости Н(А0), полученные при смещении центра А0 вдоль кривых, принадлежащих соответственно Л-распреде-лению, М-распределению и Ь-распределению. Поместим вершины репера Я следующим образом:

(Аа} сЕ(А)); (А,} сЬ(А0); {Ар} сЛ^), 4 гН,-). Выбранный репер является репером первого порядка в котором Л" - 0; Ля - 0; Л- 0; Ля - 0,

1 *-гр 1 ^ар а! ра ^'

а формы , ®р, ®а становятся главными:

юр - Л^КЮК, юр - ЛРрКюК , юа - ЛаКЮК . (3)

Согласно работе [6], введем определение сопряженных направле-

йв/ йв/

ний Л - Л(А0) и Ь - Ья-Г(А0) - Ьв(А0) на Н1 -распределении проективного пространства Ря.

Определение 1. Направления Л и Ь, соответственно размерности г и б - т - г , выходящие из центра А0 Н1 -распределения и принадлежащие т-плоскости М(А0) - [Л(А0), Ь(А0)], назовем сопряженными, если

йЛйЬА0 = 0 (mod М),

где йЛ и йЬ - операторы дифференцирования в направлениях Л и Ь.

7

Геометрически это условие означает, что при инфинитезимальном перемещении вдоль направления Л плоскости L эта плоскость остается в касательной плоскости M(A0).

Из предыдущего условия следует также, что

dLdAA0 = 0 (mod M)

и при инфинитезимальном перемещении вдоль направления L плоскость Л не выходит из касательной плоскости М.

Более того, будем полагать, что М-подрасслоение несет двухкомпо-нентную неприводимую сопряженную систему 5(Л, L) [7]. Это означает, что:

а) в каждом центре A0 H-распределения существует пара сопряженных направлений Л(A0) и L(A0) (r+(m - r) = m), линейная оболочка которыпх совпадает с плоскостью M(A0) = [Л(A0), L(A0)];

б) направления Л и L не содержат полных сопряженных подсистем или асимптотических направлений.

Итак, введем в рассмотрение новыый класс H -распределений, для которых выполняются следующие условия:

а) М-подрасслоение несет сопряженную систему 5(Л, L), что приводит к условиям

Л"р1 = 0, ЛI = 0, (4)

Л£ = 0, Л £ = 0; (5)

б) Ф-подрасслоение несет сопряженную систему S(L, E), откуда следует

лПх = 0, Л"а1 = 0, (6)

Л£ = 0, Л£, = 0; (7)

в) "Ф-подрасслоение несет сопряженную систему S^, E), т. е. вытол-няются соотношения

Л% = 0, ЛXp = 0, (8)

Лрх= 0, ЛXp = 0. (9)

Определение 2. -распределение, которое удовлетворяет условиям (4) — (9), назовем сильно сопряженным трехсоставным распределением или, кратко, SH -распределением.

Определение 3. В каждом центре Ао SH -распределения плоскости (Л, L, E), удовлетворяющие (4) — (9), назовем попарно сопряженными.

Определение 4. Распределения плоскостей Л(A0), L(A0), E(A0), Ф(A0), A0), M(A0), H(A0) назовем основными структурными подрас-слоениями данного SH-распределения.

8

В каждом центре А0 5Н -распределения имеют место следующие отношения инцидентности линейных элементов основных структурных подрасслоений данного 5Н -распределения [1]:

[Л; I] = М; [I; Е] = Ф; [Л; Е] = Т ;

ФпМ = 1; ТоФ = Е; ТоМ = Л .

Из условий (4), (6), (8) следует, что 5Н-распределения образуют подкласс сильно взаимных УН -распределений [8].

Учитывая в уравнениях (1) —(3) соотношения (4) — (9), получаем задание 5Н -распределения в репере 1-го порядка Я1:

ю" =Л",Чю\, юР = ЛХЛюА, юХ = ЛР-(а)

Р РЧ 0 Р рА 0 ' Х хА 0 4 '

ю" = Л"ю, юр = Лрйю0, юр = ЛРю0; (б) (10)

<=ЛХрю0, юа = лХю5, юХ=ЛХ5ю5, (в)

где компонентах фундаментального объекта второго порядка Г2 = {Г1, Л^, Л Ра, Л Х;} удовлетворяют уравнениям

ул"Ч +ЛРчю0 = ЛРч1юо,

УЛР„ +ЛР„ю0 -ЛРчюЧ -юР =ЛР„оюо,

УЛ" +Л "ю0 =Л"оюО, УЛ" +Л>0 -Л"ю" -ю0 = Л"пою°,

УЛ" р + Л" рю0 = Л" роюо, УЛХ +Л"«ю() -Л"Рю" — юа =ЛХпОю0,

Т7Л Х . лХ 0 . \П Ы! Х 0 . Х I,

УЛРА +ЛРАю0 +ЛРЧ8Лю" -5ЛюР =ЛРА0ю0, УЛР- +ЛР-ю0 + Л"-юР -5Рю0 = ЛР- ю0,

хА ХА 0 хА " А Х ХА 0 0'

Т7Л Х . .1,0 . л "я/„Х 0 . а „0

УЛ ¿5 +Л т ю0 +Л - Чюп -55 ю1 =Л тЬю0,

УЛХ; +ЛХ;ю0 +Л"адю" -55ю° =ЛХ;оюо,

УЛ Ра +Л Ра ю0 +ЛРч 5Ч ю" -51 юР =Л Р^о ю°, УЛ Р +Л Р ю0 +Л юР -5Р ю0 = Л р ю!.

га га 0 га " а г гаЬ 0

3. Исследуем систему (10), (11) уравнений, определяющую 5Н -распределение в проективном пространстве Рп. Разобьем систему на три части (10 а, 10 б, 10 в) вместе с их замыканиями (11).

а) Чистое замыкание системы уравнений (10 а) представим в виде

ДЛРч люЧ = 0; ДЛарл люА = 0; ДЛРаА лю0А = 0. (12)

(11)

9

10

Найдем характеры системы (12) и число Q [10]:

- г + 2г(я - т -1) - г + В, где В - 2г(я - т -1),

б2 - г + В,...,5Г+1 - г + В, +2 - B/.../Sп-s - В .

Q - (г+В){1+2+3+...+(г+1)}+В((г+2)+(г+3)+...+(и - б)} -- -1 г(г+1)(г+2) + -1 В[(г+1)(г+2)+(г+2)(я -т-1)+(г+1)(я -т-1)+(я -т-1)2].

Разложим уравнения (12) по лемме Картана [9] и подсчитаем число N новых функций, полученных при этом в правых частях:

ДЛра -Л%ю0, ДЛаа -ЛааВюВВ. ра раь 0' рА рА в 0

Итак, число

N - 2 г(г +1)(г + 2) + В

- , IV« ,04,^1 (я - б)(я - б + 1)

Можно убедиться, что N - Q, т. е. система (12) в инволюции [9] и решение системы существует с произволом 2г(я - т -1) функций (я - б) аргументов.

б) Точно так же чистое замыкание системы уравнений (10 б) представим в виде

ДЛ| л ю0 - 0, ДЛра л юа - 0, ДЛра л юа - 0 (13)

и найдем характеры этой системы:

- б + 2ге, - б + 2ге,...,- б + 2ге, - 2гб,...,Бт+1 - 2ге . Следовательно,

Q - + 2б2 + 3б3 +...+(б +1^+1 + (б + 2^+2 +...+(т + 1К+1 -

- (б + 2ге){1 + 2 +...+(б +1)} + 2гб((б + 2)+(б + 3) +...+(т +1)} -

б +1)( б + 2) - —-2- + ™(т + 1)(т + 2).

Далее, разложив уравнения (13) по лемме Картана:

ДЛ ра - Л' ь ю0, ДЛ ра -Л р. ю0, ДЛЯ: -Л]ю0,

ра раЬ 0' 1а шЪ 0 I] щ 0

найдем

N - б +12(б + 2) + гБ(т + 1)(т + 2).

Итак, Q - N, т. е. система (13) в инволюции и решение системы (10 б) существует с произволом 2ге функций (т +1) аргументов.

в) Наконец, рассмотрим систему уравнений (10 в), чистое замыкание которой представим в виде

ЛЛпа- лш0 = 0; ЛЛ? л« = 0; ЛЛ^ л«;; = 0.

Найдем характеры системы (14):

s1 = (n - m -1) + 2(n - m - 1)s = (n - m -1) + C, C = 2(n - m - 1)s, s2 = (n - m -1) + 2(n - m - 1)s , ..., sn-m = (n - m -1) + 2(n - m - 1)s,

(14)

Dn-m+1

CC, . « «, Sn_r CC .

Отсюда получаем

Q = S1 + 2s2 + ...+(n - m)Sn-m + (n - m + 1)Sn-m+1 + ...+(n - r)S„-r =

= -1(n - m)(n - m + 1)[(n - m -1) + C]+-1 C(m - r )(2n - m - r +1). Разложим уравнения (14) по лемме Картана:

ЛЛ"р = Л^< ЛЛ? = Л^ЛЛ^ = Л^«

(15)

Учитывая, что функции, стоящие в правых частях, симметричны по последним двум индексам, находим

N = l(n - m)(n - m + 1)(n - m -1)+-1 C(n - r)(n - r +1).

Нетрудно проверить, что Q = N . Значит, система уравнений (10 в) в инволюции и, следовательно, решение системы существует с произволом 2(n - m -1)(m - r) функций (n - r) аргументов.

Результаты исследования в этом параграфе сформулируем в виде теоремы.

Теорема 2. В n-мерном проективном пространстве Pn сильно сопряженные распределения SH существуют с произволом в 2r(n - m -1) функций (n - s) аргументов, 2rS функций (m+1) аргументов и 2(n - m - 1)(m - r) функций (n - r) аргументов.

11

§ 2. Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов регулярного SH-распределения

1. Рассмотрим охваты симметрических фундаментальных тензоров 1-го порядка соответственно Л-, L- и Е-подрасслоения данного SH-распределения:

Un 1,А n | \п \ T7Un | Un , Un „K

>7 = ~2 pq + Лqp^ Vbpq + bpq Ю0 = bpqKЮ0 ,

ьп = !(л п +лп), Vbn + bn ю0 = j 4, (16)

t,n 1 . а n , А n \ \~7Т.п , т„п „,0 т„п „K

baß = 2(Л«Р + Ла), Vbaß + baßro0 = baßKю0 .

12

В общем случае Ь0 - деЬ | Ь^ * 0, 10 - деЬ Ъ] || * 0, е0 - деЬ Ь«р * 0. В силу этого можно построить обратные симметрические фундаментальные тензоры 1-го порядка (ЬЯ'}, Ъ}, (Ь«р} соответственно Л-, I- и Е-под-расслоений:

къя -§р, ^-ка< -0,

Ь^ -5?, УЪЯ' -ь>0 - 0, (17)

ъЯрЬ^-з«, уь«р- Ь«Ч - 0.

Замыкая (16), запишем дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют функции

,Я _1,А Я . д Я \ Г.Я _1,А Я I Д я \ ия _1,А Я . д Я \

Ьр'К - ^^), Ь]К - 2( ]К+1Х]1К), Ь«рК _ ^ «РК Р«К )

в следующем виде:

(18)

(19)

X7U" , „0 /I," Л" | ип \ п | I," Л" \„s ип \п „а un \ П i .

VbpqK + 2bpqK »0 - (bpqА sK + bsqA pK + bpsA qK )»n - bpq AaK »n - bpqЛ iK »n +

+ ^pq^K»а + by8K»J + biq8KЮР - 0'

Vb"K + 2b"K»0 -(binA"K + b"A"K + b/1 A"K )»" - ЩKK®я - by»" + + by8K»° + b"8lK»0 + b"8lK»0 - 0,

VbSPK + 2ьЯРК»0 - №pA"K + by>Як + b"w/A"K)»" - b^»" - ьЯРАРк»" + (20) + b"ap8K»°а+ ьу"р8К»Я+ ьЯУ8К»0 - 0.

Замечание 1. Придавая К значения a, i, t, мы учитываем соотношения (4) — (9).

Из уравнений (18) при К = t находим, что величинах b"qt удовлетворяют уравнениям

Vbnm + 2bnmt»0 - (b"qA"t + b"qApt + b;sAnqt)»" + b(npq»° - 0. (21)

Составленные с их помощью симметрические по всем нижним индексам величины 2-го порядка

BPqt = ^ b(pqt У (22)

в силу (21), удовлетворяют уравнениям

VB"qt + 2Bpqt»0 + b"pq»0) - Ь^ЬУ)8»У - ^Hptft)»" - 0 (23)

Теперь последовательно вводим в рассмотрение функции второго порядка [5; 10]:

bp = ^ b;qtbf, vbp + bp»0 - by» +»p = bpK »K, (24)

= ьпт1 - ърь), у^+2^ - ад + ъ;5т; + ъ^ к - о, (25) В; = тй"2 в;ДщЬ, уВ; + Б;Ю0 - ъ;< +«; - ^ т^п - о, (26)

сРщЬ = ВРщЬ - Ъ(";?В(), УсРщЬ + 2С;^(ю0 - (27)

сп = ъ^ъгъЧс;^, й ш с„ = < -ю° + ск ю°, (28)

сп = ъ:ъ4с;сг, УСИ + 2^0 - 0. (29)

Отметим, что совокупность величин ъ; (24) является аналогом че-бышёвского вектора [11], а с другой стороны {ъ;} — квазинормаль 2-го порядка Л-подрасслоения [2]. Тензор {с^} (27), аполярный основному

фундаментальному тензору {ъ^} Л-подрасслоения, — аналог обобщенного тензора Дарбу [6] для Н1 (Л)-подрасслоения (гиперполосного распределения Н1 (Л)), ассоциированного с -распределением.

Если тензор неголономности т^ = 0, то Л^ = ъ^, В;щ1 = ъ;щЬ, В; = ъ;,

сПсц = сПсц, что непосредственно следует из (21) — (27). Следовательно, при тП = 0 охваты тензоров сп (28), {с^} (29) можно представить в виде

с = ъ^ъ^ъ^^ сп с = ъТБ0сп сп

^"п ип ип ип ^рщт^вЬ/ '^рщ ип ип ^ртЬ^Щв/'

Тензоры сп и {с^} в общем случае невырожденные. Для симметрического тензора {с^} введем обратный ему симметрический тензор {сет} 2-го порядка:

спОь = 5р, с - 2&Ью0 - 0. (30)

В силу уравнений (18), (17) убеждаемся, что геометрические объекта {С,}, {Са} где

с,=, +¿>0=л п ^п -я0, (31)

Са = 1 ъ^аъп, У5Са +Сал0 = ^а^ - ла,

являются квазинормалями 2-го порядка соответственно Е-, Е-подрассло-ений данного 5Н" -распределения.

2. Продолжение уравнений (24), (28) приводит соответственно к дифференциальным уравнениям (здесь представим их только для величин ъ^ и с;):

уъ;я + 2ъ„Ю0 + ъ(Х) -^ + Щщ К + Л>£ +(Л; + ъп К + ЦЛщК - 0, (32) Ус; + с;ю0 +ЛЩ;юЩ +ЮР = с;КЮ0 .

13

При помощи величин {ъ^} (в общем случае ъп Ф ъ; ), квазинормали {с;} (32) 3-го порядка и рассмотренных ранее величин 2-го порядка

14

(24), (25), (27), (29), (30), следуя работам [5], [10], построим следующие функции 3-го порядка на Л-подрасслоении с полем симметрического

def

тензора Ляра - ^ :

ае£ 1

Тя - 7(Ьра -ЬрЬа)Ьра, УТя + Тя^ -2Ьр< + 2юЯ ^ + - 0, где Л Я - (Л я, Л«}, Л я -1Л рчьяр, Л«-1 л , УЛ V + < - Л Як 4;

t - ь - ь ь - т ь" ,

ра ра ^^а я^рцг

Vtpq + 2tpqro0 " С^вК + (APq - ^q Л Я + bn (Л^ - К = 0

def

Wnp = b£blrtfqCnpsr - (X ир+ц„р), VW„p+2W„p К - Cpq К = 0,

где Xnp = bnsbnfc;qtf -Ья}Л^), Цпр = ^(лIsbff-m);

def

Wnp = - , VWP+< = wnpK 4, (33)

def

Fp = ±bnpq(Cq -bq), VFnp + < = «. (34)

Поля квазитензоров {Wnp} (33), {Fnp} (34) задают соответственно поля нормалей 1-го рода Вильчинского и Фубини Л-подрасслоения [10] в дифференциальной окрестности 3-го порядка.

Система функций {Tnp}, где

Tnp = Wnp - Fnp, VTnp = TnpK 4, (35)

образует на Л-подрасслоении с полем симметрического тензора {Лpq}

тензор 3-го прядка. Величина

j=c;qtcqt(wp - fp ) (36)

есть абсолютный инвариант 3-го порядка, так как в силу (27), (30), (33)—(35) из (36) следует 5J = 0.

Для SH-распределения с полем симметрического тензора ЛPq (rpq = 0) охват абсолютного инварианта J имеет вид

J = C;qtCqt ( WP - FP ). Итак, имеет место следующая теорема.

Теорема 3. SH -распределение порождает внутренним инвариантным образом:

а) поля квазинормалей 2-го порядка {bp} (24), {Qi}, (Qaj (31) соответственно Л-, L- и E-подрасслоений и поле тензора Дарбу {Cp,qt} (27) Л-подрасслоения в дифференциальной окрестности 2-го порядка;

б) поле квазинормали (Ср} (32) и поля нормалей 1-го рода Вильчинского

(Кп} (33), Фубини (рп} (34) на Л-подрасслоении в дифференциальной окрестности 3-го порядка.

3. Исходя из функций Щк, удовлетворяющих уравнениям

УЩк + 2Цк 4 + Ь(>0) - (Щ ЛI + ьп ЛI + ьп Л Пк )4 - о,

полученным из (19) при К = к, по аналогии с п. 1, 2 последовательно вводим функции 2-го порядка

В" 1ип Т7С" | ОВ^,0 . ип о ип ип г,« „! _п

¿/■к = з ь(1]к), + 2В/к ®0 + Ь( ¿/4к) - ь(1]ьк)1ап - = 0,

Ь = ^Щф*, vь¿ + ь^0 -ьщ4 +4 = ьж®К, (37)

/ = ьЩк - ь/к), vcn/k + 2с"к4 - ьП/Т",4 - 0, В = В/ф«, VB¿ + В^0 + ®0 -Ы4 -3тЩа'п - О,

С/ = Цк - ьП/Вк), vcnk + 2С"/к4 - 0, (38)

Вп = ^Г^к^к, ^1п Вп = 4 -®0 + ВК юК,

С/ = ^Т^п^Ы^тк' + 2С/ ®0 - 0, =5к, vdk - 2С/к4 - 0

и функции 3-го порядка

vЬij+ / + ь(,®0) -(лпь, + ь^/к)4 +Л+ (лп+ ьпп)4 -0,

VD¿ + + Л п 4 + 4 = Вк ®К, (39)

ае£

К = - ад/, +®п = КК 4К, (40)

р ьЩ(В/-ь«), VF«i + 4 = РК®К,[§(41)

Тп = К - р, vтn = ТпК 4,

/ = Сп/кС/к (кп - р), 5/ - 0, ассоциированные с Ь-подрасслоением.

15

Наконец, введем в рассмотрение функции ае£ 1 ае£ 1

Кр} = {Щ/П}, } = {\цх},

которые, согласно (19), (17) удовлетворяют уравнениям

= а;р < - 0, У5|а + ^0 = ^ -<, (42)

т. е. являются квазинормалями 2-го порядка, ассоциированными соответственно с Л-, Е-подрасслоениями. __В результате справедлива

16 Теорема 4. -распределение порождает внутренним инвариантным

образом:

а) поля квазинормалей 2-го порядка р} (42), {Ь,} (37), {|а} (42) соответственно Л-, Ь-, Е-подрасслоений и поле тензора Дарбу {СПк} (38) Ь-подрасслое-

ния в дифференциальной окрестности 2-го порядка;

б) поле квазинормали {О,} (39) и поля нормалей 1-го рода Вильчинского

№} (40), Фубини } (41) на Ь-подрасслоении в дифференциальной окрестности 3-го порядка.

4. Теперь, используя функции , удовлетворяющие уравнениям

УЬПРу + 2Ь^рую0 - ЬРЛПУ + ^^ + Ь5^ )ю5 - 0,

полученным из (20) при К = у, по аналогии с п. 1 — 3 получим функции 2-го порядка

Т?5 —1и5 Х7&5 | 0К5 0 , Г.5 0 Щ Щ 5 Т.5 5 _

Вару = з Ь(ару), УВару + 2ВаРум0 + Ь(арту) Ь(арЬу)5т5 3Г5(аЬру)М5 - 0,

Ьа = ьаруЬрРу, УЬа + Ьа®0 -Ь>у + ®Я = ЬаК»К, (43)

с5 = Ь5 Ь5 Ь VrР + 2г5 т° - Ь5 г5 т5 - 0

''ару _ ^ару -£Хар"у), '-ару + 2(-аруш0 ^ар'5)уш5 ~ 0,

Ва = 5-^+1 В5руЬру, VBа + Ва»0 +»0 - ЬПаА -±^>5 - 0,

Сару = Вару - Ь(арВу), VCaРу + 2Саруга0 - 0, (44)

Е5 = О^Сру^й' *1п Е5 = т"5 -т0 + ЕКтК, Сар = Ь'5^Ьп С5уеСрт5, vCар + 2Сарт0 - 0,

СарСру=5уа, vCРу - 2Срут0 - 0

и функции 3-го порядка

^ + 2ьарЮ°0 + ьаЮ0) -(Л"арьу + ьпРуК +Л;>0 + (Л"ар + ьпр)4 + ьпуЛ1Юп - 0,

г-гт-1 г? 0 \ п У 0 г К УЬа + Ьа®0 + Луа®п + юа = ЬаК®0 .

(45)

ае£

ка =- Са р к р, ™с+< =к

а К пКш0 '

(46)

ае£

= 2 ьар (ер - ьр), vFnа+юа=РпК

а ,К

Т„ = к« - В«, VT« = ЕпК40,

(47)

17

7 = Сар уС р у (ка- С), 57 - 0,

ассоциированные с Е-подрасслоением.

Кроме того, рассмотрим совокупности функций

ае£ 1 ае£ 1

{гр} = п-т-1 ьа ррьа р, } = п-т-1 ьа PiЬа р,

которые в силу (20), (17) удовлетворяют уравнениям

VSp +Sp^ =лпрЯр, VSi +Si^ = Л^^п -я0, (48)

т. е. являются квазинормалями 2-го порядка, ассоциированными соответственно с Л-, Ь-подрасслоениями. Итак, имеет место

Теорема 5. -распределение порождает внутренним инвариантным образом:

а) поля квазинормалей 2-го порядка } (48), ^} (48), {ьа} (43) соответственно Л-, Ь-, Е-подрасслоений и поле тензора Дарбу {Сару} (44) Е-под-

расслоения в дифференциальной окрестности 2-го порядка;

б) поле квазинормали {Еа} (45) и поля нормалей 1-го рода Вильчинского

{кпа} (46), Фубини {ва} (47) на Е-подрасслоении в дифференциальной окрестности 3-го порядка.

Список литературы

1. Попов Ю. И. Основы теории трехсоставных распределений проективного пространства. СПб., 1992.

2. Лаптев Г. Ф., Остиану Н. М. Распределения т-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ АН СССР. М., 1971. Т. 3. С. 49 - 94.

3. Остиану Н. М. Распределение т-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности // Там же. С. 95 — 114.

4. Остиану Н. М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве // Там же. 1973. Т. 4. С. 71 — 120.

18

5. Столяров А. В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения га-мерных линейных элементов // Итоги науки и техники. Сер. : Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. М., 1975. Т. 7. С. 117-151.

6. Акивис М. А. О строении двухкомпонентных сопряженных систем // Тр. геом. семинара / Институт научной информации. М., 1966. Т. 1. С. 7 — 31.

7. Рыжков В. В. Сопряженные системы на многомерных поверхностях // Тр. моск. мат. об-ва. 1958. Т. 7. С. 179—226.

8. Попов Ю. И. Сильно взаимные трехсоставные распределения проективного пространства // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2015. Вып. 10. С. 62—76.

9. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М. ; Л., 1948.

10. Попов Ю. И. Трехсоставные регулярные распределения HТт n-1 проективного пространства. Калининградский университет, 1982. Рук. деп. ВИНИТИ 16.12.1982. № 6192-82Деп.

11. Норден А. П. Пространства аффинной связности. М., 1976.

Об авторе

Юрий Иванович Попов — канд. физ.-мат. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E-mail: [email protected]

About the author

Dr Juriy Popov, Ass. Prof., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E-mail: [email protected]