Нормализация базисного подрасслоения сильно сопряженного H-распределения Текст научной статьи по специальности «Математика»

К. В. Полякова

10. Kolar I., Michor P. W., Slovak J. Natural operations in differential geometry // Springer-Ferlag. Berlin, 1993.

11. Stelmastchuk S.N. Vertical martingales, stochastic calculus and harmonic sections // Communications on Stochastic Analysis. 2013. Vol. 7, № 4. P. 535—549.

K. Polyakova

Vector-valued forms of the 1st, 2nd and 3rd orders for affine connection of the 2nd order

We consider the representation of the 2nd order affine connection using vector-valued forms of various orders: the 1st order canonical form of

the 2nd order frame bundle on a manifold Xm; the 2nd order canonical form of the 1st order frame bundle on a manifold Xm; the 3rd order canonical form of a manifold Xm .

УДК 514.75

Ю. И. Попов

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград [email protected]

Нормализация базисного подрасслоения сильно сопряженного Н-распределения

Рассматривается построение нормализаций базисного подрасслоения (Л-подрасслоение) специального класса ^Н-распределения) регулярных трехсоставных распределений (Н-рас-пределений) проективного пространства. Во всей работе используются обозначения и терминология работ [1; 2].

Ключевые слова: распределение, расслоение, нормализация, квазинормаль, нормаль.

© Попов Ю. И., 2016

1. Известно [2], что сильно сопряженное трехсоставное распределение проективного пространства (8Н-распределе-ние) задается уравнениями (без соответствующих замыканий)

Л п ^Ч ^ Л п „ 1 л п ^Р ^а Л а _ -.А

®р = Л р®,® = Л®0,®а = Аара0,ар = Л рА®0

=Ка<,<==л>о>а=л>о

®а =л>о.

Имеет место теорема существования [2]:

Теорема 1. В п-мерном проективном пространстве РпБИ-распределение существует с произволом 2г (п-т-1) функций (п-и) аргументов, 2rs функций (т+1) аргументов и 2 (п-т-1) (т-г) функций (п-г) аргументов.

2. Следуя работам [3—5], систему величин (Кс}назовем квазинормалью 8И-распределения, если в выбранном репере Я1 [2] при преобразованиях стационарной подгруппы элемента 8И-распределения выполняется один из следующих законов преобразования величин {Кс}:

У,Ка+ КХ = + (1)

ЧдКо + к х0 = апХ + Х, (2)

до о 0 ро п ' о 4 '

ЧдКо + К Х = еЪОлР + ХО, (3)

до о 0 ар п ' о' 4 '

где г,^ — постоянные числа, отличные от нуля; Ьрр — симметрический тензор:

Ъп =1 ¡А" + А" ),УЪп + Ъп ®0 = Ъп ®К

ор 2\ ор ро ' ор ор 0 орК

Отметим, что если в (1—3) о положить равным р, 1, а, V, а, А, то уравнения (1—3) задают квазинормали, соответствующие основным структурным подрасслоениям (Л-, Ь-, Е-, Ф-, М-, подрасслоениям (*)) данного 8И-распределения.

Каждая из трех типов квазинормалей устанавливает биек-цию между нормалями 1-го и 2-го рода соответствующего основного структурного подрасслоения (*) таким образом:

а) = -1 (( + 8А"ару:)Х = ~1 + ), (4) если квазинормаль 1-го типа (1);

б) = -1 (( + еЛруп)Ур=-Х-Л:р(ка + Му0), (5) если квазинормаль 2-го типа (2);

в) у0 = -± (( + гЪ1рурп)Уп=-Х- Ьрп(п + МУ0, (6)

если квазинормаль 3-го типа (3).

Построим в разных дифференциальных окрестностях следующие квазинормали Л- подрасслоения:

а) в окрестности 1- го порядка квазинормаль 1-го типа:

к Р = л ;, +/ = Л;<;

б) в окрестности 2-го порядка квазинормали 2-го типа [1; 2]: г + 2

K = —Т Л,, VK2p + К2рл0 = ; + fm°P

def 1 def 1 def 1

Kp = - Lp, Kp =-- Ep, Kp =-р M p,

p s p p n - m -1 p p m + 2 p

def 1 def 1 def 1

Kp =-7 Фp, Kp =-- T p, K = — lip,

p n - r -1 p p n - s +1 p p n +1 p

def def

K p = E p, K p =%p, и квазинормаль 3-го типа

Kp1 =bp,Vbp + b/0 = Kpqnl -л»;

в) в окрестности 3-го порядка квазинормали 3-го типа [4; 5]:

К р = ср, УдСр+СХ = -л -Х;

к1; = Ср+3вр,\дК3 + К ;х = 2ьрх+Х

3. Будем определять нормали {у^} и {у°} 1-го и 2-го рода Л-подрасслоения, используя способ нахождения общих нормалей двух квазинормалей [4; 5].

а) В окрестности 2-го порядка пара квазинормалей-(К1р, К 2) задает в каждом центре А0 нормаль 1-го рода {Мпр} Л-подрасслоения:

мр = -! ърч (к1 +к2 ).

п о п \ ч ч)

2

Однако общей нормали 2-го рода они не имеют, а при гр,ч = 0 (подтензор г^ тензоранеголономности {гр^ }) для этой

пары существует нормаль 2-го рода {М0 }, где

N0=-2(К- к;).

2

В дальнейшем это соответствие будем обозначать кратко так:

(К ; к) мр=-2 ърч (к; + кч) n0 = 1 (к2 - к;)).

Таким образом, аналогично получаем следующие соответствия на Л-подрасслоении при г^ = 0, (£ = 2; 10):

( Л

(К;к)- мр =-2ЪРч(К +К;),м0р = 2(с-К1

{м с«)

б) В окрестности 3-го порядка:

(кР2;к) БР = 2К"( + К)5° =1 (К + Ср)

к Р

= Ъ„; к рз

фр = (к+4 к1), "2(Р3 -2К").

(7)

ф0 =

Отметим, что в случае регулярной гиперполосы [6], гиперполосного распределения [4], трехсоставного распределения [5] эти нормали (7) являются аналогами нормалей Фубини.

В силу этого пару нормалей (Фр; Ф0Р) в каждом центре А0 назовем первыми аналогами нормалей Фубини Л-подрасслоения данного 8Н-распределения.

4. В работе [2] нами построены для Л-подрасслоения 8Н-рас-пределения нормали 1-го рода Фубини {Бпр } и Вильчинского {

'П }. В биекции (6), определяемой квазинормалью Кр = Ър, находим им соответствующие нормали второго рода:

Б0 = Ъ + Ъ" ¥",Ж0 = Ъ + ЪпЖ".

р р р" п ^ р р р"П

(8)

Таким образом, пара нормалей (Бпр ;Б°) (8) Л-подрасслоения задает второй аналог нормалей Фубини (в отличие от первого аналога), а пара нормалей ('пр; 'р1) задает в каждом

центре А0 нормализацию Вильчинского [5; 6].

5. На Л-подрасслоении 8Н-распределения в дифференциальной окрестности 2-го порядка введем, согласно работе [7], поле квазитензора:

мр = -—-ЦлрЪ ( + л;к! + + лп&). (9)

г (г + 2)

Для гиперполосных линейных элементов [7] и для гиперполосных распределений проективного пространства [6] нормаль (9) является нормалью Михэйлеску 1-го рода. Имея это в виду, мы за нормалями Мп-г(Мр ) сохраним название нормалей

Михэйлеску 1-го рода Л-подрасслоения (не обязательно взаимного).

Используя биекцию (4), определенную квазинормалью К1р , найдем нормаль Михэйлеску 2-го рода Л-подрасслоения:

мр = -( кр +Лпрч мч).

Таким образом, нормализация (М^,М°) Л-подрасслоения определена первыми аналогами нормалей Михэйлеску в дифференциальной окрестности 2-го порядка. Для Л-подрасслоения при гпч = 0 нормали Михэйлеску 1-го и 2-го рода примут вид

тр = 1ьг К + к;),т0р = 1 (Ър - КР).

Следовательно, нормализация (тр, т°р) Л-подрасслоения

определена вторыми аналогами Михэйлеску [5; 6].

В результате имеет место

Теорема 2. На базисном Л-подрасслоении БИ-распределе-ние порождает внутренним образом 23 нормализации в смысле Нордена:

( Л

а)

^, N0

п р

(«) («)

, (мр,мр ), (тр, т0р ) в дифференциальной

окрестности 2-го порядка;

Ю. И. Попов

(

б)

л

,0

V

Sp, S

n p

,Ф,Фp),(Fi,Fp0),(w/,w;) б дифференци-

альной окрестности 3-го порядка.

Список литературы

1. Попов Ю. И. Сильно взаимные трехсоставные распределения проективного пространства // Вестник БФУ им. И. Канта. 2015. Вып. 10. С. 62—76.

2. Попов Ю. И. Сильно сопряженные трехсоставные распределения проективного пространства // Вестник БФУ им. И. Канта. 2016. Вып. 1. С. 5—18.

3. Лаптев Г. Ф., Остиану Н. М. Распределения т-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности I // Труды геометрического семинара / ВИНИТИ М., 1971. Т. 3. С. 49—94.

4. Столяров А. В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения т-мерных линейных элементов // Проблемы геометрии. Итоги науки и техники / ВИНИТИ. М., 1975. Т. 7. С. 117—151.

5. Попов Ю. В. Основы теории трехсоставных распределений проективного пространства : монография. СПб., 1992.

6. Столяров Н.М. Двойственная теория оснащенных многообразий : монография. Чебоксары, 1992.

7. Остиану Н. М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве // Труды геометрического семинара / ВИНИТИ. М., 1973. Т. 4. С. 71—120.

Y. Popov

Normalization of the base subbundle of strong dual H-distribution

The construction of the base normalization for subbundle (A-sub-bundle) of special class (SH-distribution) of threefold regular distributions (H-distributions) in projective space. Throughout the paper we use the notation and terminology of [1, 2].