CC BY
24
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
62
УДК 514.75(08)
Ю. И. Попов
СИЛЬНО ВЗАИМНЫЕ ТРЕХСОСТАВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА
Рассматривается построение общей теории специального класса (VH -распределения) регулярных трехсоставных распределений (H -распределения [1]) проективного пространства Pn, состоящие из базисного распределения 1-го рода r-мерных плоскостей Лг, оснащающего распределения 1-го рода m-мерных плоскостей Mm (m > r) и оснащающего распределения 1-го рода гиперплоскостных элементов (гиперплоскостей) Hn_1 с отношением инцидентности их соответствующих элементов в общем центре X:X еЛс M с H . Эта тройка распределений анализируется как единое погруженное многообразие. В силу указанного строения VH -распределения в геометрии этого многообразия имеются аналогии с некоторыми фактами из геометрии m-мерных линейных элементов [2], (п-1)-мерных линейных элементов [3] и гиперполосных распределений [4]. Однако эти аналогии не относятся к геометрии только базисного или оснащающих распределений взятых в отдельности.
Construction of a general theory of a special class (VH -distribution) of the regular threefold distributions (H -distribution [1]) of the projective space Pn consisting of a basic distribution of the 1st kind of r-dimensional planes Л are equipped with the distribution of the 1st kind of m-dimensional planes Mm (m > r) and equip distribution 1st the first kind of hyperplane elements (hyperplanes) Hn_2 with the ratio of the incidence of the corresponding elements in the common center X :X еЛс M с H is considered in this article. In this paper, these three distributions is considered as a immersed manifold. By virtue of the VH -distribution structure in the geometry of the manifold are similar to some of the facts from the geometry of m-dimensional linear elements [2], (n-1)-dimensional linear elements [3] and hyperband distribution [4]. However, the analogy does not relate to the geometry of the base only or equipping distributions taken separately.
Ключевые слова: распределение, тензор неголономности, голономность распределения, гиперполоса, взаимность распределений, сопряженная система плоскостей, тензор, квазитензор, подрасслоение.
Key words: distribution, nonholonomic tensor, holonomic distribution, hyperband, tensor, quasitensor, duality of distribution, adjoint surface system, quasinormal, subbundle.
© Ю. И. Попов, 2015
Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2015. Вып. 10. С. 62 — 76.
1. Во всей работе использована следующая схема индексов: I,J,K,L = 1,П; I,] ,К,Ь = 0,п;р^,г^А = 1,Г, р,ц,г,з,} = 0,Г;
i,k,l = г +1,т;а,Д,у,8,е = m +1,п -1; а,Ь,c,d = 1,m; а, р,ф = 1, п;
u, v, w, x, у, z = Г +1, П -1; и, V = Г +1, П;
Л,B,С,F = {1, г;m +1,п -1}; & ф ф € = {1,г;п};
Л, В, С,1€ = {1, г; т +1; п}; ^ = т - г; а, р, ф = 0, п -1; &, Д, £ = т +1, п; ф, ф = {г +1, т; п}.
2. Оператор V дифференцирования такой же, как и в работе [1].
3. Символом 8 обозначим дифференцирование по вторичным параметрам, а значение форм о^ при фиксированных параметрах через лк . В этом случае оператор обозначается символом V8 .
§ 1. Дифференциальные уравнения трехсоставного Н -распределения проективного пространства
1. Рассмотрим п-мерное проективное пространство Рп, отнесенное к подвижному реперу {А^, состоящему из (п+1) аналитических точек А-1. Дифференциальные уравнения инфинитезимального движения репера имеют вид
аА! =окак ,
где формы Пфаффа оК удовлетворяют структурным уравнениям
ВюК = оЬ л оК 1 1 ь
п -
и линейному соотношению ^о^ = 0 .
I=0
Потребуем, чтобы в некоторой области и с Рп для любого центра Х имеют место следующие соотношения инцидентности:
X ЕЛ г с Мт с Ип-1.
Проведем канонизацию репера {А7}: X = А0, грань [Аа ] совместим с плоскостью Нп-1(А0) Н -распределения так, чтобы {Ар} сЛ(А0);{Аа} с М(А0). Такой репер {А7} является репером нулевого порядка Я0.
63
64
Относительно репера Я0 дифференциальные уравнения трехсо-ставного распределения Н с Рп имеют вид [1]
(1)
,,П _ лп К п _ лп К п _ лп К
ар - Арк®0 / ®г - Ак®0 / ®а - Ак®0 /
„а _ ла ^К „а _ ла ..К .А _ Л ..К
®р - ЛрК®0 / ®г - Лк®0 / ®р - ЛрК®0 /
XI лп , лп лп
УЛрК + ЛрК®0 - °Кар - ЛрКЬа0 /
XI лп , лп „0 лп еп лп
УЛк + Лк®0 - Лс,КЮг - 8кЩ - Ак1.®0 / УЛаК +Аак^°0 -Ак< -$>°а - АкпР\/
уларк +лак^°0 +л;к^К-^К^0-ЛКК^Ь/ (2)
УАк-лак®°0 -лркрр +А<-а0-Лк^Ь/ Улрк + лгрКа0 + лакК + лпркК - ¿к- лгркХ-
Имеет место [1]
Теорема 1. Н -распределение/ заданное в репере Я0 (2)/ (3)/ существует с произволом (п - т - 1)(т +1) + г(т - г) + т функций п аргументов.
2. Проведем канонизацию репера Я0 следующим образом. Рассмотрим
def
в каждом центре А0 плоскости Ф(А0) - Фп_г-1(А0)/ Е(А0) - Еп-т-1(А0)/
def
Х¥(А0) - ¥п_в-1(А0) — характеристики гиперплоскости ЩА0), полученные при смещении центра А0 вдоль кривых, принадлежащих соответственно Л, М и Ь-распределению. Поместим вершины репера Я0 следующим образом: {Аа} с ЦА,); {А.} сЦ\); {Ар} сл^) Ап г Н-ЛА0). Выбранный репер является репером первого порядка Я1, в котором
4р - 0, л - 0, ла - 0, л-ар - 0. (3)
Кроме того, потребуем
a) взаимность Л-распределения [4], то есть г-мерная характеристика ХТ(А0) гиперплоскости Нп-1(А0), полученная при смещении центра А0 вдоль кривых, принадлежащих Ф-распределению, и плоскость лг(А0) совпадают, что приводит к условиям
л. - 0; л - 0.
рг ра (4)
b) Взаимность Ь-распределения. Откуда следует
(5)
4 - 0; лпа- 0.
с) Взаимность М-распределения. Тогда имеем
л - 0; лп- - 0.
ар ^' к (6)
Определение. Н -распределение, удовлетворяющее условиям (5) -(7), назовем сильно взаимным трехсоставным распределением или, кратко, 7Н -распределением.
Определение. В каждом центре Ао -распределения плоскости (Л; Ф), (Ь; ¥), (Е, М), которые удовлетворяют условиям (5) - (7), назовем попарно взаимными.
Определение. Распределения плоскостей Л(А0), Ь(А0), Е(А0), Ф(А0), ¥(А0), М(А0), Н(А0) назовем основными структурными подрас-слоениями данного -распределения.
В каждом центре А0 -распределения имеют место следующие отношения инцидентности линейных элементов основных структурных подрасслоений данного -распределения [1]
[Л; Ь] = М; [Ь; Е] = Ф; [Л; Е] = ¥;
Фп М = Ь ; ¥ пФ = Е; ¥ п М = Л.
В выбранном репере 1-го порядка ^ дифференциальные уравнения -распределения имеют следующий вид:
О =Лп^1; аП =Л1г.а\; аП =Ла^1; а =ЛарКа0К; а = ЛрКаК; а =ЛО0К; (7)
< =Л<Ж®К; ас =ЛсКа0к; ар =Лк®К-
Отметим, что величины ЛсК, ЛЛК являются компонентами геометрического объекта 2-го порядка -распределения.
Продолжение уравнений (7) приводит к дифференциальным уравнениям, которым подчинены компоненты фундаментального объекта 2-го порядка
ул; +л;о0 = л;а ,
^Пп +Ла00 -Л°Чп =Л;аьО10 ,
УЛ л0 = ль®0ь , УЛПп +4п®0-ЛаП-о0 =ЛПпьаЬ , УЛ"с+Л>00 =Лаа, (8) УЛСп + Ла0 - ЛСраРп -®С = , УЛЛк +Лка°0 +Л;^каС-бСа] =ЛкъР\, УЛРк +ЛЛка0 +ЛПкар -8>а>0а = Л^, УЛК +Лка0 + -ЗСа0 = ,
65
66
улк +Л^0 +АХ -¿К т°а =ЛкР\,
УЛ'рК + Л;Х + - ¿кХ = лрКо®0,
чА + лРк^О+Ахр - ¿Х = лрко^О.
3. Исследуем систему дифференциальных уравнений (7—8), определяющую Н -распределение в проективном пространстве Рп. Чистое замыкание этой системы имеет вид
А ла>чп = 0 Лп 1 „ ЛЛРк лтК = 0
ч
, ЛЛЛ лХ0 = 0 ,
лЛ л Хк 0 ллп в п ЛЛРрК ЛХ0 = 0 (9)
ЛЛ(К ЛХ0 = 0, ЛЛав лю0 = 0, , (9)
ЛЛк л^К = 0, ЛЛрК ЛХК = 0, ЛЛРк лхК = 0 .
Найдем число Q системы (10). Рассмотрим 3 случая.
a) Если п - т > т - г > г, то в этом случае характеры системы (9) имеют вид
= Ъ2 = ■■■ = 5г+1 = (п - 1) + А , Эг+2 = 5г+з = ■■■ = 5т-г+1 = (п - г - 1) + А , 5т-г+2 = 5т-г+3 = ■■■ = Ъп-т = (П - т - 1) + А , Ъп-т+1 = Ъп-т+2 = ■■■ = Ъп = А ,
где А = 2(п - т -1) • т + 2г(т - г). Отсюда следует, что
Q = [ъ1 + 2ъ2 + ■■■ + (г + 15+1] + [(г + 2)Ъг+2 + ■■■ + (т - г + 1)5т-г+1 ] +
+ [(т - г + 2)Бт-г+2 + ■ ■■ + (п - тК-п ] + [(п - т + 1К-п+1 + ■■■ + пЪп] =
= (г + 2)(г +1) (п -1) + (т + 3)(т - 2г) (п - г -1) +
2 2
+ (п - г + 2)(п - 2т + г -1) . - т - + (п +1)п А
2 2 '
b) Если п - т > г > п - т, то характеры системы (9) примут вид
г+1 1 * х '
т-г+1 = (т - г) + А ,
...... ....._= ■■■ = 5п = А .
Тогда
Q = 5 + 2э2 + ■■■ + (п - п)Эп-п] + [(п - т +1^+1 + ■■■ + (г + 1К+1 ] +
+ [(г + 2)Эг+2 + ■■■ + (т - г + ^-г+1 ] + [(т - г + 2^+2 + ■■■ + пЭп] =
(п - т + 1)(п - т) . „. (п - т + г + 2)(г +1 - п - т)
=-(п -1) +--т +
2 2
Ъ2 ■ ■■ = 5п-,
с = с п-т+1 п- т+2 = .'
'г+2 = Ъг+3 = ■■■ =
Ът-г+2 = ст-г+3
(т + 3)(т - 2г) . - + (п +1)п А 2 2'
п
с) Если т - г > а - т > г, то характеры системы (9) будут следующими:
= Э2 =... = эТ+1 = (а -1) + А,
Ъг+2 = Ъг+3 = ... = Ъп-т = (П - г - 1) + А , Ъа-т+1 = Ъп-т+2 = ." = Ът-г+1 = (т - г) + А , Ът-г+2 = Ът-г+3 = ." = Ъа = А .
Следовательно, О = [эг + э2 +... + (г + 1)эг+1] + [(г + 2)бг+2 +... + (а -т)Эп_т] +
+ [(п - т - 1)ъп-т-1 + ... + (т - Г + 1)вт-г+1] + [(т - г + 2)ът-г+2 + а =
(г + 2)(г +1) . „. (а - т + г + 2)(а - т - г -1) . „.
=-2- (а -1) +-2- а - г -1) +
+ (а - г + 2)(2т - г - а +1) . - + (а + 1)а А 2 2 . Разрешим систему (9) по лемме Картана, в результате получим систему
УЛЛ =Ль00Ь уЛ1 =Ла аь УЛк =
УЛЛк = ЛаЬ, УЛ = Л\а0Ь, УЛРк = Л^, (10)
УЛЛк =ЛЛкЬаЬ, УЛк =ЛкЛ, УЛк = 4^ .
Найдем N - число новых функций, входящих в правые части уравнений (10). Так как эти функции симметричны по двум последним индексам, то
N = г(г + 1)(г + 2) + (т - г)(т - г + 1)(т - г + 2) + = 2 2
(а -т- 1)(а - т)(а -т +1) а(а +1) „г. +---—^-- + —-' 2[(а - т - 1)т + г(т - г)].
Непосредственной проверкой убеждаемся, что N=0 во всех трех случаях.
Таким образом, справедлива
Теорема 2. -распределение, заданное в репере Я1 системой уравнений (7), (8) существует с произволом 2т(а - т -1) + 2г(т - г) функций а аргументов.
§ 2. Голономность основных структурных подрасслоений
-распределения
1. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
о0: = 0, а0 = 0, аСа = 0, (11)
67
68
ассоциированную с системой (7) дифференциальных уравнений, задающей -распределение. Тогда уравнения (7) с учетом (11) примут вид
а^ = л;а , ас = ЛЛа , а; = Л^, а^ = Л^,
а! = ла, а; = ла, а; = ЛО, (12)
а0 =аС=ап0 = апа =аа = 0, где л;рч] = 0 л;рч] = 0 Л] = 0.
Система (11) вполне интегрируема тогда и только тогда, когда ги = 0, где тензор неголономности Л-распределения г^ задается следующим образом [1]:
def ^
ги = {г' га га } ги = 1(Ли -ли )
рц I рц г рц' рц рц 2 \ рц вР
В этом случае базисное Л-распределение определяет (а - г) -параметрическое семейство поверхностей Уг (плоскости Л огибаются поверхностями Уг).
При смещении центра А0 вдоль фиксированной поверхности Уг плоскость Ь описывает т-вырожденную поверхность У!т, а плоскость Е описывает (а - э -1) — вырожденную поверхность УР-э-1 . Таким образом, дифференциальные уравнения (12) в репере 1-го порядка задают пару вырожденных распадающихся гиперполос Нгт и Нга_3-1 ранга г, причем поверхность Уг является их общей направляющей поверхностью.
Итак, обращение в нуль тензора г^ есть условие, при котором пространство пи расслаивается на (а - г) -параметрические семейства т-вырожденных гиперполос Нт и (а - э -1) -вырожденных гиперполос . С другой стороны, описанный выше образ представляет собой г-мерную регулярную гиперполосу Нг с полем распадающихся характеристик:
Фп_г_г(А0) = [Еа-Я-1(А0);Ь,].
2. Присоединим уравнения
а; = 0, асс = 0 (13)
к системе дифференциальных уравнений (7), задающей -распределения. Тогда уравнения (7) с учетом (13) примут вид
аС=ап0 = 0, аа = 0,
ар=лаРо0, а=ла о = л;л,
К=ЛЯ, ар =Л®1 а'а = №<,,
ар =Л,а'0, ар =00 , где лП] = 0, Л = 0 Лрц] = 0 Л = 0.
с = о, л" = Лр = 0
Система (13) вполне интегрируема тогда и только тогда, когда
(15)
где тензор неголономности М-распределения г"ь имеет следующее строение [1]:
га = {га га } га = л _ Л ) 'аЬ ~ 1'рц> Ч] !' ' аЬ ~ 2\у1аЬ у1ЬаУ •
В этом случае М-распределение определяет (п _ т) -параметрическое семейство т-мерных поверхностей Ут (плоскости М огибаются поверхностями Ут).
При смещении центра А0 вдоль фиксированной поверхности Ут уравнения (15) при условии (16) определяют регулярную гиперполосу Нт, базисная поверхность которой несет двухкомпонентную сопряженную систему. В этом случае условия
ла=л=о, лл =лл=о
есть условия сопряженности плоскостей ЦА0) и Л(А0).
3. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений, состоящую из уравнения
аП = 0
(16)
и уравнений системы (7), задающих ТН -распределение.
В силу (16) система уравнений (7) примет виц
аП =Л<, аП =Ла'о, а", = Ларао,
а?=лаа, апа=лау0, а=ла, (17)
аа =лааа0, а; = Лраа0, а, = Даа°о ,
где ЛЛп] = 0, Л]] = 0, Лар] = 0 .
Уравнение (16) вполне интегрируемо тогда и только тогда, когда тензор неголономности Н-распределения гП = {грп ,гп, г"} обращается в нуль:
г*т = 0 о гО = -2(Л^_ЛПо) = 0.
В этом случае оснащающее Н-распределение определяет однопара-метрическое семейство гиперповерхностей Уп_г (плоскости Н огибаются поверхностями Уп_г), несущих трехкомпонентную сильно взаимную систему плоскостей (Л,Ь,Б). Системы (16), (17) задают одну из этих гиперповерхностей Уп_г.
Таким образом, проективно-дифференциальную геометрию ТН -распределений пространства Рп можно применить для изучения вырожденных гиперполос, т-мерных гиперполос, несущих двухкомпонентную сопряженную систему и гиперповерхностей Уп_г с Рп, несущих трехкомпонентную сильно взаимную систему плоскостей.
69
70
§ 3. Основные квазитензоры VH -распределения
Из уравнений (8) следует, что совокупность величин (Anpq}, {Лj}, {Anaßj образуют тензоры 1-го порядка - фундаментальные
тензоры соответственно Л-, L-, Е-подрасслоений.
Согласно структуре VH -распределения полагаем, что эти тензоры невырожденные:
def II II def и ¡1 def .. ..
Л0 = det\\лпп\* 0, L0 = det\Л * 0,E0 = det\\Anaß\\ * 0 Отсюда следует, что
M0 = de\\л"л\\ * 0, Ф0 =det\ * 0, T0 = det|\лпАВ\\ * 0, H0 = |\л"^\\ * 0 , (19)
где {ЛПЪ}, {A^v}, {ЛпАВ}, {ЛП} - фундаментальные тензоры соответственно М-, Ф-, W-, Н-подрасслоений данного VH -распределения.
В дальнейшем Л-, L-, Е-, М-, Ф-, W-, Н-подрасслоения (*) назовем основными структурными подрасслоениями данного VH -распределения. В силу (19), (20) можно ввести в рассмотрение обращенные тензоры 1-го порядка {Л}, Л Л}, {ЛЛ}, №}, {ЛЛВ}, {Л?}, удовлетворяющие уравнениям вида
ухп-ХпФ00 - 0. (20)
Заметим, что величинах Л0, L0, Е0, М0, Ф0, W0, Н0 являются относительными инвариантами:
dlnЛ0 = 2ар -r(®0 +а>П) + Лк®К
dlnL0 = 2а' -s(®0 +a>D + LK®K, dlnE0 = 2®аа -(n -m- 1)(®0 + ®n) + EK®K,
d ln M0 = 2aa - m(®00 + ®) + MK®0K, (21)
dlnФ0 = 2®U -(n-r - 1)(®0 + ®n) + Фк®0К, dln^0 = 2аAA -(n-s- 1)(®0 + conn) + YK®K, dlnH0 = 2®l- (n - 1)(®0 + ®Щ) + HK®K, где Лк = ЛЛ^, Lk = ЛЛ Ek = ЛаЛ"аЩ, ~K = ЛПЛък , Фк = Ли^к, Гк = ЛАЛПавк,Нк = КЛ1к .
Продолжение уравнений (21) с учетом (7) приводит к следующим уравнениям:
v\ + л®0 + (Г + 2)зк®а + rSZrt - (r + 2)Лк®Чп - гЛк< - 0, VLk + L® + (s + 2)4а® + sSA®A - (s + 2)Л®П - sЛак®Па - 0,
(24)
УЕк + Ек« + (п - т +1)8« + (п - т - 1)8« -
- (п - т + 1)Л",к« - (п - т - 1)ЛЖ - О,
УМк + МкФ°0 + (т + 2)8^0 + т8а«°а - (т + 2)Лпак« - тЛЛкК - 0, (22)
уфк +Ф;0 + (п - г -1)8«; + (п - г +1)84° -
- (п - г - 1)Л;; - (п - г + 1)Л- О,
УКк + Тк;00 + (п - в - 1)8« + (п - в +13; -
- (п - в - 1)лк« - (п - в+1)ла«; - о,
УНк + н;0 + (п +1)8; - (п + 1)Лк< - О .
Известно [1], [4], что дифференциальные уравнения вица
V < + к = уЖ (а), V У0 +;0 = у0к«к (б) (23)
задают соответственно поля нормалей 1-го рода Нордена (24 а) и поля нормалей 2-го рода Нордена (24 б) структурных подрасслоений (*) (полагая последовательно о=р, ', а, а, и, А).
С помощью обращенных тензоров 1-го порядка введем в рассмотрение группу основных квазитензоров 1-го порядка
Ла = 1 ла Лдр Та = 1 ЛаЛр Ма= 1 Ла ЛЬа (а)
л' = 1 л ' Л др Л и = 1 Л и Л др
н г рд н ' н г рд н
и основных квазитензоров 2-го порядка
тр = 1 ЛР Л' ЕР = 1 Л Ла фР = 1 Л Л"и Еа = 1 Л Ла
п п п-т-1 а{3 *п ' ^п п-г-1 у1ту1п ' ип п-т-1 у 1аpJ\ '
Еп = п-т-1 ЛарЛТ1 , Кп = п-в-1 ЛАБЛ , Тп = 1Л] , (25)
каждый из которых удовлетворяет уравнению вида (24 а).
Аналогично, в силу уравнений (8), (20) убеждаемся, что каждый из квазитензоров 1-го порядка
е0 =__Л е0 =__ла I0 =-1Л е0 =__Ла
г п-т-1 !а' ^р п-т-1 ра' '■р в рп' а п-т-1 аа (26)
и квазитензоров 2-го порядка
Л0 =-1Лр Л0 = -1Лр I0 =-1Лг Л0 = -1Лр I0 =-1Лг
'Ч г11гр> ла г11ар> 1а ^ 1аИ лу г^ур^А х 11Лг (27)
удовлетворяет одному из уравнений вида (23 б). В результате справедлива
Теорема 3. В дифференциальной окрестности 1-го порядка -распределение внутренним инвариантным образом порождает
а) поля нормалей 1-го рода Нордена: {Лап}, {1"п}, {Ма} Е-подрасслоения, [Хп] Т-подрасслоения, {Л^} Ф-подрасслоения;
б) поля нормалей 2-го рода Нордена: {е0р}, {10} Л-подрасслоения, {е0} Т-
подрасслония, {е°} М-подрасслоения.
71
72
В дифференциальной окрестности 2-го порядка VH -распределение внутренним инвариантным образом порождает
а) поля нормалей 1-го рода Нордена: {Lpn}, {ЕЦ {ФЩ} Л-подрасслоения, {Е'П},{ШЩ} L-подрасслоения, {E"n} М-подрасслоения, {Л} W-подрасслоения.
б) поля нормалей 2-го рода Нордена: {Я0а}, {l0a} Е-подрасслоения, {ЯЯ} L-
подрасслоения, {Яv0} Ф-подрасслоения, {l0A} W-подрасслоения.
§ 4. Нормализации основных структурных подрасслоений
-распределения
1. Следуя работам [2], [4], систему величин {Ka} назовем квазинормалью VH -распределения, если в выбранном репере Ri при преобразованиях стационарной подгруппы элемента распределения (при фиксации центра А0) имеем один из следующих законов преобразования
{KJ :
WaK а + K X = А1ржрп+ж1, (28)
vaKa+KX = лрх-<. (29)
Отметим, что если в (28), (29) a положить равным р, i, a, v, а, А, то уравнения (29), (30) задают квазинормали соответствующие структурным подрасслоениям (*).
Квазинормаль {Ka} первого типа (28) устанавливает биекцию следующего вида между нормалями 1-го и 2-го рода структурного подрас-слоения:
< = -АТ(У°р - Kp), («) V = -Л"арур- Ka, (б) (30)
а квазинормаль {Ka} второго типа (29) задает это соответствие таким образом:
V = Л na(V - Kp), (a) va = лnvp + Ka, (б) (31)
В силу (9) убеждаемся, что функции 1-го порядка
def def def def def def def
t = Лп t =Лг t =Лn t =Лn t =Лn t = Лп t =Лn
удовлетворяют уравнениям (28), т.е являются квазинормалями 1-го типа и 1-го порядка соответствующих структурных подрасслоений (*). Согласно уравнениям (22) следующие совокупности величин (функций)
def def def def ^
К = т+2Лp, Kp = 1;Lp, К = nirEp, Kp = m+2Mp, ( )
def def def
K6 = i ф K7 = i ш K8 = i ff
p ~ n-r-1 ^p' p _ n-i+1 T p' p _ n+1JJ p
удовлетворяют уравнениям (29), и следовательно, являются квазинормалями 2-го типа и 2-го порядка Л-подрасслоения.
Аналогично убеждаемся в силу уравнений (28), (29), что величины к2 = 1Л к3 =^Т к4 =_1_Е к5 = -^М
г У1г> в+2Ч>Гкг п-т-1 Пг' ^г т+21Уч'
к6 = 1 ф к7 = 1 ш к8 =-^Н
1Ч1 п-г+1^г' 1Ч1 п-в-11 и 1Ч1 п+111г'
а также величин
Ка = 1л а , Ка = 1Та , Ка = н-т+1 Еа , Ка = тМа , (33)
к6 = 1 ф к7 = 1 ш к8 = 1 н
а ~ н-г+1 а а~ н-х+1 а а ~ н+1 а
являются квазинормалями 2-го порядка соответственно Т-, Е-под-расслоений.
Наконец, в дифференциальной окрестности 2-го порядка находим следующие характерные квазинормали:
a) для М-подрасслоения:
к1 = 1 е • к2 = 1 м • к3 = 1 н •
Ла _ и-т-1 ^а' Ла _ т+21У1 а' Ла _ я+111 а'
b) для Ф-подрасслоения:
к1 = 1 л ; к = ф к = -+т н ;
V г V' V н-г+1 V" V н+1 V'
c) для ^-подрасслоения:
к1 = 1т ; к2 =_1_ш ; к3 =н
ЛА _ х А? А н-х+1 Т А> А п+1П А-
2. Исходя из построенных ранее нормалей 1-го рода (25) для Л-подрасслоения и квазинормалей (32) в силу биекций (30 б), (31 б) находим им соответствующие нормали 2-го рода:
а) в дифференциальной окрестности 1-го порядка
Т0 = -Лп Т - £ Е0 = -Лп Ен -1 ф0 = -Лп фц -1 •
б) в дифференциальной окрестности 2-го порядка (р = 2,8):
^=л 1пп+ке, ер °=Л нЕ+Квр, фР=л дрф н+Ке.
(е) (е) (е)
Следовательно, имеет место
Теорема 4. На -распределении к Л-подрасслоению внутренним инвариантным образом можно присоединить 24 нормализации в смысле Нордена:
a) (ТРп; Т0Р), (ЕР; Е0Р), (фР; ф0) в дифференциальной окрестности 1-го порядка;
b) (Ьрп; ), (Ер; Щ°), (фгп; Ф0) в дифференциальной окрестности
(е) _ (е) (е)
2-го порядка (р = 2,8).
В силу уравнений (8), (28), (29) убеждаемся, что функции
ЛЛ =-Л^Лп -Г =ЛпЕп + кр, Ш0 =ЛШ1 + кр,
(р) (р)
Л0 =ЛЛ + Кр , Е0 = -ЛЕп - Ъ.Ш = -ЛЛШ - £
(е)
являются квазитензорами. Следовательно, справедлива
73
74
Теорема 5. На 5Н -распределении к Ь-подрасслоению внутренним инвариантным образом присоединяются 24 нормализации в смысле Нордена:
a) (Лп, Л°) в окрестности 1-го порядка;
b) (Бп; %°), (У1п; У?), (Л; Л°), (Бгп, Б?), (Ур, У?) в окрестности 2-го
(е) (е) (е)
порядка (е = 2,8).
Аналогично, в силу биекции (30 б), (31 б) квазитензорам (24 а) поставим в соответствие квазитензоры
л0а = -л"аЛп - а; = -Л"арь4 -га-, ы\= -ларыП - а (34)
1-го порядка и квазитензоры 2-го порядка
ла = лпралрп + ке а = лап + ке та =л^ч+ка. <35>
(е) (е) (е)
Из соотношений (34), (35) следует
Теорема 6. -распределение внутренним инвариантным образом порождает 24 нормализации Е-подрасслоения:
a) (л; Л0а), (1ап; 2?), (М:; М0а) в окрестности 1-го порядка;
b) (Л; К), (Ьап; ¡0 ); (ММ П; т?) в окрестности 2-го порядка.
(е) (е) (е)
Исходя из построенных ранее нормалей 1-го рода {Б"с} (26), {Л} (25), {Ь(26) для М-, Ф-, ^-подрасслоений в силу биекций (31 б), (30 б) находим соответствующие им нормали 2-го рода (5 = 1, 2, 3):
ЕТ0 = Л "саК1 + К5; л: = Л ил + к 5; ¿А = Л"ВАЬвп + К5А;
5) (А (А) (36)
е0 = -Л IX - К; Л и = -л: л V - ^; 1А = -л АХ - Га .
Таким образом, согласно (36) имеет место
Теорема 7. -распределение порождает внутренним инвариантным образом по 4 нормализации в смысле Нордена соответственно М-, Ф-, ¥-подрасслоений (5=1, 2, 3):
a) (Б'п; ЕГ0), (Л К), (Ь*А; ¿ВО), (Бап; е?), (ЬВп; 1?) 2-го порядка;
(А) (А) (А)
b) одну нормализацию (Л; Л0У) 1-го порядка.
3. Построим нормализации структурных подрасслоений, исходя из квазитензоров 1-го порядка {е?}, {I?} (26). Используя биекции (30 а), (31 а), находим для Л-подрасслоения соответствующие нормали 1-го рода:
a) еР = Л (е? - ^ч), ¡Р = ЛР(1? - в окрестности 1-го порядка,
b) Бр = Лр(е°а - Ке), ¿пР = ЛР(1°а - Ц) в окрестности 2-го порядка.
(е) (е)
Отсюда вытекает
Теорема 8. -распределение порождает 16 внутренних нормализаций, ассоциированных с Л-подрасслоением:
a) (еР; е0р), (¡Р; I?) в окрестности 1-го порядка;
b) 14 нормализаций (БР; е0р), (; ¡?) в окрестности 2-го порядка (е = 2,8).
(е) (е)
Аналогично, исходя из квазитензоров {е0} (26), {Л0} (27) в силу би-екций (30 а), (31 а) находим для Ь-подрасслоения нормаль 1-го рода:
а) ЛЛ = Л(Л0 - к), еп =4(е0 - ке), Л = Л(Л0 - ь1) в дифференци-
(е) (е)
альной окрестности 2-го порядка,
Ь) е1п = ЛЛ(е0 -£]) в дифференциальной окрестности 1-го порядка. Отсюда следует
Теорема 9. -распределение порождает внутренним инвариантным образом 15 нормализаций Т-подрасслоения в дифференциальной окрестности 2-го порядка:
(Хп; Л), (%; е0), (Хп; Л?)
(е) (е)
и одну нормализацию (е1п; е0) в дифференциальной окрестности 1-го порядка.
Нормали {Ла}, {¡а} (27) 2-го рода Е-подрасслоения в силу биекции (30 а), (31 а) и квазинормалей (33), {Ь;} порождают в дифференциальной окрестности 2-го порядка 16 нормалей 1-го рода:
Ла=лаЛр- к;); ¡а=лаа°р - к;),
(е) (е)
л: =лла(Л0р-ьру,^п а=л;аа; - ьр ).
Следовательно, имеет место
Теорема 10. В дифференциальной окрестности 2-го порядка к Е-подрас-слоению можно внутренним инвариантным образом присоединить 16 нормализаций (Лап; Л;), (¡;; ¡0;), (Лап, Л;), (£п; ¡0;) в смысле Нордена. (е) (е)
Аналогично теореме 7 доказывается
Теорема 11. -распределение внутренним инвариантным образом порождает (8= 1, 2, 3):
а) три нормализации (е"п; е0) в окрестности 2-го порядка и одну нормализа-
(8)
цию (е"п; е0) в окрестности 1-го порядка М-подрасслоения;
б) четыре нормализации (Лпп; Л0п), (Л°п; Л0п) в окрестности 2-го порядка
(8)
Ф- подрасслоения;
в) четыре нормализации (¡А; ¡0), (¡А; ¡0) в окрестности 2-го порядка
(8)
¥-подрасслоения.
Список литературы
1. Попов Ю. И. Основы теории трехсоставных распределений проективного пространства : монография. СПб., 1992.
2. Лаптев Г. Ф., Остиану Н. М. Распределения т-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности// Тр. геом. семинара. ВИНИТИ АН СССР. М., 1971. Т.3. С. 49-94.
3. Остиану Н. М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве. // Там же. 1973. Т.4. С. 71-120.
75
4. Столяров А. В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов// Проблемы геометрии. Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР. М., 1975. Т.7. С. 117-151.
5. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. // Тр. моск. мат. об-ва. 1953. Т.2. С. 275-382.
Об авторе
Юрий Иванович Попов — канд. физ.-мат. наук, проф., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.
E-mail: [email protected]
76 About the author
Dr Juriy Popov - ass. prof., I. Kant Baltic Federal University.
E-mail: [email protected]
