Нильпотентные, ниль-хорошие и ниль-чистые формальные матрицы над кольцами вычетов Текст научной статьи по специальности «Математика»

2024

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика и механика Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics

№ 91

Научная статья

УДК 512.552 MSC: 08A35, 15B99, 16S50

doi: 10.17223/19988621/91/3

Нильпотентные, ниль-хорошие и ниль-чистые формальные матрицы над кольцами вычетов

Анастасия Максимовна Елфимова1, Цырендоржи Дашацыренович Норбосамбуев2, Максим Вадимович Подкорытов3

12•3 Томский государственный университет, Томск, Россия 1 [email protected] 2 nstsddts@yandex. ru 3 maximthegreate@yandex. ru

Аннотация. Продолжена работа над аддитивными задачами в кольцах формальных матриц над кольцами вычетов. Найдены необходимые и достаточные условия нильпотентности формальной матрицы над кольцами вычетов, показано, что кольцо таких матриц будет (p - 1)-ниль-чистым и ниль-хорошим чистым. Также, отвечая на вопрос, поставленный в статье второго соавтора, мы доказали, что кольцо формальных матриц над кольцами вычетов никогда не ниль-хорошее, а следовательно, и не изящное.

Ключевые слова: кольцо формальных матриц, нильпотентная формальная матрица, ниль-хорошее кольцо, изящное кольцо, ниль-чистое кольцо, ниль-хорошее чистое кольцо, кольцо контекста Мориты

Благодарности: Работа выполнена в рамках проекта «Кольца, близкие к хорошим» во время Большой математической мастерской в Томском государственном университете при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования РФ (соглашение № 075-02-2024-1437).

Для цитирования: Елфимова А.М., Норбосамбуев Ц.Д., Подкорытов М.В. Ниль-потентные, ниль-хорошие и ниль-чистые формальные матрицы над кольцами вычетов // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2024. № 91. С. 31-40. doi: 10.17223/19988621/91/3

Original article

Nilpotent, nil-good, and nil-clean formal matrices over residue class rings

Anastasia M. Elfimova1, Tsyrendorzhi D. Norbosambuev2, Maxim V. Podkorytov3

12 3 Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation 1 [email protected]

© А.М. Елфимова, Ц.Д. Норбосамбуев, М.В. Подкорытов, 2024

2 nstsddts@yandex. ru 3 maximthegreate@yandex. ru

Abstract. Let us recall some classes of rings. A ring R is said to be ¿-nil-clean if each element can be written as a sum of a nilpotent and k idempotents. A ring R is said to be fine if each non-zero element can be written as a sum of a unit and a nilpotent. A ring R is called nil-good if every element is a nilpotent or a sum of a nilpotent and a unit. And, finally, ring R is called nil-good clean if every element is a sum of a nilpotent, an idem-potent, and a unit.

In this paper, we continue our work on additive problems in formal matrix rings over residue class rings. We have found necessary and sufficient conditions for the nilpotency of a formal matrix over residue class rings. After that we have shown that a ring of such matrices is (p -1)-nil-clean and nil-good clean. Also, answering the question posed in the previous article of the second co-author, we prove that a ring of formal matrices over residue rings is never nil-good, and, therefore, not fine.

Let p be a prime, m and n be natural numbers, m > n > 0. Consider the ring of formal matrices

.j - ^ fZ /pmZ Z /p"Z) if a + pmZ b + pnZ , J

over residue class rings K = 1 I = -i I I a,b,c,d e Z >

^ Z /pnZ Z /pnZ J c + pnZ d + pnZ J J

where for all A, A'e K

fa + pmZ b + pnZ^ fa' + pmZ b' + pnZ

A • A =

| c + pnZ d + pnZ) ^ c' + pnZ d' + pnZ -pm-nbc' + pmZ ab' + bd' + pnZ r ' + dc ' + pnZ pm-ncb ' + dd ' + pnZ)

One can see that the ring K is isomorphic to the endomorphism ring of the abelian group ((Z/pmZ) 0 (Z/pnZ), +).

Theorem 2.1. Let A = a + p Z ° + p Z e K . Matrix A

is nilpotent if and only if a

^ c + pn Z d + pn Z)

and d are multiples of p. Corollary 2.3. Ring K is not nil-good. Corollary 2.4. Ring K is not fine. Theorem 3.5. Ring K is (p-l)-nil-clean.

^ „ , „ fZ/2m Z ZJ2n ZV Corollary 3.6. I I is a nil-clean ring.

^ Z/2n Z Z/2n Z)

Question 3.7. Will K be nil-clean for p > 2?

Problem 3.8. Find necessary and sufficient conditions for the idempotency of a matrix from K.

Proposition 3.9. Ring K is nil-good clean.

Keywords: formal matrix ring, nilpotent formal matrix, nil-good ring, fine ring, nil-clean ring, nil-good clean ring, Morita context ring

Acknowledgments: This work was supported by the Ministry of Science and Higher Education of Russia (agreement No. 075-02-2024-1437).

For citation: Elfimova, A.M., Norbosambuev, T.D., Podkorytov, M.V. (2024) Nilpotent, nil-good, and nil-clean formal matrices over residue class rings. Vestnik Tomskogo gosu-darstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 91. pp. 31-40. doi: 10.17223/19988621/91/3

Введение

Все рассматриваемые кольца - ассоциативные с единицей, E(G) - кольцо эндоморфизмов абелевой группы G, U(R) - группа обратимых элементов кольца R, M(n, R) - кольцо всех матриц порядка n над кольцом R, Z - кольцо (и группа) целых чисел, Z/pnZ - кольцо (и группа) вычетов по модулю pn, ■ - конец доказательства или его отсутствие.

1. Формальные матрицы над кольцами вычетов

Пусть Я и - кольца, ЯМ5 и - бимодули. Напомним, что кольцом формальных матриц (второго порядка) мы называем множество

K =

е R, m е

RMS , П (

s Nr , S е S \

с операциями поэлементного сложения и умножения вида:

( г т Л (г' т'Л (гг '+ф(т ® п') гт'+ т$' ^ п 5 ) ^ п' 5') ^ пг'+ 5п' \у(п ® т') + 'у задаваемого с помощью бимодульных гомоморфизмов ф: М N ^ Я и у: N ®р М ^ 8. Также здесь нужно потребовать выполнения равенств ф(ш ® п) ■ т' = т ■ у(п ® т') и у(п ® т) ■ п' = п ■ф(т ® п'), т, т' е М, п, п' е N, для ассоциативности умноже-

( ЯМ Л

ния. Часто такое кольцо обозначают К = I I. Кольца формальных матриц,

также называемые кольцами контекста Мориты, впервые появляются в работе японского математики Киити Мориты [1]. Для более подробного ознакомления с историей изучения контекста Мориты рекомендуем обзорную статью [2].

Пусть р - простое число, т и п - натуральные, т > п > 0. Рассмотрим кольцо формальных матриц, в котором Я = Z/pmZ, 5 = Z/pnZ, М = Z/pnZ, N = Z/pnZ, ф((ъ+рп z) ® (с'+ рп г)) = рш-"ъс '+ рт z и у((с+рп z) ® (ъ'+ рп г» = рт-псъ'+ рпъ для любых Ь, с, Ь', с' е Z. Тогда получаем кольцо

K =

(z /pm z z /pnz

(a + pm Z b + pn ZЛ

Z /pnZ Z /pnZ

где для любыхA, A' е K

fa + pm Z b + pn Z c + pn Z d + pn Z faa' + pm-nbc' + pm Z

c + pn Z d + pn Z

a,b, c, d е Z;

A ■ A' =

Л fa' + pmZ b' + pnZЛ

c' + pn Z d' + pn Z

аЬ + Ьё' + рп г

са' + ёс' + рп г рш-"сЪ' + ёё' + рп г,

При т = п, конечно, К = М(2, Z/pnZ). Этот случай нам не так интересен. Далее считаем, что т > п, если не отмечено иное.

Рассмотрим группу ((Z/pmZ) © (Z/pnZ), +). В работе [3] было показано, что кольцо эндоморфизмов группы ((Z/pmZ) © (Z/pnZ), +) изоморфно кольцу формальных мат-

риц K =

fZ /pm Z Z /pn Z^

Z /pnZ Z /pnZ соответствует единственная матрица

z\, z2 e Z имеет место равенство 0

. А именно, эндоморфизму 6 группы (Z/pmZ) © (Z/pnZ)

^а + pm Z b + pn ZЛ c + pn Z d + pn Z

e ^ такая, что для любых

^ + pm Z^ z2 + pn Z

o^! + pm nbz2 + pm Z czj + + pn Z

\

. Здесь эле-

менты группы (ирТЪ) © (Т1рпТ)) для наглядности записаны в столбец. Ясно также.

„ (1 + ртъ 0 + рп Z что тождественному эндоморфизму соответствует матрица Е =

^ 0 + pnZ 1 + pnZ

Вместе с тем всякая конечная р-группа ранга 2 изоморфна группе вида (иртХ) © ^/р^), где т > п > 0. Таким образом, кольца формальных матриц К второго порядка суть в точности кольца эндоморфизмов конечных р-групп второго ранга. Далее в статье можем не делать различий между кольцом формальных матриц К и кольцом эндоморфизмов Е((Ъ/ртЪ) © (Ъ/рпЪ)).

Кольца формальных матриц над кольцами вычетов подробно рассматриваются в статьях [3] и [4], также им уделяют внимание в работах [5-7]. Имеет место следующий критерий обратимости в кольце формальных матриц К.

Теорема 1.1 [3, 7]. Матрица A =

fa + pm Z b + pn Z^

; K обратима тогда и

с + pn Z d + pn Zj

только тогда, когда числа a и d не делятся на р. ■

Кольца формальных матриц над кольцами вычетов могут представлять интерес как основа для построения некоммутативного протокола шифрования данных. Этот раздел криптографии - некоммутативная алгебраическая криптография -в последнее время привлекает большой интерес специалистов по шифрованию данных. Кольцо K, очевидно, не является коммутативным, однако оно рассматривается над несколькими коммутативными кольцами Z/pnZ, весьма просто устроенными. Также кольца K при m > n не изоморфны кольцам обычных матриц M(2, R). На данный момент предпринималось несколько попыток сконструировать протоколы шифрования, использующие кольца формальных матриц (см.: [8-11]).

2. Нильпотентные и ниль-хорошие формальные матрицы над кольцами вычетов

Пусть к - натуральное, к > 1. Напомним, что элемент кольца мы называем к-хорошим, если его можно записать в виде суммы к обратимых элементов этого кольца. Кольцо называем к-хорошим, если все его элементы таковы. Если все элементы кольца к-хороши, но для разных натуральных к, т.е. невозможно подобрать одно такое к, что все элементы являются к-хорошими, то называем кольцо в таком случае ю-хорошим. А если в кольце есть элементы, непредставимые в виде конечной суммы обратимых, то говорим, что кольцо не является хорошим.

Изучение колец, аддитивно порождаемых своими обратимыми элементами, началось с середины прошлого века. Эта тема вызывает интерес многих специалистов по алгебре. Выделим связанные с ней вопросы:

1. Изящность элемента кольца - возможность записать его как сумму нильпо-тентного и обратимого элементов. Кольцо называем изящным, если все его элементы, кроме нулевого, изящны. Если в кольце есть ненулевые элементы, непредставимые в виде суммы нильпотента и обратимого, то говорим, что кольцо не является изящным.

2 Ниль-хорошесть элемента кольца - возможность записать его как сумму нильпотента и элемента, который либо обратим, либо равен нулю кольца. Кольцо называем ниль-хорошим, если все его элементы таковы. Если в кольце есть хотя бы один не ниль-хороший элемент, то и все кольцо называем не ниль-хорошим.

3. к-ниль-хорошесть элемента кольца - возможность записать его в виде суммы одного нильпотентного и к обратимых элементов. Кольцо называем к-ниль-хорошим, если все его элементы таковы. Здесь, как и в случае с к-хорошестью, если все элементы кольца к-ниль-хороши, но для разных к, то называем кольцо в таком случае ю-ниль-хорошим.

Очевидно, что из изящности следует ниль-хорошесть. Из к-хорошести вытекает к-ниль-хорошесть. Подробнее об этих свойствах можно прочитать в работах [4] и [12] и в литературе, упоминаемой в них.

При р > 2 кольцо К является 2-хорошим [4], а значит и 2-ниль-хорошим. Вместе с тем при р = 2 кольцо К не является хорошим, т.е. в К найдутся матрицы, непредставимые в виде сумм конечного числа обратимых матриц. Также в [4] был задан вопрос: будет ли Е((ИртЪ) © (Ър^)) изящным или хотя бы ниль-хорошим кольцом? Что можно сказать о ниль-хорошести и изящности кольца Е((Ш^) © ^/2^)), т > п?

Для ответа на эти вопросы нужно знать необходимые и достаточные условия нильпотентности формальных матриц в К. Нам удалось их получить.

Теорема 2.1. Пусть А =

( , т гг 7 , "т\

а + р Ъ Ь + р Ъ

К . Матрица А нильпотентна

с + р" Ъ й + р" Ъ

тогда и только тогда, когда числа а и ё кратны р.

Доказательство. Пусть А - нильпотентная матрица, т.е. Ак = 0 для какого-то натурального к. Легко показать по индукции, что при любом натуральном / матрица^1 имеет вид:

А' =

Г а> +рт-" (...) + ртЪ {...) +р"Ъ Л

Таким образом, для того чтобы элементы на главной диагонали матрицы Ак получились нулевыми (в смысле колец Z/pmZ и Z/pnZ), числа а и ё должны быть кратны р.

Обратно, пусть а и ё кратны р. Тогда существуют такие числа а' и ё', что а = ра' и ё = рё'. Вычислим А2:

а2 _(а2 + рт-"Ьс + ртЪ аЬ + Ьй + р"Ъ л

са + йс + р" Ъ рт-"сЬ + й2 + р" Ъ /

Далее можем расписать

а2 + рт-пЬс = ра'а + ррт-п-1Ьс = р(а'а + рт-п-1Ьс), аЬ + Ьё = раЪ + Ьрё' = р(а'Ь + Ьё'), са + ёс = сра' + рё'с = р(са' + ё'с), рт-псЬ + ё2 = ррт-п-1сЬ + рё'ё = р(рт-п-1сЬ + ё'ё).

Итак,

A =

p(a'a + pm n lbc) + pmZ p(a'b + bd') + pnZ

Л

pica' + d'c) + pnZ p(pm " lbc + d'd) + pnZ Снова пользуясь индукцией, легко показать, что при любом натуральном /

A2 =

V (•••)+У* Z р\..)+рп

р{...) + рпЪ р{..)+рпЪ Тогда можем заключить, что по крайней мере

A =

( тп / \ , mrw т / \ , п гг\

^o+^z o+p"z^

о+p"Z 0 + p"Z

т/ \ , п г-ж т/ \ , п г-ж

р {...) +р ъ р (...) + Р ЪJ

Следствие 2.2. Нильпотентные матрицы кольца К образуют идеал. ■

Далее, зная условия нильпотентности матриц в К, можем вывести следующий факт.

Следствие 2.3. К - не ниль-хорошее кольцо.

Доказательство. Пусть А е К - не нильпотентная и необратимая матрица. Такие матрицы существуют, это легко вывести из теорем 1.1 и 2.1. Допустим, что А - ниль-хорошая, тогда А = N + 0 или А = N + и, где N - нильпотентная, и - обратимая матрицы. В первом случае получаем, что А - нильпотентная, что противоречит нашему предположению. Пусть А = N + и, тогда по теореме 2.1 и теореме 1.1 матрицы N и и имеют вид:

^ ра + ртZ Ь + р"Z ^

N =

c + pn Z pd + pn Z

U =

V+pmz b'+pnZ

c' + pn Z d' + pn Z

A =

U (*),

где a, a', b, b', c, c', d, d' e Z, причем a' и d' не делятся на p. Тогда, как несложно видеть,

fa' + pa + pmZ b + b' + pnZ ^

vc + c' + pn Z d' + pd + pn Zy

что противоречит нашему предположению, что A - необратимая матрица. Значит, А не может быть ниль-хорошей. Следовательно, K - не ниль-хорошее кольцо. ■

Как мы отмечали выше, изящное кольцо всегда будет ниль-хорошим. Следовательно, кольцо, не являющееся ниль-хорошим, не может быть изящным.

Следствие 2.4. Кольцо K не изящно. ■

Таким образом, мы ответили на оба вопроса, поставленных ранее в [4]: кольцо формальных матриц K не будет ни изящным, ни ниль-хорошим ни при каком простом p.

Заметим, однако, что при m = n и p = 2 кольцо K = M(2, Z/2nZ) - 2-ниль-хорошее, ниль-хорошее, но не изящное [4. Предложение 3.11].

3. Чистые, ниль-чистые и ниль-хорошие чистые формальные матрицы

над кольцами вычетов

Напомним, что элемент кольца называется чистым, если его можно разложить в сумму идемпотентного и обратимого элементов кольца. Кольцо называем чистым, если все его элементы чистые. Со свойством чистоты также связаны понятия:

1. Ниль-чистота - элемент кольца называем ниль-чистым, если его можно разложить в сумму идемпотентного и нильпотентного элементов кольца. Кольцо называем ниль-чистым, если все его элементы ниль-чисты.

2. к-ниль-чистота - элемент кольца называем к-ниль-чистым, если его можно разложить в сумму одного нильпотентного и к идемпотентных элементов кольца, где к - натуральное число. Кольцо называем к-ниль-чистым, если все его элементы к-ниль-чисты.

3. Ниль-хорошая чистота - элемент кольца называем ниль-хорошим чистым, если его можно разложить в сумму идемпотентного, нильпотентного и обратимого элементов кольца. Кольцо называем ниль-хорошим чистым, если все его элементы ниль-хорошие чистые.

Для более подробного ознакомления с этими свойствами см. литературу, упоминаемую, например, в [4] и [12].

Теорема 3.1 [5]. Если Я и - чистые кольца, то кольцо формальных матриц

(я м Л

I I - тоже чистое. ■

^J

Поскольку при любых простых р и п е N кольцо ZpиZ является чистым, то получаем

Следствие 3.2. Кольцо К - чистое. ■

Следующее утверждение можно проверить непосредственно.

Лемма 3.3. Для любого простого р и для любых натуральных т и п, т > п, следующие (формальные) матрицы являются нетривиальными идемпотентами в К:

(

1 + рт Ъ 0 + рп ъ

0 + рп Ъ 0 + рп ъ

1 + рт Ъ 0 + рп ъ

1 + рп Ъ 0 + рп ъ

\ (

0 + рт Ъ 0 + рп ъ 0 + рп Ъ 1 + рп ъ

\

Г1 + рт Ъ 1 + рп ъ^ 0 + рп Ъ 0 + рп ъ

( с

(

0 + рт Ъ 0 + рп ъ

1 + рп Ъ 1 + рп ъ

0 + рт Ъ 1 + рп ъ 0 + рп Ъ 1 + рп ъу

Лемма 3.4. Если элемент кольца ниль-чист, то он будет и к-ниль-чист для любого к > 1.

Действительно, пусть а = п + е, где п - нильпотент, е - идемпотент. Тогда а = п + е + 0 + ... + 0 - к-ниль-чистое разложение элемента а с к - 1 нулевыми слагаемыми. ■

Теорема 3.5. Кольцо К является (р - 1)-ниль-чистым.

Л

Доказательство. Пусть А =

Л

е К ,где а, й, с, й, х,

х + ра + рт Ъ Ь + рп Ъ с + рп Ъ у + рё + рп Ъ)

у е Z, причем 0 < х < р и 0 < у < р. Считаем, что х > у (случай х < у рассматривается аналогично). Тогда можем записать

А =

г ра + рт Ъ Ь + рп с + рп Ъ рё + рп Ъ

1 + рт Ъ 0 + рп ъ 0 + рп Ъ 1 + рп ъ

+ 1

х-у раз

(\+ртъ 0+рпЪ

0 + рп Ъ 0 + рп ъ

(1)

+

у раз

Получили сумму одной нильпотентной и x идемпотентных матриц. Понятно, что

если x = y, то слагаемых вида

Г1 + pm Z 0 + pn Z

v0 + pn Z 0 + pn Z Далее, поскольку x < p, y < p, то слагаемых

в разложении (1) просто не будет.

+ pmZ 0 + pnZл

0 + pnZ 1 + pnZ

^1 + pmZ 0 + pnZл 0 + pnZ 0 + pnZ

в разложении (1) матрицы А не может быть больше р - 1. А если таких слагаемых меньше р - 1, то всегда можно добавить нужное количество нулевых матриц (см. лемму 3.4). ■

Следствие 3.6. Кольцо K =

СZ/2m Z Z/2n Z^ Z/2n Z Z/2n Z

- ниль-чистое.

Вопрос 3.7. Может ли K быть ниль-чистым кольцом при p > 2?

Для ответа на этот вопрос нужно знать, когда формальная матрица А e K является идемпотентной.

Проблема 3.8. Найти необходимые и достаточные условия идемпотентности матриц из K.

В завершение установим ниль-хорошую чистоту кольца K.

Предложение 3.9. Кольцо K является ниль-хорошим чистым.

Доказательство. Если А e K - обратимая матрица, то можем записать A = 0 + 0 + A ; таким образом, А - ниль-хорошая чистая.

Если матрица А e K нильпотентна, то можем записать A = A + E + (-E) - сумма нильпотентной, идемпотентной и обратимой матриц.

Пусть А e K - не нильпотентная и необратимая матрица. Тогда

A =

i , m^ 1 . nrw\

a + p Z b + p Z

где либо a делится на p и d не делится на p, либо d де-

c + pn Z d + pn Z j

лится на p и a не делится на p. Для определенности пусть a делится на p и d не

делится. Полагая

m

a + p

X =

■ c + pn Z 0 + pn Z

fa + pm Z b + pn ЪЛ

Y =

+ pm Z 0 + pn ъл

Z =

+ pmZ 0 + pnZл 0 + pn Z d + pn Z

0 + pn Z 0 + pn Z j

получаем, что A = X + Y + Z, где матрица X нильпотентна в силу теоремы 2.1, матрица Y идемпотентна по лемме 3.3, и матрица Z обратима в силу теоремы 1.1. ■

Список источников

1. Morita K. Duality for modules and its applications to the theory of rings with minimum condi-

tion // Sci. Rep. Tokyo Kyoiku Daigaku. Sect. A. 1958. V. 6. P. 83-142.

2. Loustaunau P., Shapiro J. Morita contexts // Non-Commutative Ring Theory. Springer, 1990.

P. 80-92. (Lecture Notes in Mathematics; v. 1448). doi: 10.1007/BFb0091253

3. Степанова А.Ю., Тимошенко Е.А. Матричное представление эндоморфизмов примар-

ных групп малых рангов // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2021. № 74. С. 30-42. doi: 10.17223/19988621/74/4

4. Норбосамбуев Ц.Д. Хорошие кольца формальных матриц над кольцами вычетов // Вест-

ник Томского государственного университета. Математика и механика. 2023. № 85. С. 32-42. doi: 10.17223/19988621/85/3

5. Крылов П.А., Туганбаев А.А. Кольца формальных матриц и модули над ними. М. :

МЦНМО, 2017.

6. Крылов П.А., Туганбаев А.А. Формальные матрицы и их определители // Фундаменталь-

ная и прикладная математика. 2014. № 1 (19). С. 65-119.

7. Крылов П.А. Определители обобщенных матриц порядка 2 // Фундаментальная и при-

кладная математика. 2015. № 5 (20). С. 95-112.

8. Climent J.-J., Navarro P.R., Tortosa L. Key exchange protocols over noncommutative rings.

The case of End(Zp x Z2) // International Journal of Computer Mathematics. 2012. V. 89.

P. 1753-1763. doi: 10.1080/00207160.2012.696105

9. Climent J.-J., Lopez-Ramos J.A. Public key protocols over the ring // Advances in Mathe-

matics of Communications. 2016. V. 10. P. 861-870.

10. Long D.T., Thu D.T., Thuc D.N. A Bergman ring based cryptosystem analogue of RSA // International Conference on IT Convergence and Security, ICITCS 2013. doi: 10.1109/ ICITCS.2013.6717769

11. Farida N.J., Irawati. On the arithmetic of endomorphism ring End(Z^2 xZf) and its RSA

variants // South East Asian Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. 2023. V. 19 (2). P. 53-64. doi: 10.56827/SEAJMMS.2023.1902.4

12. Норбосамбуев Ц.Д., Тимошенко Е.А. О ¿-ниль-хороших кольцах формальных матриц // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2022. № 77. С. 17-26. doi: 10.17223/19988621/77/2

References

1. Morita K. (1958) Duality for modules and its applications to the theory of rings with minimum

condition. Science Reports of the Tokyo Kyoiku Daigaku, Section A. 6. pp. 83-142.

2. Loustaunau P., Shapiro J. (1990) Morita contexts. Non-Commutative Ring Theory (Lecture

Notes in Mathematics, Vol. 1448). Springer. pp. 80-92. DOI: 10.1007/BFb0091253.

3. Stepanova A.Yu., Timoshenko E.A. (2021) Matrichnoye predstavleniye endomorfizmov pri-

marnykh grupp malykh rangov [Matrix representation of endomorphisms of primary groups of small ranks]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika -Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 74. pp. 30-42. DOI: 10.17223/19988621/74/4.

4. Norbosambuev T.D. (2023) Khoroshiye kol'tsa formaFnykh matrits nad kol'tsami vychetov

[Good formal matrix rings over residue class rings]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 85. pp. 32-42. DOI: 10.17223/19988621/85/3.

5. Krylov P., Tuganbaev A. (2017) Formal Matrices. (Algebra and Applications, Vol. 23).

Springer. DOI: 10.1007/978-3-319-53907-2.

6. Krylov P.A., Tuganbaev A.A. (2015) Formal matrices and their determinants. Journal of

Mathematical Sciences (New York). 211(3). pp. 341-380. DOI: 10.1007/s10958-015-2610-3.

7. Krylov P.A. (2018) Determinants of generalized matrices of order 2. Journal of Mathematical

Sciences (New York). 230(3). pp. 414-427. DOI: 10.1007/s10958-018-3748-6.

8. Climent J.-J., Navarro P.R., Tortosa L. (2012) Key exchange protocols over noncommutative

rings. The case of End(Zp x ). International Journal of Computer Mathematics. 89.

pp. 1753-1763. DOI: 10.1080/00207160.2012.696105.

9. Climent J.-J., Lôpez-Ramos J.A. (2016) Public key protocols over the ring E^m) . Advances in

Mathematics of Communications. 10. pp. 861-870.

10. Long D.T., Thu D.T., Thuc D.N. (2013) A Bergman ring based cryptosystem analogue of RSA. International Conference on IT Convergence and Security, ICITCS. DOI: 10.1109/ ICITCS.2013.6717769.

11. Farida N.J., Irawati (2023) On the arithmetic of endomorphism ring EndCZ^, x Zp) and its

RSA variants. South East Asian Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. 19(2). pp. 53-64. DOI: 10.56827/SEAJMMS.2023.1902.4.

12. Norbosambuev T.D., Timoshenko E.A. (2022) O k-nil'-khoroshikh kol'tsakh formal'nykh matrits [On k-nil-good formal matrix rings]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 77. pp. 17-26. DOI: 10.17223/19988621/77/2.

Сведения об авторах:

Елфимова Анастасия Максимовна - аспирант механико-математического факультета Томского государственного университета (Томск, Россия). E-mail: [email protected] Норбосамбуев Цырендоржи Дашацыренович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры механико-математического факультета Томского государственного университета, старший научный сотрудник Регионального научно-образовательного математического центра Томского государственного университета (Томск, Россия). E-mail: [email protected]

Подкорытов Максим Вадимович - студент механико-математического факультета Томского государственного университета (Томск, Россия). E-mail: [email protected]

Information about the authors:

Elfimova Anastasia M. (Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: [email protected]

Norbosambuev Tsyrendorzhi D. (Candidate of Physics and Mathematics, Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: [email protected]

Podkorytov Maxim V. (Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: [email protected]

Статья поступила в редакцию 28.02.2024; принята к публикации 03.10.2024

The article was submitted 28.02.2024; accepted for publication 03.10.2024