CC BY
7
2020 Математика и механика № 67
УДК 512.552 MSC: 15B99, 16S50
DOI 10.17223/19988621/67/5
Ц.Д. Норбосамбуев, Е.А. Тимошенко
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ 3-ХОРОШИХ КОЛЕЦ ФОРМАЛЬНЫХ МАТРИЦ1
Исследуются кольца формальных матриц со значениями в данном кольце и с матрицей множителей, состоящей из 0 и 1. При указанных ограничениях кольцо формальных матриц может быть представлено как расщепляющееся расширение одного своего нильпотентного идеала с помощью произведения обычных колец матриц, а вопрос об обратимости формальной матрицы сводится к вопросу об обратимости обычных матриц над кольцом. При некоторых дополнительных условиях, наложенных на матрицу множителей, удается воспользоваться известной теоремой Хенриксена и доказать, что всякий элемент кольца формальных матриц представляет собой сумму трех обратимых элементов этого кольца. В конце мы приводим примеры таких колец формальных матриц порядка 4 и 5.
Ключевые слова: кольцо, хорошее кольцо, кольцо формальных матриц.
В [1] и [2] рассматривался класс колец формальных матриц, для которых было описано строение их групп автоморфизмов. В данной статье показано, что кольца формальных матриц этого (и даже в некотором смысле более широкого) класса будут 3-хорошими.
Пусть к - натуральное число, к > 2. Напомним [3], что элемент кольца называется к-хорошим, если он представим в виде суммы к обратимых элементов этого кольца; кольцо называют к-хорошим, если все его элементы к-хорошие. Изучению колец, которые аддитивно порождаются своими обратимыми элементами, посвящено большое количество работ. Хороший обзор исследований по этой теме дан в статье [4].
Далее R - произвольное ассоциативное кольцо с единицей, M(n, R) - кольцо всех (n х п)-матриц над R.
1. Кольца формальных матриц
Изучению произвольных колец формальных матриц также посвящено множество работ (см., например, [1, 2, 5-12]).
Понятия формальной матрицы и кольца формальных матриц берут свое начало в работах японского математика К. Мориты. В 1958 году в статье [8] он ввел объект, который позже был назван контекстом Мориты.
Контекст Мориты - это набор (R, M, N, S, ф, у), состоящий из произвольных колец R и S, бимодулей RMS и S NR и определенным образом связанных между собой бимодульных гомоморфизмов ф и у. Морита пришел к нему при изучении кон-травариантных функторов D1 и D2 между категориями модулей Mod-R и Mod-S, таких, что выполняются условия D1D2 » IdMod-R и D2 Di » IdMod-S (позже им было
1 Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ для молодых ученых - докторов наук МД-108.2020.1.
доказано, что на самом деле это функторы Нот). Контексты Мориты интересны и сами по себе, и как очень полезный инструмент обобщения в теории колец. Эта тема заслуженно привлекает внимание алгебраистов уже более полувека. Подробнее с историей развития данного направления исследований можно познакомиться в обзорной статье [9]; в ней же можно найти ссылки на наиболее важные работы по теме.
По данному контексту Мориты всегда можно построить кольцо матриц вида
к = Г т
I п я
г е Я, т е М, п е N, 5 е
называемое кольцом контекста Мориты или кольцом формальных матриц. Понятия формальной матрицы и кольца формальных матриц естественным образом можно расширить на случай произвольного порядка > 2.
Нас интересует лишь один частный случай - кольца формальных матриц со значениями в данном кольце Я. Впервые такие кольца появились в работе П. А. Крылова [7]. Они устроены следующим образом.
Пусть К - кольцо формальных матриц порядка п > 2 (см. [5, 6]), в котором все стоящие на главной диагонали кольца Я^, Я2, ..., Яп совпадают с некоторым кольцом Я, а в качестве Яi -Яу -бимодулей Му берется Я-Я-бимодуль ЯЯЯ. Далее, пусть фук: ЯЯ^Я, где /,у, к е {1, 2, ..., п}, - бимодульные гомоморфизмы, определяющие К (в произвольных кольцах формальных матриц отображение фук представляет собой гомоморфизм Му ®Я М]к ^ Мк). Обозначим 5ук = фук (1®1) для
любых 1,], к е {1, 2, ..., п}. Тогда х о у = фук (х ®у) = хфук (1®1)у = хяуку (здесь мы считаем, что элементы х и у стоят в своих матрицах в позициях (1,]) и (], к) соответственно). Справедливы также равенства Х5ук = фук(х ®1) = ф]]к (1® х) = 5укх, т.е. Яук - центральный элемент кольца Я. В итоге мы получаем, что х о у = $ук ху. Далее, несложно убедиться в том, что = 1 = Яуу для любых 1,у е {1, 2, ..., п}. Полагая х = у = 2 = 1 в соотношении ассоциативности х о (у о 2) = (х о у) о г, получаем, что 5,у1 • у = 5ук • для всех 1,у, к, I е {1, 2, ., п}.
Полученные равенства
= 1 = и 5у1 • у = Яук • Ям (1)
будем называть основными тождествами.
Пусть теперь Е = {я ук | 1,у, к = 1, 2, ..., п} - некоторое множество центральных элементов кольца Я, удовлетворяющих равенствам (1). Для произвольных индексов г,у, к е {1, 2, ..., п} можно задать бимодульный гомоморфизм фук : Я®ЯЯ ^Я, полагая х о у = фук (х ® у) = Яукху. Указанные гомоморфизмы определяют кольцо формальных матриц порядка п. Таким образом, имеется взаимно однозначное соответствие между кольцами рассматриваемого вида и множествами центральных элементов, удовлетворяющих основным тождествам (1). Подобные кольца формальных матриц называем кольцами формальных матриц со значениями в данном кольце Я. Будем обозначать их через М(п,Я, Е); множество Е будем называть системой множителей кольца М(п, Я, Е), а сами элементы Яук - множителями кольца М(п,Я, Е). Легко убедиться, что если кольцо Я коммутативно, то М(п,Я, Е) представляет собой Я-алгебру.
Для произвольных матриц А = (ау) и В = (Ьу) из М(п, Я, Е) имеем
п
АВ = с = (clj), где Су = £ .
к=1
Если все множители в рк равны 1, то, как несложно видеть, получается кольцо обычных матриц М(п, Я).
Полагая к = I в основных тождествах (1), мы получаем равенство А'р = в р ■ р. Значит, р = 5рц ■ 5р1 и поэтому spi = р. Теперь, взяв I = р в тождествах (1), получаем р = 5ук ■ •%. Следовательно, sрi = ■ р Таким образом, справедливы соотношения = Арр = А'-! ■ = 5'1р ■ вр. Из них можно при помощи перестановки индексов получить следующие тождества:
5рг = 5рр = 5рк ■ 5рк = 5Ыр ' 5кръ
5ркр- = 5крк = 5ркг ■ 5к}1 = 5рк ' Sikj, (2)
5кгк = = 5кр ' 51кр = 5ркг ' 5р1к.
Если и р - неделители нуля, то, исходя из (2), элементы р и р тоже будут неделителями нуля, а значит, ,5кЛ - неделитель нуля. Таким образом, справедлив следующий факт:
Лемма 1. Для множителей в р, 5рр и вкк (где / ,р, к е {1, 2, ..., п}) из системы Е имеет место ровно одна из следующих возможностей:
1) все три элемента - неделители нуля;
2) какие-то два из трех элементов - делители нуля, а третий - неделитель нуля;
3) все три элемента - делители нуля. ■
С данным кольцом формальных матриц М(п, Я, Е) мы можем связать матрицу множителей £ = (р. Из (2) следует, что матрица £ является симметрической.
2. Один класс 3-хороших колец формальных матриц над данным кольцом
В работах [1] и [2] был выделен один класс алгебр формальных матриц, у которых оказалось возможным дать описание их групп автоморфизмов. Это достигалось за счет того, что алгебра формальных матриц представлялась как расщепляющееся расширение нильпотентного идеала I с помощью прямой суммы обычных колец матриц. Ниже мы рассмотрим близкий класс колец формальных матриц, отказавшись от требования коммутативности Я и ограничения I ■ I = 0.
Существует несколько способов получения систем множителей из уже имеющихся для колец формальных матриц со значениями в данном кольце. Приведем один такой способ. Пусть Е = {врк | /,р, к = 1, 2, ..., п} - система множителей кольца формальных матриц К = М(п, Я, Е), а т - произвольная подстановка на множестве {1, 2, ..., п}. Как определить действие подстановки т на системе множителей Е так, чтобы получившееся множество оказалось системой множителей для некоторого кольца К' ?
Для матрицы А = (ар) из кольца К = М(п,Я, Е) положим тА = (ат(^р); таким образом, мы считаем, что в матрице тА в позиции (г,р) стоит элемент ат({)т(р). Далее рассмотрим множество {в^хр)т(к) | I,},к = 1, 2, ..., п}. Можно заметить, что данное множество тоже будет системой множителей, поскольку оно удовлетворяет тождествам (1). Обозначим получившуюся новую систему множителей через тЕ. Для этой системы можно построить новое кольцо формальных матриц тК = М(п, Я, тЕ). Нетрудно видеть, что сопоставление А ^ тА, где А = (ар) и тА = (ат( ,)т(р)), осуществляет изоморфизм между кольцами К и тК.
Далее будем рассматривать более узкий класс колец формальных матриц: нас интересуют только такие кольца К = М(п, Я, Е), у которых система множителей Е может содержать лишь 1 и 0.
Введем на множестве чисел {1, 2, ..., п} бинарное отношение «~», полагая 1 ~у тогда и только тогда, когда множитель я у1 равен единице. Из леммы 1 следует, что ситуация 5,у1 = Яуу = 1, ¿к1к = 0 невозможна, а значит, это бинарное отношение является отношением эквивалентности.
Построим подстановку т следующим образом: в верхней строке расположим числа 1, 2, ..., п в порядке возрастания, а нижнюю строку составим из классов эквивалентности отношения «~», записанных в произвольном порядке (внутри классов входящие в них индексы располагаем также в произвольном порядке). Тогда в матрице т5 = (¿у^ у)т(1)) на главной диагонали стоят квадратные блоки, состоящие только из единиц; эти блоки находятся во взаимно однозначном соответствии с классами эквивалентности относительно «~» (порядок такого блока равен числу элементов в соответствующем классе эквивалентности). Все позиции в матрице т5 вне рассматриваемых блоков заняты нулями.
Сопоставление А ^ тА, где А е К, задает изоморфизм между кольцами К и тК. Таким образом, мы можем с самого начала считать, что матрица множителей 5 кольца К имеет указанный выше блочный вид. Пусть количество блоков на главной диагонали матрицы 5 равно т и эти блоки имеют порядки пь п2, ..., пт. Ясно, что Щ + п2 + ... + пт = п.
Нам понадобится следующий простой факт:
Лемма 2. а) Если индексы 1 ,у е {1, 2, ..., п} таковы, что 1 ~у, то я ук = 1 = ¿ку для всех к е {1, 2, ..., п}.
б) Если индексы 1 ,у, к е {1, 2, ..., п} таковы, что 1 ~ у и к не эквивалентно 1 и у, то справедливо равенство ¿1ку = 0.
Доказательство. Воспользуемся тождествами (2).
а) Поскольку ¿у = 1, то с учетом первого из тождеств мы имеем ¿1ук Ф 0 и ¿ку Ф 0, отсюда 5 ук = 1 = ¿ку.
б) Так как 1 = ¿у = яку • ¿у, то 5ку ф 0, т.е. 5ку = 1. Тогда 0 = 5ш = ¿ку • ¿к = я^. ■
На главной диагонали каждой матрицы А е К мы выделим блоки А1, А2, ., Ат
того же порядка, что и блоки на главной диагонали матрицы 5 (и в той же последовательности). Тогда, как видно из пункта а) леммы 2, для всякого фиксированного V блоки Ау всех матриц из К образуют кольцо обычных матриц Ку = М(пу, Я).
Через I обозначим множество всех матриц А е К, у которых описанные выше блоки Аь А2, ..., Ат целиком состоят из нулей; через Ь - множество всех матриц А е К, у которых все элементы, находящиеся за пределами блоков Аь А2, ..., Ат, равны 0. Легко видеть, что Ь - подкольцо кольца К, изоморфное прямой сумме К1 © К2 © ... © Кт (далее будем отождествлять Ь с этой прямой суммой). Заметим также, что К = Ь © I, т.е. всякая матрица А е К единственным образом представи-ма в виде суммы А = С+Б, где С е Ь и Б е I.
Предложение 3. Множество I является идеалом кольца К.
Доказательство. Ясно, что (I, +) является подгруппой в (К, +). Зафиксируем произвольные матрицы А = (ау) е I и X = (ху) е К.
Допустим, что ХА г I. Тогда существуют индексы i,j е {1, 2, ...,п}, такие, что позиция (1 ,у) находится в одном из блоков Аь А2, ..., Ат и элемент матрицы ХА, стоящий в позиции ( , у), отличен от 0. В свою очередь, это означает, что для некоторого к е {1, 2, ..., п} выполнено ¿кх1каку Ф 0. Из неравенства аку Ф 0 следует, что индексы у и к не эквивалентны. Так как 1 ~ у, то ввиду пункта б) леммы 2 получаем ¿к = 0, что невозможно. Итак, I - левый идеал в К.
Если АХ г I, то аналогичным образом показывается, что существуют индексы 1, у, к е {1, 2, ..., п}, такие, что 1 ~ у и 5 к а 1к хку Ф 0. Из а1к Ф 0 вытекает, что индексы 1
и к не эквивалентны. Поэтому в силу леммы 2 вновь имеем = 0, что приводит к противоречию. Следовательно, I - правый идеал в К. ■
Предложение 4. Справедливо равенство Iт = 0.
Доказательство. Допустим, что выполняется Вь В2, ..., Вт е I и Б1Б2...Бт Ф 0. В силу дистрибутивности операции умножения относительно сложения найдутся индексы /0, /ь ..., /т е {1, 2, ..., п}, такие, что для элементов Ь\, Ь2,...,Ьт е Я, стоящих в матрицах Вь В2, ..., Вт в позициях (/0, /1), (/'1, /2), ..., (1т-1,/т) соответственно, выполнено Ь\ о Ь2 о ... о Ьт Ф 0 (тогда, в частности, при всех q е {1, 2, ..., т} имеем Ь9 Ф 0). Поскольку количество классов эквивалентности в {1, 2, ..., п} равно т, то найдутся числа и и V, для которых 0 < и < V < т и 1и ~ ¡„. Из Ь, Ф 0 следует, что не эквивалентно ¡„ и и < V - 1.
Применяя пункт б) леммы 2 к / = /и, р = /„, к = мы получаем, что множитель w = , ■ равен 0. Тогда Ьи+1 о . о Ьо Ь, = w(Ьu+\ о . о Ь,-1)Ь, = 0, что противоречит условию Ь\ о Ь2 о ... о Ьт Ф 0. Таким образом, Iт = 0. ■
Мы получили, что кольцо К представляет собой расщепляющееся расширение нильпотентного идеала I с помощью кольца Ь.
Теорема 5. Пусть А е К и А = С+Б, где С е Ь и Б е I. Тогда следующие условия эквивалентны:
1) Матрица А обратима в кольце К.
2) Матрица С обратима в кольце Ь.
Доказательство. 1) ^ 2). Запишем А-1 = С'+Б', где С' е Ь и Б' е I. Заметим, что СС + (СБ'+БС'+ББ') = АА-1 = Е е Ь (здесь Е - единичная матрица). Так как Ь и I являются соответственно подкольцом и идеалом в К, то СБ '+БС'+ББ ' е I и СС ' е Ь, а значит, СС ' = Е. Аналогично доказывается, что С С = Е. Следовательно, С - обратимая в Ь матрица.
2) ^ 1). Положим В = С - - С ~\БС+ С "1(БС -1)2 - ... + (- 1)т-1С "1(БС "1)т-1. Поскольку матрицы БС и С _1Б лежат в I, то (БС ч)т = 0 = (С _1Б)т и, значит,
АВ = АС-\Е - БС - + (БС ~1)2 - ... + (-1)т-1(БС "1)т-1} = = (Е+БС-1)(Е - БС - + (БС-1)2 - ... + (-1)т-1(БС "1)т-1} = Е,
ВА = (Е - С-1Б + (С-1Б)2- ... + (-1)т-1(С чБ)т-1)С Л4 = = (Е - С-1Б + (С-1Б)2- ... + (-1)т-1(С -1Б)т-1)(Е + С^Б) = Е.
Следовательно, матрица А обратима в К. ■
В прямой сумме Ь = К © К2 © ... © Кт каждое К„ - это об^гчное кольцо матриц, К, = М(п„, Я). С учетом результатов М. Хенриксена [13] мы получаем следующее утверждение:
Теорема 6. Пусть у всех колец-блоков К„ из разложения Ь = К © К2 © . © Кт порядки п„ строго больше единицы. Тогда К - 3-хорошее кольцо.
Доказательство. Пусть А е К и А = С+Б, где С е Ь и Б е I. Поскольку все К„ являются 3-хорошими кольцами [13, теорема 3], то С = С1 + С2 + С3, где Сь С2, С3 -обратимые в Ь матрицы. Тогда матрицу А можно представить в виде суммы трех матриц Сь С2 и С3 + Б, каждая из которых обратима в К ввиду теоремы 5. ■
Но если порядок хотя бы одного из слагаемых К„ равен 1 (т.е. когда мы имеем само кольцо Я в качестве одного из блоков), то все будет зависеть от «хорошести» кольца Я. Например, как показано в [10, теорема 1], если Я - к-хорошее кольцо, то и кольцо К будет таковым.
В завершение мы рассмотрим некоторые частные случаи (по-прежнему считая, что система множителей Е содержит только 1 и 0).
Если К = М(п, Я, Е) и множество {1, 2, ..., п} представляет собой единственный класс эквивалентности, то К совпадает с обычным матричным кольцом М(п, Я) и ввиду теоремы Хенриксена является 3-хорошим для каждого п > 2. Наименьшее п, для которого возможно нетривиальное разбиение множества {1, 2, ..., п} на классы эквивалентности, каждый из которых содержит хотя бы два индекса, очевидно, равно 4. Если К = М(4, Я, Е) или К = М(5, Я, Е), а матрица множителей 5 кольца К может быть представлена в виде
S =
f 1 1 0 01
1 1 0 0
0 0 1 1
10 0 1 1J
или S =
f 1 1 1 0 01
1 1 1 0 0
1 1 1 0 0
0 0 0 1 1
10 0 0 1 1J
то по теореме 6 кольцо K является 3-хорошим.
ЛИТЕРАТУРА
3
Крылов П.А., Норбосамбуев Ц.Д. Автоморфизмы алгебр формальных матриц // Сиб. мат. журн. 2018. Т. 59. № 5. С. 1116-1127. DOI: 10.17377/smzh.2018.59.512. Крылов П.А., Норбосамбуев Ц.Д. Группа автоморфизмов одного класса алгебр формальных матриц // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2018. № 53. С. 16-21. DOI: 10.17223/19988621/53/2.
Vamos P. 2-good rings // Quart. J. Math. 2005. V. 56. P. 417-430. DOI: 10.1093/qmath/ hah046.
4. Srivastava A.K. A survey of rings generated by units // Ann. Fac. Sci. Toulouse, Math. 2010. V. 19. P. 203-213. DOI: 10.5802/afst.1281.
5. Крылов П.А., Туганбаев А.А. Формальные матрицы и их определители // Фундам. и прикл. математика. 2014. Т. 19. № 1. С. 65-119.
6. Крылов П.А., Туганбаев А.А. Кольца формальных матриц и модули над ними. М.: МЦНМО, 2017.
7. Крылов П.А. Об изоморфизме колец обобщенных матриц // Алгебра и логика. 2008. Т. 47. № 4. С. 456-463.
8. Morita K. Duality for modules and its applications to the theory of rings with minimum condition // Sci. Rep. Tokyo Kyoiku Daigaku, Sect. A. 1958. V. 6. P. 83-142.
9. Loustaunau P., Shapiro J. Morita contexts // Non-Commutative Ring Theory (Lecture Notes in Mathematics, V. 1448). Springer, 1990. P. 80-92. DOI: 10.1007/BFb0091253.
10. Норбосамбуев Ц.Д. О суммах диагональных и обратимых обобщенных матриц // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2015. № 4(36). С. 34-40. DOI: 10.17223/19988621/36/4.
11. Норбосамбуев Ц.Д. 2-хорошие диагональные формальные матрицы над кольцом целых чисел // Всероссийская молодежная научная конференция «Все грани математики и механики». Сборник статей. Томск: Изд. дом ТГУ, 2016. С. 6-12.
12. Норбосамбуев Ц.Д. Ранг формальной матрицы. Система формальных линейных уравнений. Делители нуля // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2018. № 52. С. 5-12. DOI: 10.17223/19988621/52/1.
13. Henriksen M. Two classes of rings generated by their units // J. Algebra. 1974. V. 31. No. 1. P. 182-193. DOI: 10.1016/0021-8693(74)90013-1.
Статья поступила 08.04.2020 г.
Norbosambuev T.D., Timoshenko E.A. (2020) ON A CLASS OF 3-GOOD FORMAL MATRIX RINGS. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika [Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics]. 67. pp. 55-62
DOI 10.17223/19988621/67/5
Keywords: ring, good ring, formal matrix ring
Let R be an associative ring with unity. An element b e R is said to be k-good if it can be represented as a sum of k invertible elements of R; if all elements of R are k-good, we say that R is a k-good ring. We show that, under certain conditions, formal matrix rings over a given ring are 3-good.
Let n > 2. Suppose that Z = {siJk | i,j,k = 1, 2, ...,n} is a set of central elements of R such that siij = 1 = s,jj and siji ■ sjki = sijk ■ siki for all i,j,k, l e {1, 2, ., n}. If A = (aj) and B = (bj) are two matrices of order n over R, we define
n
AB = C = (j where Cj = £ jAj .
k=1
All matrices of order n over R form an associative ring with unity under the usual addition and the multiplication defined above; this ring is denoted by K. We say that K is a formal matrix ring of order n over R (such rings were first introduced by P.A. Krylov).
We restrict ourselves to the case when svk e {0, 1} for every i, j,k e {1, 2, ..., n} and let i ~ j if and only if we have siii = 1. It can be shown that is an equivalence relation on {1, 2, ...,n}. Without loss of generality we may assume that if i ~ j and i < k < j, then i ~ k. Let I be the set of all matrices A = (aj) e K such that av = 0 when i ~ j and L be the set of all matrices A e K such that atj = 0 when i and j are not equivalent. It is easy to see that K = L © I. Proposition 3. I is an ideal of the ring K. Proposition 4. Im = 0.
Theorem 5. Suppose that A e K and A = C + D with C e L, D e I. Then the following are equivalent:
1) A is invertible in the ring K.
2) C is invertible in the ring L.
Theorem 6. If all equivalence classes of "~" have cardinalities > 2, then K is a 3-good ring. AMS Mathematical Subject Classification: 15B99, 16S50
Financial support. The research was supported by the President of the Russian Federation Grant for young Russian scientists MD-108.2020.1.
Tsyrendorzhi D. NORBOSAMBUEV (Candidate of Physics and Mathematics, Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: nstsddts@yandex.ru
Egor A. TIMOSHENKO (Doctor of Physics and Mathematics, Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: tea471@mail.tsu.ru
REFERENCES
1. Krylov P.A., Norbosambuev T.D. (2018) Automorphisms of formal matrix algebras. Siberian Mathematical Journal. 59(5). pp. 885-893. DOI: 10.1134/S0037446618050129.
2. Krylov P.A., Norbosambuev T.D. (2018) Gruppa avtomorfizmov odnogo klassa algebr formal'nykh matrits [Group of automorphisms of one class of formal matrix algebras]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 53. pp. 16-21. DOI: 10.17223/ 19988621/53/2.
3. Vamos P. (2005) 2-good rings. Quarterly Journal of Mathematics. 56(3). pp. 417-430. DOI: 10.1093/qmath/hah046.
62
^fl. Hop6ocaM6yes, E.A. TuM0weHH0
4. Srivastava A.K. (2010) A survey of rings generated by units. Annales de la Faculte des Sciences de Toulouse. Mathematiques. 19. pp. 203-213. DOI: 10.5802/afst.1281.
5. Krylov P.A., Tuganbaev A.A. (2015) Formal matrices and their determinants. Journal of Mathematical Sciences (New York). 211(3). pp. 341-380. DOI: 10.1007/s10958-015-2610-3.
6. Krylov P., Tuganbaev A. (2017) Formal Matrices (Algebra and Applications, V. 23). Springer. DOI: 10.1007/978-3-319-53907-2.
7. Krylov P.A. (2008) Isomorphism of generalized matrix rings. Algebra and Logic. 47(4). pp. 258-262. DOI: 10.1007/s10469-008-9016-y.
8. Morita K. (1958) Duality for modules and its applications to the theory of rings with minimum condition. Science Reports of the Tokyo Kyoiku Daigaku, Section A. 6. pp. 83-142.
9. Loustaunau P., Shapiro J. (1990) Morita contexts. Non-Commutative Ring Theory (Lecture Notes in Mathematics, V. 1448). Springer. pp. 80-92. DOI: 10.1007/BFb0091253.
10. Norbosambuev T.D. (2015) O summakh diagonal'nykh i obratimykh obobshchennykh matrits [On sums of diagonal and invertible formal matrices]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 4(36). pp. 34-40. DOI: 10.17223/19988621/36/4.
11. Norbosambuev T.D. (2016) 2-khoroshie diagonal'nye formal'nye matritsy nad kol'tsom tselykh chisel [2-good diagonal formal matrices over the ring of integers]. All-Russia Youth Scientific Conference "Vse grani matematiki i mekhaniki" (sbornik statey). Tomsk: Izd. dom TGU. pp. 6-12.
12. Norbosambuev T.D. (2018) Rang formal'noy matritsy. Sistema formal'nykh lineynykh uravneniy. Deliteli nulya [Rank of a formal matrix. System of formal linear equations. Zero divisors]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika -Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 52. pp. 5-12. DOI: 10.17223/19988621/52/1.
13. Henriksen M. (1974) Two classes of rings generated by their units. Journal of Algebra. 31(1). pp. 182-193. DOI: 10.1016/0021-8693(74)90013-1.
Received: April 8, 2020
