Об одном обобщении самоинъективных колец Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.55 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2020. Т. 7 (65). Вып. 1

МБС 16Б50

Об одном обобщении самоинъективных колец

И. М. Зильберборд, С. В. Сотников

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

Для цитирования: Зильберборд И. М., Сотников С. В. Об одном обобщении самоинъективных колец // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2020. Т. 7 (65). Вып. 1. С. 60-68. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2020.106

Мы обобщаем понятие самоинъективного слева (справа) кольца, вводя в рассмотрение кольца, которые как левый (соответственно правый) модуль над собой являются прямой суммой инъективного модуля и полупростого модуля. Такие кольца мы называем полуинъективными слева (справа) и исследуем их свойства при помощи двустороннего пирсовского разложения данного кольца. В нашей работе получено описание полуинъективных слева нётеровых слева колец: доказано, что любое такое кольцо раскладывается в прямое произведение самоинъективного (слева и справа) кольца и нескольких факторколец (специального вида) колец верхнетреугольных матриц над телами. Из этого описания следует, что для полуинъективных слева колец верен аналог классического результата для самоинъективных колец: любое полуинъективное слева нётерово слева кольцо также полуинъективно справа и является двусторонне артиновым кольцом.

Ключевые слова: инъективный модуль, полупростой модуль, самоинъективное кольцо, пирсовское разложение.

1. Введение. Одним важным классом колец являются самоинъективные кольца. Напомним, что кольцо Д называется самоинъективным слева (справа), если Д — инъективный левый (правый) Д-модуль. Этот класс колец хорошо изучен и включает в себя множество различных примеров, в частности, групповые алгебры конечных групп над полями (см. [1, примеры 4.12.1, 4.12.2]). Известно, что любое самоинъективное слева нётерово слева кольцо также самоинъективно справа и является дву-сторонне артиновым кольцом (см., например, [1, лемма 4.12.10, теорема 4.12.14*]).

В данной работе производится попытка расширения этого класса в рамках класса нётеровых слева колец в духе открытой проблемы из книги А. А. Туганбаева [2, проблема 16.14]. Вводится понятие полуинъективного слева (или справа) кольца, обсуждаются его свойства, получено полное описание полуинъективных слева нё-теровых слева колец. А именно, такое кольцо раскладывается в прямое произведение самоинъективного кольца и нескольких факторколец (специального вида) колец верхнетреугольных матриц над телами.

Наше описание позволяет установить, что любое полуинъективное слева нёте-рово слева кольцо также полуинъективно справа и является двусторонне артиновым кольцом.

В работе рассматриваются только ассоциативные кольца с 1. Если не оговорено противное, все модули — левые. Также мы рассматриваем произвольный левый модуль как правый модуль над своим кольцом эндоморфизмов.

(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2020

2. Определение полуинъективного кольца. Назовем кольцо R полуинъек-тивным слева, если R как левый модуль над собой можно представить в виде прямой суммы полупростого и инъективного модулей. Отметим, что если эти прямые слагаемые — двусторонние идеалы кольца R, то R представляется в виде прямого произведения полупростого кольца и самоинъективного слева кольца. Заметим, что в этом случае кольцо R самоинъективно слева.

Аналогично вводится понятие полуинъективного справа кольца.

Простейшим примером полуинъективного (слева) кольца, которое при этом не самоинъективно (слева), является кольцо верхнетреугольных матриц второго порядка с коэффициентами, принадлежащими некоторому телу T:

R = (0 T). W

Мы покажем далее в теореме 1, что кольцо R представляется в виде прямой суммы простого неинъективного и неразложимого инъективного левых R-модулей тогда и только тогда, когда оно изоморфно кольцу вида (1).

3. Пирсовское разложение кольца. Отметим, что описанный выше пример не случайно приводится в матричном виде, двустороннее пирсовское разложение помогает описать некоторые важные свойства таких колец.

Далее считаем, что рассматриваемое нами полуинъективное слева кольцо R не является самоинъективным слева. Пусть R как левый модуль над собой представляется в виде прямой суммы полупростого модуля M и инъективного модуля I.

k

Зафиксируем какое-нибудь разложение модуля M = ф Mi, где все Mi — простые

i= 1

модули. Для определенности будем далее предполагать, что для любого i модуль Mi не инъективен. Тогда в силу теоремы Крулля — Шмидта в любом разложении M в прямую сумму простых модулей среди прямых слагаемых нет инъективных.

Обозначим через ем, ei ортогональные идемпотенты, соответствующие прямым слагаемым M и I; тогда M = ReM, I = Rei.

Будем использовать эти обозначения на протяжении всей статьи.

Перейдем теперь к изучению свойств кольца R, исходя из соответствующего пирсовского разложения. Представим R в матричном виде:

r = I ем ReM ем Re Л у eiReM eiRei J '

Иначе говоря, кольцо R изоморфно кольцу матриц вида

( EndR(M) HomR(M, I) \HomR(I,M) EndR(I)

где, отметим, умножение гомоморфизмов записывается в порядке, обратном композиции: f ■ g = g o f.

Учитывая, что у M нет ненулевых инъективных подмодулей, можно сразу отметить следующее свойство, упрощающее пирсовское разложение.

Утверждение 1. HomR (I, M) = 0.

Доказательство. Пусть ф е НотиЦ, М) \ {0}. Тогда в силу полупростоты модуля М Ет(ф) — прямое слагаемое М, и потому Ет(ф) проективен. Следовательно, Гт(ф) — прямое слагаемое модуля I. Поэтому Ет(ф) инъективен, и согласно

где кольцо Еп(и(М) ~ ем Кем классически полупросто в силу полупростоты модуля М.

Замечание 2. Наличие 0 на левой нижней позиции, как будет видно далее, заметно упрощает работу, если рассматривать К как кольцо формальных матриц. Например, не нужно задумываться над тем, как устроены гомоморфизмы, действующие на тензорном произведении бимодулей Нот и (М, I) <8> Нот и (I, М) ^ Еп(и(М) и Ноти(1, М) <£> Ноти(М, I) ^ Еп(и(1), они будут нулевыми.

4. Случай двух идемпотентов. В данном параграфе рассматривается случай, когда модули М и I оказываются неразложимыми, в частности, модуль М прост. Целью этого параграфа является описание всех таких колец, не являющихся самоинъективными слева.

Теорема 1. Следующие условия 'равносильны для кольца К:

(1) К как левый модуль над собой раскладывается в прямую сумму простого модуля М и неразложимого инъективного модуля I, причем М не инъективен;

Доказательство. Предположим сначала, что выполнено условие (1). Определим Т = Еп(и(М) и заметим, что согласно лемме Шура Т — тело. Кроме того, так как е/Кем = 0, то Т ~ Еп(ем дем (М).

Рассмотрим теперь в чуть более общей ситуации Нот^М^) как бимодуль.

Утверждение 2. Пусть К — произвольное кольцо, М — простой К-модуль, I — такой неразложимый инъективный К-модуль, что Ноти(М, I) = {0}, Т = Еп(и(М), Ь = Епй^Ц). Тогда Ноти(М, I) прост как левый Т-модуль и как правый Ь-модуль.

Доказательство. Так как модуль М прост, то любой ненулевой гомоморфизм д е Нот^М^) является инъекцией, а его образ — простой модуль, изоморфный модулю М. Пусть д, до е Ноти(М, I)\{0}. В силу однородности модуля I получаем, что Im(g) П Im(gо) = 0 и, следовательно, Im(g) = Im(gо). Пусть М\ = Im(gо), т : М\ ^ I — соответствующее вложение подмодуля М\ в I.

Ясно, что g = т о g, gо = т о до, где д, до : М ^ М\ — некоторые изоморфизмы. Следовательно, существует Н е Т такой, что д = до о Н, и потому g = gо о Н = Н ■ gо.

Заметим также, что д = в о до для некоторого гомоморфизма в : М\ ^ М\. В силу инъективности модуля I существует ] е Ь такой, что ] о т = т о в. Остается заметить, что тогда д = товодо = /отодо = /о д0, иначе говоря, д = до ■ /. □

нашим предположениям о модуле М имеем ф = 0.

Замечание 1. Итак, К изоморфно кольцу матриц вида

(Еп(п(М) Ноти(М, I) ^ 0 ЕпЛпЦ)

□

Следствие 1. В условиях утверждения 2 левые Т-модули Нотп(Ы,1) и Т

Доказательство. Следует из того, что Т — тело. □

Вернемся к доказательству теоремы и перейдем к исследованию кольца Еп(и(I). Обозначим Б = Ноти(Ы,1), Ь = Ет1и(1), и представим кольцо Д в следующем виде:

к=(Т г

Рассмотрим некоторый левый Д-модуль X. Запишем его также в матричном виде:

Здесь В — левый Ь-модуль, А — левый Т-модуль, причем задано отображение ] : Б (ь В ^ А, определяющее умножение элементов Б на элементы В.

Учитывая сопряженность функторов Нот и (, можно считать, что это умножение задано при помощи отображения ] : В ^ Нот^(емДет ,А) = НотемЕем (емДет,А). Заметим, что ] является гомоморфизмом левых Ь-модулей.

Переформулируем для нужного нам случая критерий инъективности для модуля надкольцом «формальных» матриц (см. [3, следствие 5.5.2]).

Критерий. Левый модуль над кольцом ^ инъективен тогда и

'А\ (Т Б^

В

только тогда, когда выполнены следующие условия:

1) А — инъективный Т-модуль,

2) Апп(Б) = {Ь € В\БЬ = 0} — инъективный Ь-модуль,

3) / : В ^ Нотт(Б, А) — эпиморфизм.

Применим этот критерий к модулю I = Дет, тогда А = Б и В = Ь. Непосредственно проверяется, что соответствующий эпиморфизм ] : Ь ^ Еп(т(Б) = Еп(и (Б) является гомоморфизмом колец. Заметим также, что Кег(/) = Апп(Б).

Докажем, что / — изоморфизм. Действительно, модуль I = ^Ь^ содержит

/ 0 ) /Б\ В

два подмодуля I Апп(Б)) и ( о) с нулевым пересечением. В силу однородности

модуля I один из этих подмодулей нулевой. Но в случае Б = 0 модуль М был бы инъективным Д-модулем, что противоречит условию. Следовательно, Апп(Б) = 0.

Итак, мы получили, что кольца Ь и Еп(т(Б) изоморфны. Согласно следствию 1 левые Т-модули Б и Т изоморфны, и потому кольцо Ь ^ Еп(т(Т) ^ Т.

Используя полученные изоморфизмы, можем предполагать, что Д — кольцо матриц вида

ТБ 0Т

где Б — (Т, Т)-бимодуль, причем как левый Т-модуль Б = Т, а как правый Т-модуль Б изоморфен Т и, в частности, прост.

Пусть — соответствующее произведение элемента £ € Б на ¿1 € Т. Так как Б — бимодуль, а Еп(1т(тТ) ^ Т, отображение Ф : Т ^ Т такое, что Ф(£1) = 1

является мономорфизмом колец. Запишем £ * ¿1 = (£ • 1) * ¿1 = Ь • (1 * ¿1) = £ Ф(£1). Поскольку Бт порождается любым своим элементом (и, в частности, 1), Ф -изоморфизм.

ГТ Т\

Но тогда остается заметить, что отображение Ф :

щее матрице

0

матрицу

Ф(а) Ф(Ь)

0 с

0 Т

К, сопоставляю-

, является изоморфизмом колец.

Теперь покажем, что верна обратная импликация. Пусть К =

Ясно,

ТТ 0Т

что Апп(Т) = {0}, а любой ненулевой гомоморфизм левых Т-модулей ] : Т —> Епс1т(Т) сюръективен. Следовательно, выполнены условия критерия. □

Следствие 2. Если кольцо К полуинъективно слева (но не самоинъективно слева), и его 'разложение из определения полуинъективного кольца содержит лишь два неразложимых слагаемых, то К полуинъективно справа и двусторонне арти-ново.

Доказательство. Это следует из явного описания в теореме 1.

□

5. Нётеровы слева полуинъективные слева кольца. В данном параграфе будем дополнительно предполагать, что кольцо К нётерово слева. Тогда любой инъективный левый К-модуль (и, в частности, рассматриваемый нами левый идеал I) раскладывается в прямую сумму неразложимых слагаемых (см., например, [4, теорема 25.6]). Это главное из того, что нам дает условие нётеровости К слева.

Замечание 3. Поскольку кольца эндоморфизмов неразложимых инъективных модулей локальны [4, лемма 25.4], а кольца эндоморфизмов простых модулей являются телами в силу леммы Шура, то по теореме Крулля — Шмидта — Ремака — Адзумаи [4, теорема 12.6] разложение любого модуля в прямую сумму модулей таких видов единственно с точностью до перестановки изоморфных слагаемых.

Так как кольцо К Морита эквивалентно своему базисному кольцу, мы можем предполагать, что само кольцо К раскладывается в прямую сумму неразложимых слагаемых, среди которых нет попарно изоморфных. Таким образом,

К = М1 ф М2 ф ...Ик ф II ф 12 ф ...II,

где все модули М^ — простые, но не инъективные, все модули I^ — неразложимые инъективные, причем М^ ф М^ при г = 3, 1т = 1п при т = п.

Замечание 4. Рассмотрим теперь соответствующее пирсовское разложение кольца К:

/ Еий(М\) Нот(М1 ,М2) Нот(М2,Мг) Еиа(М2)

Нот(Мк,М1) Нот(Мк ,М2)

0 0

Нот(Мг ,Мк) Нот(Мг )

Нот(М2 ,Мк) Нот(М2 )

Епй(Мк) Нот(Мк ,11)

0

\

End(Il) Нот(11,11)

Нот(М1 ,11) \ Нот(М2 ,11)

Нот(Мк ,11) Нот(11,11)

Е^(^) )

0 0 ... 0

(все гомоморфизмы — левых К-модулей).

а

Итак, мы можем фиксировать полный ортогональный набор неразложимых идемпотентов eMl ,eM2 ,---,емк ,eIl ,eÍ2 ,...,eIt такой, что ReMs = Ms, Reij = Ij, сразу предполагая, что для любых идемпотентов e, f из этого набора eRf = Homu(Á,B), где e соответствует модулю A, f — модулю B. Кроме того, для определенных ранее идемпотентов eM,eI имеем eM = eMl + eM2 + ... + eMk, ei = ei1 + ei2 + ... + eil, M = ReM, I = Reí, S = eM Reí. Обозначим также кольцо

= eM ReM.

ei1 + ei2 + ... + ei¡, M = ReM, I =

L = eiReí, и напомним обозначение T

Утверждение 3. Отображение, сопоставляющее Мг такой модуль ^, что Ноти(Мг, ^) = 0, корректно определено и является инъекцией.

Доказательство. Сначала отметим, что если для некоторого г и любого у Ноти(Мг, ^) = 0, то кольцо К раскладывается в прямое произведение колец, и модуль Мг инъективен вопреки нашим предположениям. Если же Ноти(Мг, ^) = 0, то ясно, что Ij является инъективной оболочкой Мг. Так как инъективная оболочка модуля единственна с точностью до изоморфизма, получаем, что данное отображение корректно определено. Кроме того, Im(Mi) — единственный простой подмодуль в Ij (см. доказательство утверждения 2), поэтому это отображение — инъекция. □

Замечание 5. Ясно, что образ данного отображения равен {^\Seij = 0}.

Упростим матрицу из замечания 4 уже известными методами теоремы 1.

Теорема 2. Пусть К — нётерово слева полуинъективное слева не самоинъек-тивное слева кольцо. Тогда К Морита эквивалентно кольцу матриц вида

/Ti 0 ... 0 Si ... 0

0

Tk 0

0 0

0

Li

0 0

Sk 0 0 Li,k+i

Lk Lk,k+i

0 Lk+i,k+i

00

00

L

l,k+i

0 0

Li,i

Lk,i Lk+i,i

Li,i )

(2)

где Тъ...,Тк тела, Sj — Т^ как левый Т^-модуль и Sj ■ Ь^^ — 0.

Доказательство. Рассмотрим сначала первые к строк матрицы, полученной при помощи пирсовского разложения кольца К. Так как в наших предположениях различные простые прямые слагаемые не изоморфны между собой, имеем Ноти(Мг, Mj) = 0 для г = у. Используя утверждение 3, перенумеруем при необходимости модули II,..., Д (и соответствующие им идемпотенты) так, чтобы HomR(Mj, Ij) = 0. Теперь для любого у > к имеем Se[j = 0, а для любого у ^ к получаем, что Se[j = емЛSe[j = 0. Кроме того, в силу следствия 1 Sj = HomR(Mj,Ij) изоморфен Т = EndR(Mj) как левый модуль над телом Т.

Изучим теперь правый аннулятор Лпп^) бимодуля S. Пусть у ^ к, М' — образ некоторого мономорфизма Mj —> ^, и £ е Ке\ {0}. Заметим, что Ш — ненулевой подмодуль однородного модуля Ij, а М' — простой подмодуль Ij, поэтому М' С К£. Поскольку Mj = Кем3, имеем емл К = 0 и, следовательно, St = 0.

0

Если, в частности, £ € е^Кв1,\{0}, причем г = к, то вМ, К С (вМ, Ке^)КвМ, = 0. В силу предыдущего рассуждения в этом случае имеем вц Кв1, = 0. Поэтому столбец с номером к + 3 действительно имеет указанный в условии вид.

Кроме того, если х € Апп(Б), то ясно, что для 3 ^ к хв1. = 0. Таким образом,

Апп(Б)

ф Кец

к+1

ф Ьеп.

к+1

□

Теорема 3. Пусть К — неразложимое нётерово слева полуинъективное слева самобазисное кольцо. Тогда К либо самоинъективно, либо изоморфно факторкольцу кольца верхнетреугольных матриц некоторого порядка над некоторым телом К по идеалу

/0 0 К К К ...К\ 0 0 0 К К...К 0 0 0 0 К...К

00 00

0... 0 0... 0

Доказательство. Будем использовать обозначения и результаты из предыдущей теоремы. Докажем сначала, что можно считать, что в матрице (2) Бi = Ь. = т. для любого г ^ к. Перенумеруем идемпотенты в нашем наборе (переставив вц на

^гГ/ /^ ^

Т Б \ т! ( Т Бi

второе место) так, чтобы кольцо К имело вид

0 Ь

где Т

0 Ь

. При-

~ О Г - ГТ, {БЛ

менив критерий к К-модулю Ii, получим, что левый т.-модуль инъективен.

Кроме того, ясно, что прост как левый Ti'-модуль, а б. = 0. Поэтому кольцо

Т' удовлетворяет предположениям теоремы 1, и в силу этой теоремы кольца Т. и

Т Т

0 т.у изоморфны.

Итак, матрица (2) после соответствующей перестановки строк и столбцов приобрела следующий вид:

Т1 Т1 0. . . 0 0. .. 0 0. .0

0 Т1 0. . . 0 0. .. 0 Ь1,к+1 . . Ьц

0 0 Т2 . . . 0 Т2 . .. 0 0. .0

0 0 0. . . Тк 0.. . Тк 0. .0

0 0 0. . . 0 Т2 . .. 0 Ь2,к+1 . . Ь2,1

0 0 0. . . 0 0. .. 0 Ь1,к+1 . . Ьц/

(3)

Докажем теперь теорему индукцией по числу идемпотентов в данном полном наборе в К. Можем сразу предположить, что К не самоинъективно. База индукции была рассмотрена в теореме 1. Т м

Запишем матрицу (3) в виде ( 0 ь"), где Б'' = (Т1 0 ... 0). Будем считать идемпотенты вМ€ (где г > 1) и элементами кольца Ь''. Ясно, что среди 66

Ь''-модулей Ь"ем€ (г > 1), Ь"е!л нет изоморфных. Заметим также, что все модули ЬпeMi просты.

Применив критерий к К-модулю Ij, мы получим, что Апп= Ь"е!л инъек-тивен как Ь''-модуль. Поэтому кольцо Ь" полуинъективно слева, кроме того, оно нётерово слева и самобазисно.

Разложим кольцо Ь" в прямое произведение неразложимых колец и рассмотрим прямой множитель Г, которому принадлежит простой модуль и = Ь"е^1. Легко видеть, что кольцо Г полуинъективно слева. Если Г самоинъективно, то и инъек-тивен как Г-модуль, и тогда Ь\т = 0 для всех т. Следовательно, в этом случае

для некоторого п кольцо Г изоморфно факторкольцу кольца верхнетреугольных матриц порядка п над некоторым телом К по указанному в условии идеалу. Остается заметить, что тогда К = Еп(р(и) — Т\, и К изоморфно факторкольцу кольца верхнетреугольных матриц порядка п +1 над телом Т1 по соответствующему

Замечание 6. Указанные в условии теоремы 3 факторкольца колец верхнетреугольных матриц полуинъективны слева и справа. Это легко проверяется при помощи критерия и индукции по порядку матриц. Кроме того, эти факторкольца двусторонне артиновы (и, следовательно, нётеровы), а также самобазисны и неразложимы.

Следствие 3. Любое полуинъективное слева нётерово слева кольцо полуинъективно справа и двусторонне артиново.

Доказательство. Следует из полученного в теореме 3 описания таких колец, замечания 6 и аналогичного результата для самоинъективных колец. □

Следствие 4. Полуинъективное слева нётерово слева кольцо является прямым произведением самоинъективного кольца и полуцепного артинового кольца.

Доказательство. Ясно, что кольцо верхнетреугольных матриц над телом и, следовательно, любое его факторкольцо — полуцепное. Поэтому данный результат непосредственно следует из теоремы 3 и замечания 6. □

Литература

1. Hazewinkel M., Gubareni N., Kirichenko V. V. Algebras, rings and modules. Vol. 2. In: Mathematics and Its Applications. Springer, 2007.

2. Туганбаев А. А. Теория колец. Арифметические модули и кольца. МЦНМО, 2009.

3. Крылов П. А., Туганбаев А. А. Модули над кольцами формальных матриц // Фундаментальная и прикладная математика. 2009. Т. 15. Вып. 8. С. 145—211.

4. Anderson F., Fuller K. Rings and categories of modules. Springer-Verlag, 1992.

rp . В противном случае в силу индукционного предположения

идеалу.

□

Статья поступила в редакцию 5 августа 2019 г.;

после доработки 17 сентября 2019 г.; рекомендована в печать 19 сентября 2019 г.

Контактная информация:

Зильберборд Игорь Михайлович — канд. физ.-мат. наук, доц.; i.zilberbord@mail.spbu.ru Сотников Сергей Васильевич — студент; st040116@student.spbu.ru

On a generalization of self-injective rings

I. M. Zilberbord, S. V. Sotnikov

St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7—9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation

For citation: Zilberbord I. M., Sotnikov S. V. On a generalization of self-injective rings. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2020, vol. 7(65), issue 1, pp. 60-68. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2020.106 (In Russian)

In this work the notion of left (right) self-injective ring is generalized. We consider rings that are direct sum of injective module and semisimple module as a left (respectively, right) module above itself. We call such rings left (right) semi-injective and research their properties with the help of two-sided Peirce decomposition of the ring. The paper contains the description of left Noetherian left semi-injective rings. It is proved that any such ring is a direct product of (two-sided) self-injective ring and several quotient rings (of special kind) of rings of upper-triangular matrices over skew fields. From this description it follows that for left semi-injective rings we have the analogue of the classical result for self-injective rings. Namely, if a ring is left Noetherian and left semi-injective then this ring is also right semi-injective and two-sided Artinian.

Keywords: injective module, semisimple module, self-injective ring, Peirce decomposition. References

1. Hazewinkel M., Gubareni N., Kirichenko V. V., Algebras, rings and modules 2, in: Mathematics and Its Applications (Springer, 2007).

2. Tuganbaev A. A., Theory of rings. Arithmetical modules and rings (MCNMO Publ., 2009). (In Russian)

3. Krylov P. A., Tuganbaev A. A., "Modules over formal matrix rings", Fundamentalnaya i priklad-naya matematika 15(8), 145—211 (2009). (In Russian)

4. Anderson F., Fuller K., Rings and categories of modules (Springer-Verlag, 1992).

Received: August 5, 2019 Revised: September 17, 2019 Accepted: September 19, 2019

Authors' information:

Igor M. Zilberbord — i.zilberbord@mail.spbu.ru Sergei V. Sotnikov — st040116@student.spbu.ru