МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭНДОМОРФИЗМОВ ПРИМАРНЫХ ГРУПП МАЛЫХ РАНГОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

2021 Математика и механика № 74

УДК 512.541 М8С 16850

БО! 10.17223/19988621/74/4

А.Ю. Степанова, Е.А. Тимошенко

МАТРИЧНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭНДОМОРФИЗМОВ ПРИМАРНЫХ ГРУПП МАЛЫХ РАНГОВ1

Для колец эндоморфизмов конечных примарных абелевых групп ранга 2 и 3 построены изоморфные им кольца обобщённых матриц. В каждом из этих матричных колец найдены необходимые и достаточные условия обратимости матриц, а также формулы для построения обратной матрицы.

Ключевые слова: примарная группа, кольцо эндоморфизмов, кольцо обобщённых матриц, обратная матрица.

Кольца обобщённых, или формальных, матриц берут начало в исследованиях Мориты (см. [1]). За последние десятилетия появилось много работ, посвящённых кольцам обобщённых матриц, а также модулям над ними; в первую очередь выделим монографию Крылова и Туганбаева [2]. Модули над кольцами обобщённых матриц порядка 2 и 3 рассматривались, в частности, в работах [3, 4]. В некоторых кольцах обобщённых матриц удаётся ввести понятие определителя матрицы (подробнее см. [5, 6]).

Кольца обобщённых матриц часто возникают при изучении колец эндоморфизмов прямых сумм абелевых групп и модулей. В данной статье представлены исследования колец эндоморфизмов конечных примарных групп ранга 2 и 3 и соответствующих им колец обобщённых матриц. Для таких матриц найдены критерии обратимости и формулы, позволяющие построить обратную матрицу.

Представление эндоморфизмов конечных _р-групп ранга 2

Все группы, встречающиеся в статье, являются абелевыми. Через Z обозначается кольцо (и группа) целых чисел; ■ - символ конца доказательства либо его отсутствия.

Пусть р - простое число. Известно, что если т > п > 0, то:

1) элементы группы Нот^р"^, Z/pnZ) находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами группы Z/pnZ (элемент а + р^ сопоставляется гомоморфизму у е Нот^р^, Z/pnZ), такому, что у(г + р^) = аг + р^ при всех г е Z);

2) элементы группы Нот(2Ур^, Z/pmZ) находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами группы Z/pnZ (элемент Ь + р^ сопоставляется гомоморфизму у е Нот^р^, Z/pmZ), такому, что у(г + р^) = рт-Ь + р^ при всех 2).

Заметим, что в каждом из двух случаев указанная биекция представляет собой групповой изоморфизм.

Всякая конечная р-группа Н ранга 2 может быть отождествлена с подходящей группой вида ^/р^) © (ирПгЕ), где т > п > 0; её элементы будем записывать как

1 Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования РФ (соглашение № 075-02-2021-1392).

вектор-столбцы. Из сказанного выше следует, что эндоморфизмы группы Н находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами множества

Z / рпЪ Z 1р"Ъ

Я2 =

2 'Ъ /pnZ Z /pnZ состоящего из обобщённых матриц вида

' а + рт Z Ь + рп Z ч с + рп Z ё + рп Z

где а, Ь, с, ё е Z. При этом эндоморфизму ф группы Н сопоставляется та единственная матрица вида (1), для которой при любых 7Ь 22 е Z выполнено

A =

(1)

Ф

zj + p Z az1 + p bz2 + p Z V z2 + pn Z) V czj + dz2 + pn Z

Ясно, что указанное соответствие:

- является групповым изоморфизмом;

- сопоставляет тождественному эндоморфизму группы Н матрицу

1 + рт Z 0 + рп Z

E =

V 0 + pn Z 1 + pn Z) Пусть эндоморфизму ф' группы H соответствует матрица

A =

Г a' + pm Z b' + pn Z ^

c' + pn Z d' + pn Z, Тогда для любых целых чисел zj и z2 выполнено

(ФФ')

Г zj + pm ZЛ V z2 + pn Z

=Ф

a zj + p b z2 + p Z c 'zj + d'z2 + pn Z

(

\

(2)

(3)

аа' 2Х + рт-паЬ'22 + рт-пЬс ' хх + рт-пЬё'22 + рт Z са' 2Х + рт~псЬ'22 + ёс' 2Х + ёё !г2 + рп Z

({аа' + рт-пЬс') + рт-п (аЬ' + Ьё' ) г2 + рт (са' + ёс') ^ + (рт-псЬ' + ёё' ) + рп Z Введём на Я2 операцию умножения, считая, что для матриц (1) и (3) выполнено

, _(аа' + рт-пЬс' + ртZ аЬ' + Ьё' + рпZ

ca' + dc' + pn Z pm-ncb' + dd' + pn Z

(4)

Из наших рассуждений следует, что эта операция задана корректно и что верна

Теорема 1. Множество обобщённых матриц R2 с поэлементным сложением и операцией умножения, задаваемой равенством (4), образует кольцо, изоморфное кольцу эндоморфизмов End H группы H. Единичным элементом кольца R2 служит матрица (2). ■

Кольцо R2 для случая m > n рассматривалось также в [2, 5, 6].

Определителем матрицы A е R2 вида (1) назовём элемент |A| = ad-pm-nbc + pnZ кольца Z/pnZ.

Если для матриц (1) и (3) выполнено А = А', то в силу неравенства т > п будут справедливы следующие сравнения по модулю рп:

а = а', Ь = Ь', с = с', ё = ё', аё-р^Ьс = а'ё'-р^Ь'с'. Значит, понятие определителя введено корректно. Ясно также, что \Е\ = 1 + р'Г.

Предложение 2. Для любых А, А' е Я2 выполнено \АА' \ = А| • А' \.

Доказательство. Действительно, для матрицы (4) имеем

АА' \ = (аа' + р"1-пЬс' )(р^сЬ'+ёё' ) -р^аЬ' + Ьё' )(са'+ёс' ) + р^ = = аа'ёё' + р^аа'сЬ' + р^Ьс'ёё' + р^^Ьс'сЬ' -- р^аЬ'са' - р^аЬ'ёс' - р^Ьё'са' - р^Ьё'ёс' + р^ = = аа'ёё' -р^аЬ'ёс'+Ьё'са' ) + р^Ьс'сЬ' + р^ = = (аё - рт"'1Ьс)(а'ё' -р^Ь'с' ) + р^ = А\ • А'\, что и требовалось. ■

Если т = п, то Я2 - это кольцо матриц, элементы которых принадлежат одному и тому же кольцу вычетов Z/pnZ. В этом случае операция умножения и определитель в кольце Я2 совпадают с обычными; поэтому вопрос об обратимости матриц решается стандартным образом в соответствии со следующей теоремой (через К в ней обозначено кольцо (I х /)-матриц над коммутативным кольцом К, содержащим единицу):

Теорема 3 [7]. Матрица А = (ау) е К обратима в К тогда и только тогда, когда её определитель det А обратим в кольце К. Если это условие выполнено, то обратная к А матрица имеет вид А-1 = (det А)-1 • А , где

' А„ А21 . .. Ап ^

А* = А12 А22 . .. А12

V АИ А2г . .. А11 )

(через Ау обозначено алгебраическое дополнение элемента ау матрицы А). ■ Таким образом, нам остаётся рассмотреть случай т > п.

Теорема 4. Пусть т > п > 0. Для матрицы А е Я2 вида (1) равносильны следующие условия:

1) Числа а и ё не делятся на р.

2) Элемент \А\ обратим в кольце Z¡pnЪ.

3) Матрица А обратима слева в кольце Я2.

4) Матрица А обратима справа в кольце Я2.

5) Матрица А обратима в кольце Я2.

Если эти условия выполнены, то матрица А-1 находится по формуле

Ш (1 + рт-Г1ЬсГ) + рт Z -Ь¥ + рп Z ^ (5)

-с¥ + р"Z а¥ + р"Z ) ,

где ^ + р^ = АГ1 е Z/pnZ и Ш + р^ = (а + р^)"1 е Z/pmZ.

Доказательство. Импликация 5) ^ 3) очевидна. Поскольку т > п, мы можем записать следующие эквивалентности:

А\ - обратимый элемент в Z/pnZ » НОД(аё - рт~г'Ьс, р) = 1 » » НОД(аё, р) = 1 » НОД(а, р) = НОД(ё, р) = 1. Таким образом, условия 1) и 2) равносильны.

3) ^ 2) и 4) ^ 2). Если В е К2 - левая обратная или правая обратная матрица для А, то по предложению 2 имеем |А| • |В| = |Е| = 1 + рпЪ. Таким образом, смежный класс |В| е Z/pnZ является обратным элементом для смежного класса |А|.

2) ^ 4). Пусть А| - обратимый элемент в Z/рnZ. Так как справедлива импликация 2) ^ 1), то число а не делится на р и, следовательно, элемент а + pmZ обратим в кольце Z/pmZ, т.е. существует элемент Ж + pmZ = (а + ртТ)"Л. Поскольку т > п, то аЖ + р^ = 1 + рпЪ. Убедимся, что матрица В, задаваемая формулой (5), является правой обратной для матрицы А. Для элементов Ху матрицы X=АВ имеем х„ = аЖ(1 + рт-пЬсЕ ) -рт-пЬсЕ+р^ = аЖ+р^ = 1 + р^; х12 = -аЬ¥ + аЬ¥ + р^ = 0 + р^; х22 = -рт-пЬсЕ+ай¥+р^ = (?+рпХ)(ай - рт-пЬс + рпТ) = 1 + р^;

х21 = сЖ(1 + рт-пЬсЕ ) - сй¥+р^ = сЖ(1 + рт-пЬсЕ ) - сЖайЕ+р^ = = сЖ(1 + рт-пЬсЕ - айЕ ) + р^ = сЖ [(1 + рпТ) - х22] = 0 + pnZ. Таким образом, АВ = Е, что и требовалось.

4) ^ 5). Пусть В е Я2 и АВ = Е. Так как справедлива импликация 3) ^ 2), то смежный класс |В| является обратимым элементом кольца Т]р^. Пользуясь справедливостью импликации 2) ^ 4), мы можем найти матрицу В' е К2, такую, что ВВ' = Е. Тогда А = АЕ = А(ВВ') = (АВ)В' = ЕВ' = В'. Таким образом, ВА = Е, т.е. В -матрица, обратная к А. ■

В частности, мы получили, что обратимость матрицы А е Я2 эквивалентна обратимости элемента А| е как в случае т = п, так и в случае т > п (что согласуется с результатами из [6]).

Замечание. Обратная матрица определена однозначно (если она существует). Отсюда, в частности, сразу следует, что задаваемая формулой (5) матрица не зависит от выбора конкретных чисел а, Ь, с, й е Z, удовлетворяющих равенству (1).

Представление эндоморфизмов конечных _р-групп ранга 3

Перейдём к рассмотрению конечных р-групп ранга 3. Каждую такую группу Н можно отождествить с группой вида (№ртХ) © (ирп1) © (ЯркЪ), где т > п > к > 0. Эндоморфизмы группы Н находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами множества

Кз =

(z /ртz z /рпz z /ркг>

Z /pnZ Z /pnZ Z /pkZ Z / рк Z Z /pkZ Z /pkZ

состоящего из обобщённых матриц вида

А =

Г ах + рт Z а2 + рп Z а3 + рк ZI Ь1 + рп Z Ь2 + рп Z Ь3 + рк z с1 + рк Z с2 + рк Z с3 + рк Z

(6)

где ау, Ьу, су е Z. Эндоморфизму ф группы Н сопоставляется та единственная матрица вида (6), для которой при любых 2Ь 22,23 е Z выполнено

ф

2 + рт Z I Г ах 2Х + рт-па222 + рт-ка3 23 + рт Z

22 + рп Z = ЬХ2Х + Ь2 22 + рп-кЬ3 23 + рп Z

23 + рк zl I с121 + с2 22 + с3 23 + рк Z

\

Указанное соответствие является групповым изоморфизмом; ясно также, что оно сопоставляет тождественному эндоморфизму группы Н матрицу

E =

f 1 + pm Z 0 + pn Z 0 + pk ЪЛ 0 + pn Z 1 + pn Z 0 + pk Z 0 + pk Z 0 + pk Z 1 + pk Z

(7)

Пусть в дополнение к ф имеется эндоморфизм ф' е End H, которому соответствует матрица

a1 + pm Z a2+ pn Z a3+ pk Z^ bj + pnZ b'2 + pnZ ¿3 + pkZ . (8)

Cj' + pk Z 4 + pk Z c3 + pk Z

A' =

L-j ^ jy £J (."2

Непосредственные вычисления выражения

' aj zj + pm-na'2 z2 + pm - ka'3 z3 + pm Z bj zj + ¿2 z2 + pn-kb'3 z3 + pn Z

m

zj + p Z

(фф')

z2 + pn Z z3 + pk Z

=ф

Л

cj zj + c2 z2 + c3 z3 + p Z

где zb z2, z3 е Z, показывают, что эндоморфизму фф' соответствует матрица

ajaj + sa2bj + sta3cj aja'2 + a2b'2 + ta3c'2 aja'3 + a2b'3 + a3c3

bjaj + b2bj + tb3cj sbja2 + b2b'2 + tb3c'2 sbja'3 + b2b'3 + b3c3

cj aj + c2 bj + c3 cj scja'2 + c2b'2 + c3 c2 stcj a'3 + tc2 b'3 + c3 c3

(9)

Здесь смежные классы z + pmZ, z + pnZ и z + pkZ обозначены через z , z и z соответственно, а через s и t для краткости обозначены множители pm-n и pn-k.

Введём на R3 операцию умножения, считая, что произведение AA' матриц, заданных равенствами (6) и (8), равно матрице (9). Наши рассуждения показывают, что эта операция задана корректно и что имеет место

Теорема 5. Множество обобщённых матриц R3 с поэлементным сложением и указанной выше операцией умножения представляет собой кольцо, изоморфное кольцу End H. Единичным элементом кольца R3 служит матрица (7). ■ Пусть матрица A е R3 имеет вид (6). Элемент

ajb2c3 -pn-kajb3c2 -pm-na2bjc3 + pm-k(a3bjc2 + a2b3cj - a3b2cj) + pkZ кольца Z/pkZ будем называть определителем матрицы A и обозначать через |A|. Как и в случае кольца R2, из условия m > n > k нетрудно вывести, что понятие определителя введено корректно. Заметим также, что |E| = 1 + pkZ. Предложение 6. Для любых A, A' е R3 выполнено \AA' | = A| • A' |. Доказательство. Пусть матрицы A и A' заданы равенствами (6) и (8). Легко видеть, что для целочисленных матриц

' aj sa2 sta3 ^ ( aj sa2 sta3^

J = bj b2 tb3 , J ' = bj b2 tb'3

i cj C2 C3 J I cj c2 c3 J

справедливы равенства \А \ = det J+pkZ и А' \ = det J' + pkZ, где через det обозначен обычный определитель. Далее, сравнивая матрицу

С аха[ + &а2Ь{ + &1а3с[ 8(аха*2 + а2Ь'2 + tа3с'2) (аха'3 + а2Ь'3 + а3с'3) ^ Ьха[ + Ь2Ь{ + Л3с[ ^•Ь1а'2 + Ь2Ь'2 + Л3с'2 /(^Ь1а3 + Ь2Ь'3 + Ь3с'3) ч с1а{ + с2Ь{ + с3с[ 5с1а2 + с2Ь'2 + с3с'2 stcla33 + tc2Ь'3 + с3с'3

(которая, как нетрудно проверить, совпадает с обычным произведением М' матриц Ми М) с матрицей (9), видим, что \ЛЛ'| = det(JJ7 ) + ркЪ. Для завершения доказательства остаётся заметить, что det(JJ' ) = det М ■ det . ■

Следующий результат доказывается точно так же, как и справедливость импликаций 3) ^ 2) и 4) ^ 2) в теореме 4:

Лемма 7. Если матрица Л обратима слева или справа в кольце Я3, то смежный класс Л| является обратимым элементом кольца Z/pkZ. ■

Критерии обратимости и формулы для обратных матриц в Я3 будем выводить поэтапно.

Лемма 8. Если определитель матрицы Л е Я3 вида (6) обратим в кольце ZJpkZ и матрица В е Я3 имеет вид

^(а2Ь3 - а3Ь2) + ркZ ^ (рт-па3Ь1 - а1Ь3) + рк Z

(10)

* ^(а1Ь2 - рт-па2Ь1) + ркZу

где ^ + р^ = ИГ1 е Z/pkZ, то третьи столбцы матриц ЛВ и Е совпадают.

Доказательство. Для элементов х3 третьего столбца матрицы X = ЛВ имеем

х13 = а1¥(а2Ь3 - а3Ь2) + а2р( рт-па3Ь1 - а1Ь3) + + а3р(а1Ь2 - рт-па2Ь1) + р^ = ¥(а1а2Ь3 - а1Ь2а3 + +рт-пЬ1а2а3 - а1а2Ь3 + а1Ь2а3 -рт-пЬ1а2а3) + pkZ = 0 + р^;

х23 = рт-пЬ1^(а2Ь3 - а3Ь2) + Ь2^( рт-па3Ь1 - а1Ь3) + + Ь3^(а1Ь2 - рт-па2Ь1) + р^ = рт-пЬ1а2Ь3 - рт-пЬ1Ь2а3 + +рт-пЬ1Ь2а3 - а1Ь2Ь3 + а1Ь2Ь3 -рт-пЬ1а2Ь3) + pkZ = 0 + р^;

х33 = р^с^аЬ - а3Ь2) + рп-1с2-Р( рт-па3Ь1 - а1Ь3) + + с3Р(а1Ь2 -рт па2Ь1) + pkZ = ^ [а1Ь2с3 -рп kа1Ь3c2 -рт па2Ь1с3 + +рт-к(а2Ь3с1 - а3Ь2с1 + а3Ь1с2)] + pkZ = (^+pkZ) ■ |Л| = 1 + р^, что и требовалось. ■

Лемма 9. Если определитель матрицы Л е Я3 вида (6) обратим в кольце Z/pkZ, разность а1Ь2 -рт-па2Ь1 не делится на р и матрица В е Я3 имеет вид

-а2<2 + рп а3с2^ + рпZ ^(а2Ь3 - а3Ь2) + pkZ

а!0 - рт+ рпZ рт-па3Ь - аЬ3) + р1 Z

2"3

т-п „

^ ( р"

па2с - а1с2) + рkZ ^(а1Ь2 - рт-па2Ь) + рkZ

(11)

где целые числа ^ и Q задаются условиями

^+р^ = ^|-1 е Z/pkZ, О + pnZ = (а1Ь2 -рт-па2Ь1 + pnZ)-1 е Z/pnZ, М = а1Ь3с2 + рт-п(а3Ь2с1 - а3Ь1с2 - а2Ь3с1), Q = О(1 + р^М), то у матриц ЛВ и Е совпадают второй и третий столбцы.

Доказательство. Заметим, что |Л| = а1Ь2с3-рт-па2Ь1с3 -рпг-кМ+р^. Поскольку п > к, то справедливо равенство О(а1Ь2 - рт-па2Ь1) + pkZ = 1 + р^. Для элементов хй второго столбца матрицы X = ЛВ имеем

х12 = «1(-«г6 + р" ка3с2Е) + а2(а1б-рт ка3с1Е) +

+р"-каэ^( рт

"а2с1 - а1с2) + рпЪ = р" ка1с2а3Е - рт кс1а2а3Е+

+рп-кЕ( рт

"с1 а2а3 - а1 с2а3) + рпЪ = 0 + рпЪ;

Х22 = р

Х^б + рп-казс2^ ) + ¿2(а10 - рГ^асЕ ) +

+рп-кЪ3Е( рт-па2с1 - а1с2) + р"Ъ = -рт-па2Ъ0(1 + рп-кЕМ) +

+рт-ка3Ъ1с2Е + а^20(1 + рп-кЕМ) - рт-ка3Ъ2с1Е+

+рп-кЕ( рт +рп-кЕ( р

а2Ъ3с1 - а1Ъ3с2) + рпЪ = 0(аЪ -рт-па2Ъ1)(1 + рп-кЕМ) + -па3Ъ1с2 - рт-па3Ъ2с1 + рт-па2Ъ3с1 - а1Ъ3с2) + рпЪ = = 1 + рп-кЕМ - рп-кЕМ+рпЪ = 1 + рпЪ;

Х32 = рт-пс1(-а20 + рп-казс2^ ) + с2(аб - рт-ка3сЕ ) +

+ сЕ( рт-па2с1 - а1с2) + ркЪ = - рт

па2с10(1 + рп-кЕМ) + рт-кс1 с2а3Е+

+ а1с20(1 + рп-кЕМ) - рт-кс1с2а3Е+сЕ( р" = (а1с2 - рт-па2с1)0(1 + рп-кЕМ) + сЕ( рт-па2с1 - а1 с2) + ркЪ =

па2с1 - а1 с2) + р Ъ =

а2с1)[0(1 + рп-кЕМ) - с3Е ] + ркЪ =

= (а1с2 - р

= (а1с2 - рт-па2с1)0[1 + рп-кЕМ- (а1Ъ2 -р

= (а1с2 - рт-па2с1)0[1 + Е( рп-кМ- а1Ъ2с3 + рт = (ас - р"

Ввиду леммы 8 отсюда следует требуемое утверждение. ■

Следствие 10. Пусть т = п > к > 0. Если определитель матрицы А е Я3 вида (6) обратим в Ъ/ркЪ, разность а1Ъ2 - а2Ъ1 не делится на р и матрица В е Я3 имеет вид

па2Ъ1)с3Е ] + р Ъ = па2Ъ1с3)] + р Ъ =

па2с1)0[(1 + ркЪ) - (Е+ркЪ) • |А|] = 0 + ркЪ.

(12)

-a2Q + рп-ка3с2Е + рпЪ Е(а2Ъ3 - а3Ъ2) + ркЪ аб - рп-к а3с1Е + рп Ъ Е(а3Ъ1 - а1Ъ3) + рк Ъ Е(а2с1 - а1с2) + ркЪ Е(а1Ъ2 - а2Ъ1) + ркЪ

где целые числа Е и б задаются условиями

Е + ркЪ = АГ1 е Ъ/ркЪ, О + рпЪ = (а1Ъ2 - а2Ъ1 + рпЪ)-1 е Ъ/рпЪ, М = а1Ъ3с2 + а3Ъ2с1 - а3Ъ1с2 - а2Ъ3сь б = 0(1 + рп-кЕМ), то у матриц АВ и Е совпадают второй и третий столбцы.

Доказательство. Требуемое утверждение следует из леммы 9 ввиду того факта, что при т = п второй и третий столбцы матрицы (12) совпадают со вторым и третьим столбцами матрицы (11). ■

Теорема 11. Пусть т = п > к > 0. Для матрицы А е Я3 вида (6) равносильны следующие условия:

1) Числа а1Ъ2 - а2Ъ1 и с3 не делятся на р.

2) Элемент А| обратим в кольце Ъ/ркЪ.

3) Матрица А обратима слева в кольце Я3.

4) Матрица А обратима справа в кольце Я3.

5) Матрица А обратима в кольце Я3.

Если эти условия выполнены, то матрица А-1 имеет вид

( Ъ2б - рп-кЪ3с2Е + рпЪ -Ъ1б + рп-к Ъ3с1 Е + рп Ъ Е(Ъ1с2 - Ъ2с1) + ркЪ

где второй и третий столбцы берутся из матрицы (12), а целые числа Е и Q задаются условиями

Е + ркЪ = ИГ1 6 Ъ/ркЪ, О + рпЪ = (а1Ъ2- а2Ь1 + рпЪ)-1 е Ъ/рпЪ, М = а1Ъ3с2 + а3Ъ2с1 - а3Ъ1с2 - а2Ъ3с1, Q = О(1 + рп-кЕМ).

Доказательство. Импликация 5) ^ 3) очевидна; импликация 3) ^ 2) верна в силу леммы 7.

Далее, так как т = п, то справедливо равенство

\А\ = а1Ъ2с3 - а2Ъ1с3 + рп-к(а3Ъ1с2 + а2Ъ3с1 - а3Ъ2с1 - а1Ъ3с2) + ркЪ. Поскольку п > к, мы можем записать следующие эквивалентности:

А\ - обратимый элемент в Ъ/ркЪ » НОД(а1Ъ2с3 - а2Ъ1с3, р) = 1 » НОД(а1Ъ2 - а2Ъ1, р) = НОД(с3, р) = 1. Таким образом, условия 1) и 2) равносильны.

2) ^ 4). Пусть А\ - обратимый элемент в Ъ/ркЪ. Так как справедлива импликация 2) ^ 1), то смежный класс а1Ъ2 - а2Ъ1 + рпЪ обратим в Ъ/рпЪ, т.е. существует элемент О + рпЪ = (аф2- а2Ъх + рпЪ)-1. Покажем, что матрица В, задаваемая формулами (13) и (12), является правой обратной для матрицы А.

Ввиду следствия 10 последние два столбца матрицы АВ будут такими же, как и у матрицы Е. Кроме того, из следствия 10 вытекает, что второй столбец матрицы

кгт\/

Ъ2 + рп Ъ Ъ1 + рп Ъ Ъ3 + рк Ъ а2 + рп Ъ а1 + рп Ъ а3 + рк Ъ с2 + рк Ъ с1 + рк Ъ с3 + рк Ъ

-Ъ1Q + рп-кЪ3с1Е + рп Ъ

* Ъ^ - рп-кЪ3с2Е + рпЪ

* Е(Ъс -Ъ2сх) + ркЪ

совпадает со вторым столбцом матрицы Е. Так как при т = п множитель 5 в формуле (9) равен 1, отсюда можно сделать вывод, что первый столбец матрицы АВ совпадает с первым столбцом матрицы Е. Таким образом, АВ = Е.

Наконец, импликация 4) ^ 5) устанавливается так же, как в теореме 4. ■ Теорема 12. Пусть т > п > к > 0. Для матрицы А е Я3 вида (6) равносильны следующие условия:

1) Числа а1, Ъ2 и с3 не делятся на р.

2) Элемент А| обратим в кольце Ъ/ркЪ.

3) Матрица А обратима слева в кольце Я3.

4) Матрица А обратима справа в кольце Я3.

5) Матрица А обратима в кольце Я3.

Если эти условия выполнены, то матрица А-1 имеет вид

■-к,

Ж (1 + рт-па2Ъ1О) + рт ЕОи + рт Ъ

-ЬQ + рп-кЪ3с1Е + рп Ъ Е(Ъ1с2 - Ъ2с1) + ркЪ

(14)

где второй и третий столбцы берутся из матрицы (11), а целые числа Е, О, Q, Ж, и задаются условиями

Е+ркЪ = АГ1 е Ъ/ркЪ, О + рпЪ = (аф2-рт-па2Ъ1 + рпЪ)-1 е Ъ/рпЪ, М = аф3с2 + рт-п(а3Ъ2с1 - а3Ъ1с2- а2Ъ3с1), Q = О(1 + рп-кЕМ), Ж + ртЪ = (а! + ртЪ)-1 е Ъ/ртЪ, и = (а2Ъ3 - а3Ъ2)(Ъ1с2 - Ъ^).

Доказательство. Импликации 5) ^ 3) ^ 2) верны по тем же причинам, что и в теореме 11. Так как т > п > к, мы можем записать следующие эквивалентности:

|А| - обратимый элемент в Ъ/ркЪ » НОД(а1Ъ2с3, р) = 1 »

» НОД(а1, р) = НОД(Ъ2, р) = НОД(с3, р) = 1.

Таким образом, условия 1) и 2) равносильны.

2) ^ 4). Пусть |А| - обратимый элемент в Ъ/ркЪ. Так как справедлива импликация 2) ^ 1), то числа а1 и Ъ2 не делятся на р, т.е. существуют смежные классы О + рпЪ = (а1Ъ2 - рт-па2Ъ1 + рпЪ)-1 и Ц + ртЪ = (а1 + р"Ъ)-1. Покажем, что матрица В, задаваемая формулами (14) и (11), является правой обратной для матрицы А. Заметим, что справедливы равенства

рт~пи = рт-п(а2Ъ1Ъ3с2 - а2Ъ2Ъ3с1 - а3Ъ1Ъ2с2 + а3Ъ2Ъ2с1) = = Ъ2(а^3с2 + рт-па3Ъ2с1 - р^^Ъс - р"-^^) + +рт-па2Ъ1Ъ3с2 - а1Ъ2Ъ3с2 = Ъ2М- Ъ3с2(а1Ъ2 -рт-па2Ъ1),

а значит, рт-ки = рп-кЪ2М-рп-кЪ3с2(а1Ъ2-рт-па2Ъ1). Далее, так как " > п > к, то

0(а1Ъ2 -рт-па2Ъ1) + ркЪ = 1 + ркЪ, а1Ц + ркЪ = 1 + ркЪ, рт-к0(а1Ъ2 -рт-па2Ъ1) + р"Ъ = рт-к + ртЪ, а1Ц+рпЪ = 1 + рпЪ.

В силу леммы 9 нам будет достаточно убедиться, что элементы хЛ первого столбца матрицы X = АВ совпадают с соответствующими элементами матрицы Е. Напомним, что |А| = а1Ъ2с3-рт-па2Ъ1с3-рп-кМ+ркЪ. Имеем

х11 = а1[Ц(1 + рт-па2Ъ10) + рт-кЕ0и ] + рт-па2(-Ъ1б + рп-кЪ3с1Е ) + +рт-ка3Е(Ъ1с2 - Ъ2с1) + ртЪ = 1 + рт-па2Ъ10 + а1Е0 • рт-ки-- рт-па2Ъ10(1 + рп-кЕМ) + рт-ка2Ъ3с1Е + рт-кЕ(а3Ъ1с2 - а3Ъ2с1) + ртЪ = = 1 -рт-па2Ъ10 • рп-кЕМ + а1Е0[рп-кЪ2М-рп-кЪ3с2(а1Ъ2 -рт-па2Ъ1)] +

+рт-кЕ(а2Ъ3с1 + а3Ъ1с2 - а3Ъ2с1) + ртЪ = = 1 - рт-ка2Ъ 1Е0М+рп-ка1 Ъ2Е0М - рп-ка1Ъ3с2Е0(а1Ъ2 -рт-па2Ъ1) + +рт-к0(а1Ъ2 - рт-па2Ъ 1 )Е(а2Ъ3с1 + а3Ъ1с2 - а3Ъ2с1) + ртЪ = = 1 + рп-кЕ0М(а1Ъ2 - рт-па2Ъ1) -рп-ка1Ъ3с2Е0(а1Ъ2 - рт-па2Ъ1) + +рп-кЕ0(а1Ъ2 -рт-па2Ъ1)(рт-па2Ъ3с1 + рт-па3Ъ1с2 -рт-па3Ъ2с1) + ртЪ = = 1 + рп-кЕ0(а1Ъ2 -рт-па2Ъ1)(М- а1Ъ3с2) + +рп-кЕ0(а1Ъ2 - рт-па2Ъ1)(а1Ъ3с2 - М) + ртЪ = 1 + ртЪ;

х21 = Ъ1[ Ц(1 + рт-па2Ъ10) + рт-кЕ0и ] + Ъ2(-Ъ1 б + рп-кЪ3с1Е ) + +рп-кЪ3Е(Ъ1с2 - Ъ2с1) + рпЪ = Ъ1Ц(1 + рт-па2Ъ10) + Ъ1Е0 • рт-ки -- Ъ1Ъ20(1 + рп-кЕМ) + рп-кЪ2Ъ3с1Е+рп-кЕ(Ъ1Ъ3с2 - Ъ2Ъ3с1) + рпЪ = = Ъ1Ц [0(а1Ъ2 - рт-па2Ъ1) + рт-па2Ъ1 О] + + Ъ1Е0[ рп-кЪ2М-рпкЪ3с2(а1Ъ2 - рт-па2Ъ1)] - Ъ1Ъ20 - рп-кЪ1Ъ2Е0М+

+рп-кЪ1Ъ3с2Е+рпЪ = Ъ1Ц • а1Ъ20 - Ъ1Ъ20 + рп-кЪ1Ъ2Е0М -- рп-кЪ1Ъ3с2Е0(а1Ъ2 - рт-па2Ъ1) - рп-кЪ1Ъ2Е0М+рп-кЪ1Ъ3с2Е+рпЪ = = Ъ1Ъ20 - Ъ1Ъ20 - рп-кЪ1Ъ3с2Е+рп-кЪ1Ъ3с2Е+рпЪ = 0 + рпЪ;

х31 = с1[Ж(1 + рт-па2Ь1О) + рт-кЕОП ] + с2(-^0 + рп-кЬ3с1Е ) + + с3р(Ь1с2 - Ь2с1) + pkZ = с1 Ж(1 + рт-па2Ь1О) + с^О ■ рт-ки-- Ь1с2О(1 + рп-кЕМ) + рп-кЬ3с1с2¥ + с3^(Ь1с2 - Ь2с1) + pkZ = = с1 Ж [О(а1Ь2 - рт-па2Ь1) + рт-па2Ь1О] +

п-к п-к т-п п-к

+ с^О[рп-кЬ2Ы-рп Ь3с2(а1Ь2 -рт-па2Ь1)] - Ь1с2О -рп-кЬ1с2ГОЫ+ +рп-кЬ3с1с2¥+с3р(Ъ1с2 - Ь2с1) + рkZ = с1Ж ■ а1Ь2О + рп-кЬ2с1ЕОМ -

- рп-кЬ3с1 с2рО(а1Ь2 - рт-па2Ь1) - Ь1с2О - рп-кЬ1с2ЕОМ+ +рп-кЬ3с1с2¥ + с3рО(а1Ь2 - рт-па2Ь1)(Ь1с2 - Ь2с1) + рkZ = = Ь2с1 О + рп-кГОМ(Ь2с1 - Ь1с2) - рп-кЬ3с1с2¥ - Ь1с2О + +рп-кЬ3с1с2Е - ¥О(а1Ь2с3 - рт-па2Ь1с3)(Ь2с1 - Ь1с2) + р^ = = (Ь2с1 - Ь1с2)О[1 + рп-кЕМ-Е(а1Ь2с3 -рт-па2Ь1с3)] + р^ = = (Ь2с1 - Ь1с2)О[1 - Е(а1Ь2с3 -рт-па2Ь1с3 - рп-кМ)] + pkZ = = (Ь2с1 - Ь1с2)О[(1 + pkZ) - (Е+р^) ■ А|] = 0 + ркЪ. Таким образом, АВ = Е.

Импликация 4) ^ 5) устанавливается так же, как в теореме 4. ■ Если т = п = к, то вопрос об обратимости матриц в Я3 решается в соответствии с теоремой 3. Таким образом, остаётся рассмотреть случай т > п = к.

Теорема 13. Пусть т > п = к > 0. Для матрицы А е Я3 вида (6) равносильны следующие условия:

1) Числа а1 и Ь2с3 - Ь3с2 не делятся на р.

2) Элемент А| обратим в кольце Z/pkZ.

3) Матрица А обратима слева в кольце Я3.

4) Матрица А обратима справа в кольце Я3.

5) Матрица А обратима в кольце Я3.

Если эти условия выполнены, то матрица А-1 имеет вид

(Ж(1 + рт-пЕЬ) + ртZ Е(а3с2 - а2с3) + ркZ Е(Ь3с1 -Ь1с3) + ркZ Е(а1с3 -рт-па3сг) + ркZ Е(Ьс - Ь2с1) + ркZ Е(рт-па2с1 - а1с2) + ркZ

(15)

где третий столбец берётся из матрицы (10), Ь = а2Ь1с3 - а3Ь1с2 - а2Ь3с1 + а3Ь2с1 е Z, Е + р^ = А|-1 е Z/pkZ и Ж + р^ = (а1 + р^)-1 е ЪртЪ.

Доказательство. Импликации 5) ^ 3) ^ 2) справедливы по тем же причинам, что и в теореме 11. Далее, так как п = к, то АI = 8 + р^, где

5 = а1Ь2с3 - а1Ь3с2 -рт-п(а2Ь1с3 - а3Ь1с2 - а2Ь3с1 + а3Ь2с1) = = а1Ь2с3 - а1Ь3с2 - рт-пЬ. Поскольку т > п, мы можем записать следующие эквивалентности:

А| - обратимый элемент в Z/pkZ » НОД(а1Ь2с3 - а1Ь3с2, р) = 1 » НОД(а1, р) = НОД(Ь2с3 - Ь3с2, р) = 1. Таким образом, условия 1) и 2) равносильны.

2) ^ 4). Пусть А| - обратимый элемент в Z/pkZ. Так как справедлива импликация 2) ^ 1), то а1 не делится на р, т.е. существует элемент Ж + pmZ = (а1 + ртТ)Л. Поскольку т > к, то а1Ж+pkZ = 1 + pkZ. Убедимся, что матрица В, определяемая формулами (15) и (10), является правой обратной для матрицы А.

По лемме 8 третий столбец матрицы АВ будет таким же, как и у матрицы Е. Кроме того, из леммы 8 вытекает, что третий столбец матрицы

f a1 + pm Z a3 + pk Z a2 + pk ZЛ c1 + pk Z c3 + pk Z c2 + pk Z b1 + pk Z b3 + pk Z b2 + pk Z

* F(a3c2 - a2 c3) + pk Z Л

* F(pm na2c1 - ajc2) + pkZ v * F(ac - p^a^) + pkZy

совпадает с третьим столбцом матрицы E. Так как при n = k множитель t в формуле (9) равен 1, отсюда можно сделать вывод, что второй столбец матрицы AB совпадает со вторым столбцом матрицы E. Остаётся рассмотреть элементы xi1 первого столбца матрицы X=AB:

x11 = a1W(1 + pm-nFL) + pm-na2F(b3c1 - b1c3) + +pm-na3F(b1c2 - b2c1) + pmZ = 1 + pm-nFL + +pm-nF(a2b3c1 - a2b1c3 + a3b1c2 - a3b2c1) + pmZ = = 1 + pm-nFL - pm-nFL + pmZ = 1 + pmZ;

x21 = b1W(1 + pm-nFL) + b2F(b3c1 - bjc3) + b3F(b1c2- b2c0 + pkZ = = b W(1 + pm'-nFL) + F(b1b3c2 - bjb2c3) + pkZ = = bj W(1 + F • pm-nL) + bjF(b3c2 - b2c3) + pkZ = = bi W[1 + F(a1b2c3 - a1b3c2 - 5)] + bj aj WF(b3c2 - b2c3) + pkZ = = b1 W[1 + F(a1b2c3 - a1b3c2) - F5 + F(a1b3c2 - a1b2c3)] + pkZ = = b1 W(1 - F5) + pkZ = b1 W(1 - 1) + pkZ = 0 + pkZ;

X31 = c1 W(1 + pm-nFL) + c2F(b3c1 - b^) + c3F(b1c2 - b2c1) + pkZ = = c1 W(1 + pm-nFL) + F(b3c1c2 - b2c1c3) + pkZ = = c1 W(1 + F • pm-nL) + c1F(b3c2 - b2c3) + pkZ = = c1 W [1 + F(a1 b2c3 - a1b3c2 - 5)] + c1 a1 WF(b3c2 - b2c3) + pkZ = = c1W [1 + F(a1b2c3 - a1b3c2) - F5 + F(a1b3c2 - a1b2c3)] + pkZ = = c1 W(1 - F5) + pkZ = c1 W(1 - 1) + pkZ = 0 + pkZ.

Тем самым мы показали, что AB = E.

Импликация 4) ^ 5) устанавливается так же, как в теореме 4. ■ В частности, из теорем 11, 12 и 13 вытекает, что обратимость матрицы A е R3 эквивалентна обратимости элемента |A| е Z/pkZ в каждом из возможных случаев. Так как обратная матрица единственна (если она существует), то формулы, найденные для A"1 в каждой из этих трёх теорем, будут приводить к одной и той же матрице вне зависимости от выбора конкретных чисел a,, bj, cj е Z, удовлетворяющих равенству (6).

ЛИТЕРАТУРА

1. Morita K. Duality for modules and its applications to the theory of rings with minimum condition // Sci. Rep. Tokyo Kyoiku Daigaku, Sect. A. 1958. V. 6. P. 83-142.

2. Крылов П.А., Туганбаев А.А. Кольца формальных матриц и модули над ними. М.: МЦНМО, 2017.

3. Green E.L. On the representation theory of rings in matrix form // Pacific J. Math. 1982. V. 100. No. 1. P. 123-138. DOI: 10.2140/pjm.1982.100.123.

4. Haghany A., Varadarajan K. Study of modules over formal triangular matrix rings // J. Pure Appl. Algebra. 2000. V. 147. No. 1. P. 41-58. DOI: 10.1016/S0022-4049(98)00129-7.

5. Крылов П.А., Туганбаев А.А. Формальные матрицы и их определители // Фундам. и прикл. математика. 2014. Т. 19. № 1. С. 65-119.

6. Крылов П.А. Определители обобщённых матриц порядка 2 // Фундам. и прикл. математика. 2015. Т. 20. № 5. С. 95-112.

7. ГлуховМ.М., ЕлизаровВ.П., Нечаев А.А. Алгебра. Т. 1. М.: Гелиос АРВ, 2003.

Статья поступила 09.08.2021

Stepanova A.Y., Timoshenko E.A. (2021) MATRIX REPRESENTATION OF ENDOMOR-PHISMS OF PRIMARY GROUPS OF SMALL RANKS. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika [Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics]. 74. pp. 30-42

DOI 10.17223/19988621/74/4

Keywords: primary group, endomorphism ring, generalized matrix ring, inverse matrix.

Letp be a prime. Any finite Abelian p-group H of rank 2 can be identified with a group of the form (Z/pmZ) © (Z/pnZ) with m > n > 0. The endomorphisms of this group H are in a one-to-one correspondence with elements of the following set of matrices:

R _(Z/pmZ Z/pnZ 2 _t Z /pnZ Z /pnZ

If we define I " '" p"Z * + ^ If a' + p"Z + ^I to be

v c + pnZ d + pnZ A c' + pnZ d' + pnZ)

(aa' + pm-nbc' + pmZ ab' + bd' + pnZ

\ ca' + dC + pn Z pm-ncb' + dd' + pn Z)

then we arrive at the following theorem:

Theorem 1. The set R2 with entrywise addition and multiplication defined above forms a ring which is isomorphic to the endomorphism ring End H of H. The identity element of R2 is

f\ + pm Z 0 + pnZ\

E =

K 0 + pnZ 1 + pnZ

f m^ U i nr*A

For any A = 1 a + P ° + P le R2 , we define \A\ = ad - pm-nbc + pnZ e Z/pnZ. ^ c + pn Z d + pn Z )

Proposition 2. For any A,A' e R2, we have \AA'\ = A\ • A'\.

If m = n, then R2 is the usual matrix ring over Z/pnZ and the invertibility criterion for A e R2 is well-known.

Theorem 4. Let m > n > 0. For any matrix A = |a + p Z b + pZ|e R2, the following are

^ c + pn Z d + pn Z )

equivalent:

1) The prime p does not divide a and d.

2) The element \A\ is invertible in Z/pnZ.

3) The matrix A is left invertible in R2.

4) The matrix A is right invertible in R2.

5) The matrix A is invertible in R2. If these conditions are satisfied, then

A_1 =fw (1 + pm-nbcF ) + pmZ -bF + pnZ

[ -cF + pn Z aF + pnZ

where F + pnZ = \A\-1 e Z/pnZ and W + pmZ = (a + pmZ)-1 e Z/pmZ.

Any finite Abelian p-group H of rank 3 can be identified with a suitable group of the form (Z/pmZ) e (Z/pnZ) e (Z/pkZ) with m > n > k > 0. The endomorphisms of this group H are in one-to-one correspondence with the elements of the following set of matrices:

Z / pmZ

Z /pnZ Z /pkZ>

Z / pnZ Z /pnZ Z / pkZ Z / pkZ Z / pkZ Z / pkZ

As in the case of R2, we endow R3 with a multiplication such that R3 becomes a ring which is isomorphic to End H.

For any matrix A =

m

-p Z

-pnZ -pk Z

n

-p Z

-pnZ -pk Z

k

-p Z

-pk Z -pk Z

e R3, we denote by AI the element

a1b2c3 -pn ajb3c2 -pm na2b1c3 + pm (a3b1c2 + a2b3cj - a3b2c1) + p Z. Proposition 6. For any A,e R3, we have \AA' | = \A\ • |A'|.

The case when m = n = k is trivial. For the cases m = n > k, m > n > k and m > n = k, we give invertibility criteria for A e R3 and formulas for inverse matrices. In each of these cases the following are equivalent:

- The element AI is invertible in Z/pkZ.

- The matrix A is left invertible in R3.

- The matrix A is right invertible in R3.

- The matrix A is invertible in R3.

AMS Mathematical Subject Classification: 16S50

Financial support. This work was supported by the Ministry of Science and Higher Education of Russia (agreement No. 075-02-2021-1392).

Aleksandra Y. STEPANOVA (Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: stepanova.alexa@mail.ru

Egor A. TIMOSHENKO (Doctor of Physics and Mathematics, Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: tea471@mail.tsu.ru

REFERENCES

1. Morita K. (1958) Duality for modules and its applications to the theory of rings with minimum condition. Science Reports of the Tokyo Kyoiku Daigaku, Section A. 6. pp. 83-142.

2. Krylov P., Tuganbaev A. (2017) Formal Matrices (Algebra and Applications, Vol. 23). Springer. DOI: 10.1007/978-3-319-53907-2.

3. Green E.L. (1982) On the representation theory of rings in matrix form. Pacific Journal of Mathematics. 100(1). pp. 123-138. DOI: 10.2140/pjm.1982.100.123.

4. Haghany A., Varadarajan K. (2000) Study of modules over formal triangular matrix rings. Journal of Pure and Applied Algebra. 147(1). pp. 41-58. DOI: 10.1016/S0022-4049(98) 00129-7.

5. Krylov P.A., Tuganbaev A.A. (2015) Formal matrices and their determinants. Journal of Mathematical Sciences (New York). 211(3). pp. 341-380. DOI: 10.1007/s10958-015-2610-3.

6. Krylov P.A. (2018) Determinants of generalized matrices of order 2. Journal of Mathematical Sciences (New York). 230(3). pp. 414-427. DOI: 10.1007/s10958-018-3748-6.

7. Glukhov M.M., Elizarov V.P., Nechaev A.A. (2003) Algebra [Algebra]. Vol. 1. Moscow: Gelios ARV.

Received: August 9, 2021