Хорошие кольца формальных матриц над кольцами вычетов Текст научной статьи по специальности «Математика»

2023

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика и механика Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics

№ 85

Научная статья

УДК 512.552 МБС: 08А35, 15В99, 16850

10.17223/19988621/85/3

Хорошие кольца формальных матриц над кольцами вычетов

Цырендоржи Дашацыренович Норбосамбуев

Томский государственный университет, Томск, Россия, [email protected]

Аннотация. Пусть p - простое число, m, п - натуральные и m > п > 0. Кольцо

ГЦрт Z Z/р" Z^ , ,

изоморфное кольцу эндоморфизмов

формальных матриц

р" Z Z/р" Z

E((Z/pmZ) © (Z/pиZ)), может представлять интерес в шифровании данных. Мы покажем, что кольцо E((Z/pmZ) © (Z/pиZ)), m > п, является 2-хорошим и 2-ниль-хорошим при p > 2 и не является хорошим при p = 2 и m > п.

Ключевые слова: кольцо, хорошее кольцо, кольцо контекста Мориты, кольцо эндоморфизмов абелевой группы

Благодарности: Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования РФ (соглашение № 075-02-2023-943).

Для цитирования: Норбосамбуев Ц.Д. Хорошие кольца формальных матриц над кольцами вычетов // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2023. № 85. С. 32-42. ао1: 10.17223/19988621/85/3

Original article

Good formal matrix rings over residue class rings Tsyrendorzhi D. Norbosambuev

Tomsk State University, Tomsk, Russia, [email protected]

Abstract. For an arbitrary prime p ring E((Z/p2Z) © (Z/pZ)) is a semilocal ring with p5 elements that cannot be embedded in any matrix ring over commutative ring. In a more general case - a ring E((Z/pmZ) © (Z/p"Z)), m > n, is isomorphic to a formal matrix ring

(Z/ m Z Z/ n Z I

\ I • There are cryptographic systems based on the arithmetic of

^ Z/pn Z Z/pn Z)

E((Z/p2Z) © (Z/pZ)). We show that ring E((Z/pmZ) © (Z/pnZ)) is 2-good and 2-nil-good forp > 2 and not good forp = 2 and m > n.

Theorem 3.3. Letp be a prime andp > 2, m > n, then E((Z/pmZ) © (Z/pZ)) is a 2-good ring. What if p = 2? In case of m = n, we have E((Z/2nZ) © (Z/2nZ)) = M(2, Z/2nZ) which is 2-good.

© ^fl. Hop6ocaM6yeB, 2023

Theorem 3.5. Let m > n, then for a matrix

. /*ftn rw Li 0" ^

a 2 Z b 2 Z e E((Z / 2m Z) © (Z / 2m Z)), c + 2" Z d + 2nZ

a, b, c, d e Z, the following statements are true:

1) Matrix A is 2-good if a and d are even;

2) Matrix A is 3-good if a and d are odd;

3) Matrix A is not good if a and d are numbers of different parity. Thus, formal matrix ring E((Z/2mZ) © (Z/2nZ)), m > n, is not good.

Keywords: ring, good ring, Morita context ring, endomorphism ring of abelian group

Acknowledgments: This work was supported by the Ministry of Science and Higher Education of Russia (agreement No. 075-02-2023-943).

For citation: Norbosambuev, T.D. (2023) Good formal matrix rings over residue class rings. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika -Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 85. pp. 32-42. doi: 10.17223/19988621/85/3

Введение

Далее все кольца - ассоциативные с единицей, E(A) - кольцо эндоморфизмов абелевой группы А, ЩЯ) - группа обратимых элементов кольца R, Z - кольцо (и группа) целых чисел, Z/pnZ - кольцо (и группа) вычетов по модулю pn, ■ - конец доказательства или его отсутствие.

Бергман [1] доказал, что если p - простое число, то E((Z/p2Z) © (Z/pZ)) - полулокальное кольцо мощности p5, которое не может быть вложено в кольцо матриц ни над каким коммутативным кольцом. Климент, Наварро и Тортоса [2] показали, что E((Z/p2Z) © (Z/pZ)) изоморфно некоторому кольцу матриц второго порядка с элементами из Z/pZ, pZ/p2Z и Z/p2Z (фактически получив кольцо формальных матриц). Они изучили арифметику этого кольца, описали группу его обратимых элементов, его центр. Далее ими была построена криптографическая система, основывающаяся на арифметике E((Z/p2Z) © (Z/pZ)) [2-4]. Крылов и Туганба-ев [5, 6] рассмотрели более общий случай - E((Z/pmZ) © (Z/pnZ)), ш > п. Такое

( ЯРт Z Ярп Z^

кольцо эндоморфизмов изоморфно кольцу формальных матриц

^ Я/рп Я Я/рп Яу

В [7] Крылов вводит понятие определителя формальной матрицы второго порядка в общем случае и над кольцами вычетов, а также приводит некоторые свойства определителей формальных матриц. В своей недавней работе Степанова и Тимошенко [8] нашли необходимые и достаточные условия обратимости элементов E((Z/pmZ) © ^/р^)), ш > п, а также формулы для построения обратной формальной матрицы.

Классический объект в математике - М(п, R) - кольцо всех матриц порядка п над некоторым кольцом R. В последнее время внимание специалистов привлекают кольца формальных матриц, или, как еще говорят, кольца обобщенных матриц, или кольца контекста Мориты. Понятия формальной матрицы и кольца формальных матриц проистекают из работ японского математика Киити Мориты [9]. Детальный обзор истории изучения контекста Мориты можно найти в [10].

Напомним, кольцом контекста Мориты, или кольцом формальных (обобщенных) матриц второго порядка, мы называем кольцо матриц вида

К if Г т 11 n s

; R, m e RMs, n e sNr , s £ S I

где R и - кольца, RMS - R-S-бимодуль, NN - 5-К-бимодуль, ф: М N ^ Я и

у: N М ^ 5 - бимодульные гомоморфизмы, с поэлементным сложением и

(г тЛ (г' т Л (гг'+ ф(т ® п') гт'+ т$' Л умножением вида I 1-1 1=1 I, причем

^п £ ) ^п ' 5 ' ) ^ пг '+ Ж ' у(п ® т ') + ')

должны выполняться равенства ассоциативности ф(т ® п) - т' = т -у(п ® т') и

у (п ® т) - п' = п - ф(т ® п') для всех т, т' е М, п, п' е N. Часто кольцо К обозна-

чают как К =

Естественным образом можно ввести в рассмотрение формальные матрицы порядка п > 2. Изучению произвольных колец формальных матриц посвящено множество работ (см., напр.: [5-16]).

1. О строении кольца Е((ЯртТ) © (Т/рТТ))

Пусть р - простое число. Рассмотрим произвольную конечную р-группу Н ранга 2. Всегда можно подобрать группу вида ((ZJpmZ) © где т > п > 0,

так, что она будет изоморфна группе Н.

Как устроено кольцо эндоморфизмов E((Z/pmZ) © ^/р^))?

Знаем, что если О - абелева группа и О = А © В для каких-то подгрупп А и В, то

Е( А) Иош(В, А) Л

Е( А © В) = 1

^ Иош( А, В) Е( В)

где справа имеем кольцо формальных матриц. В качестве произведения гомоморфизмов у е Нот(В, А), 5 е Нот(А, В) берем их композицию у5 е Е(А). Аналогично 5у е Е(В).

Возвращаясь к нашему случаю, (^/р^) © (Z/pnZ),+) - абелева группа, тогда

E((Z/pm Z) © (Z/pn Z)) =

f E(Z/pm Z) Hom(Z/pn Z,Z/pm Z)A

уиош(г/ z,z/ г) Е(г/г)

Общеизвестны следующие факты. Пусть т > п > 0, тогда

1. Группа Нот^/р^, Z/pnZ) изоморфна группе Z/pnZ.

2. Группа Hom(Z/pnZ, Z/pmZ) изоморфна группе Z/pnZ.

3. Кольцо E(Z/pmZ) изоморфно кольцу Z/pmZ. Таким образом, получаем, что

E((Z/pm Z) © (Z/pn Z)) =

^ E(Z/pm Z) Hom(Z/pn Z, Z/pm Z)A

Hom(Z/pm Z, Z/pn Z) E(Z/pn Z)

rZ/pm Z Z/pn ZЛ Z/pn Z Z/pn Zv

То есть всякому эндоморфизму 6 группы Z/pmZ © Z/pnZ соответствует един-

ственная формальная матрица А = для всяких 71,72 е Z выполнено 0

(а + рт Я Ь + рп ЪЛ с + рп Я й + рп Я

а, Ь, с, ё е Z, такая что

^ + рт ЪЛ

-т-пЬг2 + рт ЪЛ

а^ + р '

V ^ + рп Я) V с^ + + рп Я здесь элементы группы Z/pmZ © Z/pnZ записаны в столбец.

Как устроена композиция эндоморфизмов группы Z/pmZ © Z/pnZ? Пусть эндоморфизмам 6 и 6' соответствуют формальные матрицы

(

А= Тогда

а + рт Я Ь + рп Ъ с + рп Я й + рп Я

и А' =

а' + рт Я Ь' + рп Ъ с' + рп Я й' + рп Я

, а, Ь, с, ё, а', V, с', d' е Z.

(00')

( I тгж\

+ р Ъ

V + рП Я

( а'2Х + рт-пЬ'г2 + рт Ъ^ с + й + рп Я

( (аа' + рт-пЬс' X + рт-п (аЬ' + Ьй') г2 + рт ЪЛ (са' + йс') ^ + (рт-псЪ' + йй') ^ + рп Я

Итак,

А ■ А' =

Га + pmZ Ь + р"Ъ\( а' + pmZ Ь' + р"Ъл с' + рп Я й' + рп Я

с + рп Я й + рп Ъ) _(аа' + рт-пЬс' + рт Я аЬ' + Ьй' + рп Я Л = ч са' + йс' + рп Я рт-псЬ' + йй' + рп Я) для матриц А и А'. То есть ф((Ь + рпЪ)®(с'+ рпЪ)) = рт-пЬс'+ ртЯ и у((с + рпЯ) ® (Ь'+ рпЯ)) = рт~псЬ'+ рпЯ для любых Ь, с, Ь', с' е г.

Таким образом, далее можем не делать различий, в алгебраическом смысле, между эндоморфизмами из кольца Е((г/ршг) © (г/рпг)) и формальными матри-

цами из кольца

^ъ/рт Я Я/рп Ъ

Ъ/рп Ъ Ъ/рп Ъ,

2. Обратимые элементы в Е((гржг) © (г/рпг))

Степановой и Тимошенко [8] был получен полный ответ на вопрос о том, когда формальная матрица из кольца Е((г/ршг) © (г/рпг)), ш > п > 0, будет обратимой. Также они смогли получить формулы для построения обратной матрицы. Представляется, что ключевым моментом здесь стало то, что они воспользовались очень удачным обобщением понятия определителя на случай матриц из Е((г/ршг) © (г/рпг)) из работы Крылова [7].

Иногда удается ввести аналог понятия определителя для некоторых колец формальных матриц, например для колец формальных матриц над коммутативным кольцом. Пусть R - кольцо. Рассмотрим кольцо формальных матриц второго

( r л i

порядка k = I c бимодульными гомоморфизмами ф, ^ : R ®R R ^ R

к rrr r )

, ф(x ® y) = sxy, x ® y) = sxy для некоторого центрального элемента s кольца R. Кольцо вида Ks называется кольцом формальных матриц над данным кольцом, или кольцом формальных матриц со значениями в данном кольце, элемент s е R называется множителем кольца Ks. Впервые такие кольца появились в работе Крылова [13]. Вообще, каждый центральный элемент s е R определяет свое кольцо формальных матриц Ks. Иногда кольцо Ks обозначают как M(2, R, s). В [5] авторами было введено понятие определителя для формальных матриц со значениями в коммутативном кольце.

( a b Л

Определение 2.1 [5]. Пусть R - коммутативное кольцо, A = I I е M(2,R, s).

^ c d )

Определителем матрицы A назовем элемент d(A) = ad - s(bc) кольца R.

Также в [5] получен следующий важный результат, связывающий обратимость формальной матрицы A с обратимостью ее определителя.

Теорема 2.2 [5]. Матрица A е M(2, R, s) обратима тогда и только тогда, когда элемент d(A) обратим в R. ■

Вернемся к кольцам формальных матриц над кольцами вычетов. Крылов в [7] дает следующее определение.

(a + pm Z b + pn Z c + pnZ d + pn Z

Определение 2.3 [7]. Пусть A е

fZ!pmZ Z/pnZ\ „ f - ■ - ■ ~nrw^

I, m > n, и A

Z/pnZ Z/ pnZ

a, b, c, d е Z. Определителем формальной матрицы A назовем элемент |A| = ad -- pm-nbc + pnZ кольца Z/pnZ.

Предложение 2.4 [7]. Для любых A, A' е

(Z/pm Z Z/pn Z^ Z/pn Z Z/pn Z

, m > n, выполне-

но aa' | = Al • A' |. ■

Конечно, напрашиваются вопросы: каковы условия обратимости формальной матрицы над кольцами вычетов, есть ли связь с обратимостью ее определителя, можно ли получить формулу построения обратной матрицы? В [8] Степанова и Тимошенко дают полный ответ на эти вопросы.

Если m = n, то E((Z/pmZ) © (Z/pnZ)) изоморфно кольцу матриц M(2, Z/pnZ), и тогда операция умножения и определитель в E((Z/pmZ) © (Z/pnZ)) совпадают с привычными. Также и вопрос об обратимости матриц решается стандартным образом, а именно: матрица A = (ay) е M(l, Z/pnZ) обратима в M(l, Z/pnZ) тогда и только тогда, когда ее определитель detA обратим в кольце Z/pnZ. Если это условие выполнено, то обратная к A матрица имеет вид: A"1 = (detA) 1 • A*, где A* - союзная матрица к матрице A. Заметим, здесь через detA обозначен обычный определитель матрицы A.

Таким образом, остается рассмотреть случай m > n.

Теорема 2.5 [8]. Пусть т > п > 0. Для матрицы А = а, Ь, с, d е Z, равносильны следующие условия:

fa + pm Z b + pn ZA c + pn Z d + pn Z

1. Числа а и ё не делятся на р.

2. Элемент |А| обратим в кольце Z/pnZ.

3. Матрица А обратима слева в кольце E((Z/pmZ) © ^/р^)).

4. Матрица А обратима справа в кольце E((Z/pmZ) © ^/р^)).

5. Матрица А обратима в кольце E((Z/pmZ) © ^/р^)).

Если эти условия выполнены, то матрица А4 находится по формуле

А'1 =

(ш(1+рт-пЪсЕ)+рт г -ъе+рп

-сЕ + рп г аЕ + рп г

где ^ + р^ = А |-1 е Z/pnZ и Г+pmZ = (а + р^)-1 е Z/pmZ. ■

Замечание 2.6. ((Z/pmZ) © (ЯрпЪ),+) - абелева группа порядка р'п+п, а ее кольцо эндоморфизмов имеет мощность, равную рп+3п.

Из теоремы 2.5 вытекает следующий факт.

Следствие 2.7. Пусть п > п > 0. Тогда мощность группы обратимых элементов кольца E((Z/pmZ) © (ЯрпЪ)) равна рп+3п-2(р-1)2. ■

3. О некоторых свойствах кольца формальных матриц E((Z/pmZ) © (Т/р"Т))

Большой интерес в теории колец представляют так называемые аддитивные задачи в кольцах - условия, при которых отдельные элементы колец представляются в виде сумм обратимых элементов, нильпотентов, идемпотентов (часто такие элементы обобщенно называют специальными элементами колец), или кольца целиком аддитивно порождаются множествами специальных элементов. Подробнее об аддитивных задачах в кольцах можно прочитать, например, в [15-19].

Определение 3.1. Пусть к - натуральное число, к > 2, N - кольцо. Элемент кольца N называется к-хорошим, если его можно записать в виде суммы к обратимых элементов кольца N. Кольцо N называется к-хорошим, если каждый его элемент является ^-хорошим. Если кольцо К не является ^-хорошим ни для какого к е N , но все элементы ^-хорошие для разных к, то будем говорить, что К является ю-хорошим. Если элемент кольца N невозможно представить в виде конечной суммы обратимых элементов, то говорим, что такой элемент не является хорошим и все кольцо N не является хорошим.

Лемма 3.2. Пусть п - натуральное, р - простое. При р > 2 кольцо Z/pnZ является 2-хорошим, кольцо Z/2nZ является ю-хорошим.

Доказательство. Пусть р > 2, а - целое число. Тогда можем записать а + pnZ = = (а - 1) + р^ + 1 + р^ или а + р^ = (а - 2) + р^ + 2 + р^. И 1 + р^, и 2 + р^ обратимы в Z/pnZ, поскольку числа 1 и 2 взаимно просты с р. Вместе с тем либо а - 1, либо а - 2 взаимно просты с р, а значит, хотя бы один из двух классов вычетов (а - 1) + р^ и (а - 2) + р^ обратим в Z/pnZ. Итак, а + р^ является 2-хорошим элементом, а Z/pnZ - 2-хорошим кольцом.

Теперь пусть р = 2. Элемент а + 2^ в Z/2nZ обратим тогда и только тогда, когда а - нечетное число. Очевидно, что для записи четного числа нужно четное количество нечетных слагаемых, а для записи нечетного - нечетное. Таким образом, - ю-хорошее кольцо. ■

Теорема 3.3. Пусть р - простое и р > 2, п > п, тогда E((ZJpmZ) © ^/р^)) -2-хорошее кольцо.

Доказательство. Пусть А е Е((ир^) © (Z/pиZ)) и А =

i , m г-ж 1 , "rw\

a + p Z b + p Z

с + р^ й + р^

а, Ь, с, й е Z. Тогда, учитывая лемму 3.2, можем записать матрицу А в виде сле-

дующей суммы:

А =

+ pm Z b + p" Z^

с + p" Z d + p" Z

a + pmZ b + pn Z 0 + p" Z d + p" Z

a + pmZ 0+p"Z

с+ p"Z d + p"Z

= 5 + С ,

где а1 + р^, а2 + р^ е U(Z/pmZ) и й1 + й2 + р^ е ЦДг/р^). Несложно про-

Г z/z ^р" ZЛ

верить, что матрицы л и С обратимы в кольце как в случае

^ Z/р" Z Z/р" Zy

да = п, так и в случае т > п (по теореме 2.5). Таким образом, при р > 2 кольцо Е((^/р^Ъ) © (ЫрГТ)) - 2-хорошее. ■

Отдельная проблема - случай р = 2. Вообще, все классы вычетов а + 2^ из Z/2nZ можем условно разделить на «четные» и «нечетные», по четности их представителей а. Конечно, обратимыми в Z/2nZ будут «нечетные», а необратимыми -«четные». При т = п, как отмечалось выше, мы имеем привычное кольцо матриц М(2, Z/2nZ), - здесь матрица будет обратима тогда и только тогда, когда ее определитель «нечетен» (см. рассуждения перед теоремой 2.5). Лемма 3.4. М(2, Z/2nZ), п > 0, - 2-хорошее кольцо.

Доказательство. Пусть р = 2. Далее в этом доказательстве будем обозначать все «четные» элементы Z/2nZ как «т>, а «нечетные» - как «ой». Рассмотрим все возможные матрицы из М(2, Z/2nZ) и покажем, что они 2-хорошие.

''10 Л

, . ...... , 0 ,

'ой еуЛ Г ой -IV Г0 1 Л ГГ-1 °й!+Г1 0 Л

еу еу) ^ еу -1 0 ) ^ 1 еу)' ^ еу ой) ^ еу-1 0 ) Ц ой)'

еу ой Л Г еу-1 ой Л Г 1 0Л ^ ' еу еу Л ' еу-1 еу_1Л + ' 1 1 Л еу еу) ^ 0 еу -^ еу 1 ^ ' ^ ой ойJ ^ ой 0 ^ 0 ой)'

' 0 ой Л

1) 2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

ev od ev

ev od od od ev

ev Л f ev — 1 ev Л f 1 0

I = +

ev V 0 ev — V ev 1

ev Л f od ev — 1Л f0

= | + e1v

ev J [ ev — 1 0 J V1

od Л f ev — 1 od f 1 0Л

= | ■J + 1 y

ev V 0 ev — V ev

ev Л f ev — 1 0 f 1 ev

= +

ev J V od ev — lJ V0 1

ev Л f 0 ev — 1Л f ev

+ 10

od J V ev — 1 od J V1

od ^ f od 0 Л f0 od

= | 1J + V1 1

ev у V ev — 1 ev —

ev л f od ev — 1 f 0 1Л

= + I

ev у V 0 ev — 1у Vod lj

ev ^ f od ev — 1Л f0

= | J + o1d

od у V ev — 1 0 V1

9)

10) 11) 12)

13)

14)

15)

16)

od od

od ev

od od

ev od

od ev

od od

ev od

od od

od od

od od

ev — 1 od

0 ev —1 f ev — 1 od Л

[ev — 1 0 J

' ev — 1 ev — 1 , od 0 od 0 0 ev — 1 0 od Л ev — 1 0 J 0 ev — 1 od 0 ev — 1 0 0 od od

od od 1

od 0 1

od 0

0 J+l

0 odJ [ od

1 , 0 J

od J

1J

od J od ^ 0 , od Л 0 )

Конечно, предложенные выше разложения не единственно возможные, можно подобрать и другие варианты разбиений. ■

То есть E((Z/2nZ) © (Z/2nZ)) = M(2, Z/2nZ) - 2-хорошее кольцо.

Что будет с хорошестью кольца формальных матриц E((Z/2mZ) © (Z/2nZ)) при

m > n?

Теорема 3.5. Для формальной матрицы A =

ra + 2m Z b + 2n Z^ v c + 2n Z d + 2n Zj

a, b, c, d е Z,

из кольца

(Z/2m Z Z/2n Z^ Z/2n Z Z/2n Z

где m > n, справедливы следующие утверждения:

1) Если а и d - четные числа, то А - 2-хорошая матрица;

2) Если а и d - нечетные числа, то А - 3-хорошая матрица;

3) Если а и d - числа разной четности, то А не является хорошей матрицей.

Доказательство. Действительно, пусть A =

(a + 2m Z b + 2n Z K c + 2" Z d + 2n Zj

где

(

1) a и d - четные числа, тогда можем записать A =

a -1 + 2m Z b + 2n Z c + 2" Z d -1 + 2" Z

+ 2m Z 0 + 2n Z 0 + 2n Z 1 + 2n Z

- сумма двух обратимых (по теореме 2.5) матриц.

(

2) a и d - нечетные числа, тогда A =

a + 2m Z b + 2n Z c + 2n Z d + 2n Z

Л (

1 + 2m Z 0 + 2n Z 0 + 2n Z 1 + 2n Z

+ 2m Z 0 + 2n Z 0 + 2n Z 1 + 2n Z

- сумма трех обратимых матриц. Нечетные a и d предста-

вить в виде суммы четного количества нечетных слагаемых невозможно.

3) а и d - числа разной четности, тогда матрицу А не получится записать как сумму матриц с обратимыми элементами на главной диагонали. ■

Следствие 3.6. Таким образом, кольцо £(^/2^) © ^2^)) при т > п не является хорошим.

Итак, Z/2nZ - ю-хорошее кольцо, M(2, Z/2nZ) - 2-хорошее, а

(Z/2m Z Z/2" Z^ Z/2" Z Z/2" Z

не хорошее при т > п.

Есть много работ, в которых рассматриваются свойства, похожие на хорошесть. Например, Кэлугэряну и Лам [17] вводят в своей статье понятие изящности.

Определение 3.7. Элемент кольца называют изящным, если его можно записать как сумму нильпотентного и обратимого элементов. Соответственно, кольцо Я называют изящным, если все его элементы, отличные от нулевого, являются изящными.

Данчев [18], обобщая свойство изящности, ввел в рассмотрение свойство ниль-хорошести.

Определение 3.8. Элемент кольца называют ниль-хорошим, если его можно записать как сумму нильпотентного элемента и элемента, который обратим или

+

+

V

равен 0. Соответственно, кольцо R называют ниль-хорошим, если все его элементы являются ниль-хорошими.

Понятно, что если кольцо изящно, то оно будет ниль-хорошим. Обратное неверно. Казалось бы, разница между этими двумя свойствами невелика, но второй класс колец значительно шире и обладает более интересными свойствами.

В [16] авторы ввели в рассмотрение свойство, связанное как с хорошестью, так и с другими аддитивными задачами в кольцах - к-ниль-хорошесть.

Определение 3.9. Пусть к - натуральное число, к > 1. Элемент кольца называют к-ниль-хорошим, если его можно записать как сумму одного нильпотентно-го и к обратимых элементов. Кольцо R называют к-ниль-хорошим, если все его элементы к-ниль-хорошие. Если кольцо R не является к-ниль-хорошим ни для какого к, но каждый элемент из R является к-ниль-хорошим для подходящего к, то будем говорить, что R есть о-ниль-хорошее кольцо.

Несложно видеть, что если кольцо R является к-хорошим, то оно будет и к-ниль-хорошим.

Следствие 3.10. E((Z/pmZ) © (Z/pnZ)) - 2-ниль-хорошее кольцо при p > 2 и m > n. Предложение 3.11. M(2, Z/2nZ) - 2-ниль-хорошее, ниль-хорошее кольцо, но не изящное.

Доказательство. Поскольку кольцо M(2, Z/2nZ) - 2-хорошее (лемма 3.4), то оно будет и 2-ниль-хорошим. Для проверки ниль-хорошести можно перебрать все возможные матрицы в M(2, Z/2nZ) и их разбиения в виде сумм нильпотент-ных матриц и обратимых либо нулевых так же, как в доказательстве леммы 3.4. Нужно лишь учитывать, что нильпотентными будут матрицы вида 1), 3), 4) и 16), а обратимыми - 8), 9) и 12)-15). Изящными не будут матрицы вида 1). ■

Вопрос 3.12. Будет ли E((Z/pmZ) © (Z/pnZ)) изящным или хотя бы ниль-хорошим кольцом при p > 2? Что можно сказать о ниль-хорошести и изящности кольца E((Z/2mZ) © (Z/2nZ)), m > n? По всей видимости, в обоих случаях ни изящности, ни ниль-хорошести не будет.

Список источников

1. Bergman G.M. Some examples in PI ring theory // Israël Journal of Mathematics. 1974. V. 18.

P. 257-277. doi: 10.1007/BF02757282

2. Climent J.-J., Navarro P.R., TortosaL. On arithmetic of endomorphism ring End(Zp x Z 2 ) //

Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing. 2011. V. 22. P. 91-108. doi: 10.1007/s00200-011-0138-4.

3. Climent J.-J., Navarro P.R., Tortosa L. Key exchange protocols over noncommutative rings.

The case of End(Zp x ) // International Journal of Computer Mathematics. 2012. V. 89.

P. 1753-1763. doi: 10.1080/00207160.2012.696105

4. Climent J.-J., Navarro P.R., Tortosa L. An extension of the noncommutative Bergman's ring

with a large number of noninvertible elements // Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing. 2014. V. 25. P. 347-361. doi: 10.1007/s00200-014-0231-6

5. Крылов П.А., Туганбаев А.А. Формальные матрицы и их определители // Фундаменталь-

ная и прикладная математика. 2014. № 1(19). С. 65-119.

6. Krylov P., Tuganbaev A. Formal matrices. Springer, 2017. (Algebra and Applications; v. 23).

doi: 10.1007/978-3-319-53907-2

7. Крылов П.А. Определители обобщенных матриц порядка 2 // Фундаментальная и при-

кладная математика. 2015. № 5 (20). С. 95-112.

8. Степанова А.Ю., Тимошенко Е.А. Матричное представление эндоморфизмов примар-

ных групп малых рангов // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2021. № 74. С. 30-42. doi: 10.17223/19988621/74/4

9. Morita K. Duality for modules and its applications to the theory of rings with minimum condi-

tion // Science Reports of Tokyo Kyoiku Daigaku Section A. 1958. V. 6. P. 83-142.

10. Loustaunau P., Shapiro J. Morita contexts // Non-Commutative Ring Theory. Springer, 1990. P. 80-92. (Lecture Notes in Mathematics, v. 1448). doi: 10.1007/BFb0091253

11. Крылов П.А., Норбосамбуев Ц.Д. Автоморфизмы алгебр формальных матриц // Сибирский математический журнал. 2018. № 5 (59). С. 1116-1127. doi: 10.1134/S003744661 8050129

12. Крылов П.А., Норбосамбуев Ц.Д. Группа автоморфизмов одного класса алгебр формальных матриц // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2018. № 53. С. 16-22. doi: 10.17223/19988621/53/2

13. Крылов П.А. Об изоморфизме колец обобщенных матриц // Алгебра и логика. 2008. № 4 (47). С. 456-463. doi: 10.1007/s10469-008-9016-y

14. Норбосамбуев Ц.Д. Ранг формальной матрицы. Система формальных линейных уравнений. Делители нуля // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2018. № 52. С. 5-13. doi: 10.17223/19988621/52/1

15. Норбосамбуев Ц.Д. О суммах диагональных и обратимых обобщенных матриц // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2015. № 36. С. 34-41. doi: 10.17223/19988621/36/4

16. Норбосамбуев Ц.Д., Тимошенко Е.А. О k-ниль-хороших кольцах формальных матриц // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2022. № 77. С. 17-26. doi: 10.17223/19988621/77/2

17. Câlugâreanu G., Lam T.Y. Fine rings: A new class of simple rings // J. Algebra Appl. 2016. V. 15 (9). Art. 1650173. doi: 10.1142/S0219498816501735

18. Danchev P. Nil-good unital rings // Int. J. Algebra. 2016. V. 10 (5). P. 239-252. doi: 10.12988/ ija.2016.6212

19. Henriksen M. Two classes of rings generated by their units // J. Algebra. 1974. V. 31. P. 182193. doi: 10.1016/0021-8693(74)90013-1

References

1. Bergman G.M. (1974) Some examples in PI ring theory. Israel Journal of Mathematics. 18.

pp. 257-277. DOI: 10.1007/BF02757282.

2. Climent J.-J., Navarro P.R., Tortosa L. (2011) On arithmetic of endomorphism ring

End(Zp x '£p2 ). Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing. 22.

pp. 91-108. DOI: 10.1007/s00200-011-0138-4.

3. Climent J.-J., Navarro P.R., Tortosa L. (2012) Key exchange protocols over noncommutative

rings. The case of End(Zp x Z 2 ). International Journal of Computer Mathematics. 89.

pp. 1753-1763. DOI: 10.1080/00207160.2012.696105.

4. Climent J.-J., Navarro P.R., Tortosa L. (2014) An extension of the noncommutative Berg-

man's ring with a large number of noninvertible elements. Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing. 25. pp. 347-361. DOI: 10.1007/s00200-014-0231-6.

5. Krylov P.A., Tuganbaev A.A. (2015) Formal matrices and their determinants. Journal of

Mathematical Sciences (New York). 211(3). pp. 341-380. DOI: 10.1007/s10958-015-2610-3.

6. Krylov P., Tuganbaev A. (2017) Formal matrices. (Algebra and Applications, Vol. 23).

Springer. DOI: 10.1007/978-3-319-53907-2.

7. Krylov P.A. (2018) Determinants of generalized matrices of order 2. Journal of Mathematical

Sciences (New York). 230(3). pp. 414-427. DOI: 10.1007/s10958-018-3748-6.

8. Stepanova A.Yu., Timoshenko E.A. (2021) Matrichnoye predstavleniye endomorfizmov pri-

marnykh grupp malykh rangov [Matrix representation of endomorphisms of primary groups of

small ranks], Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika -Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics, 74, pp, 30-42, DOI: 10,17223/19988621/74/4,

9, Morita K, (1958) Duality for modules and its applications to the theory of rings with minimum

condition, Science Reports of the Tokyo Kyoiku Daigaku Section A, 6, pp, 83-142,

10, Loustaunau P,, Shapiro J, (1990) Morita contexts, Non-Commutative Ring Theory (Lecture Notes in Mathematics, Vol, 1448), Springer, pp, 80-92, DOI: 10,1007/BFb0091253,

11, Krylov P,A,, Norbosambuev T,D, (2018) Automorphisms of formal matrix algebras, Siberian Mathematical Journal. 59(5), pp, 885-893, DOI: 10,1134/S0037446618050129,

12, Krylov P,A,, Norbosambuev T,D, (2018) Gruppa avtomorfizmov odnogo klassa algebr for-mal'nykh matrits [Group of automorphisms of one class of formal matrix algebras], Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 53, pp, 16-21, DOI: 10,17223/19988621/53/2,

13, Krylov P,A, (2008) Isomorphism of generalized matrix rings, Algebra and Logic. 47(4), pp, 258-262, DOI: 10,1007/s10469-008-9016-y,

14, Norbosambuev T,D, (2018) Rang formal'noy matritsy. Sistema foimal'nykh lineynykh uravneniy, Deliteli nulya [Rank of a formal matrix, System of formal linear equations, Zero divisors], Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika -Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 52, pp, 5-12, DOI: 10,17223/19988621/52/1,

15, Norbosambuev T.D. (2015) O summakh diagonal'nykh i obratimykh obobshchennykh matrits [On sums of diagonal and invertible formal matrices] Vestnik Tomskogo gosudar-stvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 4(36), pp, 34-40, DOI: 10,17223/19988621/36/4,

16, Norbosambuev T,D,, Timoshenko E,A, (2022) O k-nil'-khoroshikh kol'tsakh formal'nykh matrits [About k-nil-good formal matrix rings], Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 77, pp, 17-26, DOI: 10,17223/19988621/77/2,

17, Calugareanu G., Lam T.Y. (2016) Fine rings: A new class of simple rings. Journal of Algebra and Its Applications. 15(9), Article ID: 1650173, DOI: 10,1142/S0219498816501735,

18, Danchev P, (2016) Nil-good unital rings, International Journal of Algebra, 10(5), pp, 239252, DOI: 10,12988/ija,2016,6212,

19, Henriksen M, (1974) Two classes of rings generated by their units, Journal of Algebra, 31, pp, 182-193, DOI: 10,1016/0021-8693(74)90013-1,

Сведения об авторе:

Норбосамбуев Цырендоржи Дашацыренович - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Регионального научно-образовательного математического центра, доцент механико-математического факультета Томского государственного университета, Томск, Россия. E-mail: nstsddts@yandex,ru

Information about the author:

Norbosambuev Tsyrendorzhi D. (Candidate of Physics and Mathematics, Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation), E-mail: nstsddts@yandex,ru

Статья поступила в редакцию 24.11.2022; принята к публикации 10.10.2023 The article was submitted 24.11.2022; accepted for publication 10.10.2023