CC BY
8
2022
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика и механика Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics
№ 77
Научная статья
УДК 512.552 MSC: 15B99, 16S50
doi: 10.17223/19988621/77/2
О Л-ниль-хороших кольцах формальных матриц
Цырендоржи Дашацыренович Норбосамбуев1, Егор Александрович Тимошенко2
12 Томский государственный университет, Томск, Россия 1 nstsddts@yandex.ru 22 tea471@mail.tsu.ru
Аннотация. В 2018 г. Абдольюсефи, Ашрафи и Чэнь дали в своей работе определение 2-ниль-хорошего элемента кольца, обобщающее введенное двумя годами ранее Кэлугэряну и Ламом понятие изящного элемента кольца, а также определение 2-ниль-хорошего кольца. В той же работе было показано, что кольцо контекста Мориты, т.е. кольцо формальных матриц второго порядка, является 2-ниль-хорошим, если кольца, над которыми оно рассматривается, сами являются 2-ниль-хорошими. В настоящей статье мы проводим дальнейшее обобщение, определяя ¿-ниль-хорошие элементы и ¿-ниль-хорошие кольца, и указываем условие, при котором кольцо формальных матриц произвольного конечного порядка будет ¿-ниль-хорошим.
Ключевые слова: кольцо, к-ниль-хорошее кольцо, кольцо формальных матриц, контекст Мориты
Благодарности: Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ для молодых ученых - докторов наук МД-108.2020.1.
Для цитирования: Норбосамбуев Ц.Д., Тимошенко Е.А. О ¿-ниль-хороших кольцах формальных матриц // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2022. № 77. С. 17-26. аог 10.17223/19988621/77/2
Original article
Аbout &-nil-good formal matrix rings Tsyrendorzhi D. Norbosambuev1, Egor A. Timoshenko2
12 Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation 1 nstsddts@yandex.ru 22 tea471@mail.tsu.ru
Abstract. We fix a positive integer t > 2. Let R1, R2, ..Rt be associative rings with identity and let Mij be Ri -Rj -bimodules (i, j e {1, 2, ..., t}) such that Mu = Ri for all i. Suppose
© Ц.Д. Норбосамбуев, Е.А. Тимошенко, 2022
that for any i,j,k e {1, 2, ..., t}, 9jk is a bimodule homomorphism Mj MJk ^Mik ;
we assume that q>uk and 9» coincide with the canonical isomorphisms R M& ^ Mik
and M& ®Rt R ^ Mik respectively. Instead of qj (a ® b), where a e Mj and b e Mjk,
we write simply ab. We also require that (ab)c = a(bc) for all a e Mj, b e Mjk and c e Mu. The set
K =
ri
m,.
ml2
mit m,.
ri e Ri > mij e Mij
forms an associative ring with identity under the usual addition and the multiplication defined by the homomorphisms 9 jk. We say that K is a formal matrix ring of order t. Let R be an associative ring with identity and k > 2. An element of R is said to be k-nil-good if it is the sum of k invertible elements and a nilpotent; if all elements of R are k-nil-good, we say that R is a k-nil-good ring. The main result is the following theorem.
Theorem 3.7. The ring K is k-nil-good (k > 2) if the rings Ri, R2, Rt are k-nil-good. Corollary 3.8. If the ring Ri is k-nil-good for all i e {1, 2, ...,t}, then the ring K is k-nil-good, where k = max (ki, fe, ..kt).
Corollary 3.9. If R is a k-nil-good ring, then the ring M(t, R) of all t x t square matrices over R is k-nil-good for every t.
The converses of Theorem 3.7 and Corollary 3.9 do not hold. For instance, the matrix ring M(2, Z/2Z) is 2-nil-good, while the field Z/2Z is not a k-nil-good ring for each k. Keywords: ring, k-nil-good ring, formal matrix ring, Morita context
Acknowledgments: The research was supported by the President of the Russian Federation Grant for young Russian scientists MD-108.2020.1.
For citation: Norbosambuev, T.D., Timoshenko E.A. (2022) About k-nil-good formal matrix rings. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika -Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 77. pp. 17-26. doi: 10.17223/19988621/77/2
1. Кольца формальных матриц
Все кольца в статье - ассоциативные с единицей; М(/, К) обозначает кольцо всех (/ х /)-матриц над кольцом К, а и(К) - множество всех обратимых элементов кольца К. Через Z обозначаем кольцо целых чисел; ■ - символ конца доказательства либо его отсутствия.
Кольцам формальных матриц посвящено много работ (см., напр., [1-9]). Понятия формальной матрицы и кольца формальных матриц появились благодаря работе Мориты [10], в которой он ввел объект, впоследствии названный контекстом Мориты.
Под контекстом Мориты понимается набор (К, М, Ы, Б, ф, у), в котором К и £ -кольца, КМБ и Б N - бимодули, а ф: М®БN ^ К и у: N ®К М ^ Б - бимодульные гомоморфизмы, для которых при всех т, т' е М и п, п' е N выполнены соотношения ассоциативности ф(т ® п) • т' = т • у(п ® т' ) и у(п ® т) • п' = п • ф(т ® п' ). Наборы такого вида возникли при изучении контравариантных функторов Б1
и Б2 между категориями модулей Мой-Я и Мой-Ъ, таких что выполнено А-02 и Мыой-к и А и Миой-ъ (позже Морита установил, что на самом деле это функторы Нот). С историей развития направления, связанного с контекстами Мориты, можно познакомиться в обзорной работе [6]; там же приведены ссылки на наиболее важные работы по этой теме.
Если дан контекст Мориты, то можно построить кольцо контекста Мориты (мы будем называть его также кольцом формальных матриц второго порядка) К, состоящее из всех матриц вида
X =
где г е Я, т е и, п е Ы, 5 е Ъ,
(1)
и снабженное поэлементным сложением и умножением, задаваемым правилом (г тЛ (г' т'Л (гг' + ф(т ® п') гт' + т5 Л [п s ) [п' s') [ пг' + т' Ц!(п ® т') + '). Понятия формальной матрицы и кольца формальных матриц можно перенести на случай произвольного порядка г > 2. Пусть Я1, Я2, ..., Яг - некоторые кольца и М - Я,-Я/-бимодули, где /,/' е {1, 2, ..., г}, такие, что М = Я,-. Далее, пусть для каждой тройки индексов ,,/, к е {1, 2, ..., г} через ф/ обозначен бимодульный гомоморфизм М ц ®Я Мк ^ Мк , причем ф,,к и фкк совпадают с каноническими
изоморфизмами Я ®Я М к ^ М к и М к ®щ Як ^ Мк соответственно. Для
краткости элемент ф,/к(а ® Ь), где а е М/ и Ь е и/к, будем обозначать через аЬ. Как и для колец формальных матриц второго порядка, мы требуем выполнения соотношений ассоциативности (аЬ)с = а(Ьс) для всех а е М/, Ь е М/к и с е Мы. Множество
К =
т
12
ш-,
тЛ,
т
Г е Я,.
т ц е Мц
(2)
чл т2 ■■■ у
всех матриц со значениями в бимодулях М,/ относительно поэлементного сложения и умножения, определяемого с помощью гомоморфизмов ф/к, образует кольцо, которое мы будем называть кольцом формальных матриц порядка г.
г
2
2. Аддитивные задачи в кольцах
В работе [11] введены понятия к-хорошего элемента и к-хорошего кольца:
Определение 2.1. Пусть к - натуральное число, большее 1.
а) Элемент кольца называется к-хорошим, если его можно представить в виде суммы к элементов, обратимых в этом кольце.
б) Кольцо Я называется к-хорошим, если все его элементы к-хорошие.
в) Если кольцо Я не является к-хорошим ни для какого значения к, но каждый элемент из Я является к-хорошим для подходящего значения к, то будем говорить, что Я - ю-хорошее кольцо.
Замечание. Несложно видеть, что если кольцо К является к-хорошим, то оно будет и (к + /)-хорошим для всякого натурального / Поэтому имеет смысл говорить о минимальном к, для которого К есть к-хорошее кольцо.
Кольца, аддитивно порождаемые своими обратимыми элементами, - известная и достаточно хорошо изученная тема; хороший обзор дан в [12]. Отдельно выделим статью Хенриксена [13], в которой он показал, что кольцо М($, К), где / > 2, будет 3-хорошим вне зависимости от свойств кольца К. Независимо от Хенриксена в работе [14] Крылов установил, что кольцо М($, К) всегда является 4-хорошим. Упомянем также работы [7-9], в которых свойство хорошести рассматривалось для колец формальных матриц и отдельных формальных матриц.
В 1977 г. Николсон [15] ввел понятие чистоты для колец и их отдельных элементов:
Определение 2.2. а) Элемент кольца называется чистым, если он представим в виде суммы идемпотента и обратимого элемента.
б) Кольцо называется чистым, если все его элементы являются чистыми.
Работа Николсона послужила отправной точкой для дальнейших исследований чистоты. Так, в [16, 17] описываются некоторые классы абелевых групп, имеющих чистые кольца эндоморфизмов. В статье [18] Сяо и Тун рассматривали следующее обобщение понятия чистоты:
Определение 2.3. Пусть к - натуральное число.
а) Элемент кольца называют к-чистым, если его можно записать в виде суммы идемпотента и к обратимых элементов.
б) Кольцо К называют к-чистым, если все его элементы к-чистые.
В статье [19] появилось еще одно понятие, связанное с чистотой:
Определение 2.4. а) Элемент кольца называется ниль-чистым (сильно ниль-
чистым), если он представим в виде суммы идемпотента и нильпотентного элемента (соответственно суммы коммутирующих между собой идемпотента и нильпотентного элемента).
б) Кольцо называется ниль-чистым (сильно ниль-чистым), если все его элементы являются ниль-чистыми (соответственно сильно ниль-чистыми).
Заметим, что всякое ниль-чистое кольцо является чистым (чистое разложение произвольного элемента х легко получить из ниль-чистого разложения элемента х - 1). Обратное неверно: так, поле 2/3 Z является чистым кольцом, но не является ниль-чистым.
Отталкиваясь от статей [15, 19], Кэлугэряну и Лам [20] дали следующее определение:
Определение 2.5. а) Элемент кольца называется изящным, если он представим в виде суммы нильпотентного и обратимого элементов.
б) Кольцо К называется изящным, если все его ненулевые элементы изящны.
В той же работе [20] было, в частности, установлено, что все изящные кольца являются простыми.
Обобщая свойство изящности, Данчев в статье [21] следующим образом определил свойство ниль-хорошести для колец и их элементов:
Определение 2.6. а) Элемент кольца называют:
- ниль-хорошим, если он представим в виде суммы нильпотентного элемента и элемента, который обратим либо равен 0;
- сильно ниль-хорошим, если его можно представить в виде суммы нильпо-тентного элемента и элемента, который обратим либо равен 0, причем эти два элемента коммутируют между собой;
- уникально ниль-хорошим, если он либо нильпотентен, либо единственным образом представим в виде суммы нильпотентного и обратимого элементов.
б) Кольцо называют ниль-хорошим (сильно ниль-хорошим, уникально ниль-хорошим), если все его элементы являются ниль-хорошими (соответственно сильно ниль-хорошими, уникально ниль-хорошими).
Несложно видеть, что всякое изящное кольцо является ниль-хорошим, однако обратное неверно. Например, кольца классов вычетов 2/212, где I > 2, являются ниль-хорошими, но не изящными. Класс ниль-хороших колец оказался более содержательным по сравнению с изящными кольцами несмотря на то, что различия между определениями 2.5 и 2.6 на первый взгляд кажутся незначительными. Наконец, в работе [22] было введено понятие 2-ниль-хорошести: Определение 2.7. а) Элемент кольца называют 2-ниль-хорошим, если он представим в виде суммы нильпотентного элемента и двух обратимых элементов. б) Кольцо называют 2-ниль-хорошим, если все его элементы 2-ниль-хорошие. Несмотря на название, 2-ниль-хорошие кольца служат обобщением скорее для изящных колец, чем для ниль-хороших: так, кольца 2/2'2, где I > 1, ниль-хорошие, но не являются 2-ниль-хорошими. С другой стороны, в [20] было показано, что всякое изящное кольцо, не изоморфное полю 2/22, является 2-хорошим (а значит, оно является и 2-ниль-хорошим).
3. А-ниль-хорошие формальные матрицы
В [22] было найдено достаточное условие, при котором кольцо формальных матриц второго порядка является 2-ниль-хорошим:
Теорема 3.1 [22]. Пусть К - это кольцо формальных матриц, соответствующее контексту Мориты (К, М, N, Б, ф, у). Если кольца К и Б являются 2-ниль-хорошими, то и К - 2-ниль-хорошее кольцо. ■ Применяя индукцию, можно получить отсюда
Следствие 3.2 [22]. Если К - 2-ниль-хорошее кольцо, то кольцо М($, К) также будет 2-ниль-хорошим при любом /. ■
По аналогии с [18] введем следующее обобщение свойства 2-ниль-хорошести для колец и их элементов:
Определение 3.3. Пусть к - натуральное число, большее 1.
а) Элемент кольца назовем к-ниль-хорошим, если его можно представить в виде суммы одного нильпотентного и к обратимых элементов.
б) Кольцо К назовем к-ниль-хорошим, если все его элементы к-ниль-хорошие.
в) Если кольцо К не является к-ниль-хорошим ни для какого к, но каждый элемент из К является к-ниль-хорошим для подходящего к, то будем говорить, что К есть ю-ниль-хорошее кольцо.
Пример 3.4. Кольца 22^, где I > 1, являются ю-ниль-хорошими. Ясно, что если кольцо К является к-хорошим, то оно будет и к-ниль-хорошим. Предложение 3.5. Если кольцо К является к-ниль-хорошим, то оно является и (к + /)-ниль-хорошим для всякого натурального ].
Доказательство. Достаточно доказать, что Я является (к + 1)-ниль-хорошим кольцом. Действительно, для всякого х е Я мы можем записать элемент х - 1 как сумму одного нильпотентного и к обратимых элементов. В этом случае элемент х = (х - 1) + 1 будет суммой одного нильпотентного и к + 1 обратимых элементов, что и требовалось. ■
В статье [23] было показано, что существует подкольцо Я поля рациональных чисел, которое является к-хорошим кольцом для достаточно большого к, но не является 2-хорошим кольцом. Естественно, такое кольцо Я служит также примером к-ниль-хорошего кольца, которое не является 2-ниль-хорошим.
Докажем следующий технический факт.
Лемма 3.6. Пусть К - кольцо формальных матриц порядка г, заданное равенством (2). Если X е К - треугольная матрица, на главной диагонали которой стоят элементы, обратимые в соответствующих кольцах Я;, то X е и(К).
Доказательство. Заметим, что кольцо вида (2) можно естественным образом представить в виде кольца, соответствующего контексту Мориты (Я, М, Ы, £, ф, у), такому что Я есть кольцо формальных матриц порядка г - 1 и £ = Яг. Поэтому достаточно будет доказать утверждение леммы для матрицы X вида (1), такой что г е и(Я), s е и(£) и хотя бы один из элементов т и п равен 0 (после этого справедливость леммы легко устанавливается с помощью индукции). Положим
E =
1 0 0 1
Y =
-1 -Л — r ms
— s ynr 1
e K;
очевидно, что Е - единичный элемент кольца К. Имеем
f
XY =
YX =
rr 1 — ф(т ® s lnr 1) — rr lms 1 + ms 1 ss—1 — y(n ® r ~xms~1)
nr 1 ss 1 nr 1
^r 1r — ф(г 1ms 1 ® n) r xm — r lms 1s
— s 1nr 1r + s 1n
s 1s — y(s 1nr 1 ® m)
1 0 0 1
10 01
= E.
= E
(в этих равенствах мы воспользовались тем, что все значения аргументов, к которым применяются ф и у, равны 0, так как т = 0 или п = 0). Таким образом, У = X-1 и X е и(К). ■
Теперь можно обобщить теорему 3.1 на случай формальных матриц порядка г > 2 и к-ниль-хороших колец:
Теорема 3.7. Кольцо К формальных матриц порядка г, заданное условием (2), является к-ниль-хорошим (где к > 2), если все кольца Я1, Я2, ..., Яг сами являются к-ниль-хорошими.
Доказательство. Пусть матрица X е К имеет вид, указанный в равенстве (2). Поскольку Я\, Я2, ..., Яг - к-ниль-хорошие кольца, то для всякого ; е {1, 2, ..., г} можно записать г; = у; + и;1 + и;2 + и;3 ... + и;к, где у; - нильпотентный элемент из Я; и и;р е и(Я;) при всех] е {1, 2, ..., к}. Полагая
U =
'<21
0
'Н 2
0 ^ 0
U 2 =
u12 0
"12
122
0 0
2t
At 2
r
s
u
m
u
21
m
u
N =
(yx О о У2
ОО
о 1
О
Uj =
uij
*2j
о о
utj
у 0 0 ■■■ У,
(гдеу е {3, 4, ...,к}), имеемX = N + Ц + и2 + Пз + ... + Пк. Очевидно, что матрица N является нильпотентным элементом кольца К и в силу леммы 3.6 для каждого у е {1, 2, ...,к} выполнено Ц е П(К). Теорема доказана. ■ С учетом предложения 3.5 получаем такое следствие:
Следствие 3.8. Пусть кольцо К формальных матриц порядка t задано равенством (2). Если кольцо К является к-ниль-хорошим для всякого i е {1, 2, ...,(}, то кольцо К является к-ниль-хорошим, где к = тах(к, к2, ..., kt). ■ Теорема 3.7 позволяет также обобщить следствие 3.2:
Следствие 3.9. Если К - к-ниль-хорошее кольцо, то кольцо М($, К) также будет к-ниль-хорошим при любом t. ■
Заметим, что утверждения теоремы 3.7 и следствия 3.9 нельзя обратить: Пример 3.10. Рассмотрим кольцо М(2, 2/22); пусть Е - единичная матрица. Всякий элемент кольца можно представить в виде суммы двух обратимых:
( О (
V0 (
E =
= E + E,
+ E.
1 1
, + ( 0 о) Vi
= E +
i)+( о
='+(о
i> о)
(представления остальных десяти матриц из М(2, 2/22) получаются аналогично). Поэтому М(2, 2/22) - 2-хорошее кольцо, а значит, оно является к-ниль-хорошим кольцом для любого значения к > 2. При этом очевидно, что само поле 2/22 не является к-ниль-хорошим кольцом ни для какого к > 2.
Список источников
о
о
1. Крылов П.А. Об изоморфизме колец обобщенных матриц // Алгебра и логика. 2008.
Т. 47, № 4. С. 456-463.
2. Крылов П.А., Туганбаев А.А. Формальные матрицы и их определители // Фундаменталь-
ная и прикладная математика. 2014. Т. 19, № 1. С. 65-119.
3. Крылов П.А., Туганбаев А.А. Кольца формальных матриц и модули над ними. М. :
МЦНМО, 2017.
4. Крылов П.А., Норбосамбуев Ц.Д. Автоморфизмы алгебр формальных матриц // Сибирский
математический журнал. 2018. Т. 59, № 5. С. 1116-1127. doi: 10.17377/smzh.2018.59.512
5. Крылов П.А., Норбосамбуев Ц.Д. Группа автоморфизмов одного класса алгебр фор-
мальных матриц // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2018. № 53, С. 16-21. doi: 10.17223/19988621/53/2
6. Loustaunau P., Shapiro J. Morita contexts // Non-Commutative Ring Theory. Springer, 1990.
P. 80-92. doi: 10.1007/BFb0091253 (Lecture Notes in Mathematics. V. 1448).
7. Норбосамбуев Ц.Д. О суммах диагональных и обратимых обобщенных матриц // Вест-
ник Томского государственного университета. Математика и механика. 2015. № 4 (36). С. 34-40. doi: 10.17223/19988621/36/4
8. Норбосамбуев Ц.Д. 2-хорошие диагональные формальные матрицы над кольцом целых
чисел // Всерос. молодежная науч. конф. «Все грани математики и механики» : сб. ст. Томск : Изд. дом ТГУ, 2016. С. 6-12.
9. Норбосамбуев Ц.Д. Ранг формальной матрицы. Система формальных линейных уравне-
ний. Делители нуля // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2018. № 52. С. 5-12. doi: 10.17223/19988621/52/1
10. Morita K. Duality for modules and its applications to the theory of rings with minimum condition // Sci. Rep. Tokyo Kyoiku Daigaku, Sect. A. 1958. V. 6. P. 83-142.
11. Vamos P. 2-good rings // Quart. J. Math. 2005. V. 56, No. 3. P. 417-430. doi: 10.1093/qmath/hah046
12. Srivastava A.K. A survey of rings generated by units // Ann. Fac. Sci. Toulouse. Math. 2010. V. 19. P. 203-213. doi: 10.5802/afst.1281
13. Henriksen M. Two classes of rings generated by their units // J. Algebra. 1974. V. 31, No. 1. P. 182-193. doi: 10.1016/0021-8693(74)90013-1.
14. Крылов П.А. Суммы автоморфизмов абелевых групп и радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов // Известия вузов. Математика. 1976. № 4. С. 56-66.
15. Nicholson W.K. Lifting idempotents and exchange rings // Trans. Amer. Math. Soc. 1977. V. 229. P. 269-278. doi: 10.2307/1998510
16. Сорокин К.С. Вполне разложимые абелевы группы с чистыми кольцами эндоморфизмов // Фундаментальная и прикладная математика. 2011/2012. Т. 17, № 8. С. 105-108.
17. Сорокин К.С. Самомалые SP-группы с чистыми кольцами эндоморфизмов // Фундаментальная и прикладная математика. 2015. Т. 20, № 5. С. 141-148.
18. Xiao G., Tong W. n-clean rings and weakly unit stable range rings // Comm. Algebra. 2005. V. 33, No. 5. P. 1501-1517. doi: 10.1081/AGB-200060531
19. Diesl A.J. Nil clean rings // J. Algebra. 2013. V. 383. P. 197-211. DOI: 10.1016/j.j algebra.2013.02.020
20. Calugareanu G., Lam T.Y. Fine rings: A new class of simple rings // J. Algebra Appl. 2016. V. 15, No. 9. Art. 1650173. doi: 10.1142/S0219498816501735
21. Danchev P. Nil-good unital rings // Int. J. Algebra. 2016. V. 10, No. 5. P. 239-252. doi: 10.12988/ija.2016.6212
22. AbdolyousefM.S., Ashrafi N., Chen H. On 2-nil-good rings // J. Algebra Appl. 2018. V. 17, No. 6. Art. 1850110. doi: 10.1142/S0219498818501104
23. Goldsmith B., Meehan C., Wallutis S.L. On unit sum numbers of rational groups // Rocky Mountain J. Math. 2002. V. 32, No. 4. P. 1431-1450. doi: 10.1216/rmjm/1181070032
References
1. Krylov P.A. (2008) Isomorphism of generalized matrix rings. Algebra and Logic. 47(4).
pp. 258-262. DOI: 10.1007/s10469-008-9016-y.
2. Krylov P.A., Tuganbaev A.A. (2015) Formal matrices and their determinants. Journal of
Mathematical Sciences (New York). 211(3). pp. 341-380. DOI: 10.1007/s10958-015-2610-3.
3. Krylov P., Tuganbaev A. (2017) Formal Matrices (Algebra and Applications, Vol. 23).
Springer. DOI: 10.1007/978-3-319-53907-2.
4. Krylov P.A., Norbosambuev T.D. (2018) Automorphisms of formal matrix algebras. Siberian
Mathematical Journal. 59(5). pp. 885-893. DOI: 10.1134/S0037446618050129.
5. Krylov P.A., Norbosambuev T.D. (2018) Gruppa avtomorfizmov odnogo klassa algebr for-
mal'nykh matrits [Group of automorphisms of one class of formal matrix algebras]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 53. pp. 16-21. DOI: 10.17223/19988621/53/2.
6. Loustaunau P., Shapiro J. (1990) Morita contexts. Non-Commutative Ring Theory (Lecture
Notes in Mathematics, Vol. 1448). Springer. pp. 80-92. DOI: 10.1007/BFb0091253.
7. Norbosambuev T.D. (2015) O summakh diagonal'nykh i obratimykh obobshchennykh matrits
[On sums of diagonal and invertible formal matrices] Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika - Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 4(36). pp. 34-40. DOI: 10.17223/19988621/36/4.
8. Norbosambuev T.D. (2016) 2-khoroshiye diagonal'nye formal'nyye matritsy nad kol'tsom
tselykh chisel [2-good diagonal formal matrices over the ring of integers]. All-Russia Youth Scientific Conference "Vse grani matematiki i mekhaniki" (sbornikstatey). Tomsk: Izd. dom TGU. pp. 6-12.
9. Norbosambuev T.D. (2018) Rang formal'noy matritsy. Sistema formal'nykh lineynykh
uravneniy. Deliteli nulya [Rank of a formal matrix. System of formal linear equations. Zero divisors]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika -Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 52. pp. 5-12. DOI: 10.17223/19988621/52/1.
10. Morita K. (1958) Duality for modules and its applications to the theory of rings with minimum condition. Science Reports of the Tokyo Kyoiku Daigaku, Section A. 6. pp. 83-142.
11. Vamos P. (2005) 2-good rings. Quarterly Journal of Mathematics. 56(3). pp. 417-430. DOI: 10.1093/qmath/hah046.
12. Srivastava A.K. (2010) A survey of rings generated by units. Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. Mathématiques. 19. pp. 203-213. DOI: 10.5802/afst.1281.
13. Henriksen M. (1974) Two classes of rings generated by their units. Journal of Algebra. 31(1). pp. 182-193. DOI: 10.1016/0021-8693(74)90013-1.
14. Krylov P.A. (1976) Summy avtomorfizmov abelevykh grupp i radikal Dzhekobsona kol'tsa endomorfizmov [Sums of automorphisms of Abelian groups and the Jacobson radical of the endomorphism ring]. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Matematika. 4. pp. 56-66.
15. Nicholson W.K. (1977) Lifting idempotents and exchange rings. Transactions of the American Mathematical Society. 229. pp. 269-278. DOI: 10.2307/1998510.
16. Sorokin K.S. (2014) Completely decomposable Abelian groups with clean endomorphism rings. Journal of Mathematical Sciences (New York). 197(5). pp. 655-657. DOI: 10.1007/s10958-014-1748-8.
17. Sorokin K.S. (2018) Self-small SP-groups with clean endomorphism rings. Journal of Mathematical Sciences (New York). 230(3). pp. 445-450. DOI: 10.1007/s10958-018-3752-x.
18. Xiao G., Tong W. (2005) n-clean rings and weakly unit stable range rings. Communications in Algebra. 33(5). pp. 1501-1517. DOI: 10.1081/AGB-200060531.
19. Diesl A.J. (2013) Nil clean rings. Journal of Algebra. 383. pp. 197-211. DOI: 10.1016/j.jalgebra.2013.02.020.
20. Câlugâreanu G., Lam T.Y. (2016) Fine rings: A new class of simple rings. Journal of Algebra and Its Applications. 15(9). Article ID: 1650173. DOI: 10.1142/S0219498816501735.
21. Danchev P. (2016) Nil-good unital rings. International Journal of Algebra. 10(5). pp. 239252. DOI: 10.12988/ija.2016.6212.
22. Abdolyousefi M.S., Ashrafi N., Chen H. (2018) On 2-nil-good rings. Journal of Algebra and Its Applications. 17(6). Article ID: 1850110. DOI: 10.1142/S0219498818501104.
23. Goldsmith B., Meehan C., Wallutis S.L. (2002) On unit sum numbers of rational groups. Rocky Mountain Journal of Mathematics. 32(4). pp. 1431-1450. DOI: 10.1216/rmjm/1181070032.
Сведения об авторах:
Норбосамбуев Цырендоржи Дашацыренович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры механико-математического факультета Томского государственного университета, старший научный сотрудник Регионального научно-образовательного математического центра Томского государственного университета, Томск, Россия. E-mail: nstsddts@yandex.ru
ТИМОШЕНКО Егор Александрович - доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры алгебры механико-математического факультета Томского государственного университета, ведущий научный сотрудник Регионального научно-образовательного математического центра Томского государственного университета, Томск, Россия. E-mail: tea471@mail.tsu.ru
Information about the authors:
Norbosambuev Tsyrendorzhi D. (Candidate of Physics and Mathematics, Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: nstsddts@yandex.ru
Timoshenko Egor A. (Doctor of Physics and Mathematics, Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: tea471@mail.tsu.ru
Статья поступила в редакцию 30.03.2021; принята к публикации 19.05.2022
The article was submitted 30.03.2021; acceptedfor publication 19.05.2022
