CC BY
50
М.А. Еремин, Д.Г. Бузин, 2005
УДК 524: 537.8 + 538.3 + 533
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ УДАРНОЙ ВОЛНЫ, ОБРАЗУЮЩЕЙСЯ ПРИ ДИСКОВОЙ АККРЕЦИИ НА НЕВРАЩАЮЩУЮСЯ ЧЕРНУЮ ДЫРУ *
М.А. Еремин, Д.Г. Бузин
В настоящей работе представлены результаты анализа устойчивости стоячей ударной волны, образующейся при дисковой аккреции на невращающуюся черную дыру. В рамках линейного анализа исследование устойчивости такой ударной волны сводится к решению задачи Штурма-Лиувилля на ограниченном интервале между ударным фронтом и звуковой точкой с соответствующими внешними и внутренними граничными условиями. Результаты численного решения задачи на собственные значения показывают, что стоячая ударная волна неустойчива относительно нерадиальных возмущений. Численное двумерное моделирование подтверждает результат линейного полуаналитического анализа на линейном режиме. На нелинейной стадии происходит насыщение неустойчивости и образование сильно деформированной асимметричной ударной волны.
Введение
Известно, что ударные волны (УВ), возникающие при аккреции на компактные объекты, могут выступать в качестве эффективного механизма, способного преобразовывать гравитационную энергию аккрецируемого межзвездного вещества в излучение. Наблюдаемые квазипериодические осцилляции светимости ядер активных галактик, кандидатов в черные дыры и тесных двойных систем в оптическом или рентгеновском диапазоне спектра свидетельствуют, что аккреционные процессы, вероятнее всего, являются нестационарными и (или) неустойчивыми. Неустойчивость ударной волны, образующейся при дисковой стационарной аккреции на черную дыру, так же может быть источником квази-периодических осцилляций.
Исследование дисковой аккреции с ударной волной в рамках общей теории относительности (ОТО) было впервые проведено Рикие [4], который построил теоретическую модель стационарной аккреции на вращающуюся черную дыру. Им было показано, что данная модель допускает только два возможных положения фронта ударной волны — в непосредственной близости от черной дыры (т. н. внутренняя ударная волна) и на некотором расстоянии от нее (внешняя ударная волна).
Следует отметить, что построение аналитических решений уравнений ОТО с использованием метрики Керра даже в случае простых тестовых задач возможно только лишь в отдельных случаях и представляет собой достаточно сложную процедуру. Именно поэтому очень часто пренебрегают вращением черных дыр. Кроме того, построение численных решений в рамках ОТО требует наличия огромных вычислительных ресурсов.
* Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования, грант № Е02-11.0-39 и РФФИ, @ грант № 04-02-96-50.
РасгупвЫ и \Viita показали [13], что для многих практических целей нет необходимости использовать уравнения ОТО даже в метрике Шварцшильда, и достаточно ограничиться псев-доньютоновским потенциалом вида:
Г~Г*
ЮМ
где - —2— — радиус Шварцильда. Этот подход нашел широкое распространение в астрофизи-с ке, и с успехом применяется в тех задачах, где не требуется аккуратный учет
релятивистских эффектов.
Исследование аккреции вращающегося газа на черные дыры с использованием вышеприведенного потенциала было проведено в целой серии работ, укажем ссылки лишь на некоторые из них [1]—[3], [6], [7]. В частности, на основании интегральных оценок было показано, что внутренняя ударная волна неустойчива по отношению к чисто радиальным возмущениям как в случае изотермической, так и адиабатической аккреции [9]—[11]. Линейный анализ устойчивости, проведенный для изотермической аккреции, подтверждает факт неустойчивости внутренней ударной волны, внешняя ударная волна является устойчивой [12]. Нелинейное моделирование осесимметричной аккреции так же показывает неустойчивость внутренней УВ и перестройку течения — УВ либо перемещается во второе, устойчивое положение, либо происходит формирование безударного режима течения [12]. В результате двухмерных численных расчетов, выполненных в [8], была обнаружена неустойчивость внешней УВ по отношению к азимутальным возмущениям.
Несмотря на бурное развитие вычислительной техники и численных методов, позволяющих рассчитывать структуру течений с ударными волнами с учетом разнообразных физических факторов, не утратил своей актуальности традиционный метод исследования устойчивости ударных волн по отношению к малым возмущениям, гофрирующих поверхность фронта ударной волны. Линейный анализ устойчивости ударных волн привлекателен тем, что его выполнение связано с использованием относительно простых аналитических или полуаналитических методов. Необходимо добавить, что результаты линейного анализа могут быть эффективно использованы при численном моделировании. Во многих ситуациях линейный анализ позволяет выявить физические причины неустойчивости. Целью данной работы является проведение детального линейного анализа устойчивости стоячей ударной волны при аккреции на невращающуюся черную дыру относительно неосесимметричных азимутальных возмущений и исследование поведения этой неустойчивости на нелинейной стадии.
1. Используемая модель и линейный анализ устойчивости
Рассмотрим модель стационарной дисковой осесимметричной аккреции идеального невязкого газа с показателем адиабаты у ~ 4/3 на невращающуюся черную дыру. Уравнения газовой динамики записываются в безразмерной форме с использованием скорости света с и радиуса Шварцильда г? в качестве характерных масштабов скорости и расстояний соответственно. Предположим, что аккреционный диск в любой момент времени находится в состоянии гидростатического равновесия в вертикальном направлении. Построение невозмущенного решения в виде стоячей ударной волны в рамках подобных предположений сводится к решению нелинейного алгебраического уравнения, определяющего зависимость параметров течения от постоянной Бернулли В, углового момента X и темпа аккреции А [8]. Для уменьшения числа параметров задачи мы всюду полагаем безразмерный темп аккреции равным единице А -1.
В соответствии со стандартным методом линейного анализа возмущенные параметры течения представимы в виде:
иг=их<,г) + Ьи(г)-е^т у^у,(г) + 8У(г)-еш!^ р = р,(г)+5ад-е“'+,Мф р = р1(г) + 8Р(г)-еш'+т,р
где и,(г), V,(г), р,(г), />,(/-) — невозмущенные переменные в области за фронтом УВ, со — собственная частота, т — азимутальное волновое число, а 5С/(г), 5У(г), ЬЯ(г), 8Р(г) — собственные функции.
Используя процедуру линеаризации уравнений гидродинамики, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений на возмущенные величины, параметрически зависящую от со и т. Внешние граничные условия определяются из стандартных линеаризованных условий на фронте ударной волны. Заметим, что уравнения для малых возмущений имеют особенность в звуковой точке, так же как и невозмущенные уравнения. Возникновение особенности в звуковой точке может быть обусловлено только наличием особенностей в начальных или граничных условиях, которые в рассматриваемой задаче отсутствуют. Следовательно, в качестве внутреннего граничного условия необходимо использовать условие гладкости возмущений в звуковой точке.
Результаты численного решения задачи Штурма-Лиувилля на ограниченном интервале между звуковой точкой и фронтом ударной волны представлены на рисунке 1. Из полученных дисперсионных кривых следует неустойчивость стоячей ударной волны относительно азимутальных возмущений. При уменьшении расстояния между фронтом ударной волны и аккретором, что соответствует уменьшению значения углового момента при фиксированном значении постоянной Бернулли, инкременты неустойчивости увеличиваются, при этом число неустойчивых мод возрастает.
Рис 1. Зависимость действительной части собственной частоты (инкремент) от азимутального числа т при различных значениях углового момента тВ = 0,015(вверху слева), В = 0,02 (вверху справа), В = 0,03 (внизуслева)и В = 0,04 (внизусправа)
96
М. А. Еремин, Д. Г. Бузин. Неустойчивость ударной волны
Авторы работы [8] на основании численного моделирования пришли к противоположному выводу, а именно: число неустойчивых мод увеличивается с ростом углового момента. Это заключение было сделано на сравнении результатов, полученных для моделей с различными значениями постоянной Бернулли В, углового момента х и темпа аккреции А, что, на наш взгляд, не является корректным.
2. Численное моделирование
Исследование азимутальной неустойчивости ударной волны, образующейся при дисковой аккреции, в нелинейном режиме производилось с использованием Т\Т) — схемы 2-го порядка точности по пространству и по времени в цилиндрической системе координат [5], [14] на сетке Л^хЛ^ =512x128.
В качестве начального условия нами использовалось аналитическое решение в виде стоячей УВ. На внешней по радиальной координате границе вычислительной области параметры течения фиксировались и полагались совпадающими с аналитическими значениями. В азимутальном направлении использовалось условие периодичности. В узкой области а < г <Ь перед фронтом ударной волны возмущались параметры течения в виде
/(г, <р) = /0 (г) • (1 + е соэ тф),
где £• = 0,01 — амплитуда возмущений;
/0(г) — невозмущенные значения величин перед фронтом.
Численное моделирование показывает, что на нелинейной стадии происходит насыщение неустойчивости и образование сильно деформированной асимметричной ударной волны, что находится в соответствии с результатами, полученными в [8].
Ранние стадии нелинейной эволюции качественно неплохо согласуются с линейным анализом устойчивости, возмущения растут экспоненциально во времени. Спустя некоторое время после того, как возмущения достигнут фронта УВ, происходит искривление поверхности фронта, форма которого зависит от номера моды. На рисунке 2 показаны изолинии плотности в различные моменты времени для моды т = 1 в декартовой системе координат (х,у), в случае если В - 0,04, Я = 1,78 - В момент времени / « 800 ударная волна теряет осевую симметрию, возмущения нарастают по величине, затем происходит их насыщение и в результате образуется асимметричная петлеобразная ударная волна (рис. 2, справа), которая вращается с постоянной скоростью без каких-либо признаков демпфирования неустойчивости. При этом параметры течения (плотность, температура, скорость) и положение фронта ударной волны изменяются периодически с течением времени.
род, м.оооиоо2 род. к1.400*+ам
-10-6 0 8 10 -10 -6 0 8 10
Рис. 2. Изолинии плотности в различные моменты времени для возмущений с т = 1 Вестник ВолГУ. Серия 1. Вып. 9. 2005 97
рОД. МЛЯ^ООЗ
р(х.А имооиов
Рис. 3. Изолинии плотности в различные моменты времени для возмущений с т = 2
Рис. 4. То же, что и на рис. 3, но в другие моменты времени
Нами также исследовалась эволюция возмущений с более высокими номерами азимутального волнового числа. В частности, на рисунках 3, 4 показана эволюция моды т = 2. На начальной стадии происходит искривление фронта ударной волны (рис. 3, слева), затем возмущения стабилизируются и в течении достаточно длительного интервала времени ударная волна с ярко выраженной модой т = 2 вращается с постоянной скоростью (рис. 4, справа). В момент времени г»104 течение теряет симметрию (рис. 4, слева), в конечном итоге формируется асимметричная ударная волна (рис. 4, справа). Изменения параметров течения носят нерегулярный характер с доминирующей модой т = 1. В ряде экспериментов при задании возмущений с номерами т = 2 наблюдалась суперпозиция нескольких мод «биения», по терминологии [8]), однако следует заметить, что мода т = 1 во всех случаях оказывалась доминирующей на конечных стадиях.
Summary
INSTABILITY OF A SHOCK WAVE FORMED IN A DISK ACCRETION ON TO A NON-ROTATING BLACK HOLE
M.A. Eremin, D. G. Buzin
The results of stability analysis for a steady state shock wave, formed in disk accretion on to a non-rotating black hole, are considered. The stability of such a shock in the framework of linear analysis is reduced to solution of Stourm-Liouville problem between the shock front and the sonic point with corresponding outer and inner boundary conditions. The results of an eigenvalue problem demonstrated the instability of the shock wave against azimuthal perturbations. Numerical 2D modelling shows good agreement with the result of Unear semi-analitical analysis at the linear regime. At nonlinear stage the instability saturates at a low level and a strongly deformed asymmetric shock wave is formed.
Список литературы
1. Chakrabarti S.К. //Astrophys. J. 1989. V. 347. P. 365.
2. Chakrabarti S.K. // Mon. Not. R. Astron. Soc. 1989. V. 240. P. 7.
3. Chakrabarti S.K., Das S. // Mon. Not. R. Astron. Soc. 2001. V. 327. P. 808.
4. Fukue J. // Publ. Astron. Soc. Jpn. 1987. V. 39. P. 309.
5. Harten A. //J. Comp. Phys. 1983. № 49. P. 357.
6. Molteni D., Lanzafame G., Chakrabarti S.K. //Astrophys. J. 1994. V. 425. P. 161
7. Molteni D., Sponholz H., Chakrabarti S.K. //Astrophys. J. 1996. V. 457. P. 805.
8. Molteni D., TTioth G., Kuznetsov O. //Astrophys. J. 1999. V. 516. P. 411.
9. Nakayama K. // Mon. Not. R. Astron. Soc. 1992. V. 259. P. 259.
10. Nakayama K. // Publ. Astron. Soc. Jpn. 1993. V. 45. P. 167.
11. Nakayama K. // Mon. Not. R. Astron. Soc. 1994. V. 270. P. 871.
12. Nobuta K, Hanawa T. // Publ. Astron. Soc. Jpn. 1994. V. 46.
13. Paczycski B., Wiita P.J. // Astron. and Astrophys. 1980. V. 88. P. 33.
14. Ryu D., Brown G.L., Ostriker J.P., Loeb A. //Astrophys. J. 1995. V. 452. P. 364.
