CC BY
90
Вестник Челябинского государственного университета. 2013. № 9 (300).
Физика. Вып. 16. С. 40-52.
А. Е. Дудоров, С. А. Хайбрахманов
КИНЕМАТИЧЕСКАЯ МГД-МОДЕЛЬ АККРЕЦИОННЫХ ДИСКОВ МОЛОДЫХ ЗВЁЗД. ЧИСЛЕННЫЕ РАСЧЁТЫ
В рамках разрабатываемой авторами кинематической МГД-модели аккреционных дисков молодых звёзд численно исследуются области эффективной диффузии остаточного магнитного поля («мёртвые» зоны). Модель основана на стандартной модели Шакуры и Сюняева. Магнитное поле определяется с учётом омической и магнитной амбиполярной диффузии. Степень ионизации рассчитывается с учетом ударной и тепловой ионизации, лучистых рекомбинаций и рекомбинаций на пыли. Модельные значения радиусов (—100—450 а. е.) и масс (0,01-0,1 масс Солнца) аккреционных дисков согласуются с наблюдениями. Численные расчёты подтверждают выводы аналитических исследований о том, что магнитное поле в области «мёртвых» зон имеет квазиполоидальную винтовую геометрию, а вне них — квазирадиальную. В рамках модели определены характеристики «мёртвых» зон в зависимости от массы звезды. Расчёты показывают, что внутренний радиус «мёртвой» зоны в центральной плоскости определяется тепловой ионизацией металлов и лежит на расстояниях 0,4-0,7 а. е. от звезды. Внешний радиус «мёртвой» зоны в центральной плоскости лежит на расстояниях 35-45 а. е. от звезды и определяется магнитной амбиполярной диффузией. Поверхностная плотность активных слоёв над «мёртвой» зоной в области минимума степени ионизации составляет величину порядка 10 % от поверхностной плотности аккреционного диска. Внешний радиус и масса вещества внутри «мёртвой» зоны в аккреционном диске звезды солнечной массы составляют 35 а. е. и 8 масс Юпитера соответственно. Эти значения сопоставимы с параметрами протосолнечной туманности. Планеты-гиганты могут формироваться во внешних по отношению к линии испарения льда областях «мёртвых» зон (г > 3,7 а. е.).
Ключевые слова: межзвёздная среда: магнитное поле, аккреционные диски, образование планет, численные расчёты, ионизационные и диффузионные процессы.
1. Введение. При построении современных моделей предполагается, что перенос углового момента в аккреционных дисках осуществляется посредством турбулентности [1], магнитного торможения и истечений [2]. Наиболее вероятным механизмом генерации турбулентности в аккреционных дисках считается магниторотационная неустойчивость (МРН) [3-4]. Необходимым условием развития МРН является вмороженное магнитное поле. В аккреционных дисках молодых звёзд космические лучи и рентгеновское излучение [5] эффективно ионизуют только поверхностные слои диска, поэтому в окрестности центральной плоскости образуется область низкой степени ионизации («мёртвая» зона, [6]), в которой омическая диффузия магнитного поля подавляет МРН. В условиях низкой степени ионизации магнитная ам-биполярная диффузия и эффект Холла также могут существенно влиять на развитие МРН. Как аналитические [7], так и численные исследования [8] показывают, что магнитная амби-полярная диффузия подавляет развитие МРН в случае, когда частота столкновений ионов с нейтралами меньше орбитальной частоты вращения в диске. В случае молодых звёзд такие
условия реализуются в поверхностных слоях и во внешних областях аккреционных дисков [9]. Влияние эффекта Холла на скорость роста и критическую длину волны МРН зависит от взаимной ориентации вертикальной компоненты магнитного поля и вектора угловой скорости [10].
Ослабление МГД-турбулентности в «мёртвой» зоне приводит к замедлению аккреции, накоплению вещества и увеличению плотности в этой области [11-13]. Такие условия благоприятны для образования планет, поэтому интерес представляет определение размеров «мёртвых» зон и условий внутри них. Параметры «мёртвой» зоны зависят также от химического состава [14], пыли и её коагуляции и седиментации [15-16]. Неопределённость в определении размеров «мёртвых» зон связана с интенсивностью магнитного поля в аккреционном диске. Наблюдательные данные
о магнитном поле аккреционных дисков молодых звёзд скудны и ненадёжны, поэтому в исследованиях «мёртвых» зон интенсивность магнитного поля, как правило, является априорно задаваемым и фиксированным параметром.
Целью настоящей работы является построение модели аккреционного диска с остаточным крупномасштабным магнитным полем. В первой части работы ([17], далее ст. 1) сформулирована основная система уравнений кинематической МГД-модели аккреционного диска с крупномасштабным магнитным полем; получено аналитическое решение системы уравнений в случае, когда зависимость степени ионизации от плотности имеет вид х ос п-4. В данной части работы численно исследуется общий случай, когда одновременно учитываются ударная и тепловая ионизация, омическая и магнитная амбиполярная диффузия. Во втором разделе статьи обсуждаются постановка задачи и основные уравнения модели (см. ст. 1). В третьем разделе описывается метод и результаты расчёта температуры, плотности, степени ионизации и магнитного поля аккреционного диска. В четвёртом разделе определяются характеристики «мёртвых» зон в аккреционных дисках молодых звёзд. В заключении обсуждаются полученные результаты.
2. Модель аккреционного диска. Постановка задачи и вывод основных уравнений модели сформулированы в ст. 1 [17]. Приведём кратко описание приближений модели и систему основных уравнений.
Рассматривается стационарный, геометрически тонкий, но оптически толстый, аксиально симметричный аккреционный диск в гравитационном поле звезды массы М. Самогравитацией диска пренебрегается. Темп аккреции М полагается постоянным. Используется цилиндрическая система координат (г, ф, е}. Структура такого аккреционного диска описывается уравнениями Шакуры и Сюняева [1]:
М = -2шУг 2,
а =
ОМ
2 \
-3/4
1+%
г ,
\ J
М а/ = 2ка2У;, н = V / а,,
4а*ьТ = — ма2 /,
3к2
8п
где
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
изотермическая скорость звука (средний молекулярный вес газа: ц = 2,3).
Уравнение (1) отражает сохранение потока массы в диске. Уравнение (2) получено из г-компоненты уравнения движения и показывает, что вещество в геометрически тонком диске (г<<г) движется практически с кеплеровской
угловой скоростью а»а{
=4ОМ
Шакура и Сюняев предположили, что эффективным механизмом переноса углового момента является турбулентность в диске. Детальное рассмотрение процессов генерации турбулентности в аккреционных дисках представляет собой сложную задачу. Для простоты Шакура и Сюняев заменили в уравнении движения коэффициент обычной молекулярной вязкости на коэффициент турбулентной вязкости, который записали в виде [1]: = арУ!!И, где а < 1 — без-
размерный параметр, характеризующий эффективность турбулентности. В этом случае уравнение переноса углового момента турбулентными напряжениями записывается в виде (3). Здесь 1/2
/ = 1 - (г0 / г) ; г0 — радиус внутренней гра-
ницы аккреционного диска; И — шкала высоты аккреционного диска.
Выражение для шкалы высоты (4) следует из решения уравнения гидростатического равновесия в виде
Р г ) = Ро (г )ехр
(
2
(8)
где р0 — плотность в центральной плоскости диска, г = 0. При получении этого решения использовано, что вертикальная компонента гравитационного ускорения звезды = ОМг / г3 = а2 г .
Температура в диске Т определяется из уравнения баланса между вязким турбулентным нагревом и охлаждением потоком излучения в вертикальном направлении (5), где к — Росселандов средний коэффициент поглощения;
о,ь — постоянная Стефана — Больцмана. Для простоты расчётов используется аналитическая аппроксимация зависимости коэффициента поглощения от плотности и температуры:
к (р, Т ) = КоРаТь, (9)
поверхностная плотность,
в которой параметры а, Ь, к0, определяющие тип основных процессов поглощения, оцениваются в соответствии с данными работы [18]. Соответствующие значения коэффициентов приведены в табл. П1 приложения.
Спектр выходящего из диска излучения характеризуется эффективной температурой Те. В случае когда доминирует вязкий турбулентный нагрев, эффективная температура определяется из уравнения
о^4 = 3 м О V.
8п
(10)
Основным источником нагрева внешних областей аккреционного диска является излучение звезды. Для простоты используем следующий радиальный профиль температуры в областях, где доминирует нагрев звездой [19]:
Тігг = 280 ( / Ь0 )1/4 (г /1 а.е.)-1/2 К, (11)
где Ь* — светимость звезды; Ь0 — светимость Солнца.
Для расчёта крупномасштабного магнитного поля к уравнениям (1)-(5) добавляется уравнение индукции с учётом омической диффузии (ОД) и магнитной амбиполярной диффузии (МАД). В рамках а-модели решение уравнения индукции записывается в виде
Вг = УНВ,
п
В.=
В = В„
у. Н
-л- Вг п
рєхі
(12)
(13)
(14)
При заданном поле скоростей V = {Уг (г),У. (г,г) = Ог,о} радиальная (12) и азимутальная (13) компоненты магнитного поля определяются из баланса между адвекцией вертикального поля В2 в соответствующих направлениях и диффузией в вертикальном направлении. В (12)-(13) используется полный коэффициент диффузии магнитного поля п = ^т + Плв, где
(15)
4по
коэффициент ОД; о — проводимость вещества, [20]
є2 п„
о =
п лп =
В2
(16)
(17)
коэффициент МАД, где х — степень ионизации, коэффициент взаимодействия нейтралов с ионами ціп = 4,84 ■ 1014 см3 с-1 г4; пє — концентрация электронов; є и тє — заряд и масса электрона соответственно. Частота столкновений электронов с ионами и нейтралами в случае слабо ионизованной плазмы \є = (оУ) п , где п — коне \ /єп
центрация газа, темп столкновений электронов с нейтралами (оУ) = 10-7 см3 с-1.
Выражение (14) отражает вмороженность вертикальной компоненты магнитного поля В2. Здесь Вєхі и рєхі — начальные значения магнитного поля и плотности, соответствующие протозвёздным облакам. Коэффициент кє [0, 1] определяется отклонением геометрии задачи от чисто цилиндрической [21]. В данной работе рассматривается случай к = 1/2, соответствующий магнитостатическому сжатию.
Степень ионизации, необходимая для расчёта коэффициентов диффузии магнитного поля, определяется из системы уравнений ионизации [22]:
( - хз )(СЯ + £ХЯ + £ЯЕ) =
= агх5п + а хп
(18)
\3/2
1 - хТ ng0]
X ехр
_1±_
кТ
\
/ = (Ые, Н, Не).
(19)
Степень ударной ионизации х, определяется из стационарного уравнения (18), в котором учитывается ионизация космическими лучами (со скоростью 4сд), рентгеновскими лучами (£,хя) и радиоактивными элементами (£,ДЕ). В качестве основных рекомбинационных процессов рассматриваются лучистые рекомбинации (аг) и рекомбинации на пыли (а^).
В области температур выше 1 000 К учитывается тепловая ионизация металлов (Ме) с потенциалами ионизации 4-6 эВ, затем водорода (Н) и гелия (Не). Степень тепловой хт ионизации
определяется из системы уравнений (19), где
т
х = xs + ]х] — полная степень ионизации;
т^є
g0 и g + — статистические веса нейтральных атомов и ионов сорта у; Ху — потенциал ионизации; те — масса электрона; к — постоянная Больцмана; к — постоянная Планка. Для простоты рассматривается средний металл с потенциалом ионизации Хме = 5,76 эВ и логарифмом распространённости ЬМе = 5,97. Параметры среднего металла определены как среднее весовое от параметров калия, натрия, магния, кальция, алюминия.
Система уравнений (1)-(5), (12)-(14), (18)-(19) является замкнутой относительно компонент скорости V = {уг (г),У(р (г,г) = Ог,о}, поверхностной плотности Е, температуры Т, шкалы высоты Н, компонент магнитного поля В = {Вг, Вф, В} и степени ионизации х на данном расстоянии г. Начальными данными для модели являются масса звезды М, ее радиус Я,, светимость Ь* и магнитное поле В,, темп аккреции М и параметр Шакуры и Сюняева а.
3. Численные расчёты. В общем случае, когда учитываются как ударная, так и тепловая ионизация, ОД и МАД, система алгебраических уравнений (1)-(5), (12)-(14), (18)-(19), описывающих структуру аккреционного диска с магнитным полем, существенно нелинейна и решается численно в диапазоне расстояний г от внутренней г0 до внешней гоШ границы аккреционного диска. Внутренняя граница аккреционного диска определяется радиусом магнитосферы звезды (см. ст. 1):
2Rq
Г
X
10 V
= 2,9
1 кГс
М
Rs
л
12/7
i_7
Mо /год
-2/1, \-1/7
' M '
M
(20)
о У
где Bs — величина магнитного поля на поверхности звезды; Rs — радиус звезды. Внешняя граница диска rout соответствует расстоянию, на котором температура диска становится равной температуре газа в протозвёздных облаках (Text = 20 К).
В расчётах используются характерные значения начальных параметров, следующие из наблюдений [23-25]:
M = 3-10-8 Мо /год, а = 0,01,
М = (0,5 -2) Мо, Rs = 2 Rq, Bs = 2 000Гс. (21)
Для удобства введём безразмерные переменные:
М
М
1 a.e. Мо 3 -10-8Мо /год
_ а е _ е
а0,01 _п п,, е-17 _, „-Ц.
(22)
0,01
10
На первом этапе вычислений температура, шкала высоты, плотность, скорость в диске определяются из уравнений (1)-(5). Соответствующее аналитическое решение уравнений в оптически толстых областях диска при заданном коэффициенте поглощения и предписанной зависимости степени ионизации от плотности приведено в ст. 1. Коэффициент поглощения вычисляется согласно табл. П1. Для простоты учёт нагрева звездой осуществляется следующим образом: если температура диска, определённая с учётом вязкого нагрева T, меньше температуры Tirr (11), то T заменяется на Tirr.
Система уравнений ионизации (18)-(19) решается в каждой точке диска методом Ньютона по известным значениям температуры и плотности. Скорость ионизации космическими лучами вычисляется по формуле [6]
е(r,z)_ 10-17 exp(-Е(r,z)/RCr) c-, (23)
TO
где Е(r, z)_ J pdz — поверхностная плотность
z
для высоты z, Rcr = 100 г см2 — пробег космических лучей. При вычислении степени ионизации в центральной плоскости диска полная поверхностная плотность диска вычисляется как
Etot _ Е / erf (1 / V2) * 1,46 Е. При вычислении степени ионизации на высоте z поверхностная плотность вычисляется интегрированием p(r, z) согласно (8) по высоте от точки z до zmax >> H.
Скорости ионизации рентгеновским излучением звезды рассчитываются в соответствии с аппроксимацией [26]:
еXR (r,z) _ LXR,29 X ra.e. X
е1 exp (-(N / N )a1) + е2 exp (-(N / N2 ) )
(24)
учитывающей поглощение и рассеяние рентгеновских квантов.
Здесь ЬХЯ,29 = ЬХЯ / (1029 эрг с-11 — рентге-
гтах
новская светимость; N (г, г)= | пёг — столб-
Vj— относительное содержание 7-го элемента,
X
цовая плотность. Приведённая аппроксимация соответствует энергии рентгеновских квантов кТХЯ = 3 кЭв и высоте над центральной плоскостью, на которой находится источник рентгеновского излучения, равной 10 Я,. В этом случае: ^ = 6 • 10-12 с-1, £2 = 10-15 с-1, N = 1,5 • 1021 с-2, N2 = 7 • 1023 с-2, о1 = 0,4, Ъ = 0,65. Рентгеновская светимость звезды может меняться на несколько порядков. В расчётах используется значение, ЬХЯ =1030 эрг с-1.
Коэффициент лучистых рекомбинаций [20]: аг = 2,07 • 10-11 Т-1/2. При вычислении коэффициента рекомбинаций на пыли аg относительное содержание пыли по концентрации принимается равным 10-12. Испарение пыли учитывается следующим образом [22]. Коэффициент рекомбинаций на пыли аg = а^ = 4,5 • 10-17 см3 с-1 до температуры Т= 150 К, далее уменьшается по линейному закону от а^ до = а^ = 3 • 10-18 с м3 с-1 в диапазоне температур Те [150, 400] К. Далее аg = а вплоть до температуры испарения минеральных пылинок Т = 1 500 К. В диапазоне температур Те [1 500, 4 000] К линейно уменьшается от а^ до 0.
После расчёта структуры аккреционного диска и степени ионизации компоненты магнитного поля вычисляются по формулам (12)—(14). При вычислении радиальной и азимутальной компонент магнитного поля коэффициенты омической диффузии и магнитной амбиполярной диффузии определяются по значениям степени ионизации в центральной плоскости диска. Отметим, что в общем случае коэффициент МАД зависит от компонент магнитного поля Цтас(В), поэтому уравнение индукции является нелинейным. В ст. 1 показано, что Вг ~ аВф << Вф, поэтому в расчёте коэффициента МАД учитываются вклады только вертикальной и азимутальной компонент магнитного поля. В этом случае уравнение (10) является кубическим относительно Вф и решается аналитически.
Примеры численных расчётов структуры аккреционного диска с крупномасштабным магнитным полем при характерных параметрах (21) приведены на рис. 1-3. В расчётах масса звезды принимается равной массе Солнца, светимость звезды — солнечной светимости. На рисунках приведены также аналитические профили, полученные в ст. 1.
На рис. 1 изображены радиальные профили оптической толщины по отношению к собственному излучению тЯ = кЕ/2, температу-
ры, поверхностной плотности и концентрации. Сплошными чёрными линиями показаны профили, полученные в численных расчётах. Линии серого цвета соответствуют аналитическому решению без учёта нагрева звездой, точки (кроме рис. 1 (в)) — с учётом нагрева звездой. Точками на рис. 1 (в) показан радиальный профиль поверхностной плотности в модели солнечной туманности минимальной массы [27],
2 = 1700 (г/1 а.е.) 3 2. Числа рядом с кривыми указывают тангенсы углов наклона (ТУН) аналитических профилей.
Согласно рис. 1 (а) аккреционный диск является оптически непрозрачным на расстояниях до ~60 а. е. Некоторое уменьшение тЯ вблизи внутренней границы аккреционного диска связано с испарением пыли и соответствующим уменьшением коэффициента поглощения.
Рис. 1 (б) показывает, что при использованных параметрах температура диска определяется вязким турбулентным нагревом на расстояниях до нескольких астрономических единиц, на больших расстояниях доминирует нагрев излучением звезды. Изменение наклона профиля температуры на расстояниях г < 0,5 а. е. также вызывается уменьшением коэффициента поглощения.
На расстояниях более 0,5 а. е. ТУН радиального профиля поверхностной плотности (рис. 1 (в)) меняется от -3/8 (в области доминирующего вязкого нагрева) до -1 (в области доминирующего нагрева звездой). Эти значения согласуются с наблюдениями [23]. Отметим, что радиальный профиль поверхностной плотности в модели солнечной туманности минимальной массы является значительно более крутым с ТУН, равным -3/2. Рис. 1 (в) и (г) показывают, что нагрев излучением звезды во внешних областях аккреционного диска приводит к уменьшению плотности более чем на порядок по сравнению со случаем, когда доминирует вязкий нагрев.
3.1. Степень ионизации. На рис. 2 (а) показаны радиальные профили степени ионизации в центральной плоскости диска X — с учётом рекомбинаций на пыли, хг — с учётом лучистых рекомбинаций). Серые линии с подписями соответствуют аналитическим решениям, полученным без учёта тепловой ионизации.
Рис. 2 (а) показывает, что в случае одновременного учёта тепловой и ударной ионизации профиль степени ионизации становится немонотонным. Вблизи г = гх ~ 0,5 а. е. об-
лтт
г, а. е. г, а. е.
Рис. 1. Радиальные профили оптической толщины (панель (а)), температуры (панель (б)), поверхностной плотности (панель (в)) и концентрации (панель (г)) в аккреционном диске звезды солнечной массы
•І
г, а. е.
г, а. е.
Рис. 2. Панель (а): зависимость степени ионизации в центральной плоскости от радиального расстояния. Панель (б): изолинии логарифма степени ионизации в плоскости г-х
разуется минимум степени ионизации с характерным значением х ~ 10-15-10-14 в случае доминирующей роли рекомбинаций на пыли. Расстояние гх . определяется началом тепло-
вой ионизации металлов. Из аналитического выражения для радиального профиля температуры (выражение (61) с т. 1), полагая Т =
1 000 К, получим
0^
г, а. е.
Рис. 3. Панель (а): зависимость магнитного числа Рейнольдса от радиального расстояния. Панель (б): радиальные профили компонент магнитного поля
'• 0,46 ао^т4/9т3/9 а.е.
(25)
То есть ионизационный минимум сдвигается в область больших расстояний при увеличении массы звезды и темпа аккреции. В области низких температур (г > гх . ) доминируют рекомбинации на пыли и степень ионизации на 3-4 порядка меньше, чем в случае, когда пыль отсутствует. Небольшой пик в области г ~ 1-2 а. е. связан с тем, что на этом расстоянии начинают испаряться пылинки и коэффициент рекомбинации уменьшается. Уменьшение плотности с расстоянием приводит к соответствующему увеличению степени ионизации.
На рис. 2 (б) показаны изолинии логарифма степени ионизации в плоскости г—г. Серые пунктирные линии отмечают высоту, равную одной, двум и трём шкалам высоты диска. В расчёте учтены как лучистые рекомбинации, так и рекомбинации на пыли. Рис. 2 (б) иллюстрирует «слоистую» ионизационную структуру аккреционного диска. Степень ионизации в поверхностных слоях (на высоте 2-3 шкалы высоты Н) на 4-6 порядков выше степени ионизации вблизи центральной плоскости вследствие более эффективной ионизации космическими лучами и рентгеновским излучением звезды.
3.2. Магнитное поле. Результаты расчётов магнитного поля в аккреционном диске звезды солнечной массы приведены на рис. 3. В расчётах учитывались лучистые рекомбинации и рекомбинации на пыли. Для выяснения относительной роли ОД и МАД проводились расчёты либо с учётом только ОД, либо с одновременным учётом ОД и МАД.
На рис. 3 (а) показаны радиальные профили магнитного числа Рейнольдса Ят = ¥фИ/г\. Сплошная линия серого цвета соответствует расчёту с учётом ОД, чёрного цвета — с учётом ОД и МАД. Выражение (13) показывает, что азимутальная компонента магнитного поля становится сравнимой с вертикальной компонентой,
о1
если Ят > Ят0 =
3/2(Н / г)2
. Величина Я
т0
показана на рис. 3 (а) серой пунктирной линией. Рис. 3 (а) показывает, что область эффективной омической диффузии магнитного поля (Ят < 103) расположена в области минимума степени ионизации на расстояниях от 0,5 а. е. до ~20 а. е. МАД становится доминирующим эффектом в менее плотных областях на расстояниях от 20 до ~40 а. е. Левая граница области эффективной диффузии магнитного поля расположена в зоне тепловой ионизации металлов.
На рис. 3 (б) показаны радиальные профили компонент магнитного поля, рассчитанные с учётом ОД и МАД (точки: Вг, пунктир: Вф, сплошная линия: Вг). Сплошная серая линия соответствует магнитному полю «равнораспределения» Вщ, когда магнитное давление равно газовому давлению (плазменный параметр в = 1). Серые точки с подписями указывают ТУН профилей радиальной и азимутальной компонент магнитного поля, следующие из аналитического решения. Серый треугольник в левом верхнем углу рисунка отмечает величину магнитного поля звезды на внутренней границе диска. Вертикальный серый отрезок в центральной области рисунка показывает диапазон значений
магнитного поля на расстоянии 3 а. е., следующих из измерений остаточной намагниченности метеоритов из пояса астероидов Солнечной системы [28].
Согласно кривым на рис. 3 (б) в области, где диффузия магнитного поля доминирует над его генерацией (на расстояниях от 0,5 а. е. до 20-40
а. е.), величина Вф на 2-4 порядка меньше Вг. Радиальная компонента магнитного поля повторяет профиль азимутальной компоненты, а её величина, как было показано в ст. 1, отличается от Вф в 3/(2а) = 150 раз. Следовательно, магнитное поле в области диффузии имеет квазиполо-идальную винтовую структуру.
На расстояниях более 40 а. е. космические лучи обеспечивают степень ионизации, достаточную для восстановления вмороженности магнитного поля. Поэтому во внешних областях компоненты Вг и Вф сравнимы с компонентой Вг, что отражает квазирадиальную геометрию магнитных линий. Отличие наклона профилей Вг и Вф на расстояниях более 10 а. е., полученных аналитически и численно, связано с учётом нелинейности МАД в численных расчётах. Численные расчёты показывают, что вблизи внутренней границы аккрецинного диска ОД и МАД неэффективны, поэтому становится возможной генерация динамически сильного магнитного поля с в = 1. Кинематическое приближение нарушается в этой области, и для корректного расчёта магнитного поля необходим учёт влияния магнитного поля на структуру аккреционного диска.
4. «Мёртвые» зоны в аккреционных дисках молодых звёзд. Области низкой степени ионизации, куда не проникают космические лучи и рентгеновское излучение, Гамми [6] назвал «мёртвой» зоной. Вследствие эффективных ОД и МАД в ней ослабляются магнитное поле и МГД-турбулентность, индуцированная магниторотационной неустойчивостью (далее МРН). Аккреция происходит только в активном поверхностном слое над «мёртвой» зоной, где степень ионизации достаточно велика и диффузия магнитного поля неэффективна. В «мёртвых» зонах аккреция замедлена и происходит накопление вещества, что является благоприятным фактором для образования планет [29].
Определим протяжённость, массу и другие характеристики «мёртвых» зон в аккреционных дисках молодых звёзд. Согласно [15] МРН не развивается в тех областях диска, где длина
волны наиболее неустойчивой моды превышает шкалу высоты диска: ^max > H. С учётом того, что диффузия магнитного поля подавляет коротковолновые возмущения, критическая длина волны определяется как
max = 2П V-, (26)
a
где Va = Bz / у[4пр — альвеновская скорость.
Из требования сохранения потока углового момента следует ограничение на размеры «мёртвой» зоны: плотность активного слоя не может быть меньше некоторого значения, соответствующего эффективному переносу углового момента за счёт МРН-турбулентности. Бай и Гудман [26] оценили, что эффективный перенос углового момента в активных слоях за счёт МРН возможен, если поверхностная плот-
• _i _2
ность активного слоя 2a > 10M_7rae г см , где
M_7 = 10_7M0 / год.
На рис. 4 представлены результаты расчётов структуры «мёртвой» зоны в аккреционном диске звезды солнечной массы. Приведённые в данном разделе результаты получены для рентгеновской светимости: LXR 29 = 100. На рис. 4 (а) кривые с подписями 'kod = H (точки) и 'kmad = H (пунктир) отмечают геометрическое место точек диска в плоскости r-z, для которых критическая длина волны ^max, рассчитанная с учётом ОД и МАД, соответственно равна шкале высоты H. Серыми пунктирными линиями показана высота, соответствующая 1, 2, 3 шкалам высоты. Из рисунка видно, что область, в которой МРН подавляется омической диффузией, лежит на расстояниях от ~0,5 до ~20 а. е. На расстояниях от 20 до 35 а. е. МРН подавляется магнитной амбиполярной диффузией, т. е. внешняя граница «мёртвой» зоны определяется МАД.
На рис. 4 (б) показаны радиальные распределения поверхностной плотности активно-
ТО
го слоя над «мёртвой» зоной £a = J pdz (где
„ zdz
Zdz — высота над центральной плоскостью, на которой выполняется условие ^max = H), рассчитанные с учётом ОД (точки) и МАД (пунктир). Сплошная линия соответствует полной поверхностной плотности диска, Etot. Рисунок показывает, что омическая диффузия определяет толщину «мёртвой» зоны только вблизи минимума степени ионизации. На больших рассто-
о
и
Н
г, а. е.
г, а. е.
Рис. 4. Панель (а): геометрическое положение «мёртвой» зоны в плоскости г-2 в случае, когда доминирует ОД (область, ограниченная кривой Хос1 = Н), и в случае, когда доминирует МАД (область, ограниченная кривой Хта(} = Н). Панель (б): радиальные профили поверхностной плотности аккреционного диска (сплошная линия) и активного слоя (точки, пунктир)
яниях толщина «мёртвой» зоны определяется МАД. При этом минимальная поверхностная плотность активного слоя над «мёртвой» зоной достигает значения — 10 г см-2.
С использованием критерия 'ктах > Н в рамках модели рассчитаны внутренний (г^ ) и внешний радиусы (г^) «мёртвой» зоны, а также масса вещества внутри неё в зависимости от массы звезды (0,5; 1; 1,5 или 2 массы Солнца). Величина параметра а в расчётах принималась равной 0,01. Темп аккреции, т = т , и светимость звезды выбирались исходя из наблюдательных корреляций этих величин с массой звезды [24; 30-31]. Результаты расчётов с учётом рекомбинаций на пыли приведены в таблице. Масса вещества «мёртвой» зоны рассчитывается по формуле
В таблице М& выражена в массах Юпитера. Также приведены расстояния, на которых испаряются ледяные пылинки г51 (соответствует температуре 150 К), внутренний и внешний радиусы аккреционного диска, масса диска (в массах Солнца). В отдельных столбцах даны характеристики, рассчитанные с учётом ОД и МАД. Все расстояния, указанные в таблице, выражены в астрономических единицах.
Радиус и масса аккреционного диска меньше у звёзд малых масс. Радиус и масса аккреционного диска звезды солнечной массы равны соответственно 0,06 массы Солнца и 196 а. е., что согласуется с наблюдениями [23]. Таблица показывает, что аккреционный диск звезды с массой т = 2 является массивным (М^ = 0,6 М0) и протяжённым (гои( = 620 а. е.). Массивные са-могравитирующие аккреционные диски не могут быть описаны в рамках разрабатываемой модели. Параметры «мёртвой» зоны, соответ-
иш
МІ2 = 2п! (о -*а ) (27)
уі2
іп
Характеристики «мёртвых» зон аккреционных дисков
т г0 г оШ мум0 га гІ2 Чп гІ2 оШ Мі2 М
ОД МАД ОД МАД ОД МАД
0,5 0,5 0,063 140 0,009 2,5 0,09 0,22 5,7 3,9 0,2 0,1
1 1 0,038 196 0,060 3,7 0,20 0,42 21 35 4,7 7,7
1,5 1,5 0,028 440 0,27 7,8 0,35 0,71 29 46 12 21
2 10 0,023 620 0,6 11,0 0,54 1,02 37 55 28 46
ствующие этому случаю, приведены для сравнения.
Внутренний радиус «мёртвой» зоны расположен в области тепловой ионизации металлов, гш ~ г Следовательно, его значение опреде-
ляется ОД. Аналитическая оценка внутреннего радиуса «мёртвой» зоны (25) согласуется с аппроксимацией, приведённой в работе [12].
Внешний радиус «мёртвой» зоны определяется расстоянием, на котором ионизация космическими лучами «выключает» диффузию магнитного поля. С помощью аналитических формул (75)-(84) ст. 1 получим из равенства 1тах = Н следующую оценку с использованием коэффициента ОД:
„сЬ 1Л с-1/15-1/15- 1/15 2/5 (28)
гош =16 с-17 а0,01 т т ае. (28)
С использованием коэффициента МАД:
ги = 30 с-275т2/5 а.е. (29)
Внешний радиус «мёртвой» зоны, рассчитанный с использованием коэффициента ОД, согласуется со значениями, полученными Сано и другими [15]. Данные таблицы и формула (29) показывают, что для звёзд с массами т > 0,5 МАД приводит к увеличению внешнего радиуса «мёртвой» зоны примерно в 1,5 раза (от 20 до 35 а. е. для т = 1) по сравнению со случаем, когда доминирует ОД. Согласно расчётам в аккреционном диске звезды с массой т = 0,5 внешняя граница «мёртвой» зоны определяется ОД (Ут > ПтаС).
Размер и масса вещества «мёртвой» зоны увеличиваются с ростом массы звезды. Расчёты с учётом МАД показывают, что «мёртвая» зона в аккреционном диске звезды солнечной массы расположена на расстояниях от 0,2 до 35 а. е., её масса равна почти 8 массам Юпитера. Эти величины сопоставимы с параметрами протосол-нечной туманности [27]. Линия испарения льда, лежащая внутри «мёртвой» зоны (г = 3,7 а. е.), является внутренней границей области формирования планет-гигантов. В аккреционных дисках маломассивных звёзд (т < 0,5) планеты-гиганты не могут образовываться вследствие малости массы «мёртвой» зоны.
Основным параметром, определяющим размеры «мёртвой» зоны, является степень ионизации. Изменение характеристик пылинок вследствие седиментации и коагуляции приводит к существенному изменению степени иони-
зации и соответствующему изменению протяжённости «мёртвой» зоны и поверхностной плотности активного слоя. Например, в отсутствие пылинок, являющихся основным источником рекомбинаций (см. 3.1), степень ионизации не опускается ниже 10-10 и образования «мёртвой» зоны не происходит. Если же в диске присутствует хорошо перемешанная с газом пыль, то протяжённость и толщина «мёртвой» зоны могут меняться в несколько раз при изменении размеров пылинок или их содержания [15]. Толщина «мёртвой» зоны в значительной степени определяется также рентгеновской светимостью звезды, величина которой может меняться на 3-4 порядка [5].
5. Обсуждение результатов и заключение. Разработана кинематическая модель аккреционных дисков молодых звёзд с остаточным крупномасштабным магнитным полем. Магнитное поле определяется с учётом омической и магнитной амбиполярной диффузии. Рассчитанные масса (~0,01-0,1 массы Солнца) и размеры (100450 а. е.) аккреционных дисков согласуются с данными наблюдений.
В рамках модели определена величина и геометрия остаточного магнитного поля в аккреционных дисках молодых звёзд. На внутренней границе аккреционного диска, определяемой границей магнитосферы звезды, величина вертикальной компоненты магнитного поля диска примерно равна величине магнитного поля звезды, которая на этом расстоянии составляет несколько десятков Гаусс. Если направление этих магнитных полей противоположно, то вблизи внутренней границы аккреционного диска возможно формирование токового слоя, который может быть дополнительным источником рентгеновской светимости молодых звёздных объектов.
Численные расчёты подтверждают основные выводы ст. 1 о геометрии остаточного магнитного поля в аккреционных дисках молодых звёзд. Вблизи внутренней границы аккреционного диска (г < 0,5 а. е.) вещество почти полностью ионизовано за счёт тепловой ионизации, поэтому магнитное поле вморожено в газ. В этом случае аккреция и орбитальное вращение могут приводить к генерации сравнимых по величине с вмороженным магнитным полем радиальной и азимутальной компонент магнитного поля. В качестве основного механизма ограничения генерации магнитного поля в этой
области может выступать плавучесть. То же самое справедливо в отношении внешних областей аккреционных дисков, где магнитное поле имеет квазирадиальную геометрию и становится динамически сильным. В этих областях возможно образование истечений.
В рамках модели определены основные параметры «мёртвых» зон в аккреционных дисках молодых звёзд и их зависимость от массы звезды. В отличие от [15; 32] в данной работе магнитное поле не задаётся, а рассчитывается в рамках модели аккреционного диска. Показано, что внешний радиус «мёртвой» зоны в аккреционных дисках звёзд с массами больше 0,5 массы Солнца определяется эффективностью магнитной амбиполярной диффузии. В случае доминирующей роли рекомбинаций на пыли протяжённость «мёртвой» зоны и масса вещества внутри неё в аккреционном диске звезды солнечной массы равны 35 а. е. и 8 массам Юпитера соответственно. Эти значения сопоставимы с параметрами протосолнечной туманности.
Вследствие эффективной диффузии магнитное поле внутри «мёртвой» зоны существенно ослаблено. В «мёртвых» зонах магнитное поле имеет квазиполоидальную винтовую геометрию. Ослабление магнитного поля ведёт к уменьшению критической массы гравитационной неустойчивости и благоприятствует седиментации заряженных пылинок. Такие условия могут способствовать накоплению вещества внутри «мёртвой» зоны и образованию планет за счёт гравитационной неустойчивости.
Расчёты показывают, что в аккреционных дисках маломассивных звёзд (М < 0,5М0) масса вещества «мёртвой» зоны меньше одной массы Юпитера, поэтому в таких системах могут формироваться только суперземли или планеты земной группы.
Отметим, что в рамках разрабатываемой модели невозможен полностью самосогласованный расчёт структуры «мёртвых» зон. Это связано с тем, что в модели не учитывается диффузия вертикальной компоненты магнитного поля, что не позволяет самосогласованно рассматривать эволюцию МРН и затухание турбулентности в областях низкой степени ионизации. В модели темп аккреции предполагается постоянным, что также делает невозможным точное изучение слоистой структуры аккреционного диска. Для самосогласованного расчёта структуры «мёртвых» зон необходимо чис-
ленное исследование динамики образования и эволюции аккреционных дисков молодых звёзд в многомерном приближении в рамках многокомпонентной МГД.
Список литературы
1. Shakura, N. I. Black holes in binary systems. Observational appearance / N. I. Shakura, R. A. Su-nyaev // Astron. Astrophys. 1973. Vol. 24. P. 337-355.
2. Konigle, A. Physical Processes in Circumstel-lar Disks around Young Stars. The effects of large-scale magnetic fields on disk formation and evolution / ed. by P. J. V. Garcia. Chicago : University of Chicago Press, 2011. P. 283-352.
3. Велихов, Е. П. Устойчивость течения идеально проводящей жидкости между вращающимися цилиндрами в магнитном поле // Журн. эксперимент. и техн. физики. 1959. Т. 36. С. 1399.
4. Balbus, S. A. A powerful local shear instability in weakly magnetized disks. I. Linear analysis / S. A. Balbus, J. F. Hawley // Astrophys. J. 1991. Vol. 376. P. 214-222.
5. Glassgold, A. E. X-Ray ionization of protopla-netary disks / A. E. Glassgold, J. Najita, J. Igea // Astrophys. J. 1997. Vol. 480. P. 344-350.
6. Gammie, C. F. Layered accretion in T Tauri accretion disks // Astrophys. J. 1996. Vol. 457. P. 355362.
7. Kunz, M. W. Ambipolar diffusion in the mag-netorotational instability / M. W. Kunz, S. A. Balbus // Mon. Not. R. Astron. Soc. 2004. Vol. 348. P 355360.
8. Bai, X.-N. Effect if ambipolar diffusion on nonlinear evolution of magnetorotational instability in weakly ionized disks / X.-N. Bai, J. M. Stone // Astrophys. J. 2011. Vol. 736. P. 144-162.
9. Wardle, M. Magnetic fields in protoplane-tary disks // Astrophys. Space Sci. 2007. Vol. 311. P. 35-45.
10. Wardle, M. The Balbus-Hawley instability in weakly ionized discs // Mon. Not. R. Astron. Soc. 1999. Vol. 307. P. 849-856.
11. Terquem, C. New composite models of partially ionizaed protoplanetary disks // Astrophys. J. 2008. Vol. 689. P. 532-538.
12. Kretke, K. A. Assembling the building blocks of giant planets around intermediate mass stars / K. A. Kretke, D. N. C. Lin, P. Garaud, N. J. Turner // Astrophys. J. 2009. Vol. 690. P. 407-415.
13. Dzurkevich, N. Trapping solids at the inner edge of the dead zone: 3-D Global MHD simulations / N. Dzurkevich, M. Flock, N. J. Turner, H. Klahr,
Th. Henning // Astron. Astrophys. 2010. Vol. 515, № A70. P. 17.
14. Ilgner, M. On the ionization fraction in protoplanetary disks. I. Comparing different reaction networks / M. Ilgner, R. P. Nelson // Astron. Astrophys. 2006. Vol. 445. P. 205-222.
15. Sano, T. Magnetorotational instability in pro-toplanetary disks. II. Ionization state and unstable regions / T. Sano, S. M. Miyama, T. Umebayashi, T. Nakano // Astrophys. J. 2000. Vol. 543. P. 486-501.
16. Salmeron, R. Magnetorotational instability in protoplanetary discs: The effect of dust grains / R. Salmeron, M. Wardle // Mon. Not. R. Astron. Soc. 2008. Vol. 388. P. 1223-1238.
17. Дудоров, А. Е. Кинематическая МГД-модель аккреционных дисков молодых звёзд. Аналитическое решение / А. Е. Дудоров, С. А. Хайбрахманов // Вестн. Челяб. гос. ун-та. 2013. № 9 (300). Физика. Вып. 16. С. 27-39.
18. Semenov, D. Rosseland and Planck mean opacities for protoplanetary disks / D. Semenov, Th. Henning, Ch. Helling, M. Ilgner, E. Sedlmayr // Astron. Astrophys. 2003. Vol. 410. P. 611-621.
19. Hayashi, C. Structure of the Solar Nebula, Growth and Decay of Magnetic Fields and Effects of Magnetic and Turbulent Viscosities on the Nebula / C. Hayashi // PThPS. 1981. № 70. P. 35-53.
20. Spitzer, L. Physical processes in the interstellar medium. N. Y. : Wiley, 1978. 318 р.
21. Дудоров, А. Е. Свойства иерархии межзвёздных облаков // Астроном. журн. 1991. Т. 68. С. 695-703.
22. Дудоров, А. Е. Гидродинамика коллапса межзвёздных облаков. IV. Степень ионизации и амбиполярная диффузия / А. Е. Дудоров,
Ю. В. Сазонов II Науч. информ. Астроном. совета АН СССР. 1984. С. 68-86.
23. Williams, J. P. Protoplanetary disks and their evolution I J. P. Williams, L. A. Cieza II Ann. Rev. Astron. Astrophys. 2011. Vol. 49. P. 67-117.
24. Calvet, N. The mass accretion rates of intermediate-mass stars II Astrophys. J. 2004. Vol. 128. P. 1294-1318.
25. Yang, H. Magnetic field measurements of T Tauri stars in the Orion nebular cluster I H. Yang, C. M. Johns-Krull II Astrophys. J. 2011. Vol. 729. P. 83-91.
26. Bai, X.-N. Heat and dust in active layers of protostellar disks I X.-N. Bai, J. Goodman II Astrophys. J. 2009. Vol. 701. P. 737-755.
27. Weidenschiling, S. J. Distribution of mass in the planetary system and solar nebula I S. J. Wein-denschiling II Astrophys. Space Sci. 1977. Vol. 51. P. 153-158.
28. Stacey, F. D. Paleomagnetism of meteorites II Ann. Rev. Earth Planet. Sci. 1976. Vol. 4. P. 147-157.
29. Armitage, P. J. Astrophysics of planet formation. N. Y. : Cambridge university press, 2010. 294 p.
30. Hartmann, L. Accretion and the evolution of T Tauri disks I L. Hartmann, N. Calvet, E. Gullbring, P. D’Alessio II Astrophys. J. 1998. Vol. 495. P. 385-400.
31. Fang, M. Star and protoplanetary disk properties in Orion’s suburbs I M. Fang, R. van Boekel, W. Wang, A. Carmona, A. Sicilia-Aguilar, Th. Henning II Astron. Astrophys. 2009. Vol. 504. P. 461-489.
32. Martin, R. G. Dead zones around young stellar objects: dependence on physical parameters I R. G. Martin, S. H. Lubow, M. Livio, J. E. Pringle II Mon. Not. R. Astron. Soc. 2012. Vol. 420. P. 3139-3146.
Приложение
Аналитическая аппроксимация коэффициента поглощения
Зависимость коэффициента поглощения от плотности и температуры записывается в виде (9) для 10 различных температурных областей. Значения коэффициентов для каждой из областей приведены в табл. П1 (где Z — металличность; в расчётах используется солнечная металличность Z = 0,02).
ТаблицаП1
Аналитическая аппроксимация Росселандова среднего коэффициента поглощения в различных температурных областях (по данным [18])
№ Кс a b Тип основных источников поглощения Температурная область
і 2 ■ 10-4 0 2 Ледяная пыль T < 150 K
2 1,4 ■ 1011 0 -5 Испарение льда
3 0,01 0 1,11 Троилиты, силикатная, железная пыль T є [170, ~ 400] K
Окончание табл. П1
№ *0 а ь Тип основных источников поглощения Температурная область
4 3,16-1016 0 -6 Испарение троилитов
5 3,0-10-3 0 1 Силикатная, железная пыль Т є [~ 450,~ 1500] К
6 2,15-1034 1/3 -10 Полное испарение пыли Т є [1500,~ 2 000] К
7 0,12 0 0 Молекулы Т є[ - 2 000, ~ 3 000] К
9 10-36 1/3 10 Рассеяния на атомах водорода Т є ~ 3 000, -104 К
10 1,5.102° 1 -5/2 Связанно -свободные, свободно-свободные переходы Т > 104 К
