Электродинамические свойства ударных волн непрерывного типа в запыленной плазме Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.9.01 DOI 10.18522/0321-3005-2015-4-18-24

ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА УДАРНЫХ ВОЛН НЕПРЕРЫВНОГО ТИПА В ЗАПЫЛЕННОЙ ПЛАЗМЕ*

© 2015 г. М.Н. Аль Наджм, В.В. Прудских

Аль Наджм Мохаммед Наджи - доцент, кафедра астрономии и космоса, Колледж науки Университета Багдада, г. Багдад, Ирак; аспирант, кафедра физики космоса, физический факультет, Южный федеральный университет, ул. Зорге, 5, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: mohalnajm72@ yahoo.com

Al Najm Mohammed Naji - Associate Professor, Department of Astronomy and Space, College of Science of the Baghdad University, Baghdad, Iraq; Post-Graduate Student, Department of Space Physics, Faculty of Physics, Southern Federal University, Zorge St., 5, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: mohal-najm72@yahoo. com

Прудских Вячеслав Владимирович - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра общей физики, физический факультет, Южный федеральный университет, ул. Зорге, 5, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: [email protected]

Prudskikh Vyacheslav Vladimirovich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Department of General Physics, Faculty of Physics, Southern Federal University, Zorge St., 5, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: [email protected]

Исследуется роль заряженных пылевых частиц в структуре косой ударной волны непрерывного типа, распространяющейся в слабоионизованной плазме. Изучаются условия, когда плотность нейтрального газа превышает 104 см 3, характерные для межзвездных молекулярных облаков на начальной стадии коллапса. В этом случае заряженные пылинки становятся дополнительным источником генерации тока Холла и вносят существенный вклад в структуру ударной волны. Главным результатом работы является вывод об увеличении ширины фронта ударной волны из-за наличия заряженных пылинок. Обнаружено, что для ударных волн умеренной интенсивности стационарные решения в ряде случаев отсутствуют. Данный эффект является новым, а его обсуждение не проводилось ранее в научной литературе.

Ключевые слова: ударная волна, пылевая плазма, магнитная гидродинамика, ток Холла.

The role of charged collisional particles in the structure of oblique shock wave continuous type, propagating in a weakly ionized plasma. We study he conditions under which the neutral gas density exceeds 104 cm'3, typical of the interstellar molccular clouds in the initial stage of collapse. In this case, the charged collisional particles are an additional source of current generation Hall and make a significant contribution to the structure of the shock wave. The main result is to increase the output width of the shock front of - the presence of the charged dust particles. It has been found that moderate-intensity shock waves, stationary solutions in some cases, absent. This effect is novel, as it previously has not been discussion in the literature.

Keywords: shock wave, dusty plasmas, magnetic hydrodynamics, Hall current.

Введение

Ударные волны, распространяющиеся в слабоионизованной замагниченной астрофизической плазме, представляют значительный интерес с точки зрения своей структуры, знание которой позволяет предсказать уровень радиационно излучаемой энергии и для построения моделей химической и физической эволюции газа в межзвездной среде.

Первоначально расчет структуры ударных волн основывался на том, что компоненты межзвездной среды - магнитное поле, заряженные частицы и нейтральный газ - представляют собой единое целое, замагниченную жидкость. Электроны и ионы приклеены к магнитным силовым линиям на масштабах электронного и ионного ларморовско-го радиуса соответственно. Однако нейтральная

компонента связана с магнитным полем лишь благодаря столкновениям с заряженными частицами, увлекающими их вслед за возмущениями магнитных силовых линий. С другой стороны, столкновения с нейтральными частицами стремятся отсоединить заряды (прежде всего наиболее массивные вследствие их большего ларморовского радиуса) от силовых линий поля. Поэтому условие вмороженности справедливо только тогда, когда: во-первых, заряды могут считаться хорошо связанными с силовыми линиями поля; во-вторых, взаимодействие между нейтральным газом и плазмой настолько сильное, что все компоненты слабоионизованной плазмы, включая нейтралы, движутся как единое целое. В межзвездной среде первое условие обычно выполняется хорошо, однако второе часто нарушается. В частности, если степень ионизации среды достаточно мала, то

*Работа выполнена при поддержке проекта 2663 Министерства образования и науки РФ и Министерства высшего образования и научных исследований Ирака (The Ministry of Higher Education and Scientific Research in Iraq).

связь нейтрального газа и плазмы не является идеальной. Впервые на это обратил внимание Муллан в 1971 г. [1]. Он показал, что структура ударной волны будет существенно изменяться, когда распространяющаяся ударная волна вызывает на своем фронте относительное движение нейтрального газа и плазмы. За фронтом ударной волны среда испытывает сжатие, а магнитное поле усиливается. При этом, если степень ионизации плазмы низкая, вовлечение нейтральных частиц в совместное движение с заряженными компонентами плазмы происходит постепенно, на расстояниях, существенно больших, чем длина свободного пробега нейтральных частиц (определяемой столкновениями нейтралов между собой). В результате толщина фронта ударной волны оказывается на несколько порядков больше той, что имеет место в нейтральном газе. Эта первая работа по ударным волнам, внутри фронта которых существует относительное движением компонент, носила скорее академический интерес, так как ширина фронта достаточно быстрой ударной волны, внутри которого имеет место различие в скорости движения нейтральной и заряженной жидкости, оказывалось значительно меньше того, на котором существенно радиационное охлаждение газа. В этом случае условия скачка применимы к областям, расположенным по обе стороны переходного слоя. Выводы работы Муллана касались, таким образом, структуры самого фронта волны.

В 1980 г. Дрейн [2] изучил ту же проблему и пришел к следующим результатам. Структура фронта ударной волны существенно определяется соотношением между временем охлаждения нейтрального газа тс, и временем тп, за которое нейтралы ускоряются потоком ионов. Если тс » та, то процесс ускорения является адиабатическим. Тогда параметры среды по обе стороны связаны условиями Рэнкина - Гюгонио, а для описания волны подходит одножидкостный подход. Как показывают расчеты, такая модель может использоваться при описании ударных волн в молекулярных облаках, распространяющихся со скоростью более 40-50 км/с. В противоположном случае та »тс ускоряемая нейтральная жидкость остается изотермической. В этом случае, а также если времена та и тс сравнимы между собой, все гидродинамические переменные волны являются непрерывными, а ударная волна называется ударной волной непрерывного типа (С^оск в англоязычной литературе).

Из сказанного выше следует, что структура ударных волн, распространяющихся в межзвездной среде, в значительной степени зависит от величины

магнитного поля, определяющего значение альф-веновской скорости УА , а также от степени ионизации среды. Если степень ионизации мала, то малая частота ионно-нейтральных столкновений приводит к тому, что раздельная динамика плазмы и нейтрального газа проявляется в достаточно протяженной области, составляющей порядка сотых долей парсека.

Заряженные пылевые частицы повсеместно распространены в космосе, и их роль значительна в самых разных астрофизических явлениях. Взаимодействие нейтрального газа и пылевых частиц имеет важные последствия для физики и химии ударных волн, распространяющихся в молекулярных облаках, а их инерция может существенно модифицировать динамику распространения ударных волн непрерывного типа. Популяция межзвездных пылинок чрезвычайно широка - от полиароматических углеводородов до частиц микронных размеров. В слабоионизованной среде заряженные пылинки влияют на динамику ударной волны посредством двух механизмов: они увеличивают эффективность взаимодействия заряженной и нейтральной компонент плазмы, а также влияют на величину альфвеновской скорости, понижая ее за счет увеличения инерции заряженной жидкости.

Адекватное описание структуры ударной волны непрерывного типа невозможно без учета присутствия в межзвездной среде заряженных пылинок, поскольку в плазме с низкой степенью ионизации суммарных заряд пылевых частиц, приобретенный ими при столкновениях с электронами и ионами, сравним с электронным зарядом плазмы. Впервые на это обратил внимание Уордл в работе 1998 г. [3]. Рекомбинация зарядов на поверхности пылевых частиц понижает степень ионизации плазмы и приводит к уменьшению ее магнитной активности. Кроме того, относительное движение пылевой компоненты плазмы и нейтрального газа является дополнительным источником потерь и диффузионного рассасывания магнитного поля волны. В то же время заряженные пылинки в силу своей высокой инерции способны достаточно долго дрейфовать относительно электронно -ионной компоненты плазмы, внося тем самым дополнительный вклад в ток плазменных зарядов и генерацию магнитного поля волны внутри ее фронта. Такая возможность также связана с тем, что пылевые частицы в условиях межзвездных молекулярных облаков являются фактически отсоединенными от силовых линий магнитного поля. В самом деле, для молекулярных облаков величина магнитного поля составляет В0 «10~5 Гс, температура 10-30 К, а плотность нейтрального

газа пп «102 -104 см 3. Степень привязки пылевой частицы к силовой линии магнитного поля задается параметром Д, = acd !vdn, где соы = ZeB0 !mdc -циклотронная частота пылинок (Z - число элементарных зарядов, осевших на поверхности пылевой частицы; md - ее масса); vdn=(mn!md)nn<rdVT -частота их столкновений с нейтральным газом. Здесь m - масса нейтральной частицы (как правило, это молекулярный водород); ad - поперечное сечение пылинки; VT - тепловая скорость молекул. Если ßd»\, то заряды строго следуют за силовыми линиями магнитного поля. Если же ßd = 1, то они оказываются не связанными магнитным полем и вовлекаются в движение лишь благодаря столкновениям с нейтралами (как доминирующей по плотности компонентой). Не- 1П-12

сложно показать, что для частиц с массой 10 г и зарядом Z = 10 выполняется условие />, ~ 10 1 «1.

В работе Уордла [3] исследовалась роль пылевой компоненты плазмы в структуре косой ударной волны С-типа. Прежде всего, нужно отметить, что для ударных волн данного вида, распространяющихся под углом к магнитному полю, оказываются возможными два режима. Первый - относительно слабые ударные волны, скорость распространения V

которых лежит в пределах 1 * cos в <VS< •J2VA ctg в, где в - угол между нормалью к фронту волны и магнитным полем перед ней. Второй режим реализуется при условии I' > *Jll' в . Эти два вида

решений появляются как следствие анализа уравнений, описывающих структуру фронта волны. Плотность среды увеличивается после прохождения ударных волн обеих типов. Однако после прохождения интенсивных волн напряженность компоненты магнитного поля, параллельная фронту, не изменяется по направлению, тогда как для слабых и умеренных волн она поворачивается на 180°.

Задачей настоящей работы является изучение роли пылевых частиц в структуре косой ударной волны непрерывного типа умеренной интенсивности в межзвездных молекулярных облаках. Предполагается, что инерционная компонента среды заключена в нейтральном газе, а тепловое давление мало по сравнению с магнитным. Определена структура магнитного поля внутри фронта волны. Кроме того, обнаружено, что в некоторых областях интервала К, cos в <Vs< л/2К, ctg 0 плотность газа внутри фронта обращается в бесконечность, а скорость его набегания на фронт становится отрицательной, что соответствует отражению среды от ударной волной и отсутствию стационарных решений.

Редукция базовых уравнений

Рассмотрим распространение ударной волны вдоль оси г. Обозначим напряженность магнитного поля волны В, а напряженность магнитного поля в плазме перед ударной волной В0. Плазму будем считать слабоионизованной, а ее основную массовую долю - заключенной в нейтральном газе. Обозначим индексами е, /, ё, п переменные, относящиеся к электронам, ионам, пылинкам и нейтральным частицам. Пренебрежем столкновениями электронов и эффектом конечной продольной проводимости плазмы, не существенным для крупномасштабных ударных волн. Малая плотность заряженных компонент по сравнению с нейтральной позволяет пренебречь в уравнениях движения электронов, ионов и пылевых частиц их инерцией, а также вкладом столкновений между ионами и пылью в динамику плазмы. Тогда уравнения движения для различных сортов плазмы запишутся в виде

Рп~Г = -РгУш^п -Ч^-РгУпЛ^Уп - (!)

dt

1.

0 = -пее\ E + -[vexB]

0 = W,.e|E + -[v,.xB]|

1.

(2) (3)

0 = -2пйе+ рйУйп(у,, -у„). (4)

Здесь р,,.п,, и \а - массовая, объемная плотности и скорости частиц сорта с/ = е. /. с/, п: 7. - заряд пылинки. Между частотами столкновений имеются соотношения

следующие из закона сохранения импульса / = .

Из уравнений (1)-(4) получим уравнение движения МГД элемента

dV 1

р— = —(V х В) х В, dt 4 л

(6)

в котором р = рп + ре + р. + рЛ Я рп; \ = уп и учтено, что ток

J = е(и,.у,. - пеуе - гп^с,) (7)

связан с полем В уравнением Максвелла

4 ж

VxB = —J. с

Выразим электронную скорость ve из (7)

ni

V = — V- —

Zu,

-v, --

е * / * d

n n en

e e e

(8)

(9)

и найдем с ее помощью из (2) величину электрического поля Е:

1 и.

1 Zn,

Е =---4v,.xB]+--[vrf хВ] +

JxB

(10)

1 n,

JxB ту.

(1 + 8)v2, —(V x В) x В =

(15)

V V

Д ßd LV ' d> J'

(18)

в котором введено ßä= cocd / vdn. Используя (14), запишем

Vä=<\ + 8)&- Fi.(VxB)xB-v,,V,.

(19)

V,-V,=

1 +

l + ^ÄlV;_(1 + (J)A^.(VxB)xB. (20)

Используя условие квазинейтральности п, =пе +2пл и исключая поле Е из уравнений (3) и (4), запишем их в виде ( щ и щ - массы иона и пылевой частицы)

= (11)

с п„ епс е

С учетом (20) уравнение (14) можно представить в виде

Пл*[У,хВ] + ^У,= (21)

= (1 + 8)F2 [(V х В) X В + ßd ((V х В) X В) х В]

где

X = 1 +

--[(V,-У,)хВ]—-^(у, -уя) = 0. (12) сп еп с 2е

е е

Перейдем к безразмерной величине магнитного поля В / В0 —> В и относительным скоростям ионов и пыли

\Л=УЛ-Уп. (13)

Вводя обозначения 8 = 2пл / пе, у2а, = В2 / 4яр,, Qя = (гпа / ие , тс, = е501 т,с, соы = 7<?Д, /, перепишем (11) и (12):

(1 + 8)у2, (V у В) х В = 0/; [(V,.-у/)хВ| + V,, V,., (14)

i+£Ä ¿> д

(22)

Скалярное домножение уравнения (21) на В показывает, что

(V,. -В) = 0 . (23)

Тогда, умножая (21) на В векторно, найдем

V =

(l+^Fi,

v,„{\ + 82ß2X2) ^ '

[(1 + 8Xß,ßd )(V x В) x В -

~(ßX ß, - ßd )((V x B) x B) x B],

(24)

[V,.xB] = -

(1+syl

- [(1 + Д. Д, )((V x B) x B) x В +

Исключая из уравнения Максвелла

— = -с V х Е (16)

5/

поле Е с помощью (3), получим уравнение индукции в форме

ЯК 1

— = Ух(УхВ) + Ух(УхВ)--V х V (17)

Ы Д

где Д = сос, / у,п . Параметр Д определяет степень связи ионов с магнитным полем аналогично описанному во введении параметру Д, для пылинок.

Последующий алгоритм нахождения уравнения индукции состоит в исключении из уравнений (14), (15) относительной скорости пыли и получении явной связи между V, и В, которая позволит представить (17) в стандартной для холловской МГД форме. Для этих целей предварительно выразим из (14) и (15) векторную конструкцию (V /В)/В и найдем соотношение между У( и V :

у,п(\ + 82р2Х2У +(<5ХД.-ДД УхВ)хВ]. (25)

Подстановка (24) и (25) в (17) приводит к уравнению индукции в форме

— = Ух(УхВ)-?7яУх((УхВ)хВ) + Ы

+ /7^х[«УхВ)хВ)хВ], (26)

где коэффициенты холловской и амбиполярной диффузии магнитного поля определены как

_ св 1+дд,-(Д-АЖ

Пи

ПА

4я ene 1+ Y2

_ сВ Д - Д, + (1 + ßißd)Y

4 яеп„

1 + 7

(27)

и

Г = 8/3,X . (28)

В отсутствие пыли 8 = 0 диффузионные коэффициенты переходят в известные выражения (см. обзор [4])

сВ

1н

Па

.vi,

(29)

4 тгепе у,п

С другой стороны, как отмечалось выше, между пылевой и нейтральной компонентами существует жесткая связь Д, = О .В этом случае соотношения (27) упрощаются к виду

Чн

сВ 1 -8ß2

4лепе 1 + 82р2 ' Г>А 4яепе 1 + 82 Д2

Этот результат был получен в работе [5] при исследовании магниторотационной неустойчивости в запыленном протопланетном диске.

сВ (1 + 8)ß

(30)

С n С n

e e

eneC

Так как мы предполагаем, что рассматриваемая волна стационарна д / д1 = 0 , то из уравнения непрерывности для нейтральной компоненты следует

РК=Р0К, ¿1)

где р0 - плотность невозмущенной плазмы; I-скорость плазмы перед фронтом ударной волны в связанной с ней системе отсчета. Последнее соотношение позволяет проинтегрировать компоненты векторного уравнения (6):

РоКК =

('К -ВМ)В: „

4 ж

p0vs{vs-v:) =

В2 -В2 -В2

хО х у

8 я

(32)

Здесь в силу уравнения Максвелла

лр

У-В = —= 0 , (33)

дг

компонента магнитного поля Вг является постоянной величиной и обозначена как В20.

Наконец, уравнение (26) в проекциях на оси декартовой системы координат, связанной с фронтом волны, дает

ЗВ Вйппп ЗД,

''Л КА — • «(у ^ И- +В'у И >

дВ„

оf

гд гд И. —

ос, 2

1 8 о о

ГВ -V В =---— В-+В2 ч

X у у X 2 д^ Х у

дв 8ВГ " од о£, Здесь мы перешли к пространственной координате д , связанной с г соотношением с = 2/1 //„ |. коэффициент а определяется как

(34)

(1 + S)ß,

(35)

8(3:

Считая, что при > +оо переменные

К,¥у,Ву= О, У:=У„ II = II,, и г/Гс=0. найдем, что постоянные интегрирования в уравнениях (34) равны Сх = С2 = 0 и Су = У5Вх0.

Соотношения (34) и система алгебраических связей между переменными (32) составляют полную систему уравнений нашей задачи.

Обсуждение результатов и выводы

Система трех обыкновенных дифференциальных уравнений (34) содержит шесть переменных. Наложение трех дополнительных условий связи (32), следующих из уравнения движения (6), позволяет разрешить ее, используя численные методы.

Рассматривались ударные волны непрерывного типа умеренной интенсивности, когда скорость их распространения удовлетворяет условию

V, cos 0 < К < фУА ctg0. (36)

а через коэффициенты холловской проводимости и амбиполярной диффузии, полученными нами в форме (30), учитывается вклад заряженных пылевых частиц в электродинамические свойства фронта ударной волны. Кроме того, исследовалось, является ли условие (36), вытекающее из анализа параметров плазмы далеко позади фронта ударной волны, достаточным для существования ударных волн данного типа. Полученные результаты следующие.

На рис. 1 представлена структура ударной волны умеренной интенсивности для различных скоростей ее распространения.

1.0

0,5

0,0 ■

-0,5

-1,0

А

100

200 а

300

400

Рис. 1. Структура ударной волны непрерывного типа. в = 30°, а = 3; а - Vs/VA = 1; б - Vs/VA = 1,5; в - Vs/VA = 2

0

в

С увеличением роли тока Холла (с уменьшением параметра а) диапазон К, / V, существования ударных волн уменьшается. Так, для а= 1 (рис. 2) стационарные решения отсутствуют в интервале 1,4 < V, !УЛ < 2,56 . При а=0,5 (рис. 3) решения в виде ударных волн непрерывного типа не реализуются, если 1,2< V / V <2,56 . При

уменьшении относительного вклада амбиполяр-ных потерь претерпевает изменение и структура фронта. Рисунок 4 иллюстрирует, как с уменьшением параметра а увеличивается ширина фронта ударной волны, а зависимость напряженности магнитного поля от координаты % имеет вид ос-цилляций.

1,0: -0,5 0,0: "0,5: --1,0'-

10 20 30 40

а б

Рис. 2. Структура ударной волны непрерывного типа. в = 30°, а = 1; а - Vs/VA = 1; б - Vs/VA = 1,35

1,5 1,0 0,5 0,0 0,5 1,0 1,5

-2,0 0

1,5 1,0 0,5 0,0 -0,5 -1,0 -1,5 -2.0"

0

40

60

L-

\ 1/ 1-

V

а б

Рис. 3. Структура ударной волны непрерывного типа. в = 30°, а = 0,5; a - Vs/VA = 1; б - Vs/VA = 1,1

£ 100

0,5

0,0

-0,5

1,0

50 100

а

0,5

0,0

-0,5

-1,0 150 0

1,0

50 100

б

0,5 0,0 -0,5 -1,0

R /1

А А л

__/1 / А /х —

¡V -

1 V - -

150 '0 50 100 150 200 250 в

Рис. 4. Структура ударной волны непрерывного типа. в = 30°, Vs/VA = 1; a - а = 0,5; б - а = 0,2; в - а = 0,1

Таким образом, нами показано, что стационарные ударные волны непрерывного типа умеренной интенсивности существуют не во всем диапазоне, определяемом условием (36). Физически это связано с остановкой набегающего на фронт потока плазмы и отражением его. Данное сокращение диапазона параметра V / Vi тем существеннее, чем больше относительный вклад тока Холла по сравнению с амбиполярной диффузией в структуру волны. Кроме того, выяснено, что если холловская диффузия магнитного поля доминирует, то фронт волны имеет достаточно протяженную осциллирующую структуру. Ширина фронта в этом случае увеличивается в полтора-два раза по сравнению со случаем, когда преобладают амбиполярные потери энергии волны.

Литература

1. Mullan D.J. The structure of transverse hydromagnetic shocks in regions of low ionization // Mon. Not. R. Astron. Soc. 1971. Vol. 153. P. 145.

2. Draine B.T. Interstellar shock waves with magnetic precursors // Astrophys. J. 1980. Vol. 241. P. 1021-1038.

3. Wardle M. Dust grains and the structure of steady C-type magnetohydrodynamic shock waves in molecular clouds // Astrophys. J. 1998. Vol. 298. P. 507-524.

4. Wardle M., Ng C. The conductivity of dense molecular gas // Mon. Not. R. Astron. Soc. 1999. Vol. 303. P. 239-246.

5. Прудских В.В. Зоны аномальной активности магни-торотационной неустойчивости в протозвездных дисках // Письма в астрономический журнал. 2013. Т. 39. С. 219-227.

References

1. Mullan D.J. The structure of transverse hydromagnetic shocks in regions of low ionization. Mon. Not. R. Astron. Soc. 1971, vol. 153, p. 145.

2. Draine B.T. Interstellar shock waves with magnetic precursors. Astrophys. J., 1980, vol. 241, pp. 1021-1038.

3. Wardle M. Dust grains and the structure of steady C-type magnetohydrodynamic shock waves in molecular clouds. Astrophys. J., 1998, vol. 298, pp. 507-524.

4. Wardle M., Ng C. The conductivity of dense molecular gas. Mon. Not. R. Astron. Soc., 1999, vol. 303, pp. 239-246.

5. Prudskikh V.V. Zony anomal'noi aktivnosti magni-torotatsionnoi neustoichivosti v protozvezdnykh diskakh [Areas of abnormal activity of magnetic rotational instability in protos-tellar disks]. Pis'ma v astronomicheskii zhurnal, 2013, vol. 39, pp. 219-227.

Поступила в редакцию_12 ноября 2015 г.