Об одной модели стационарной аккреции на черную дыру в режиме Толстого диска с магнитным полем Текст научной статьи по специальности «Математика»

© А.М. Занкович, 2007-2008

АСТРОФИЗИКА

УДК 52.43

ОБ ОДНОЙ МОДЕЛИ СТАЦИОНАРНОЙ АККРЕЦИИ НА ЧЕРНУЮ ДЫРУ В РЕЖИМЕ ТОЛСТОГО ДИСКА С МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ *

А.М. Занкович

Показано, что регулярное тороидальное магнитное поле в осесимметричном аккреционном потоке может выполнять ту же роль, что и угловой момент, препятствуя падению аккрециру-емого вещества на центр поля. Используются предположения об осевой симметрии течения, малости углового момента (толстый диск) и доминировании тороидальной составляющей магнитного поля. Последнее условие обеспечивается полоидальными токами, так что диск по сути представляет собой замкнутый соленоид. Усреднение по вертикальной координате в предположении магнитогидродинамического равновесия позволяет редуцировать систему уравнений магнитной гидродинамики к системе ОДУ для переменных, зависящих только от радиуса, что делает модель аккреции квазисферической. Структура стационарного течения определяется двумя параметрами - параметром, аналогичным параметру Бонди в модели сферической аккреции без магнитного поля, и параметром, учитывающим интенсивность магнитного поля. На плоскости параметров найдена область, для которой течение имеет три особые точки, в том числе две седловые, отвечающие переходу течения через быструю магнитозвуковую скорость. Построено решение с ударным скачком, сшивающим два трансзвуковых течения.

Введение

Ключевым параметром, характеризующим процесс аккреции вещества на черную дыру, является безразмерная величина г, определяющая отношение мощности излучаемой энергии L к

темпу поглощаемой черной дырой энергии покоя вещества Mi с2. Для дисковой аккреции эффективность энерговыделения велика и может составлять до нескольких десятков процентов. С такими черными дырами ассоциируются рентгеновские источники в двойных звездных системах [3]. В то же время многие черные дыры демонстрируют чрезвычайно низкую эффективность энерговыделения, r ~ 10-7 [1]. Такая низкая излучательная способность характерна для режимов аккреции, близких к сферическому. В то же время эталонная модель сферической аккреции -адиабатическая модель Бонди [5] - предсказывает, с одной стороны, еще более слабое излучение, а с другой - завышенный темп аккреции Mi и, тем самым, плохо согласуется с наблюдениями. Большая эффективность излучения при квазисферической аккреции имела бы место, если бы в потоке возникали условия для формирования устойчивой ударной волны. В модели Бонди стационарное состояние с ударной волной невозможно, поскольку течение вне ударного скачка допускает только один трансзвуковой переход, в то время как требуется, как минимум, два -перед и, соответственно, за ударным фронтом. Последний необходим для того, чтобы обеспечить сверхзвуковое прохождение вещества через горизонт. В этой связи заслуживают изучения

* Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ-Поволжье № 07-02-96611.

те физические факторы, которые способны привести к качественной перестройке течения Бонди таким образом, чтобы допустить существование множественных трансзвуковых переходов.

Одним из таких механизмов может выступать угловой момент, вынуждающий поток выстраиваться в диск и тормозящий падение вещества на центр. Если угловой момент относительно мал, диск остается геометрически толстым, а само течение слабо отличается от сферического. Модель квазисферического течения с ненулевым угловым моментом была развита Чакрабарти [6], который показал, что при определенных условиях в непосредственной окрестности поверхности аккретора возможно появление второго перехода через звуковую точку. Появление внутренней звуковой точки обусловлено действием тормозящей центробежной силы. Важно, что двойной трансзвуковой переход допускает существование течений со стоячим ударным скачком, расположенным между двумя звуковыми точками.

А.Н. Колов и И.Г. Коваленко (Письма в Астрономический журнал, в печати) показали, что аналогичный профиль течения с двойным переходом через звуковую точку возможен для квази-сферического аккреционного течения в случае, если вещество сильно турбулизовано. Даже если полный угловой момент аккрецирующего вещества пренебрежимо мал, удельный угловой момент, вследствие возбуждения турбулентными вихрями нерадиальных движений, может быть значителен, и это проявляет себя в появлении эффективной «турбулентной» центробежной силы.

В обеих процитированных работах рассматриваются модели аккреции без учета магнитного поля, которое, как считается, в реальных условиях должно играть определяющую роль. Как мы покажем ниже, совершенно аналогично моделям квазисферической аккреции с ненулевым полным или удельным угловым моментом двойной трансзвуковой переход может обеспечиваться и действием регулярного магнитного поля. Таким образом, настоящая работа имеет целью продемонстрировать возможность существования стационарных квазисферических аккреционных течений со стоячей ударной волной в окрестности черной дыры, обусловленных действием магнитного поля.

1. Модель стационарной квазисферической аккреции с тороидальным магнитным полем. Основные уравнения

Течение газа вблизи черной дыры полагаем стационарным и осесимметричным. Допускаем существование ненулевого полного углового момента у вещества, полагая при этом момент малым в том смысле, что он, во-первых, не в состоянии остановить падение вещества на аккре-тор, и, во-вторых, вклад центробежной силы в общий баланс сил существенно меньше, чем вклад со стороны магнитного поля. Наличие малого конечного момента означает, что течение имеет форму толстого диска.

При расчете структуры аккреционных течений с регулярным магнитным полем, как правило, рассматриваются модели с полоидальным магнитным полем [4, с. 1]. Такое распределение поля возникает в случае циркулирующих в аккреционном диске круговых токов. Если же аккреция не имеет выраженной дисковой геометрии (сплюснутый диск), а геометрия близка к сферической, выделенность тороидальной токовой компоненты не выглядит необходимой. Более того, наличие конвективных движений, которые характерны, например, для аккреционного течения в модели Convection Dominated Accretion Flows [7], позволяют предположить выделенность полои-дальной токовой компоненты. В этом случае в общей структуре магнитного поля должна доминировать тороидальная составляющая. В развиваемой здесь модели мы таким образом сохраняем только тороидальную компоненту поля, а остальными компонентами пренебрегаем. Усло-

вие тороидальности магнитного поля обеспечивается действием полоидальных токов, так что толстый аккреционный диск по сути представляет собой замкнутый тороидальный соленоид (см. рис. 1). Соленоид предполагаем идеальным, то есть поле вне диска отсутствует.

Рис. 1. Схема течения в толстом аккреционном диске с тороидальным магнитным полем

Аккрецирующая среда представляет собой замагниченную плазму. Структуру течения в диске рассчитываем в магнитогидродинамическом приближении. Плазму рассматриваем как газ с политропным показателем адиабаты у, течение полагаем адиабатическим, магнитное поле считаем вмороженным в вещество.

Поскольку центробежные силы предполагаются малыми по сравнению с магнитными, первыми пренебрегаем и течение рассматриваем как близкое к радиальному. Вертикальные движения несущественны, поэтому в вертикальном направлении должно устанавливаться магнитогидростатическое равновесие. Действуя в духе [6; 8], усредняем уравнения магнитной гидродинамики по вертикальной координате: в сферической системе координат это означает усреднение по полярному углу ©. Исключение угловой переменной позволяет редуцировать полную систему уравнений МГД в частных производных к системе ОДУ для переменных, зависящих только от радиуса, что делает модель аккреции по сути квазисферической. Отличие усредненных уравнений от исходных уравнений МГД заключается только в том, что значения плотности и давления берутся не в произвольной точке объема диска, а на плоскости симметрии, а показатель адиабаты газа заменяется на эффективный. Правило пересчета величины обычного объемного показателя в эффективный задается соотношением [2]:

3у -1

у +1

(1)

Для объемного показателя ультрарелятивистского газа у = 4/3 разница между объемным и эффективным значением у = 9/7 составляет всего 3,5 %, поэтому в расчетах берем всюду у = 4/3.

Магнитное поле считаем слабо зависящим от вертикальной координаты, поэтому в усредненных уравнениях под магнитным полем фактически понимаем нулевой член разложения магнитного поля по полярному углу в.

Выпишем систему уравнений магнитной гидродинамики для стационарного адиабатического течения политропного газа:

div(pv) = 0, (2)

2 “I п / Пч Л

div

Pv

v.+JL. + m

2 (У 1)P

B х (v X B)

4n

= 0.

(3)

div(v ® B - B ® v) = 0, (4)

divB = 0, (5)

p/py = A = const, (6)

где p - массовая плотность вещества; v - скорость;

B - магнитная индукция поля; p - давление;

m - гравитационный потенциал, значком ® обозначено внешнее произведение векторов. Уравнения (2)-(3) суть законы сохранения массы и энергии, уравнение (4) - уравнение Фарадея, уравнение (5) есть математическая

запись отсутствия в природе магнитных зарядов, а уравнение (6) есть условие изэнтропичности течения. При наличии ударной волны в потоке энтропия претерпевает разрыв на ударном скачке, в этом случае уравнение (6) применимо всюду вне скачка, причем адиабатические постоянные А1 и А2 перед и за ударным фронтом различны.

Гравитационный потенциал задаем в постньютоновском приближении согласно [9]:

m = Gm

m=■ 7Г7 ’ (7)

g

где G - гравитационная постоянная;

m - масса аккретора;

rg = 2Gm/c2 - гравитационный радиус;

с - скорость света.

Тороидальное магнитное поле, заданное в сферических координатах в виде B(r) = (0,0, nv (r)), удовлетворяет уравнению (5) автоматически.

Оставляя для скорости только радиальную компоненту: v(r) = (vr(r), 0,0), сведем уравнение (4) к виду

r2v B = F = const, (8)

r ф 7 v '

отражающему факт сохранения потока азимутальной компоненты магнитного поля.

Из уравнения (2) аналогично вытекает закон сохранения потока массы:

r2 |vr| р = J = const > 0. (9)

Проинтегрированное уравнение (3) дает интеграл Бернулли

V2 с2 F2

"- + -^ + ^ + -

2 у -1

4Jr v_

(10)

в котором при замене величин В^ и р через интегралы движения мы воспользовались уравнениями (8), (9), и заменили ур/р на квадрат адиабатической скорости звука с].

Для обезразмеривания данного уравнения и приведения его к окончательному виду применим следующие подстановки:

Z=-

¥= -

Gm B ’

M=

.Ш

Gm B

B

r - rg B

z - с

c2 = Bz-2dM ~d

(11)

где величина га есть аккреционный радиус, а М - число Маха. В результате уравнение (10) приобретает вид

где

F (M ) + М2 g (О)/ (M ) = АФ (О),

F (M ) = | — + -1-^7, 1 2 у-1 I Md

(12)

(13)

g О) = О3

(14)

/ (M ) = M2

(15)

Ф(О) = О2

1 + -

О-О А

А = (уА) у-1 (Gm)2dJ dB12d = const,

F2

4kJR]B

3

2R2 a

= const,

у -1

d = 2-------= const.

у + 1

(16)

(17)

(18) (19)

Таким образом, в задаче имеем три управляющих параметра: 1) параметр % характеризует степень разогретости вещества, в дальнейшем этот параметр фиксируем равным 10-4, что соответствует разогреву вещества до скоростей звука ~ 10-2 от скорости света; 2) параметр /и характеризует интенсивность магнитного поля; 3) параметр Л аналогичен одноименному параметру в модели Бонди и отвечает за поток массы.

В среде с магнитным полем имеются три характерных скорости распространения малых возмущений - альфвеновская, быстрая и медленная магнитозвуковая:

I Bn |

v = ——, vf =

a 4кр /,s

.BL+ib> s

Акр

B2 IBnIc

4кр JKp

(20)

r

r

a

r

c

r

a

d

1

V

d

В силу того что нормальная компонента магнитного поля в задаче отсутствует, Вп = Вг = 0, альфвеновская и быстрая магнитозвуковая скорости вырождаются в ноль, а выживает лишь медленная магнитозвуковая волна

с. +-

Акр

(21)

В этой связи естественно вместо звукового числа Маха М использовать магнитозвуковое число Маха М , определяемое как

М =

(22)

В принятых обозначениях квадрат магнитозвукового числа Маха переопределяется как

М2=-

М2

1 + ^А2^-2М2

(23)

Алгебраические соотношения (12) и (23) задают в неявной форме зависимости Мт(Е) для различных значений параметров Ли ¡и. Пример однопараметрического семейства интегральных кривых для фиксированного значения и и варьируемых Л приведен на рисунке 2.

Рис. 2. Зависимость магнитозвукового числа Маха от безразмерного радиуса для у= 4/3; ¡и = 0,04; % = 10-4. Кривой, содержащей внешнюю седловую точку, отвечает значение Л = 1,844, кривой, включающей внутреннюю седловую точку, отвечает Л = 3,326

2

V

3

2. Условия на сильном разрыве

Наличие двух седловых точек в безударном решении позволяет надеяться на существование решения с сильным разрывом. Такое ударно-волновое решение, если оно существует, должно представлять собой сшивку двух трансзвуковых течений на ударном скачке. Для этого необходимо, чтобы в точке расположения скачка « выполнялись соотношения Гюгонио - Ренкена:

{р } = 0, (24)

Iр} + (р,)2 {рР} + ^=0, (25)

Ш * 0, (26)

(у - 1)р 2 4жр

В

=0.

(27)

(28)

Выразим гидродинамические переменные через число Маха, безразмерный радиус и основные константы ( Л, J, F, В, у, га), определяющие конкретный вид течения:

V =Л”М1-', (29)

р = ±Л «2('-1)м'-1, (30)

га^В

л "¿В 2 1

^ м 1, (31)

Та

в = цм« (32)

* т14^ (32)

В новых обозначениях условия на сильном разрыве примут вид

у}=0, (33)

(34)

11-1— 1+^2- {м-■}=0,

у [м'+'ТЛ ] 1м^Л\ 2

Т-г {Мл 1+1 ^+и«3'-2 {^м2-'} =0. (35)

{Щ = 0. (36)

Интегральная кривая однозначно определяется значением констант Ли ¡и. Из определения константы и видно, что она не изменяет своего значения на разрыве (Щ и Л также непрерывны на

р

ударном фронте). Однако Л терпит разрыв и, таким образом, перестраивает фазовый портрет за ударной волной.

Система уравнений (3) однозначно определяет зафронтовое число МахаМ и параметр Л по известным дофронтовым значениям этих переменных в точке предполагаемого ударного фронта % . Для построения зафронтового течения достаточно знать либо значение числа Маха за фронтом, либо значение параметра Л, при этом вторая из этих величин должна также удовлетворять условиям на разрыве, чего добиваемся подбором положения ударного фронта % Пример такого решения продемонстрирован на рисунке 3.

Рис. 3. Ударно-волновое решение при у= 4/3, 1 = 0,0155, % = 10-4. Стационарный ударный фронт располагается в точке % = 0,02. Штриховыми линиями показаны интегральные кривые с теми же значениями Л, что и у до- и зафронтовой ветвей решения с ударным скачком

3. Решение с ударной волной и его анализ

Дофронтовому и зафронтовому течению отвечает одно и то же значение параметра 1, но значения Л различны. Для существования решения в виде стационарной ударной волны необходимо для фиксированного 1 подобрать два таких значения Л, которые бы отвечали интегральным кривым, проходящим каждая через свою седловую точку, соответственно, внутреннюю или внешнюю. В этом случае возможен скачок с сепаратрисы внешнего седла на сепаратрису внутреннего, при этом, разумеется, необходимо выполнение условий Гюгонио - Ренкена на сильном разрыве, чего добиваемся вариацией положения разрыва %

Каждому заданному значению параметра 1 отвечает соответствующее значение параметра Л для той или иной особой точки. При изменении параметра 1 меняется значение Л, таким образом заметается некоторая кривая Л(ц) - трек особой точки на плоскости параметров. Треки всех трех особых точек на плоскости параметров представлены на рисунке 4. Эти кривые разбивают плоскость параметров (Л, 1) на области, отвечающие качественно различным семействам решений (см. пояснения к рисунку).

Рис. 4. Области параметров, допускающих качественно различные решения (в каждой области приведены качественные зависимости числа Маха от радиуса). Область I определяет инфинитные течения, область II и III - финитные. Кривые s.n, с указывают треки внутреннего седла, внешнего седла и точки типа центр

соответственно. В расчетах принято у= 4/3, ^ = 10-4

Анализируя данные зависимости Л(и), можно определить область параметров, допускающих ударно-волновое решение. Очевидно, что ударный скачок допускается там, где возможен вертикальный переход (и зафиксирован!) с кривой отвечающей треку внешнего седла, на кривую ъ.п , задающую внутреннее седло (см. рис. 4). Для модели с у= 4/3, представленной на рисунке, это есть узкая по параметру и область в окрестности значений 0,015 + 0,016. Внутри этой области подбирается такое значение и, при котором скачок Л удовлетворяет условию на разрыве. Численный расчет показывает, что такой скачок Л единственен. По этим данным однозначно определяется положение стационарного ударного фронта, то есть фактически положение скачка определяется параметром и Эта зависимость представлена на рисунке 5. Из рисунка следует, что областью допустимых положений фронта является практически весь интервал между аккреционным и гравитационным радиусом.

Рис. 5. Координата скачка Е как функция интенсивности магнитного поля (параметр и). Расчет выполнен для случая у= 4/3, Е = 10-4

4. Обсуждение и выводы

Построенная в настоящей работе модель аккреционного течения является одним из представителей семейства моделей радиативно неэффективной аккреции (RIAF). Основные ее особенности - квазисферический характер течения, обусловленный ничтожностью углового момента аккрецирующего вещества, и наличие регулярного тороидального магнитного поля.

Реальные распределения магнитного поля в аккреционных течениях не обязаны быть ни строго регулярными, ни тороидально-доминированными, и в этом смысле рассмотренная модель является достаточно идеализированной, отвечая некоторому предельному случаю в семействе моделей аккреции замагниченной плазмы. Однако такая постановка задачи имеет то преимущество, что позволяет проанализировать решение в полном объеме и тем самым выявить основные качественные особенности влияния магнитного поля на характер аккреционного течения.

В силу сходства геометрии течения (толстый диск) и физических условий (адиаба-тичность течения) с аналогичными в модели квазисферической аккреции при наличии малого конечного углового момента [6] в нашей работе использована та же методика расчета структуры течения - усреднение по вертикальной координате и сведение задачи к одномерной.

Замечательным оказывается тот факт, что соответствующая математическая модель во многом сходна с теми моделями квазисферической аккреции, в которых учитывается непренебрежимо малый угловой момент (полный или среднеквадратический), в том смысле, что магнитное поле оказывает воздействие на аккрецирующий газ посредством эффективной центробежной силы. Как показано нашими расчетами, тороидальное магнитное поле выполняет в точности ту же роль, что и угловой момент, и способно при определенных условиях затормозить течение вплоть до полной непротекаемости до центра симметрии. В последнем случае стационарные состояния невозможны.

Особый интерес представляют ситуации, когда в течении возможен кратный трансзвуковой переход. Двойной переход через скорость звука реализуется при наличии ударного скачка, расположенного на некотором расстоянии от аккретора. Его местонахождение допустимо в любой точке между внешней звуковой точкой, расположенной вблизи аккреционного радиуса, и границей аккретора.

Область допустимых значений параметров течения, при которых реализуется стационарное течение с ударным скачком, оказывается узкой, однако в данном случае для нас важна сама принципиальная возможность такого рода ударно-волнового течения. Являются ли полученные решения со стоячей ударной волной случаем общего положения, может ли область допустимых параметров быть расширена при учете дополнительных факторов, усложняющих и рафинирующих модель, - неадиабатичности, отклонения от тороидальной доминированности магнитного поля, отказа от приближения установления магнитогидростатического равновесия по вертикальной координате - должны показать численные эксперименты.

Summary ON A MODEL OF STEADY-STATE ACCRETION FLOW ONTO A BALCK HOLE IN THE MODE OF A THICK DISK WITH MAGNETIC FIELD

A.M. Zankovich

We show that the toroidal magnetic field in an axisymmetrical accretion flow can play the same role as angular momentum by preventing from fall of accreting material onto the centre of field. We use an assumption of axial symmetry of the flow, an assumption of smallness of angular momentum and an assumption of domination of toroidal component of the magnetic field. The latter condition is provided by the poloidal structure of currents, thus the disk is actually a closed solenoid. Averaging over vertical coordinate with the assumption of magnetohydrostatic equilibrium allows to reduce the system of MHD-equations to the system of ordinary differential equations for radial-dependent variables that converts the accretion model to the quasispherical one. The structure of the steady state flow is determined by two parameters. The first one is analogous to the Bondi parameter in the spherical accretion model without magnetic field, the other one specifies intensity of the magnetic field. We find the region with three singular points on a parameter plane. Two saddle-points meet the transonic transition. We also find the solution for a steady shock jump joining two transonic flows.

Список литературы

1. Бескин В.С. Осесимметричные стационарные течения в астрофизике. М.: Физматлит, 2004.

2. Коваленко И.Г., Лукин Д.В. Ударные волны в астрофизических газовых дисках: эффекты конечности толщины диска и вертикальных движений // Письма в Астрон. журн. 1999. Т. 25. С. 260-269.

3. Черепащук А.М. Поиски черных дыр // Успехи физических наук. 2003. Т. 173. С. 345-384.

4. Bisnovatyi-Kogan G.S., Ruzmaikin A.A. The accretion of matter by a collapsing star in the presence of magnetic field // Astrophys. Space Sci. 1974. V. 28. P. 45-59.

5. Bondi H. On spherically symmetrical accretion // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 1952. V. 112. P. 195-209.

6. Chakrabarti S.K. Standing Rankine-Hugoniot shocks in the hybrid model flows of the black hole accretion and winds // Astrophys. J. 1989. V. 347. P. 365-372.

7. Igumenshchev I.V., Narayan R. Three-dimensional Magnetohydrodynamic Simulations of Spherical Accretion // Astrophys. J. 2002. V. 566. P. 137-147.

8. Narayan R., Yi I. Advection-dominated accretion: A self-similar solution // Astrophys. J. 1994. V. 428. P. L13-L16.

9. Paczynsky B., Wiita PJ. Thick accretion disks and supercritical luminosities // Astron. and Astrophys. 1980. V 88. P. 23-31.