CC BY
11Поправки для спутников GPS (а) и ГЛОНАСС (б)
Анализ показал, что для различных спутников системы GPS модуль вектора ошибки априорной траектории AR =
AR^i + AR2v2 + AR^3 колеблется от ескольких десятков сантиметров до трех метров. Для спутников системы ГЛОНАСС из-за более грубого эфеме-ридного обеспечения в режиме реального времени модуль ошибки траектории составляет 30-50 м (примеры графиков поправок для спутников двух систем представлены на рисунке). Это говорит о том, что для более точного решения навигационных задач нецелесообразно вместе со спутниками системы GPS использовать информацию от спутников системы ГЛОНАСС без предварительного уточнения траекторных параметров каждого спутника. Оценка модуля вектора ошибки скорости AV = Д V^ + A+ Д^з Для спУтников обеих систем не превосходит 3 мм/с. Для оценки ошибки ускорения спутника проводилось численное дифференцирование ошибки скорости AV. Полученные ошибки ускорений не превосходили 3 • 10-7 м/с = 0,03 мГал.
Для тестирования алгоритма моделировались пропуски данных сервиса IGS. Оцененные координаты спутника в эти моменты сравнивались с пропущенными данными. Результаты моделирования показали, что разность между данными IGS и оцененными координатами составляет несколько миллиметров.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Leick A. GPS Satellite Surveying. 2nd ed. N.Y.: Wiley, 1995.
2. Голован А.А., Вавилова И.Б., Парусников И.А., Трубников С.А. Математические модели, методы и алгоритмы обработки измерений спутниковой навигационной системы GPS. Стандартный режим. М.: Изд-во Центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2001.
3. Глобальная навигационная спутниковая система ГЛОНАСС. Интерфейсный контрольный документ. Редакция 5.0. М.: КНИЦ ВКС, 2002 (http://www.glonass-center.ru).
4. Александров В.В., Болтянский В.Г, Лемак С.С., Парусников Н.А., Тихомиров В.М. Оптимальное управление движением. М.: Физматлит, 2005.
Поступила в редакцию
14.05.2007 После доработки
05.11.2008
УДК 524.338.2+524.37
НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ПЛОТНЫХ ОБОЛОЧЕК, ПОРОЖДАЕМЫХ ИОНИЗАЦИОННО-УДАРНЫМ ФРОНТОМ В МЕЖЗВЕЗДНОЙ СРЕДЕ
Г. Ю. Котова1, К. В. Краснобаев2, Р. Р. Тагирова3
Проводится численное моделирование формирования и ускорения нейтральной оболочки при распространении ионизационно-ударного фронта в сферическом газовом облаке. Определяются скорость и ускорение оболочки, изменение со временем ее массы. Результаты сравниваются с известными в литературе приближенными формулами. В рамках
1 Котова Гвиана Юрьевна — асп. каф. аэромеханики и газовой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
2 Краснобаев Константин Васильевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. аэромеханики и газовой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
3 Тагирова Рената Рифовна — асп. каф. аэромеханики и газовой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, мл. науч. сотр. ИКИ РАН, e-mail: [email protected].
вьсш. миск. ун-та. сер. 1, математика. механика. ¿UU9. л-о
5 1
двумерной модели исследуются рост малых возмущений скорости плотного газа и эффекты накопления массы и импульса в "пальцеобразных" конденсациях.
Ключевые слова: межзвездная среда, ударные волны, фронты ионизации, неустойчивости, область HII, оболочка.
The process of formation and acceleration of a neutral gas envelope during the propagation of an ionization-shock front in a spherical gas cloud is numerically modeled. The velocity and acceleration of the envelope as well as its mass variation with time are determined. The results obtained are compared with some approximate formulas known in the literature. The growth of small velocity perturbations in the dense gas and the effects of mass and momentum accumulation in "finger-like" condensations are studied in the framework of a two-dimensional model.
Key words: interstellar medium, shock waves, ionization fronts, instabilities, HII region, envelope.
Введение. Интерес к проблеме образования и распространения комплекса разрывов, содержащего ударную волну и фронт ионизации (ионизационно-ударный, или Ш-фронт), обусловлен важной ролью Ш-фронтов в формировании неоднородной структуры межзвездной среды (см. [1-3] и библиографии в них). Анализ устойчивости фронтов ионизации, их взаимодействия с межзвездной средой, эффектов неодномерности позволил определить характерные масштабы, структуру и параметры возникающих конденсаций.
В работах [4-6] было также показано, что распространение К-фронта в неоднородной среде может приводить к образованию и ускорению плотных слоев и (или) оболочек нейтрального газа. При этом становится возможным развитие неустойчивости типа Рэлея-Тейлора. Проявление неустойчивости существенно различается в двух предельных случаях. Если масштаб возмущений Ь мал по сравнению с толщиной оболочки 5, то возникают каплевидные уплотнения нейтрального газа [4, 5]. Однако для Ь ^ 5 возможно возникновение "пальцеобразных" конденсаций с существенно различающимися в продольном и в поперечном направлениях размерами и с высокой дисперсией лучевых скоростей [6, 7].
Применительно к конкретным объектам структура неоднородностей зависит, конечно, от параметров оболочки. Тем самым для сопоставления свойств конденсаций, предсказываемых теоретически, с данными наблюдений необходимо определить характеристики невозмущенной оболочки: ее толщину 5, ускорение д, плотность р и температуру Т нейтрального газа. С этой целью в работе проводится численное моделирование формирования и ускорения нейтральной оболочки при распространении ионизационно-ударного фронта в сферическом облаке. Определяются скорость и ускорение оболочки, изменение со временем ее массы. Результаты сравниваются с известными в литературе приближенными формулами. На основании результатов расчетов формулируется также приближенная модель динамики двумерных (плоских и осесимметричных) неустановившихся движений оболочки. В рамках этой модели исследуются рост малых возмущений скорости плотного газа и эффекты накопления массы и импульса в "пальцеобразных" конденсациях.
Математическая постановка задачи о взаимодействии ионизирующего излучения с нейтральным водородом. Качественные особенности динамики К-фронта хорошо известны и отражены в целом ряде обзоров и монографий (см. [1-3]). Достаточно полно исследованы и физические процессы ионизации, нагрева и охлаждения околозвездного газа, который подвергается воздействию ультрафиолетового излучения от внешнего источника.
Вместе с тем расчеты динамики газа сопряжены со значительными математическими трудностями, которые обусловлены многочисленностью процессов возбуждения и дезактивации уровней тяжелых элементов, необходимостью принимать во внимание спектральные характеристики поля излучения и вариации химического и ионного состава среды. Поэтому нами используется модель взаимодействия ионизирующих квантов с газом, опирающаяся на приближенный учет переноса излучения и на предположение о малости относительной распространенности ионов в высоких стадиях ионизации.
Система уравнений, описывающая движение частично ионизованной водородной плазмы с малыми содержаниями тяжелых элементов, имеет вид [1-3]
йр йУ
—- + рс1п^ = 0, р— +gradp = 0, М аЬ
р—г+р divv = [ [ avIv dvduj — Air f evdu, dt ' ' ' m
1 p
lgrad Iv = —avIv + ev, E =--
Y - 1 P
где искомыми функциями пространственных координат и времени t являются плотность р, скорость v, давление p, интенсивность излучения IV (v — частота квантов, Vh — частота ионизации водорода, и — телесный угол, av и eV — соответственно коэффициенты поглощения и излучения, l — единичный вектор, задающий направление распространения фотона). Напомним [1-3], что Iv есть количество лучистой энергии, переносимой фотонами в единицу времени через единичную площадку с нормалью l в единичном интервале частот и в единичном телесном угле. При определении l в каждой фиксированной точке пространства вводится сферическая система координат с полярным углом § и азимутальным углом р так, что l = {sin § cos р; sin § sin p; cos §}. Тогда в уравнении переноса излучения § и р являются параметрами, а дифференциал du = sin §d§dp. Таким образом, слагаемые в правой части уравнения притока тепла представляют собой энергию, соответственно приобретаемую и теряемую единичным объемом газа в единицу времени. В (1) предполагается, что среда является смесью совершенных газов (атомы, протоны и электроны) с показателем адиабаты y = 5/3.
Обозначим далее через пн, пн+ концентрации нейтрального водорода и протонов соответственно, а через тн — массу атома водорода.
Вводя затем степень ионизации s по формуле s = пн+/(пн + пн+), для р и p будем иметь следующие выражения: р = тн(пн + пн+), p = (1 + s)pkT/mH, E = (3/2)р/р, k — постоянная Больцмана.
Принимая во внимание радиационные процессы и кинетику фотоионизации, систему (1) дополним уравнением для изменения степени ионизации [1-3]:
оо
^ = (1 - s) [ [ани^- dudiü - ^ ан(Т), (2)
dt J J hv тн
iu
VH 4n
где ини — сечение фотоионизации, Н — постоянная Планка, аи(Т) — коэффициент фоторекомбинации,
а = пи-
Потери энергии, обусловленные многочисленными радиационными процессами возбуждения ионов, характеризуются коэффициентом излучения еи- В общем случае вид еи достаточно сложный, и поэтому далее была использована следующая аппроксимация еи -
В области ионизованного водорода помимо потерь энергии при фоторекомбинациях и свободно-свободных переходах учитывалось охлаждение, вызванное высвечиванием однократно ионизованных атомов кислорода, азота, серы. (Ионы в более высоких стадиях ионизации обильны лишь вблизи звезды.) Вне и внутри этой области практически полностью ионизованы углерод, неон, кремний, железо. Учитывалось также возбуждение второго уровня атома водорода, которое становится существенным при температурах в несколько тысяч кельвинов.
Как показали расчеты, результаты предлагаемой аппроксимации хорошо согласуются с результатами более сложной аппроксимации, приводимой, в частности, в монографии [2].
Система уравнений (1), (2) интегрировалась численно с использованием монотонной разностной схемы типа Лакса-Фридрихса. Перенос излучения учитывался в двух предельных случаях — большой и малой оптической толщины ионизованного газа. Поскольку формально отличие между этими приближениями сводится лишь к изменению коэффициента ан(Т), то ниже принимается, что ан(Т) есть суммарный коэффициент фоторекомбинации на все уровни атома водорода.
Обратимся теперь к рассмотрению сферически-симметричных движений, сопровождающихся образованием Ш-фронта и ускорением сжатого ударной волной газа.
Постановка задачи о расширении области ионизованного водорода в неоднородной среде. Следуя классическим представлениям об эволюции областей ионизованного водорода (или областей Н11) [1, 2], примем, что в начальный момент времени Ь = 0 в неподвижной среде с известными распределениями Т и р рождается звезда с температурой Т* и радиусом г*. Далее предполагаем, что при Ь > 0 величины Т* и г* остаются постоянными, а центр звезды совпадает с началом сферической системы координат. Спектр звезды считается планковским.
Возникающее движение и процессы ионизации и нагрева описываются уравнениями (1), (2). При этом независимыми переменными являются радиус г и время Ь.
В качестве начальных распределений плотности и температуры рассмотрим такую зависимость p(r, 0), T(r, 0), которая отвечает рождению звезды в облаке межзвездной среды.
Тогда в начальный момент времени естественно положить:
p(r) = ро = const, T(r) = To = const, s(r) = so = const при r ^ rc;
(3)
p(r) = pi = const, T(r) = Ti = const, s(r) = si = const при r > rc,
где rc — радиус облака при t = 0. Обычно pi ^ ро, To ^ Ti (для общности расчеты проводились и с To ~ Ti). Во избежание неопределенностей, связанных с учетом иных (кроме излучения звезды) источников ионизации, в расчетах принималось so = si = 0.
Граничными условиями при r ^ ж служили v = 0, p(r) = pi, T(r) = Ti, s(r) = si. Поверхность источника излучения (звезды) моделировалась непроницаемой сферой малого по сравнению с rc радиуса.
Поскольку уравнение переноса излучения не содержит производной по времени, то для Iv следует выставить только граничные условия. Поэтому интенсивность излучения Iv на поверхности звезды принималась равной функции Планка с температурой T* и нулю, когда r
Подчеркнем теперь отличия поставленной задачи от известных в литературе задач о сильном взрыве и о разлете плотного газа в среду низкой плотности [8-10].
В классической постановке задачи о сильном взрыве выделение энергии считается мгновенным, а возникающее движение — адиабатическим. В рассматриваемом же случае мощность теплоподвода конечна, а термодинамическое состояние среды определяется неравновесными радиационными процессами.
В проблеме разлета газового шара существенным является распространение к центру шара волны разрежения с последующим образованием комплекса разрывов, содержащего ударную волну. Однако хорошо известно [1, 2], что движение ионизационно-ударного фронта по направлению к границе облака происходит со скоростью, значительно превышающей скорости волн сжатия и разрежения в первоначально покоившемся холодном газе. Поэтому ионизационно-ударный фронт взаимодействует с волной разрежения на малом расстоянии от края облака и эффекты фокусировки, исследовавшиеся, в частности, в работе [11], не проявляются.
Отметим, что близкая к (3) постановка задачи рассматривалась ранее в [12]. Однако в этой работе исследовалось плоское одномерное течение и отсутствуют сведения о величине ускорения оболочки, об изменении со временем ее массы и толщины.
Возможность развития неустойчивости Рэлея-Тейлора на ранней стадии эволюции областей HII в неоднородной среде обсуждалась в работе [13]. Но при этом использовались данные расчетов, выполненных в пренебрежении рекомбинациями внутри I-фронта. Кроме того, накладывались существенные ограничения на темп охлаждения в слое газа между фронтами.
При известных r* и T* равенства (3) совместно с выставленными граничными условиями позволяет определить входящие в (1), (2) искомые функции.
Перейдем теперь к анализу решений сформулированной для системы уравнений (1), (2) краевой задачи.
Результаты расчетов. Хорошо известно, что расчет динамики области HII осложняется значительными (в несколько порядков) различиями между характерными временами газодинамических явлений и процессов кинетики фотоионизации, радиационного нагрева и высвечивания. Поэтому в настоящей работе расчеты выполнялись с таким разрешением по r и t, которое позволяло исследовать как структуру I-фронта, так и крупномасштабные движения ионизованного газа.
Для типичных условий в межзвездной среде проводились расчеты формирования плотной оболочки в окрестности горячей звезды с r* = 7,6R© (R© — радиус Солнца), T* = 3,09 • 104 K. Невозмущенная концентрация частиц, температура и размер облака варьировались, и ниже представлены результаты, относящиеся к теплой однофазной среде и к двухфазной среде. Здесь необходимо пояснить, что под термином "двухфазная среда" в астрофизических приложениях понимается среда, стационарное состояние которой представляет собой совокупность плотных холодных облаков нейтрального водорода, окруженных менее плотным горячим газом [1, 2].
Величина rc выбиралась так, чтобы плотность нейтральных частиц в оболочке, образующейся при выходе ионизационно-ударного фронта на поверхность облака, была достаточно велика.
Основные особенности распространения IS-фронта иллюстрируются рис. 1, на котором изображено распределение s, р, p и T в теплой однофазной среде в различные моменты времени (на рисунке время нормировано на rs/aT, где rs — радиус Стремгрена [2], ат — изотермическая скорость звука в полностью ионизованном водороде при температуре 104 K; r отнесено к rs, р — к po, T — к температуре 104 K). Значение концентрации nno в невозмущенном облаке с rc = 1,2 rs принималось равным 1 см-3, а pl/po = 0,1 и To = Ti = 1,67 • 103 K.
Можно видеть, что на начальном этапе формируется область практически полностью ионизованного газа, резкой границей которой служит ионизационный фронт. С увеличением расстояния, пройденного 1-фрон-том, интенсивность излучения ослабевает и продвижение фронта в нейтральный газ замедляется. Горячий газ расширяется, возникает ударная волна. Характерно, что на гидродинамической стадии изменения давления при переходе через фронт ионизации невелики, и это обстоятельство далее будет использовано при моделировании двумерных движений плотной оболочки.
Отметим, что аналогичные свойства движения имеют место и в случае распространения Ш-фронта в облаке двухфазной среды.
Для сопоставления с наблюдениями представляют интерес интегральные характеристики оболочки после выхода К-фронта на границу облака [4, 5]. Поэтому по данным расчетов были определены масса Мс, импульс П, скорость Уау и толщина нейтральной оболочки 5:
Гех t
Мс = 4п У т2р(1 — в) йт,
Ппъ
Гех t
П = 4п J т2рьг (1 — в) йт,
Уау = П/Мс, 5 = Тех! — Пп
где т^, тех! — соответственно внутренний и внешний радиусы оболочки.
Результаты вычислений представлены на рис. 2 для облака теплой среды (с теми же параметрами, что и на рис. 1) и для облака с тс = 1,5 т8 в двухфазной среде (пио = 102 см_3, Р1 /ро = 0,01, То = 20 К, Т = 2 х 103 К).
Штриховыми линиями показано относительное изменение Мс со временем в предположении, что в ионизованном газе выполнено условие Чепмена-Жуге, а ударная волна изотермическая [4, 5]. Несмотря на то что эти предположения, строго говоря, не выполняются, отличия от расчетных данных невелики. Однако толщина оболочки значительно (почти на порядок) превышает оцениваемую по барометрической формуле (приближенные значения 5 соответственно имеют порядок 0,03 и 0,0006). Тем самым оценки приводят к существенно заниженным значениям максимально возможных масс каплевидных конденсаций, которые, как считается [4, 5], пропорциональны 53.
Рис. 1. Пространственное распределение ионизации в (а), плотности р (б), давления р (в) и температуры Т (г) в моменты времени £ = 0,01; 0,3; 1,4 (кривые 1-3 соответственно)
Рис. 2. Зависимость интегральных масс, импульса, скорости и толщины оболочки от времени: а — однофазная среда, б —
двухфазная
Моделирование двумерных движений ускоренно движущейся оболочки. Как показано выше, выход IS-фронта на поверхность облака сопровождается ускорением образующейся оболочки. Наблюдаемые в космических условиях оболочки неоднородны, и в них присутствуют протяженные в радиальном направлении конденсации. Поэтому представляет интерес исследование развития возмущений параметров среды, приводящее к возникновению "пальцеобразных" структур и к накоплению в них массы и импульса газа. С этой целью проводилось численное моделирование неустановившихся плоских и осесимметричных адиабатических движений слоя (оболочки) холодного газа, который ускоряется под действием разности давлений на обеих сторонах слоя. Очевидно, что такая постановка задачи учитывает уже отмечавшуюся малость изменения давления при переходе через I-фронт, который приближенно может рассматриваться как тангенциальный разрыв. А условие адиабатичности, конечно, верно лишь для возмущений с достаточно малыми временами роста. Выбор же характерных масштабов возмущений определяется тем, что эффекты поглощения излучения ограничивают длину неустойчивых волн [6, 14]. В рамках принятых предположений система уравнений (1), (2) интегрировалась численно со следующими начальными условиями:
р = ро, T = To (x(1) ^^; р = Pi, T = Ti (x(11) < x(1) < x(11) + S); р = р2, T = T2 (x(1) >x11) + S);
их(1) = Acos(2nx(2)/A), ux(2) = Asin(2nx(2)/A) (x[1) < x(1) < x^ + S);
vx(i) = ux(2) = 0 (x(1) < x11), x(1) > x11) + S).
Здесь x(1), x(2) — пространственные координаты, причем для плоских движений они совпадают с декартовыми x, у, а в цилиндрической и сферической системах координат — это соответственно r, z и r, Невозмущенному положению слоя отвечает координата x(1) = const. Как и выше, в цилиндрической и сферической системах координат присутствие поверхности источника моделировалось непроницаемой сферой (цилиндром).
Расчеты проводились при различных значениях параметров среды, по порядку величины близких к вычисленным выше. Основные полученные при этом результаты заключаются в следующем. Для длинноволновых возмущений с S ^ L возникновение отчетливо выраженных протяженных конденсаций происходит лишь при достаточно большом (порядка десяти и более) отношении р1/ро- При этом примерно половина массы оболочки сосредоточена в сравнительно узкой (0,1 — 0,2)L) области и дисперсия скоростей частиц составляет примерно 0,4ат0 (ат0 — изотермическая скорость звука при T = To). Эти особенности иллюстрируются рис. 3 для плоского слоя (а), цилиндрической (б) и сферической (в) оболочек с начальным отношением р1/ро = 50, р2/ро = 1, T2 = T1, S/L = 0,05 и A = —0,1 (в координатах r, $
масштаб L = x^A). На рисунке показано отклонение интегральной по координате x(1) плотности массы me(x(2)) от ее значения в начальный момент времени (в единицах поверхностной плотности оболочки при t = 0). Штрихпунктирными линиями на рис 3, а показаны внутренняя и внешняя границы оболочки в
момент времени t = 8 (время отнесено к г3/ат0). Для вариантов б и в нормированные значения x^ равны соответственно 8 и 1,5.
Рис. 3. Распределение те в моменты времени £ = 4; 6; 8 для двумерных возмущений в декартовой (а), цилиндрической (б) и сферической (в) системах координат; штрихпунктирные линии —
границы слоя в момент времени £ = 8
В целом полученными результатами подтверждаются эффекты кумуляции массы, предсказываемые инерционной моделью. Вместе с тем количественное проявление этих эффектов существенно зависит от плотности и геометрии оболочки вследствие фокусировки отстающих частей конденсации и падения давления в ее отстающих областях.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Баранов В.Б., Краснобаев К.В. Гидродинамическая теория космической плазмы. М.: Наука, 1977.
2. С'питцер Л. мл. Физика межзвездной среды. М.: Мир, 1981.
3. Mihalas D., Weibel-Mihalas B. Foundations of radiation hydrodynamics. N.Y.: Dover Publications, Inc., 1999.
4. Capriotti E.R. The structure and evolution of planetary nebulae // Astrophys. J. 1973. 179. 495-516.
5. Capriotti E.R., Kendall A.D. The origin and physical properties of the cometary knots in NGC 7293 // Astrophys. J. 2006. 642. 923-932.
6. Краснобаев К.В. Неустойчивость тонкой фотоиспаряемой оболочки // Письма в Астрон. журн. 2004. 30, № 7. 500-505.
7. Голубятников А.Н., Зоненко С.И., Черный Г.Г. Новые модели и задачи теории кумуляции // Успехи механики. 2005. 3, № 1. 31-93.
8. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1965.
9. Коробейников В.П. Задачи теории точечного взрыва. М.: Наука, 1985.
10. Баутин С.П., Дерябин С.Л. Аналитическое моделирование истечения идеального газа в вакуум // Успехи механики. 2006. 3, № 1. 31-93.
11. Зверев Н.Н., Душин В.Р. Численное исследование задачи о распаде произвольного разрыва в случае цилиндрической или сферической симметрии // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1997. № 4. 62-65.
12. Tenorio-Tagle G. The gas dynamics of HII regions. I: The champagne model // Astron. Astrophys. 1979. 71. 59-65.
13. Welter G.L. The structure and dynamics of HII regions // Astrophys. J. 1980. 240. 514-523.
14. Mizuta A., Kane J.O., Pound M.W., Remington B.A., Ryutov D.D., Takabe H. Hydrodynamic instability of ionization fronts in HII regions // Astrophys. J. 2005. 621, N 2. 803-815.
Поступила в редакцию 09.06.2007
УДК 531.36
ДВИЖЕНИЕ ОДИНОЧНОЙ ГРАДИНЫ Б. Я. Локшин1
Рассмотрено вертикальное движение (подъем и спуск) одиночной градины в восходящем потоке переохлажденной среды с учетом изменения ее массы. Построена математическая модель движения на основе теоретических и экспериментальных данных о процессе роста градины. На базе этой модели получены оценки высоты подъема градины, ее максимального размера, времени подъема и возвращения на первоначальную высоту. Построены простые формулы для получения приближенных значений этих характеристик.
Ключевые слова: тело переменной массы, одиночная градина, математическая модель, качественный анализ, оценивание параметров движения.
A vertical motion (up and down) of a single hailstone in an upward flow of supercooled air is studied with consideration of hailstone mass changes. A mathematical model is developed on the basis of theoretical and experimental data on the process of hailstone growth. This model is used to estimate the height of hailstone ascent, its maximum size, the time of its upward
1 Локшин Борис Яковлевич — канд. физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. НИИ механики МГУ, e-mail: [email protected].
