CC BY
29
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 3. С. 89-97 Механика
УДК 539.3
Неустановившееся движение жёсткопластического осесимметричноного тела по внутренней поверхности конуса
(обжатие) *
А. А. Маркин, Лыу Туан Ань
Аннотация. Исходя из системы уравнений, моделирующих процесс неустановившегося равновесного движения жёсткопластического осесимметричного тела по конической поверхности, определены характеристики напряженного и деформированного состояния заготовки в процесс её обжатия при движении по конической матрице.
Ключевые слова: неустановившее равновесное движение, жёсткопластическое осесимметричное тело, коническая матрица, жёсткопластический материал, процесс обжатия, дискретные уравнения.
Введение
В работе [1] дано описание установившегося процесса движения тонкого тела по конической поверхности в рамках жёсткопластической модели Треска. В статьях [2, 3] получена общая система уравнений, описывающая неустановивщееся движение осесимметричных тел по поверхностям в эйлеровых координатах при условии пластичности мизеса. В статье [4] определены характеристики напряженно-деформированного состояния заготовки в процесс её раздачи при нестационарном течении по конической матрице.
В данной статье рассматривается нестационарное течение по конической матрице в процессе обжатия.
Постановка задачи
Пусть заготовка в начальном состоянии находится внутри конической поверхности, имеет постоянную толщину Ло. Положения верхнего и нижнего
* Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (госзадание № 467).
торцев заготовки в начальном состоянии задаются координатами (0)5*1 и тогда 1о = (0)52 - (0)^1 — начальная длина заготовки. Нижний торец движется к точке О вверху со скоростью VI, а верхний торец не нагружен.
Рис. 1. Течение материала по внутренней поверхности конуса
Представление системы уравнений в безразмерном виде
В работе [4] система уравнений, описывающая движение заготовки, приведена к следующему безразмерному виду:
dj Л sin y ( 1 1 dh \ ( 2п \
- Y - 1Л +1 — íWy + 2t , (1)
dx S cos (y + VS h dx J \ 3 /
dV = Л у cos Y (2) dx S cos (y + dh hdV hTr
дт = даХ + SSV (3)
dV = - дЛ
дх дт dS (x, т)
(4)
= -V (x,t), (5)
дт
где х = (50 - (1)50) /10 ; т = ((2)50 - (2)5) /10 .
Таким образом, имеем систему пяти нелинейных уравнений (1)—(5) в частных производных относительно пяти неизвестных. Сформулируем граничные условия для случая, когда задано движение нижнего торца (2)50, а верхний торец свободен от напряжений, тогда
V (x) lx=1 = -1,
(6)
п
Y (x)|x=0 = о
I x=0 н0 "11 lx=0
Принимаем следующие начальные условия:
°"iilx=o = 0-
h|T=o = ho ; dX
= Л|т=0 = 1 ; S |т=0 = So = x + a.
(7)
(8
т=0
Подставим начальные условия в уравнение (3). В результате получим
дТс
dx
sin Y0
x + a cos (y0 + )
1 / 2п
—— tg Y + x + a V 3
(9)
Уравнение (9) с граничным условием
п
7о (х)|х=о = 3
позволяет найти распределение угла вида 70 (ж) в начальный момент.
Из (2) с учетом (8) следует уравнение, определяющие поле скоростей Ро (ж) в начальный момент:
dV) V0
cos Y0
(10)
dx x + a cos (Y0 + 2t)' Граничное условие V0|x=1 = -1.
Если из (9), (10) найдены функции Y0 (x) и V0 (x), то из (2) и (3) находим производные по «времени» от кинематических характеристик в начальный момент:
дл
дТ
dh дТ
т=0
т=0
. , dV0 h0
= h^--+ — V0
dx S0
dV0; dS
dx ' дт
= -V0 (x)
т=0
Дискретизация системы (1)—(8) по переменной х
Для уточнения представления производных от скорости по координате используем неявную схему дискретизации, тогда
дx
1 / Vi+1 - Vi-1
2 I Ax
(11)
Использование неявной схемы для дискретизации приводит к системе нелинейных уравнений относительно узловых перемещений поэтому будем определять 7^ (ж) из уравнения (1) по явной схеме. В результате
1
x=x
сочетания явной и неявной схем система (1)—(5) сводится к следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений по «времени» относительно узловых величин:
АгДж sin(Yi_i) / АгДж hi+1 - hi-Л / 2п\
Yi = Yi-1 cos (7i_i + f ) Л^T + MYi-1 + '
(12)
V V = 2А*ДхУ cos Yi (13)
Vi+1 - Vi-1 = ~ Vi cos (Yi + f) ' (13)
^ = -Vi, (14)
ar
dAi 1 V+1 - Vi_1
> (15)
dr 2 Дх
dhi hi Vi+1 - Vi_1 hi
df = Ai 2Дх + SiVi- (16)
Система (12)-(16) интегрируется при следующих краевых условиях: Yo (т) = 3 — угол вида в начальной точке х = 0 соответствует отсутствию напряжения ац на верхнем торце;
РП (т) = -1 — граница детали х = 1 движется с постоянной единичной скоростью.
Начальные условия для системы (12)-(16) имеют вид: hi|T=o = ho — толщина детали в начальный момент постояна; Ai|T=o = 1 — деталь в начальный момент не деформирована; Si|T=o = Soi = Дх.г — текущие координаты в начальный момент совпадают с начальными.
Дискретизация системы (12)—(16) по «времени»
Разобъем интервал по «времени» на т отрезков Дт. Значение неизвестных узловых функций в момент т = Дтк обозначим Y; Л^;
Здесь к = 1,2,..., т. Уравнения (12), (13) запишем в «момент» к — 1. Это позволит при к = 1 учитывать начальные условия. Дискретная форма уравнений (12), (13) принимает следующий вид:
_ _ Лк—МАж 8Ш 7к-М-1
7к— 1 ,г 7к— 1,г— 1 0 / , 2п \
Ьк-1,г 008 (7к—1,г—1 + 2п) Лк;—1,гАж . 1,г+1 — 1,г— 1 \ , / . 2п
+ --!--1,г— 1 + "Г" ,
^к—1,г 2Лк;— 1,г ) \ 3 / (17
П .
7к—1,0 _ 3; £о,г _ Аж.г + а;
Ло,г _ Ло _ ооп81; _ ; ^,„+1 _ Лк,га;
2АхЛк— М 008 7к_1,г
^к—1,г+1 - ^к—1,г—1 _ —-7-^к—
^к—1,г 008 (7к— М +
Рк—1,„ _ -1; Рк—1,„+1 _ -1; Ло,г _ 1; £о,г _ Аж.г + а.
(18)
Отметим, что в уравнения (17) и (18) входят начальные и краевые условия.
Для интегрирования эволюционных уравнений (14)—(16) используем явную схему Эйлера. В результате получаем:
_ ^к— 1,г — Атрк— 1,г,
£о,г _ Аж.г + а, 1 Ат
Лк,г _ Лк—1,г — 2 д^ 1,г+1 — ^к—1,г—0 ,
Ло,г _ 1
, , , , л /^—1,1+1 — ^к—1,г—1 , ^к—1,г
_ Лк—1,г + Л:—1,гАт -—----+
(19)
(20)
Ло г _ Ло _ 00П81 .
(21)
Последовательность решения системы уравнений (17)—(20)
Решение строится на последовательности шагов по «времени». Для каждого значения к _ 1,2,...,т находятся соответстующие значения искомых функций в узловых пространственных точках ж. Для построения решения в начальный момент принимаем к _ 1. В этот момент уравнение (17) принимает с учетом начальных условий следующий вид:
Дх йШ Y0,г-l Дх / 2п\
Y0,г = Y0,г-1 - д-Г";--т-- "Т-—- Y0,г-1 + "Г"
' ' Дх.г + а сой ^0,г-1 + 2т) Дхд + а \ 3 /
п
Yo,o
3
(22)
Из (22) определяем последовательно Y0,г для г = 1,2,..., п. Зная Yo,г, определяем узловые значения скорости при к = 1 из (18):
2Дх сой Y0,' (Дх.г + а) сой + 2т)
^0,г+1 — = —-;---—!-2ПГ
, . .. , (23)
^0,«. = —1; ^0,га+1 = - 1
Для определения Т/0,г необходимо решить систему линейных уравнений (23). Определив У0,г, переходим к определению £1>г; Л1>г; А1>г. Из (19)-(21) при к = 1 получим
51,» = 50,г - ДтУ0,г = Дх.г + а - Дт^г, (24)
1 Дт
А1,г = 1 - ^ ДХ (Чг+1 - ) , (25)
Л1,г = Л0,г + Л0,гДт —^-т-—^--+ —^ . (26)
\ 2АМДх 51,»)
После определения 51>г; Л1>г; А1>г полагаем к = 2 и переходим снова к решению уравнений (17) и (18), а затем к (19) и (20). Далее цикл продолжается до заданого к = т момента «времени».
На рис. 2-5 приведены зависимости характеристик напряженного-деформированного состояния от координаты X для последовательных значений параметра т. При вычислении Дх принималось равным 10-3 и Дт = 3Дх. В качестве лагранжевой переменный принимается координата X = 1 - х с началом отсчета в точке А.
Рис. 2. Закон изменения толщины заготовки при различных шагах
«времени»
Рис. 3. Закон изменения напряжения 7ц при различных шагах «времени»
Рис. 4. Закон изменения напряжения <22 при различных шагах «времени»
Из графиков, показанных на рис. 2 следует, что толщина заготовки с ростом «времени» увеличивается, причем толщина верхнего торца увеличивается больше чем нижнего. Из графиков, показанных на рис. 3 и рис. 4 следуют, что напряжения <ц и <22 сжимающие. При этом с ростом «времени» они изменяются незначительно.
Рис. 5. Закон изменения нормального давления при различных шагах
«времени»
Из графиков, показанных на рис. 5, следует, что с ростом «времени» нормальное давление увеличивается, причём в окрестности нижнего торца меньше, чем в окрестности верхнего торца.
Список литературы
1. Ильюшин А.А. Труды (1946-1966). Т. 2. Пластичность. М.: Физматлит, 2004. 480 с.
2. Маркин А.А., Лыу Туан Ань. Движение тонкого жёсткопластического тела по поверхности с осевой симметрией // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып. 3. С. 93-101.
3. Маркин А.А., Лыу Туан Ань. Движение тонкого жёсткопластического тела по конической и тороидальной поверхностям // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 154-156.
4. Маркин А.А., Лыу Туан Ань . Нестационарное течение жёсткопластического осесимметричноно тела по конической поверхности // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2014. Вып. 2. С. 164-173.
Маркин Алексей Александрович (markin-nikram@yandex.ru), д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Лыу Туан Ань (myname_is_luutuananh@yahoo.com), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
The nonstationary motion of a rigid-plastic axisymmetric body on a inner surface of a cone (compression)
A. A. Markin, Luu Tuan Anh
Abstract. Based on system of equations describing nonstationary motion of axisymmetric body, in which the body material is rigid-plastic incompressible, to view the change characteristics of the strain state and the angle of view stressed during transition of material on the conical matrix.
Keywords: velocity field gradient, velocity deformation tensor, equilibrium motion, rigid-plastic materials, conical matrix, transitional motion, loop-system.
Markin Alexey (markin-nikram@yandex.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of department, department of mathematical modelling, Tula State University.
Lyu Tuan An' (myname_is_luutuananh@yahoo.com), postgraduate student, department of mathematical modelling, Tula State University.
Поступила 09.06.2014
