CC BY
29
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 3. С. 177-186 ^ Механика
УДК 539.3
Формоизменение поперечных сечений балки при ее конечном чистом изгибе *
A.A. Маркин, А. С. Харламов
Аннотация. Рассмотрены перемещения свободной балки в плоскости ее поперечных сечений в процессе ее конечного чистого изгиба. В рамках теории упругости получены точные решения для поля перемещений точек балки в случае конечных поворотов срединной линии и с учетом малости деформаций в плоскости поперечных сечений. Помимо этого при построении решения были найдена функция для определения сдвиговых деформаций.
Ключевые слова: балка, чистый изгиб, поперечное сечение, конечный поворот, теория упругости, сдвиговые деформации.
Рассмотрим начальное состояние балки, имеющей прямоугольное поперечное сечение. Геометрические размеры балки:
2 2 2 2 2 2 Система координат, а также изображение балки в ненагруженном состоянии представлены на рис. 1.
. Л2
1 —4----
Рис. 1. Начальная конфигурация балки
Рассмотрим конечный чистый изгиб балки под действием двух равных по модулю, но противоположных по направлению моментов, приложенных к торцам Х\ = ^ и Х\ = — В силу того, что изгиб чистый, срединная линия в нагруженном состоянии приобретет вид дуги окружности (будет иметь одинаковую во всех точках кривизну). При описании поля перемещений точек поперечного сечения будем использовать следующие гипотезы:
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 15-01-01875-а).
- поперечные сечения, перпендикулярные срединной линии в начальном состоянии, останутся перпендикулярными к срединной линии и в деформированном состоянии;
- деформации в плоскости поперечных сечений малы, а поворот в плоскости Х\Х2 считаем конечными.
Рассмотрим радиус-вектор До произвольной точки в начальном состоянии:
До = г0 + Х2ё2 + Х3ё3, г0 = Х{ёъ (1)
где го - РаДиУс вектор точки срединной линии в начальном состоянии. В деформированном состоянии радиус-вектор этой же точки срединной линии можно записать с помощью вектора ее перемещения:
з = г0 + й(Х 1). (2)
Ниже представлена срединная линия балки в деформированном состоянии (рис. 2).
Вектор т\ — касательный к срединной линии, т2 - нормаль к срединной линии, тз — параллельный декартовому вектору ёз. Связь векторов т* (г = 1,2,3) с декартовым базисом можно записать, используя угол поворота 7:
т\ = соз7ё1 — 8Ш7ё2,
г 2 = 8Ш7ё1 + С08 7ё2, (3)
т3 = ёз.
Радиус-вектор произвольной точки балки в деформированном состоянии можно записать в следующем в следующем виде:
Я = 3 + (Х2 + Хз)) Т2 + (Хз + (Х2,Х3))т3, * (4)
* Далее функции Ю2 и гиз будут фигурировать без указания аргументов.
где ^2(^2,-^3), — неизвестные функции, характеризующие пе-
ремещения в поперечных сечениях, при этом тоI — = О-
'Х2=Хз=0 'Х2=Хз=0
Далее найдем зависимость угла поворота 7 от координаты Х\. Пусть длина срединной линии в деформированном состоянии изменяется в а раз, а ее радиус кривизны равен р (рис. 3).
Рис. 3. Определение зависимости угла поворота от продольной
координаты
Тогда для определения длины дуги окружности используем следующую зависимость:
АХ1=р7 7№) = ^ь (5)
Определим радиус-вектор произвольной точки срединной линии в деформированном состоянии. По определению касательный к срединной линии вектор т 1 определяется выражением
1 1
(6)
ахх а ах1'
Подставляя (2) и (3) в (6) и учитывая зависимость (5), получаем уравнения для определения компонент перемещений точек срединной линии:
(1и
0) х (ХХА 1
(7)
йХх
ж=-Азт ) •
Начальным условием для уравнений (7) будет служить тот факт, что точка, совпадающая с началом координат в начальном состоянии, перемещаться не будет, то есть
u
(0)
X1=0
u
(0)
X1=0
0,
du
(0)
dXi
du
(0)
x1=0
dXi
x1 =0
Решая уравнения (7) с начальными условиями (8), получаем вектор перемещений точек срединной линии:
u(0) =
^рsin ^pX^ - X^ ei + p ^cos ^~pX^j - ^ e2-
(9)
Перейдем к определению аффинора деформации Ф. Для этого найдем векторы материального базиса эг = dXt- •
Э1 = dX + (X2 + W2) ddX (cos Yei - sin 752) = = Л cos 7ei — Л sin 7e2 + — (X2 + w2) (cos 7ei — sin 7e2) =
= Л (p + X2 + W2) t 1; p
_ Л , dw2\_ , dw3 _ Э2 =i1+ 0X2) t 2 + dX2 t 3;
(10)
эз =11+ ох,) т3 + дхт2-
По определению аффинор связывает между собой векторы материальной системы в начальном и конечном состояниях:
Эг = ei ■ Ф.
Тогда компоненты аффинора можно найти из следующего соотношения:
Фу = эг • ei.
(11)
Подставляя в (11) найденные ранее векторы материального базиса (10), получаем аффинор деформации Ф в разложении по диадам начального декартова базиса:
i
2
i
0
Ф
^ - (р + Х2 + №2)008 7 - — (р + Х2 + №2) 81п 7 р / \ р I 1 + тгз^- I 811
дХ2
81П 7
V
дШ2 дХз
1 , д^2\
1+ дх2)0087
81П 7
д-Ш2 дХз
008 7
0
дшз дХ2
(1+И)/
• (12)
Найдем тензор деформаций ф. По определению тензор ф связан с аффинором деформации следующим соотношением:
1
Ф = 2 (ф • ФТ - ф)
Считаем деформации в плоскости поперечных сечений малыми, а также, что толщина балки мала и 1 + р — 1. Кроме того, ^Иш Х2 =0, тогда
перемещения ш будут малы по сравнению с Х2, то есть Х2 + ш — Х2. В этом случае линеаризованный тензор Ф будет иметь компоненты
( е(°) + Х2 е11 + 11 Р
0 0
0
дш2
дХ2 дш2 дш3
дХз + дХ2
0
дш2 дш3
дХз + дХ
дшз дХз
\
(13)
где е<? = 1 [—2 - 1]. _
Рассмотрим напряженное состояние. Напряжения разложим по базису т¿:
§ = аиТгТг, г = 1, 2, 3-
(14)
Так как ^ 1, из (10) получаем, что
-х- -1 1- - -2 -
э1 — —т 1, э — — т 1 э2 — э = т 2, —
Далее запишем условие равновесия:
V • Ф = 0,
— —з —
эз = э = ез-
(15)
(16)
где V = э • дх.
Подставляя тензор напряжений (13) в условие равновесия (16) и учитывая соотношения (15), получаем следующие уравнения равновесия:
е
( доп
ЗХ\ '
<
^ + 1 (022 " Оц) = 0, (17)
дХ2 Р
дозз
дХ3
0.
Из первого уравнения получаем, что о11 = о11 (Х2,Х3), а третье уравнение удовлетворяется условием 033 = 0.
Полагаем, что «повернутый» тензор напряжений
§ = ОцТгТг, I = 1, 2, 3
я
связан с тензором малых деформаций законом Гука:
£11 = Е (он - V (о22 + 033)),
£22 = -1 (о22 - V (оц + озз)) , (18)
Е
£33 = Е (озз - V (о22 + оц)) ,
где V — коэффициент Пуассона, о = о^— первый инвариант тензора напряжений.
Далее из обобщенного закона Гука (18) выразим напряжения через деформации и представим их в безразмерном виде:
Оц = £ц + V£22, (19)
022 = £22 + V£ll, ( )
и подставим их во второе уравнение системы (19):
д , 1 — V , . . .
"Г^Т" (£22 + V£ll) + - (£22 - £11) = 0. (20)
дХ2 р
Используя компоненты тензора деформаций (13), запишем уравнение (20) через искомую функцию -ш2:
^2 + V + 1 - V ( дШ2 ХЛ =0 (21)
+ р + - -р) =0- (21)
В силу малых деформаций ^^ - х^) ~ 0, и условие равновесия
принимает вид:
2
Дважды интегрируя (22) по Х2, получаем:
^ = - ^ (22) дХ2 р У >
иХ 2
Ш2 = - + С1 (Хз) Х2 + С2 (Хз) • (23)
2р
Так как ш2| =0, то
х2=х3=п
С2 (Хз) = 0- (24)
Функцию С (Хз) определяем из условия равенства нулю напряжений на зерхности Х2 = ± ^т:
(221 , =0- (25)
Х2 = ± ^
Из (13) и (19) получаем распределение напряжений в безразмерном виде:
дш2 Х2 , л
Г22 = дХ2 + "-р; (26)
- 1-V2
где (Г22 = о22.
Подставляя (23) в (26), получаем:
(22 = С (Хз) • (27)
Используя условие (25) и закон распределения (27), определяем искомую неизвестную:
С = 0- (28)
Закон распределения напряжений с учетом (28) принимает вид:
(22 = 0- (29)
Подставляя (24) и (28) в (23), окончательно находим неизвестную функцию ш2:
Ш2 = -Vх - (30)
2р
Вернемся к третьему равенству (18), принимая во внимание, что озз = = о 22 = 0:
езз =--(31)
Из (31) выразим распределение напряжений оц и перейдем к безразмерному виду:
1 - V2
(11 =--V—езз, (32)
- 1-V2
где Гц = —ои.
Подставляя компоненту езз из (13), получаем уравнение
1 - и2 с^з ,
Г11 = ——ох;- (33)
Далее подставим первое равенство из (19) в (33) и используем найденные компоненты тензора деформаций (13):
дw3 V Х2
дХз 1 - V2 р Интегрируя (34) по Хз, получаем искомую функцию wз:
(34)
wз = Х2Хз + с (Х2) - (35)
1 - V2 р
Из условия w31 =0 следует, что
х2=х3 = п
с (Х2) = 0,
а функция (35) будет иметь вид:
V Х2Хз (36) wз = - --2---(36)
1 - V2 р
Таким образом, найденные функции (30) и (36) описывают поле перемещений точек поперечного сечения балки.
Вернемся к тензору деформаций (13) и определим сдвиговые деформации е2з = ез2 = щ3 + , используя найденные функции (30) и (36):
е2з = ез2 = - г-2 —з - (37)
1 - V2 р
Сравним полученный закон распределения напряжений на торцах с полученным, например, в книге Л.И. Седова [4]. Из формулы (19) обобщенная компонента г11 будет равна:
Г11 = (1 - V2) ——, (38)
р
а компонента оц:
011 = —2 - (39)
р
Закон распределения, полученный Л.И. Седовым, с одной стороны:
МХ2 , л
о11 = -I1, (40)
где М — изгибающий момент, I — момент инерции поперечного сечения вокруг оси ОХ3.
С другой стороны, кривизна изогнутой оси балки равна:
1М
р = т- (41)
Выражая из (41) отношение ^ = Е и подставляя его в (40), мы получаем закон, полностью совпадающий с законом распределения напряжения ои (39).
Список литературы
1. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.
2. Маркин А.А. Христич Д.В. Нелинейная теория упругости: учебное пособие. Тула: ТулГУ, 2007. 92 с.
3. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.-Л.: Гостехиздат, 1948. 211 с.
4. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. М.: Наука, 1970. 568 с.
5. Филоненко-Бородич М.М. Теория упругости. М.: Государственное изд-во физико-математической литературы, 1959. 364 с.
6. Харламов А.С. Деформации поперечных сечений балки при ее конечном чистом изгибе // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 3. С. 138-147.
7. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, 1986. 256 с.
Маркин Алексей Александрович (markin-nikram@yandex.ru), д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой математического моделирования, Тульский государственный университет.
Харламов Алексей Сергеевич (a_kharlamov89@mail.ru), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Form change of cross-sections of the beam at its finite pure bending
A. A. Markin, A. S. Kharlamov
Abstract. A research of the cross-sections movements of a free beam in the course of its finite pure bending. Within the theory of elasticity exact function for
the vector of movements for final rotations of the beam's median line and with considering a small deformations of the cross-sections was received. In addition function for definition of shift deformations were found at creation of the decision.
Keywords: beam, pure bending, cross section, finite rotations, theory of elasticity, shift deformations.
Markin Alexey (markin-nikram@yandex.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of department of mathematical modelling, Tula State University.
Kharlamov Alexey (a_kharlamov89@mail.ru), postgraduate student, department of mathematical modelling, Tula State University.
Поступила 13.04-2015
