CC BY
21
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 154-165
Механика
УДК 539.3
Движение тонкого жёсткопластического тела по конической и тороидальной поверхностям
А. А. Маркин, Лыу Туан Ань
Аннотация. В эйлеровых координатах получены системы уравнений, описывающие установившееся движение тонкого осесимметричного тела по тороидальной и конической поверхностям. Материал тела полагается жёсткопластическим, несжимаемым. В отличие от системы уравнений, полученной А.А.Ильюшиным при условии пластичности Треска, в данной статье используются условия Мизеса. Установлено изменение характеристик деформированного состояния и угла вида напряженного состояния при течении по комбинированным поверхностям, в частности, при переходе от конической матрицы к тороидальной.
Ключевые слова: градиент поля скоростей, тензор деформации скорости, равновесное движение, жёсткопластический материал, коническая и тороидальная матрицы.
1. Система уравнений установившегося течения по осесимметричным поверхностям
А.А.Ильюшиным в монографии [1] приведена система уравнений, описывающая установившиеся течения (не зависящие от времени) при условии пластичности Треска. В [2] рассмотрены установившиеся течения жесткопластических материалов в рамках условия Мизеса. Разрешающая система уравнений имеет следующий вид:
(1.1)
(1.2)
(1.3)
dV\ cos a cos 7 , .
dS r cos (7 + ) b
an = V2r(S) sin ^7 + ; a22 = -V2r(S) sin7. (1.5)
Здесь (1.1) и (1.2) — уравнения равновесия; уравнение (1.3) определяет закон изменения толщины; (4) — условие совместности. Используются следующие обозначения: S — дуговая координата; r — цилиндрическая координата; Pi(S) — тангенциальная составляющая, которая задает закон трения между поверхностью тела и опорной поверхностью; P3(S) —
нормальная составляющая реакции на тело со стороны опорной поверхности; т— предел текучести; h(S) — закон изменения толщины; y(S) — закон изменения угла вида; V1(S) — поле скоростей ; a — угол между касательной к опорной поверхности и вектором er .
Подставляя в (1.3) dS из (1.4), получим
d ln h cos a ( cos 7 \
S = -— V + coseTTW. (1'6)
Рассмотрим случай отсутствия трения, когда Pi =0. Тогда уравнение
(1.1) принимает вид
d ln h / 2п\ d / / 2п\\ ,
-r sin 7 + — + — r sin 7 + — + cos a sin 7 = 0. (1.7)
dS V 3 / dS V V 3
Подставим в (1.7) выражение из (1.6). Дифференцируя второе
слагаемое выражения (1.7) и учитывая, что dS = cos a, получим следующее уравнение:
,/ 2п\ . d ( , ( 2п\\
— cos a cos 7tg 7 +--+ cos a sin 7 + r— sin 7 +------=0.
V 3 ) dS V V 3 / /
Поделив левую и правую части на cos a, с учетом того, что cosa dS = dr, в результате получим уравнение с разделяющимися переменными
2 / 2п \ , / 2п \ dr , .
^co4Y + Т) d sm(Y + Т) = У (L8)
Уравнение (1.8) позволяет определить зависимость угла вида напряженного состояния от дуговой координат. Используя систему уравнений (1.2), (1.3), (1.8), можно получить законы изменения угла вида 7, толщины h, давления Pi в зависимости от дуговой координаты для различных осесимметричных поверхностей.
2. Течение по поверхности тора
Рассмотрим течение материала по поверхности тора, как показано на рис. 2.1. При этом радиус кривизны не изменяется, а кривизна отрицательная. Так как при 5 = 0 напряжение стц = 0, то из (1.5) получим 7і = — 2П и гі = ОА — р.
Интегрируя (1.8) от значения 7 = 71 до текущего значения, а правую часть от значения 51 до текущей длины, получим зависимость угла вида напряженного состояния от 5:
Рис. 2.1. Схема процесса течения
Зависимость угла вида Y от дуговой координаты S приведена на рис. 2.2. При этом используются безразмерные (отнесенные к начальному радиусу) величины.
Из выражения (1.3) получим уравнение для определения зависимости толщины от дуговой координаты S:
1 dh cos (f - в) Л cos y \ sin (f) / cos (y + f )\
h dS OA - p cos в V + cos (y + 2f) / oa - p cos ( - ) \ cos (y + 2f ) /
(2.2)
На рис. 2.3 показана зависимость толщины от дуговой координаты S.
Из уравнения (1.2) получим закон изменения давления на тело со стороны опорной поверхности:
О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
-1.6 -1.7 -1.8 у -1.9 -2 -2.1 -2.2
S
Рис. 2.2. Зависимость угла y от дуговой координаты S
3.2 3
2.8
h 26 2 А
2.2 2
О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
5
Рис. 2.3. Зависимость толщины h от дуговой координаты S
“Гй = ( OA — р cos в. sin ( 2 — ft) si” Yi — si” (7‘ + 2n)) ■ (2'3)
На рис. 2.4 показан закон изменения безразмерного (отнесенного к величине \/2т(S)) давления на тело со стороны опорной поверхности.
5
Рис. 2.4. Зависимость нагрузки Рз от дуговой координаты 5
3. Течение по конической поверхности
Рассмотрим течение материала по конической поверхности, как показано на рис. 3.1.
Рис. 3.1. Схема процесса течения
При этом а = const; r = OB + S cos a ^ dr = dS cos а. Так как при S = = 0 напряжение ац = 0, то из (1.5) получим 71 = — . Интегрируя (1.8),
получим зависимость угла вида напряженного состояния от S:
OB + S cos а = (OB + S1 cos a) exp ^ (7 — y1) + ^sin2 ^7 + —
— sin2 (71 + у))) • (3-1)
Зависимость угла вида 7 от дуговой координаты 5 приведена на рис. 3.2. При этом используются безразмерные (отнесенные к начальному радиусу) величины.
Рис. 3.2. Зависимость угла 7 от дуговой координаты S
Из выражения (1.3) получим
1 dh cos а ( cos 7
' 1 +
h dS OB + S cos а у cos (7 + 2^) cos а /cos (7 + 3)
(3.2)
OB + S cos a \ cos (7 + )
Зависимость толщины h от дуговой координаты S приведена на рис. 3.3.
Рис. 3.3. Зависимость толщины Н от дуговой координаты 5 Из выражения (1.2) получим
p3 hi . fo o\
sin а sin Yi. (3.3)
s/2t OB + Si cos a
На рис. 3.4 показан закон изменения безразмерного (отнесенного к величине \[2т(s)) давления на тело со стороны опорной поверхности.
Рис. 3.4. График зависимости нагрузки Pз от дуговой координаты S
4. Течение по поверхности тора
Рассмотрим течение материала по поверхности тора, как показано на рис. 4.1.
Г
t
Рис. 4.1. Схема процесса течения
При этом радиус кривизны постоянный и кривизна положительна, тогда r = OC + р sin а, где ai ^ a ^ | .В этом случае при 1 = п а11 = 0. Выбираем
начальный угол вида на поверхности тора совпадающим с конечным значением угла вида на конической поверхности.
Интегрируя (1.8), получим зависимость угла вида напряженного состояния от S:
• S + Si . Si\
OC + р sin-------- = I OC + р sin — I x
P V P )
x exp
(-— (7 - Yi) + (sin2 (y + - sin2 (Yi + ) ) • (4-1)
2^/З
Зависимость угла вида 7 от дуговой координаты 5 приведена на рис. 4.2. При этом используются безразмерные (отнесенные к начальному радиусу) величины.
Рис. 4.2. График зависимости угла 7 от дуговой координаты 5 Из выражения (1.3) получим
cos
( S+Si
p
1 dh
hdS OC + psin ^S^pSl)
1 +
cos y
cos
(y +
(4.2)
На рис 4.3 показана зависимость толщины от дуговой координаты 5.
Из выражения (1.2) получим зависимость нагрузки Р3 от дуговой координаты Б (рис. 4.4):
P3
hi
v^T(S) \^OC + p sin(
sin
Si - SA . hi / 2n\
—p~)sin Yi - 7 smvYi+tJ
(4.З)
3S
3
2S
И
2
15 1
О 0.1 02 03 0,4 05 0.6 0.7 03 0,9 1 1.1 12 13 14 13 1.6 1.7
S
Рис. 4.3. График зависимости толщины h от дуговой координаты S
0 0.1 02 03 О А 05 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 12 13 ХА 15 1.6 1.7
-0.1
-0.11
-0.12
р3.0.13
-0.14
-0.15
-0.16
S
Рис. 4.4. График зависимости нагрузки P3 от дуговой координаты S
5. Течение по комбинированным поверхностям
Рассмотрим течение материала по поверхности матрицы, как показано на рис. 5.1.
Процесс деформации тела проходит 3 фазы:
1) деформация по поверхности тора (DB), при этом р1 = const и кривизна отрицательная, п ^ а1 ^ П;
2) деформация по конической поверхности (BE), при этом а2 = const;
3) деформация по поверхности тора (EF), при этом р3 = const и кривизна положительная, П ^ а3 ^ П, р3 > р1.
Используя уравнения разделов 2, 3, 4, находим зависимости угла вида
Y, толщины стенки тела h и давления P3 от длины S. Графики этих зависимостей показаны на рис. 5.2-5.4.
2
Рис. 5.1. Схема процесса течения
Рис. 5.2. График зависимости 7 от дуговой координаты Б
5
Рис. 5.3. График зависимости толщины Н от дуговой координаты Б
5
Рис. 5.4. График зависимости Р3 от дуговой координаты Б
Решения получены при следующих значениях геометрических параметров:
п п / п \
OA = 20мм, р1 = 10мм, 4 ^ a1 ^ ^; O1B = OA — р1 cos — а^ ,
пп
а2 = const; р3 = 20мм, 4 ^ а3 ^ ^, O2C = O1B + S cos а2.
На нижнем торце принято граничное условие
^11|S=0 = °-
В точках сопряжения поверхностей B и E выполнялись условия равенства скоростей и напряжений.
Список литературы
1. Ильюшин А.А. Пластичность. Ч. 1. Упругопластические деформации. М.: Плюс, 2004. 388 с.
2. Маркин А.А., Лыу Туан Ань Движение тонкого жёсткопластического тела по поверхности с осевой симметрией // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып. 3. С. 93-101.
Маркин Алексей Александрович ([email protected]), д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Лыу Туан Ань ([email protected]), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
The motion of a rigid body in a thin conical and toroidal
surfaces
A. A. Markin, Lyu Tuan An’
Abstract. In Euler coordinates a system of equations describing motions of a thin axisymmetric body by the toroidal and conical surfaces are obtained. The body material is considered to be rigid-plastic, incompressible. Unlike the system of equations received by A.A.Ilyushin at Tresca plasticity condition in this paper Von Mises condition is used. The change characteristics of the strain state and the angle of stressed style during transition of material on the combined surfaces, in particular the transition from the conical matrix to the toroidal conical matrix.
Keywords: velocity field gradient, velocity deformation tensor, equilibrium motion, rigid-plastic materials, conical and toroidal matrices.
Markin Alexey ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, chair of department, department of mathematical modelling, Tula State University.
Lyu Tuan An’ ([email protected]), postgraduate student, department of mathematical modelling, Tula State University.
Поступила 01.10.2013
