CC BY
32
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 2. С. 164-173 Механика
УДК 539.3
Нестационарное течение жёсткопластического осесимметричного тела по коническои поверхности *
А. А. Маркин, Лыу Туан Ань
Аннотация. В координатах начального состояния получена система уравнений, моделирующая процесс неустановившегося равновесного движения жёсткопластического осесимметричноно тела по конической поверхности. Задача определения изменения формы тела и напряженного состояния с изменением «времени» сведена к системе дискретных уравнений. Рассмотрен пример численного определения характеристик напряженного деформированного состояния заготовки в процесс её раздачи при движении по конической матрице.
Ключевые слова: неустановившееся равновесное движение,
жёсткопластическое осесимметричное тело, коническая матрица, жёсткопластический материал, процесс раздачи, дискретные уравнения.
Введение
В работе [1] дано описание установившегося процесса движения тонкого тела по конической поверхности в рамках жёсткопластической модели Треска. В статьях [2, 3] получена общая система уравнений, описывающая движение осесимметричных тел по поверхностям в Эйлеровых координатах при условии пластичности Мизеса. Известно [4], что данное условие точнее соответствует результатам экспериментов по сравнению с условием Треска. В данной статье, в отличие от предыдущих работ, процесс деформирования представлен в координатах начального состояния (Лагранжевых).
Такая модель даёт возможность определить изменения формы и напряженного состояния тела при нестационарных равновесных движениях, когда характеристики напряженного состояния в фиксированных точках пространства наблюдателя изменяются со «временем». Под «временем» понимается любой монотонно возрастающий параметр. В частности, в качестве «временем» используется относительная длина пути, проходимая
* Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (госзадание № 467).
нижним торцем заготовки. Разрешающая система содержит 5 нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных относительно пяти характеристик напряженно-деформированного состояния — функций пространственной координаты и «времени». Рассмотрен численный пример, описывающий процесс раздачи.
Постановка задачи
Пусть заготовка в начальном состоянии имеет постоянную толщину Но. Положения верхнего и нижнего торцев заготовки в начальном состоянии задаются координатами (0)£і и (0)52, тогда 10 = (0)52 — (0)5і — начальная длина заготовки. Движение заготовки по конической поверхности считается известным, если известно положение произвольной точки с начальной координатой (0)5 в момент «времени» і, то есть 5 = 5 (50, і), кроме этого известен закон изменения толщины Н = Н (50, і) (рис. 1).
О
-еД
\
Г
X а
\ л
Рис. 1. Течение материала по поверхности конуса
Характеристики напряженно-деформированного состояния рассматриваются как функции начальных (Лагранжевых) координат и «времени». В частности, распределение скорости точек заготовки принимает вид
VI = VI (50, і).
При использовании текущих (Эйлеровых) координат то же поле скоростей представляется в форме
VI = VI (Б,і).
Связь между производными по лагранжевой и эйлеровой координатам имеет вид
дУі дУі 1 дУі
(1)
д5 д50 ^ Л д£о
С учетом (1) представим основную систему, приведенную в статье [2], в Лагранжевых координатах:
Из (2) определяем в лагранжевых координатах: закон движения 5 = = Б (5о, £); скорость V (5о, £); угол вида 7 = 7 (50, £); толщину Л, = Л, (50, £);
Система нелинейных уравнений в частных производных (2) является сложной и в общем случае не может быть проинтегрирована аналитически. В дальнейшем используем приближенный метод пошагового интегрирования, когда интервал изменения «времени» задан.
Представление системы уравнений (2) в безразмерном виде
Так как в упругопластических задачах при равновесном движении в качестве времени может использоваться любой монотонно возрастающий параметр, то перейдем к безразмерному полю скоростей. Для этого отнесем скорости точек заготовки к скорости нижнего торца, тогда в качестве «времени» принимается безразмерный параметр
Параметр Г есть относительное перемещение нижнего торца. Величины, имеющие размерность длины, отнесем к начальной длине заготовки 1о и обозначим
\
1 дН Н дt
>
(2)
СТ22 = -л/2т(5) 8ІП 7,
о(0)
давление Р3 .
((2)5 - (2)50)/іо
Напряжения отнесем к пределу текучести т(5), тогда
В результате система (2), описывающая движение заготовки, приводится к следующему безразмерному виду (знаки ^ над безрамерными величинами опущены):
dY Л sin Y / Л 1 dh \ / 2п \ ,оЧ
Y Y - а + Г М Y + ^ , (3)
Sx S cos (y + 2^) V S h Sx / V 3
^ = V______________cosi__________________________________ (4)
Sx S cos (y + in) ’ дh / h дУ V А
7^= - + h^ , (Б)
(б)
дт \Л Sx S
дУ = дЛ Sx дт:
дя
^ ^ (х.т). (7)
Отметим, что уравнение (3) следует из условия равновесия и представлений компонентов напряжений через угол вида 7. Уравнение (4) — следствие ассоциированного с условием Мизеса закона течения. Уравнение (5) следует из скоростной формы условия несжимаемости. Уравнение (6)
следует из определения компонента тензора деформации скорости.
Уравнение (7) есть определение поля скоростей через закон движения Я = Я (ж, т).
Таким образом, имеем систему пяти нелинейных уравнений (3)—(7) в частных производных относительно пяти неизвестных. Сформулируем граничные условия для случая, когда задано движение нижнего торца (2)Яо, а верхний торец свободен от напряжений, тогда
V (ж)|л=1 = 1, (8)
2п
7 (ж)|х=о = - у, тогда ^11|ж=о = 0- (9)
Принимаем следующие начальные условия:
= Л|т=0 = 1; Я|т=0 = Яо = ж + а. (10)
-ь SS h|T=0 = ho; Sx
т=0
Подставим начальные условия в уравнение (3). В результате получим
SYo _ 1 sin Yo 1 / 2п\ , л
~Т— =--------.----------- 2п ч-----.--- tM Y + ~7Г ) - (11)
Sx x + a cos (yo + if) x + a \ 3 /
Уравнение (11) с граничным условием
Yo (x)|x=o
2n
Y
позволяет найти распределение угла вида Yo (x) в начальный момент.
Из (4) с учетом (10) следует уравнение, определяющее поле скоростей Vo (x) в начальный момент
dVo = Vo cos Yo (12)
dx x + a cos (yo + 2П) ■
Граничное условие Vo|x=1 = 1.
Если из (11), (12) найдены функции yo (x) и Vo (x), то из (4) и (Б) находим производные по «времени» от кинематических характеристик в начальный момент:
Дискретизация системы (3)—(7) по переменной х
Для уточнения представления производных от скорости по координате используем неявную схему дискретизации, тогда
Использование неявной схемы для дискретизации приводит к системе нелинейных уравнений относительно узловых перемещений 7г, поэтому будем определять 7г (х) из уравнения (3) по явной схеме. В результате сочетания явной и неявной схем система (3)—(7) сводится к следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений по «времени» относительно узловых величин:
(1З)
(14)
(1Б)
(1б)
d°i 1 Vi+1 Vi-1
dr 2 Ax
Лг ^г+1 ^г—1 Лг Т/Г
^Т Лі 2Дх £г г
(18)
Сиитема (14)—(18) интегрируется при следующих краевых условиях:
7о (т) = П3 — угол вида в начальной точке х = 0 соответствует отсутствию напряжения стц на верхнем торце;
РП (т) = 1 — граница детали х = 1 движется с постоянной единичной скоростью.
Начальные условия для системы (14)—(18) имеют вид:
Л-г|т=о = Ло — толщина детали в начальный момент постоянна;
Аг|т=о = 1 — деталь в начальный момент не деформирована.
£г|т=о = £ог = Дхд — текущие координаты в начальный момент совпадают с начальными.
Разобьем интервал по «времени» на т отрезков Дт . Значение неизвестных узловых функций в момент т = Дт ■ к обозначим ^к,г; $к,г; Лк,г; Лк,г; Ук,г. Здесь к = 1,2,..., т. Уравнения (14), (15) запишем в «момент» к — 1. Это позволит при к = 1 учитывать начальные условия. Дискретная форма уравнений (14), (15) принимает следующий вид:
Отметим, что в уравнения (19) и (20) входят начальные и краевые условия.
Для интегрирования эволюционных уравнений (16)-(18) используем явную схему Эйлера. В результате получаем:
Дискретизация системы (14)—(18) по «времени»
Дх яіп 7к—1,г—1
<
(19)
(20)
$к,г — $к—1,г + Дт^к— 1 ,г ?
£о,г = Дж.г + а,
(21)
Ло,г = 1,
— ЛА:—1,г Л-й— 1,гДт
Л0 г — Л0 — СОШ£.
(23)
Последовательность решения системы уравнений (19)—(23)
Решение строится на последовательности шагов по «времени». Для каждого значения к — 1,2,...,т находятся соответствующие значения искомых функций в узловых пространственных точках жг. Для построения решения в начальный момент принимаем к — 1. В этот момент уравнение (19) принимает с учетом начальных условий следующий вид:
70,г — 70,г—1
Дж
8Ш 7о,г—1
Дж
7о,о —
—2п
Дж.г + а сов (70,г—1 + 2е) Дж.г + <
2п
70,г—1 + —
3
Из (24) определяем последовательно 70>г для г — 1,2, определяем узловые значения скорости при к — 1 из (20):
Ус
0,г+1
— ^0,1—1 —
2Дж сов 70>;
(Дж.г + а) сов (^0,г + х)
^0,™ — 1; У0,га+1 — 1-
У0,г,
(24)
, п. Зная 70,1,
(25)
Сравним распределение угла вида в начальный момент, получаемое дискретным методом по формуле (24), с точным решением. Для получения точного решения интегрируем уравнение (11):
йж ( 1 ( 2п\ л/3\ ,
жга — (-2 Ч7+т) + -
(26)
Интегрируя левую часть (26) от значения 70 — — 2П до текущего значения, а правую от ж — 0 до текущего значения, получим зависимость ж (7) в виде
ж—а
ехр
у/3 ( 2п\
т 7 + -
1
(27)
На рис. 2 приведены зависимости 7, (ж) для различных значений а при различных Дж. Из проведенных вычислений следует, что результаты, полученные приближенным методом, практически совпадают с аналитическим решением и не зависят от значения а.
Для определения У0,г необходимо решить систему линейных уравнений (25). Определив У0,г, переходим к нахождению £1>г; Л,1>г; Л1>г. Из (21)-(23) при к — 1 получим
Рис. 2. Зависимости 70 (ж) для различных значений а при различных Дж ж*— при дискретном методе; X* - при аналитическом методе
Бі,і = Бо,і + ДтУсм = Дх-* + а + ДтУн,
(28)
1 Дт
Лі,і = 1 + - -т— (^0,г+1 — И),г-1) ,
2 Дх
и и и Л ( ^0,г+1 — Уо,г-1 . Уо,г
Лі,і = Яо,г — Яо,гДт —^-----------------------+ —^
V 2Лі,іДж Бц
(29)
(30)
После определения Бі,і; Лі,*; Лі,і полагаем к = 2 и переходим снова к решению уравнений (19) и (20), а затем к (21) и (22). Далее цикл продолжается до заданного к = т момента «времени».
На рис. 3-6 приведены зависимости характеристик напряженно-деформированного состояния от координаты х для последовательных значений параметра т. При вычислениях Дх принималось равным 10-3 и Дт = 3Дх.
Рис. 3. Зависимости 7 (х) для последовательных значений параметра т
Рис. 4. Зависимости в (ж) для последовательных значений параметра т
Рис. 5. Зависимости Л (ж) для последовательных значений параметра т
Рис. 6. Зависимости Н (ж) для последовательных значений параметра т
Из рис. 3-6 следует, что заготовка в процессе движения утоняется неравномерно. Вид напряженного состояния также неоднороден по координате и изменяется со временем.
Список литературы
1. Ильюшин А.А. Труды (1946-1966). Т. 2. Пластичность. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 480 с.
2. Маркин А.А., Лыу Туан Ань Движение тонкого жёсткопластического тела по поверхности с осевой симметрией // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып. 3. С. 93-101.
3. Маркин А.А., Лыу Туан Ань Движение тонкого жёсткопластического тела по конической и тороидальной поверхностям // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 154-156.
4. Ильюшин А.А. Пластичность. Часть 1. Упругопластические деформации. — М.: Плюс, 2004. 388 с.
Маркин Алексей Александрович (markin-nikram@yandex.ru), д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Лыу Туан Ань (myname_is_luutuananh@yahoo.com), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
The nonstationary motion of a rigid-plastic body by a conical
surface
A. A. Markin, Luu Tuan Anh
Abstract. In initial coordinates, a system of equations describing nonstationary motion of axisymmetric body by the conical surface are obtained. The body material is rigid-plastic incompressible. The main role of this paper is building the systems of discrete equations to view the change characteristics of the strain state and the angle of view stressed during transition of material on the conical matrix. For better illustration, we solve an example, in which we find the changes of mechanical parameters of a nonstationary motion by the conical surface.
Keywords: velocity field gradient, velocity deformation tensor, equilibrium motion, rigid-plastic materials, conical matrix, transitional motion, loop-system.
Markin Alexey (markin-nikram@yandex.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of department, department of mathematical modeling, Tula State University.
Lyu Tuan An’ (myname_is_luutuananh@yahoo.com), postgraduate student, department of mathematical modeling, Tula State University.
Поступила 26.03.2014
